Matrices, definiciones, operatoria: suma, producto por un número real, producto entre matrices.

1. Apuntes de Matemática – 5to. Año Ed. Secundaria.
Departamento de Matemática – Colegio Teodelina
Matrices.

2. MATRICES…
Cuando se lee tablas de posiciones de los equipos de fútbol, los
horarios de los trenes, de colectivos en las estaciones o cuando se
trabaja con una planilla de cálculo, se utiliza Matrices…
Las matrices se utilizan en la resolución de sistemas de ecuaciones
aplicados a la geometría, estadística, economía, informática, física,
entre otras ciencias…
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3. MATRICES…
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Dimensión
de la matriz
m x n
2ª columna
3ª fila













a11
a12
a13 ...... a1n
a21
a22
a23 ...... a2n
a31
a32
a33 ...... a3n
.. .. .. .. ..
am1
am2
am3 ...... amn
Cada elemento tiene dos subíndices,
el primero indica la fila y el segundo la
columna.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los
elementos que ocupan la misma posición en ambas son iguales.
El orden es el número de filas y
columnas que tiene la matriz, se
representa por m x n.
Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales,
a los cuales se les denomina elementos de la matriz.

4. MATRICES…
Ejemplo de matriz: Lucas, Dante y Elena han ido a una tienda y han
comprado lo siguiente:
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Lucas compró dos bocadillos, tres refrescos y
un pastel, Dante se llevó un bocadillo, un
refresco y un pastel; y Elena compró un
bocadillo y un refresco.
En el ejemplo se puede observar una matriz cuya dimensión es 3 (filas) x 3
(columnas) y como el número de filas y columnas coincide, se dice que es una
matriz cuadrada y en este caso de orden 3.
a12 = 3 se lee «elemento de la fila 1 columna 2 es 3»
Estos datos se
pueden agrupar en
una matriz










2 3 1
1 1 1
1 1 0

5. ALGUNAS DEFINICIONES…
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A =







2
4
6
Matriz columna: es una
matriz constituida por una
sola columna;
A = (1 3 5 7 9 )
Matriz fila: es una matriz
constituida por una sola fila;
Matriz transpuesta: Dada una matriz A,
se llama matriz traspuesta de A a la
matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las
columnas;
Matriz cuadrada: es una matriz que
tiene la misma cantidad de filas que
de columnas. Los elementos que se
encuentran en la misma fila y
columna están en la diagonal
principal;
Diagonal
secundaria
Diagonal
principal
A=







1 3 5
2 4 6
1 1 1

6. ALGUNAS DEFINICIONES…
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Matriz nula: todos los
elementos que componen a
la matriz son nulos;
Matriz
diagonal: es
una matriz
cuadrada, en
la que todos
los elementos
no
pertenecientes
a la diagonal
principal son
nulos;











600
020
005
D
Matriz escalar: es
una matriz
diagonal
donde todos los
elementos de ella
son iguales;










300
030
003
A
Matriz identidad: es una
matriz escalar, cuya
diagonal principal es 1; 










100
010
001
I3
Matriz triangular superior: es
una matriz donde todos los
elementos por debajo de la
diagonal son ceros;











400
350
831
T
Matriz triangular inferior: es
una matriz donde todos los
elementos por encima de la
diagonal son ceros;












457
023
001
T

7. ALGUNAS DEFINICIONES…
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












034
302
420
Matriz anti-simétrica: es una matriz
cuadrada que es igual a la opuesta
de su traspuesta.
A = – At
Matriz simétrica: es una
matriz cuadrada que es igual
a su traspuesta;
A = At










154
532
421

8. OPERACIONES CON MATRICES.
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9. SUMA DE MATRICES
aulamathema.weebly.com Matemática 5 9
Dos matrices A y B con las mismas dimensiones, es decir, con la misma
cantidad de filas y de columnas pueden sumarse como se ve a
continuación:
Sin embargo, las siguientes
matrices no se pueden sumar.
La diferencia de matrices A y B se representa por A – B, y se define
como la suma de A con la opuesta de B: A – B = A + (– B)
Por tanto, para poder sumar dos matrices estas
han de tener la misma dimensión
A + B =







a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
+







b11 b12 b13 b14
b21 b22 b23 b24
b31 b32 b33 b34
=
=







a11
+ b11
a12
+ b12
a13
+ b13
a14
+ b14
a21
+ b21
a22
+ b22
a23
+ b23
a24
+ b24
a31
+ b31
a32
+ b32
a33
+ b33
a34
+ b34
Ejemplo:

10. PRODUCTO DE UNA MATRIZ
POR UN NÚMERO.
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Para multiplicar
un número real
por una matriz,
se multiplican
cada uno de los
elementos de la
matriz por dicho
número.
k.A = k.







a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
=







k.a11 k.a12 k.a13
k.a21
k.a22
k.a23
k.a31 k.a32 k.a33
Tener presente: Propiedades.
Asociativa mixta: a · (b · A) = (a · b) · A
Distributiva 1: a · (A + B) = a · A + a · B
Distributiva 2: (a + b) · A = a · A + b · A
Elemento neutro: 1 · A = A
Observación: a, b nros. Reales y A, B matrices.
Ejemplo

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PRODUCTO ENTRE MATRICES.
Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz AxB cuyos elementos
se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B. De manera
más formal, los elementos de AxB son de la forma:
Es evidente que el número de columnas
de A debe coincidir con el número de
filas de B.
Es más, si A tiene dimensión m x n y B
dimensión n x p, la matriz P será de
orden m x p,A B AxB
Observación: tener presente que este es
un ejemplo donde ambas matrices que
componen el producto son de orden 3.

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PRODUCTO ENTRE MATRICES.
Am,n
. Bn,p =Cm,p
El producto de matrices es posible
cuando coincide el número de columnas
de una matriz con el número de filas de
la otra matriz.
Tener presente: Propiedades.
Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C
Distributiva: A · (B + C) = A · B + A · C
Elemento neutro: A · I = A (Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A)
No es conmutativa: A · B ≠ B · A

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PRODUCTO ENTRE MATRICES.
PRODUCTO. POTENCIA
DE UNA MATRIZ:
Si A es una matriz
cuadrada, las potencias
de A, de exponente
natural, se definen como
en el caso de los números
naturales: el exponente
indica el número de veces
que se multiplica la matriz
por sí misma.







10
11
Ejemplo: A



















10
21
10
11
10
11
AAA2



















10
31
10
21
10
11
AAA 23

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