1. 1
Chương III: Qui hoạch động
(Dynamic Programming)
1. Giới thiệu
2. Phương pháp thực hiện
3. Một số bài toán tối ưu giải bằng phương
pháp quy hoạch động

2. 2
1. Giới thiệu
 Việc thực hiện một giải thuật đệ quy có thể
không tối ưu về mặt thời gian/không gian nhớ.
Ví dụ: Tính phần tử thứ n của dãy số Fibonaci
Function F(n: integer): integer;
Begin If n 2 then F:=1
else F:= F(n-1)+F(n-2);
End;
Độ phức tạp: O(an) với a  1.61803...
Do F(n-1) và F(n-2) được tính một cách độc lập!
Số lần gọi cần để tính F(n) là số lần gọi để tính
F(n-1) cộng với số lần gọi để tính F(n-2).
Đặc điểm của lời giải đệ quy: thực hiện bài toán
từ việc phân tích ở mức cao xuống mức thấp.

3. 3
Nếu giải quyết bài toán này từ mức thấp lên mức cao ta
có giải thuật sau:
Function F(n: integer): integer;
var i: integer; a: array[1..100] of integer;
Begin
a[1]:=1; a[2]:=1;
For i:=3 to n do
a[i]:=a[i-1]+a[i-2];
F:= a[i];
End;
Độ phức tạp: O(n)
Đặc điểm của lời giải bài toán theo phương pháp quy
hoạch động: giải quyết bài toán đệ quy từ mức thấp
trước, lời giải của chúng được lưu lại và được sử dụng
để tìm lời giải của các bài toán ở mức cao hơn.

4. 4
 Tư tưởng của phương pháp
 Sử dụng nguyên lý: “chia để trị”
 Cách tiếp cận: “dưới-lên”
 Phạm vi áp dụng
 Các bài toán có được bằng việc tổ hợp các nghiệm
của các bài toán con
 Các bài toán tối ưu hoá rời rạc
 Nguyên lý của phương pháp:
 Nguyên lý tối ưu của Bellman: Trong một dãy tối ưu
của các lựa chọn thì một dãy con của nó cũng là tối
ưu.

5. 5
2. Phương pháp thực hiện
 Phân tích bài toán (biểu diễn bài toán dưới
dạng một bài toán nhiều mức)
 Xây dựng giải pháp đệ quy (lập công thức
truy hồi)
 Lập bảng (sử dụng các mảng để tính toán
các giá trị theo kiểu dưới-lên)
 Tổng hợp kết quả (kiến tạo một lời giải
cho bài toán từ các thông tin đã tính toán)

6. 6
Xét ví dụ trên
 Phân tích bài toán: Xây dựng hàm:
Function F(n: integer): integer;
 Giải pháp đệ quy: F(n) = F(n-1)+F(n-2)
 Lập bảng: Sử dụng mảng 1 chiều a (array[1..max] of
integer) để tính: a[i] = F(i). với i = 1..n.
Cụ thể:
a[1] = a[2] = 1, và:
a[i] = a[i-1] + a[i-2]; với i = 3..n,
 Tổng hợp kết quả: F(n) = a[n];
 Độ phức tạp tính toán: O(n)

7. 7
Ví dụ tính C(k,n): tổ hợp chập k của n
 Phân tích bài toán: Xây dựng hàm:
Function C(k, n: byte): longint; {giả thiết k<=n}
 Giải pháp đệ quy: C(k,n) = C(k-1,n-1) + C(k,n-1)
 Lập bảng: Sử dụng một mảng 2 chiều a
(array[0..max,0..max] of longint) để tính:
a[i,j] = C(i,j), với i = 0..k , j = i..n
Cụ thể: a[0,j] = 1,j và a[i,i] = 1,i
ngược lại: a[i,j] = a[i-1,j-1] + a[i,j-1]
 Tổng hợp kết quả: C(k,n) = a[k,n]
 Độ phức tạp tính toán: O(k.n)

8. 8
3. Một số bài toán tối ưu giải bằng
phương pháp quy hoạch động
 Chiếc túi xách
 Phép nhân tổ hợp nhiều ma trận
 Các bài tập

9. 9
Bài toán chiếc túi xách
 Một cái kho chứa n loại đồ vật có kích thước và giá trị
khác nhau. Cụ thể:
Loại đồ vật i (i=1..n) có: - kích cỡ m[i]  N*
- gía trị c[i]  R
- số lượng: không hạn chế
 Một tên trộm mang theo chiếc túi có kích cỡ là p  N*.
Vậy hắn phải chọn lựa một danh sách các đồ vật sẽ
mang đi như thế nào để cho tổng giá trị lấy cắp được là
lớn nhất.
 Tức: Tìm x[1], x[2],..., x[n] (với x[i]  N : số lượng loại đồ
vật thứ i cần lấy) sao cho: x[i].m[i]  p và x[i].c[i] đạt
giá trị cực đại

10. 10
Bài toán chiếc túi xách
 Phân tích bài toán:
 Gọi P(r, s) là bài toán chiếc túi xách, với:
r  N*: kích cỡ chiếc túi
s  N*: số các loại đồ vật khác nhau
(bài toán ban đầu là P(p, n))
 Các giá trị cần tìm:
l[r,s]: giá trị cực đại x[i].c[i] của bài toán P(r, s)
u[r,s]: số lượng loại đồ vật s tối ưu cần lấy (tức: x[s])
của bài toán P(r, s)

11. 11
Bài toán chiếc túi xách P(r, s)
 Giải pháp đệ quy:
 Khi s = 1:
u[r, 1] = r div m[1]
l[r, 1] = u[r, 1]c[1]
 Khi s > 1:
l[r, s] = max { kc[s] + l[r – km[s], s-1] }
0  k  r div m[s]
= k’c[s] + l[r – k’m[s], s-1]
u[r, s] = k’

12. 12
Lập bảng (Bài toán chiếc túi xách)
Procedure LapBang;
Begin
For r:=0 to p do
For s:=1 to n do
If s=1 then Tính u[r, 1] và l[r, 1]
else Tính u[r, s] và l[r, s];
End;
 Độ phức tạp tính toán: O(np2)

13. 13
Tổng hợp kết quả (Bài toán chiếc túi xách)
Procedure TongHop;
Begin
r:=p;
For s:=n downto 1 do
begin
x[s]:= u[r,s];
r:= r – x[s].m[s];
end;
End;
 Độ phức tạp tính toán: O(n)

14. 14
Bài toán
Phép nhân tổ hợp nhiều ma trận
 Cần tính M = M1M2...Mn
Trong đó: Mi là ma trận cấp m[i-1]m[i] (i=1..n)
Hãy xác định thứ tự thực hiện các phép nhân
sao cho số phép tính là tối thiểu.
 Ví dụ: Tính M = M1  M2  M3
[1020][2050][505]
(M1M2)M3 có số phép toán là:
102050 + 10505 = 12500
M1(M2M3 ) có số phép toán là:
10205 + 20505 = 6000

15. 15
Phép nhân tổ hợp nhiều ma trận
 Phân tích bài toán:
 Gọi P(r, s) là bài toán nhân ma trận:
MrMr+1...Ms, với r  s
(bài toán ban đầu là P(1, n))
 Giá trị cần tìm:
k[r,s]: vị trí phép toán thực hiện cuối cùng của bài
toán P(r, s)
(MrMr+1...Mk-1)  (MkMk+1...Ms)
k = k[r,s]  [r+1, s]
l[r, s]: số phép tính nhân tối ưu của bài toán P(r, s)

16. 16
Phép nhân tổ hợp nhiều ma trận
 Giải pháp đệ quy:
 Trường hợp 1: Khi s = r : l[r, r] = 0
 Trường hợp 2: Khi s = r+1:
l[r, r+1] = m[r-1]  m[r]  m[r+1]
k[r, r+1] = r+1
 Trường hợp 3: Khi s > r+1:
l[r, s] = min { l[r, v-1] + m[r-1]m[v-1]m[s] + l[v, s] }
r+1  v  s
(v là các vị trí phép toán thực hiện cuối cùng khác nhau)
= l[r, v’-1] + m[r-1]  m[v’-1]  m[s] + l[v’, s]
(v’ là vị trí tối ưu trong số các vị trí của v)
k[r, s] = v’
Nhận xét: Có thể ghép trường hợp 2 vào trường hợp 3!

17. 17
Lập bảng
(Bài toán phép nhân tổ hợp nhiều ma trận)
Procedure LapBang;
Begin
For s:=1 to n do
For r:=s downto 1 do
If r = s then l[r, r] := 0
else Tính l[r, s] và k[r, s];
End;
 Độ phức tạp tính toán: O(n3)

18. 18
Tổng hợp kết quả
(Bài toán phép nhân tổ hợp nhiều ma trận)
Procedure TongHop;
Begin
writeln(‘Số phép tính là tối thiểu:’, l[1, n]);
i:=n;
TimVT(1, n); {Nhằm lần lượt xác định các giá trị x[i]: vị trí phép nhân
cần thực hiện trong lần nhân thứ i (i=1..n-1)}
writeln(‘Thứ tự thực hiện các phép nhân :’);
For i:=1 to n-1 do writeln(x[i]);
End;
Trong đó thủ tục TimVT được xây dựng đệ quy như sau:
Procedure TimVT(r, s);
Begin i:=i-1; vt:= k[r, s]; x[i]:= vt;
If (vt > r+1) and (vt < s) then
begin TimVT(r, vt-1);
TimVT(vt, s);
end;
End;

19. 19
Bài tập
1. Tính giá trị xác suất P(i, j) (i, j: byte). Biết rằng:
P(i, j) = 1 nếu i=0 và j>0
= (P(i-1, j)+ P(i, j-1))/2 nếu i>0 và j>0
= 0 nếu ngược lại
2. Bài toán xâu trong cực đại: S là xâu trong của
T nếu S nhận được bằng cách xoá đi một số
ký tự nào đó. Ví dụ: ‘ABC’ là xâu trong của
‘GAHEBOOC’
Bài toán: Cho 2 xâu T1, T2. Tìm một xâu S là
xâu trong chung của T1 và T2 có độ dài cực
đại.
Ví dụ: T1=‘ABCDAE’ và T2=‘XYACADK’ có xâu
‘ACD’ là xâu trong chung với độ dài cực đại.

20. 20
3. Bài toán du lịch: Một người đi từ thành phố 0 đến
thành phố n và có thể đi qua n-1 thành phố khác 1,
2,..., n-1, theo lộ trình: 0  i1  i2 …..  ik  n, trong
đó: 0 < i1 < i2 < …< ik < n,Giá vé của xe đi từ thành phố
i đến thành phố j là c[i,j]. Tìm một lộ trình từ thành phố
0 đến thành phố n sao cho tổng chi phí về giá vé đạt
cực tiểu.
4. Bài toán sinh viên ôn thi: Một sinh viên còn m ngày để
ôn thi n môn. Theo kinh nghiệm của anh ta, nếu ôn
môn j trong i ngày thì được điểm là a[i,j]. Giả sử cho
biết các a[i,j] (với a[i,j]<=a[i+1,j]).
Tìm bộ x[j] (số ngày ôn môn j, với j=1..n) sao cho
x[j]=n và sinh viên đạt tổng điểm lớn nhất (a[x[j],
j]max).