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Semelhante a 実験計画法入門 Part 3 (20)
実験計画法入門 Part 3
- 1. © Hajime Mizuyama
An Introduction to
Design of Experiments (DOE)
青山学院大学 経営システム工学科
水山 元
mizuyama@ise.aoyama.ac.jp
- 4. © Hajime Mizuyama
因子A データ 総平均 総偏差
総偏差
平方
1 666 675 -9 81
1 643 675 -32 1024
1 653 675 -22 484
2 664 675 -11 121
2 683 675 8 64
2 684 675 9 81
3 696 675 21 441
3 687 675 12 144
3 705 675 30 900
4 683 675 8 64
4 655 675 -20 400
4 681 675 6 36
総偏差平方和の計算
3840平方和：
- 5. © Hajime Mizuyama
因子A データ A別平均 総平均 A間偏差 残差
A間偏差
平方
残差
平方
1 666 654 675 -21 12 441 144
1 643 654 675 -21 -11 441 121
1 653 654 675 -21 -1 441 1
2 664 677 675 2 -13 4 169
2 683 677 675 2 6 4 36
2 684 677 675 2 7 4 49
3 696 696 675 21 0 441 0
3 687 696 675 21 -9 441 81
3 705 696 675 21 9 441 81
4 683 673 675 -2 10 4 100
4 655 673 675 -2 -18 4 324
4 681 673 675 -2 8 4 64
総偏差平方和の分解
2670平方和： 1170
- 7. © Hajime Mizuyama
一元配置の分散分析
要因 平方和 自由度 平均平方 F値
A SA fA = I-1 VA = SA /(I-1) FA = VA /Ve
残差 Se fe = I(N-1) Ve = Se /I(N-1) ―
計 ST IN-1 ― ―
要因 平方和 自由度 平均平方 F値 P値
A 2670 3 890 6.085 0.018
残差 1170 8 146.25 ― ―
計 3840 11 ― ― ―
- 9. © Hajime Mizuyama
• 因子の値を連続的に変化させることができる．
• 因子の値を変化させるのに伴って，特性の母平均も連続的に，
またある程度なめらかに変化することが多い．
• 因子の値を，実験で取り上げた水準だけでなく，それら以外の
値に設定した場合についても，特性の母平均を推定できるよう
にしたい．
• 因子の値と特性の母平均の間の関係を関数としてモデル化する．
量的因子の場合
- 10. © Hajime Mizuyama
構造モデル
𝑦𝑖𝑛 = 𝑓(𝑥𝑖) + 𝑒𝑖𝑛
仮定
– 関数 f には，x の1次式または2次式を用いることが多い．
– 誤差項は互いに独立かつ等分散である．
– 誤差項は期待値ゼロの正規分布に従う．
量的因子の一元配置の構造モデル
連続関数 因子A の値 誤差項
𝒆~𝑁(𝟎, 𝜎𝑒
2
∙ 𝑰)
- 13. © Hajime Mizuyama
残差平方和
正規方程式
最小2乗法によるパラメータ推定
𝑆 𝑒 = 𝑦𝑖𝑛 − 𝑎0 + 𝑎1 𝑥𝑖
2
𝑁
𝑛=1
𝐼
𝑖=1
= 𝑦𝑖𝑛 − 𝑏0 + 𝑏1(𝑥𝑖−𝑥)
2
𝑁
𝑛=1
𝐼
𝑖=1
𝐼𝑁𝑏0 + 𝑁𝑏1 (𝑥𝑖−𝑥)
𝐼
𝑖=1
= 𝑦𝑖𝑛
𝑁
𝑛=1
𝐼
𝑖=1
𝑁𝑏0 (𝑥𝑖−𝑥)
𝐼
𝑖=1
+ 𝑁𝑏1 𝑥𝑖 − 𝑥 2
𝐼
𝑖=1
= (𝑥𝑖−𝑥)𝑦𝑖𝑛
𝑁
𝑛=1
𝐼
𝑖=1
𝑏0 = 𝑦
𝑏1 =
(𝑥𝑖 − 𝑥)(𝑦𝑖𝑛 − 𝑦)𝑁
𝑛=1
𝐼
𝑖=1
𝑁 𝑥𝑖 − 𝑥 2𝐼
𝑖=1
=
𝑆 𝑥𝑦
𝑆 𝑥𝑥
- 14. © Hajime Mizuyama
残差平方和
回帰係数の推定値
回帰直線
最小2乗法によるパラメータ推定
𝑆 𝑒 = 𝑦𝑖𝑛 − 𝑎0 + 𝑎1 𝑥𝑖
2
𝑁
𝑛=1
𝐼
𝑖=1
= 𝑦𝑖𝑛 − 𝑏0 + 𝑏1(𝑥𝑖−𝑥)
2
𝑁
𝑛=1
𝐼
𝑖=1
𝑏0 = 𝑦 = 675
𝑏1 =
(𝑥𝑖 − 𝑥)(𝑦𝑖𝑛 − 𝑦)𝑁
𝑛=1
𝐼
𝑖=1
𝑁 𝑥𝑖 − 𝑥 2𝐼
𝑖=1
=
𝑆 𝑥𝑦
𝑆 𝑥𝑥
=
1140
1500
= 0.76
𝑦 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 − 𝑥 = 𝑦 +
𝑆 𝑥𝑦
𝑆 𝑥𝑥
𝑥 − 𝑥 = 675 + 0.76(𝑥 − 25)
- 15. © Hajime Mizuyama
因子A x Δx Δx2 y Δy ΔxΔy
1 10 -15 225 666 -9 135
1 10 -15 225 643 -32 480
1 10 -15 225 653 -22 330
2 20 -5 25 664 -11 55
2 20 -5 25 683 8 -40
2 20 -5 25 684 9 -45
3 30 5 25 696 21 105
3 30 5 25 687 12 60
3 30 5 25 705 30 150
4 40 15 225 683 8 120
4 40 15 225 655 -20 -300
4 40 15 225 681 6 90
回帰係数の計算
1140150025 675
- 18. © Hajime Mizuyama
因子A 𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 − 𝑦 𝑦 − 𝑦 𝑦 − 𝑦 2
𝑦 − 𝑦 2
1 10 666 663.6 -11.4 2.4 129.96 5.76
1 10 643 663.6 -11.4 -20.6 129.96 424.36
1 10 653 663.6 -11.4 -10.6 129.96 112.36
2 20 664 671.2 -3.8 -7.2 14.44 51.84
2 20 683 671.2 -3.8 11.8 14.44 139.24
2 20 684 671.2 -3.8 12.8 14.44 163.84
3 30 696 678.8 3.8 17.2 14.44 295.84
3 30 687 678.8 3.8 8.2 14.44 67.24
3 30 705 678.8 3.8 26.2 14.44 686.44
4 40 683 686.4 11.4 -3.4 129.96 11.56
4 40 655 686.4 11.4 -31.4 129.96 985.96
4 40 681 686.4 11.4 -5.4 129.96 29.16
総偏差平方和の分解
866.4平方和： 2973.6
- 20. © Hajime Mizuyama
分散分析表の対比
要因 平方和 自由度 平均平方 F値 P値
A 2670 3 890 6.085 0.018
残差 1170 8 146.25 ― ―
計 3840 11 ― ― ―
要因 平方和 自由度 平均平方 F値 P値
1次 866.4 1 866.4 2.914 0.119
残差 2973.6 10 297.4 ― ―
計 3840 11 ― ― ―
1次モデルの分散分析表
一元配置の分散分析表
- 21. © Hajime Mizuyama
Lack of fit 検定
要因 平方和 自由度 平均平方 F値 P値
A 2670 3 890 6.085 0.018
1次 866.4 1 866.4 5.924 0.041
LOF 1803.6 2 901.8 6.166 0.024
残差 1170 8 146.25 ― ―
計 3840 11 ― ― ―
1次モデルだけでなく，LOFも有意になった．
⇒ 因子Aの効果は，1次モデルだけでは捉えきれていない．
- 22. © Hajime Mizuyama
Lack of fit 検定の概念図
A1 A2 A3 A4
640660680700720
y
総平均
A別平均
A間偏差
残差
総偏差
回帰直線
回帰直線
までの偏差
LOF
- 23. © Hajime Mizuyama
回帰係数の分布
すなわち，
母平均の信頼区間
回帰係数の分布と母平均の信頼区間
𝐸 𝜷 = 𝐸 𝑿′ 𝑿 −1 𝑿′ 𝒚 = 𝑿′ 𝑿 −1 𝑿′ 𝐸 𝒚 = 𝑿′ 𝑿 −1 𝑿′ 𝑿𝜷 = 𝜷
𝑉𝑎𝑟 𝜷 = 𝑉𝑎𝑟 𝑿′
𝑿 −1
𝑿′
𝒚 = 𝑿′
𝑿 −1
𝑿′
𝑉𝑎𝑟 𝒚 𝑿 𝑿′
𝑿 −1
= 𝑿′ 𝑿 −1 𝑿′ 𝜎𝑒
2 𝑰𝑿 𝑿′ 𝑿 −1 = 𝜎𝑒
2 𝑿′ 𝑿 −1
𝜷~𝑁 𝜷, 𝜎𝑒
2 𝑿′ 𝑿 −1
𝑏0~𝑁 𝑏0, 𝜎𝑒
2
/12
𝑏1~𝑁 𝑏1, 𝜎𝑒
2
/1500
𝐶𝑜𝑣 𝑏0, 𝑏1 = 0
𝑏0 + 𝑏1(𝑥 − 𝑥) ± 𝑡 𝑓𝑒,
1 − 𝛼
2
1
𝐼𝑁
+
𝑥 − 𝑥 2
𝑆 𝑥𝑥
𝑉𝑒
= 𝑁 𝜷, 𝜎𝑒
2 1/𝐼𝑁 0
0 1/𝑆 𝑥𝑥
- 25. © Hajime Mizuyama
回帰モデルの行列表記
ただし，
2次モデルの行列表記
𝒚 = 𝑿 ∙ 𝜷 + 𝒆 𝒆~𝑁(𝟎, 𝜎𝑒
2 ∙ 𝑰)
𝒚 =
𝑦11
𝑦12
⋮
𝑦𝐼𝑁
𝒆 =
𝑒11
𝑒12
⋮
𝑒𝐼𝑁
𝑿 =
1 𝑥1 − 𝑥
1 𝑥1 − 𝑥
⋮ ⋮
1 𝑥𝐼 − 𝑥
𝜷 =
𝑏0
𝑏1
1次モデル
𝑿 =
1 𝑥1 − 𝑥 𝑥1 − 𝑥 2
1 𝑥1 − 𝑥 𝑥1 − 𝑥 2
⋮ ⋮ ⋮
1 𝑥𝐼 − 𝑥 𝑥𝐼 − 𝑥 2
𝜷 =
𝑏0
𝑏1
𝑏2
2次モデル
- 26. © Hajime Mizuyama
回帰係数の推定値
2次モデルのあてはめ
𝜷 = 𝑿′
𝑿 −1
𝑿′
𝒚
1 -15 225
1 -15 225
1 -15 225
1 -5 25
1 -5 25
1 -5 25
1 5 25
1 5 25
1 5 25
1 15 225
1 15 225
1 15 225
666
643
653
664
683
684
696
687
705
683
655
681
𝒚 =
12 0 1500
0 1500 0
1500 0 307500
=
𝑿′ 𝒚 =
8100
1140
998700
689.375
0.76
-0.115
𝑿′ 𝑿 =
回帰曲線回帰曲線
𝑦 = 689.375 + 0.76 𝑥 − 25
−0.115 𝑥 − 25 2
- 27. © Hajime Mizuyama
因子A 𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 − 𝑦 𝑦 − 𝑦 𝑦 − 𝑦 2
𝑦 − 𝑦 2
1 10 666 652.1 -22.9 13.9 524.41 193.21
1 10 643 652.1 -22.9 -9.1 524.41 82.81
1 10 653 652.1 -22.9 0.9 524.41 0.81
2 20 664 682.7 7.7 -18.7 59.29 349.69
2 20 683 682.7 7.7 0.3 59.29 0.09
2 20 684 682.7 7.7 1.3 59.29 1.69
3 30 696 690.3 15.3 5.7 234.09 32.49
3 30 687 690.3 15.3 -3.3 234.09 10.89
3 30 705 690.3 15.3 14.7 234.09 216.09
4 40 683 674.9 -0.1 8.1 0.01 65.61
4 40 655 674.9 -0.1 -19.9 0.01 396.01
4 40 681 674.9 -0.1 6.1 0.01 37.21
総偏差平方和の分解
2453.4平方和： 1386.6
- 28. © Hajime Mizuyama
Lack of fit 検定
要因 平方和 自由度 平均平方 F値 P値
A 2670 3 890 6.085 0.018
2次 2453.4 2 1226.7 8.388 0.011
LOF 216.6 1 216.6 1.481 0.258
残差 1170 8 146.25 ― ―
計 3840 11 ― ― ―
2次モデルの場合は，LOFは有意にはならない．
⇒ 因子Aの効果は，2次モデルでほぼ捉えられている．
- 29. © Hajime Mizuyama
分散分析表の対比
要因 平方和 自由度 平均平方 F値 P値
A 2670 3 890 6.085 0.018
残差 1170 8 146.25 ― ―
計 3840 11 ― ― ―
要因 平方和 自由度 平均平方 F値 P値
2次 2453.4 2 1226.7 7.962 0.010
残差 1386.6 9 154.1 ― ―
計 3840 11 ― ― ―
2次モデルの分散分析表
一元配置の分散分析表
- 30. © Hajime Mizuyama
回帰係数の分布
すなわち，
このとき，𝑦 の分布は，
したがって，母平均の信頼区間は，
回帰係数の分布と母平均の信頼区間
𝐸 𝜷 = 𝐸 𝑿′ 𝑿 −1 𝑿′ 𝒚 = 𝑿′ 𝑿 −1 𝑿′ 𝐸 𝒚 = 𝑿′ 𝑿 −1 𝑿′ 𝑿𝜷 = 𝜷
𝑉𝑎𝑟 𝜷 = 𝑉𝑎𝑟 𝑿′ 𝑿 −1 𝑿′ 𝒚 = 𝑿′ 𝑿 −1 𝑿′ 𝑉𝑎𝑟 𝒚 𝑿 𝑿′ 𝑿 −1
= 𝑿′
𝑿 −1
𝑿′
𝜎𝑒
2
𝑰𝑿 𝑿′
𝑿 −1
= 𝜎𝑒
2
𝑿′
𝑿 −1
𝜷~𝑁 𝜷, 𝜎𝑒
2 𝑿′ 𝑿 −1
𝑦 = 𝒙′𝜷~𝑁 𝒙′𝜷, 𝒙′ 𝑿′ 𝑿 −1 𝒙 𝜎𝑒
2
𝒙′𝜷 ± 𝑡 𝑓𝑒,
1 − 𝛼
2
𝒙′ 𝑿′ 𝑿 −1 𝒙 𝑉𝑒
- 32. © Hajime Mizuyama
応答曲面法
M 個の量的因子を取り上げ，それらの因子の値 x1, x2, ..., xM
と，特性 y の間の関係を表す統計モデル（応答曲面）：
𝑦 = 𝑓 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥 𝑀 + 𝑒
を実験から求める技法，また，そのための実験計画の手法．
応答曲面を表す関数 f としては，主に，1次または2次の多項式
モデルが用いられる．
応答曲面法
- 33. © Hajime Mizuyama
1次モデル
2次モデル
仮定
– 因子の値は基準化しておくことが多い．
– 誤差項は互いに独立かつ等分散である．
– 誤差項は期待値ゼロの正規分布に従う．
応答曲面法の構造モデル
𝒆~𝑁(𝟎, 𝜎𝑒
2
∙ 𝑰)
𝑦 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥1 + 𝑏2 𝑥2 + ⋯ + 𝑏 𝑀 𝑥 𝑀 + 𝑒
𝑦 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥1 + 𝑏2 𝑥2 + ⋯ + 𝑏 𝑀 𝑥 𝑀 + 𝑏11 𝑥1
2
+ 𝑏12 𝑥1 𝑥2 + ⋯ + 𝑏 𝑀𝑀 𝑥 𝑀
2
+ 𝑒
- 35. © Hajime Mizuyama
残差平方和
正規方程式 回帰係数の推定値
回帰係数の分布 母平均の分布
母平均の信頼区間
最小2乗法によるパラメータ推定
𝑆 𝑒 = 𝒚 − 𝑿𝜷 ′ 𝒚 − 𝑿𝜷 = 𝒚′ 𝒚 − 𝟐𝜷′𝑿′𝒚 + 𝜷′𝑿′𝑿𝜷
𝜕𝑆 𝑒
𝜕𝜷
= −𝟐𝑿′
𝒚 + 2𝑿′
𝑿𝜷 = 0 𝜷 = 𝑿′ 𝑿 −1 𝑿′ 𝒚
𝜷~𝑁 𝜷, 𝜎𝑒
2 𝑿′ 𝑿 −1 𝑦 = 𝒙′𝜷~𝑁 𝒙′𝜷, 𝒙′ 𝑿′ 𝑿 −1 𝒙 𝜎𝑒
2
𝒙′𝜷 ± 𝑡 𝑓𝑒,
1 − 𝛼
2
𝒙′ 𝑿′ 𝑿 −1 𝒙 𝑉𝑒
- 38. © Hajime Mizuyama
x1 x2 x3
1 -1 -1 -1
2 1 -1 -1
3 -1 1 -1
4 1 1 -1
5 -1 -1 1
6 1 -1 1
7 -1 1 1
8 1 1 1
9 −𝛼 0 0
10 𝛼 0 0
11 0 −𝛼 0
12 0 𝛼 0
13 0 0 −𝛼
14 0 0 𝛼
15 0 0 0
16 0 0 0
17 0 0 0
18 0 0 0
中心複合計画の例
2水準要因計画
各因子の1次の
主効果と，1次
×1次の2因子
交互作用を推定
中心点
純粋な誤差分散
の推定
最低でも3回，
できれば5回程度
の繰返し
軸上点
各因子の2次の
主効果を推定
𝛼 の値は，設定
の容易さ，中心
点からの距離，
回転可能性など
を考慮して決定
𝛼 = 𝑁𝐹𝐷
1/4
- 39. © Hajime Mizuyama
1 x1 x2 x3 x1
2 x1x2 x1x3 x2
2 x2x3 x3
2
1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1
1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1
1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1
1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1
1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 1
1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 1
1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 −𝛼 0 0 𝛼2 0 0 0 0 0
1 𝛼 0 0 𝛼2 0 0 0 0 0
1 0 −𝛼 0 0 0 0 𝛼2 0 0
1 0 𝛼 0 0 0 0 𝛼2 0 0
1 0 0 −𝛼 0 0 0 0 0 𝛼2
1 0 0 𝛼 0 0 0 0 0 𝛼2
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
中心複合計画の計画行列の例
𝑿 =
- 42. © Hajime Mizuyama
x1 x2 x3
1 -1 -1 0
2 -1 1 0
3 1 -1 0
4 1 1 0
5 0 -1 -1
6 0 -1 1
7 0 1 -1
10 0 1 1
11 -1 0 -1
12 1 0 -1
13 -1 0 1
14 1 0 1
15 0 0 0
16 0 0 0
17 0 0 0
18 0 0 0
Box and Behnken 計画の例
- 43. © Hajime Mizuyama
1 x1 x2 x3 x1
2 x1x2 x1x3 x2
2 x2x3 x3
2
1 -1 -1 0 1 1 0 1 0 0
1 -1 1 0 1 -1 0 1 0 0
1 1 -1 0 1 -1 0 1 0 0
1 1 1 0 1 1 0 1 0 0
1 0 -1 -1 0 0 0 1 1 1
1 0 -1 1 0 0 0 1 -1 1
1 0 1 -1 0 0 0 1 -1 1
1 0 1 1 0 0 0 1 1 1
1 -1 0 -1 1 0 1 0 0 1
1 1 0 -1 1 0 -1 0 0 1
1 -1 0 1 1 0 -1 0 0 1
1 1 0 1 1 0 1 0 0 1
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Box and Behnken 計画の計画行列の例
𝑿 =
