Kap2 1

P r o f. D r. V i k t o r S t e i n e r – M I K R O Ö K O N O M E T R I E (SS 09) 11
2. L i n e a r e M o d e l l e f ü r P a n e l d a t e n / 2.1 S t a t i s c h e M o d e l l e

2. Lineare Modelle für Paneldaten
Paneldaten: Information über die gleichen Untersuchungs-
einheiten zu meheren Beobachtungszeitpunkten
• Mikro-Panels: große Anzahl (N) von U-Einheiten (Individuen,
Firmen) zu einigen wenigen Zeipunkten (T)
z.B.: Sozio-Ökonomisches Panel, Unternehmensfragungen
• Makro-Panels: relativ kleine Anzahl von U-Einheiten (Länder,
Regionen) über einen relativ langen Zeitraum
z.B.: OECD-Länderpanel, Regionenpanel, Branchenpanel
• Pseudo-Panels: U-Einheiten sind über die Wellen nicht
identisch bzw. andere Dimension als Zeit
− Zeitreihen über Alterskohorten
− Querschnittsdaten über Zwillinge


Vorteile von Paneldaten:
• Kontrolle unbeobachteter zeitinvarianter individueller
Unterschiede (Heterogenität), z.B. „ability bias“
• Präzisere Parameterschätzung durch Ausnutzung von
Querschnitts- und Zeitreihenvariation; mehr Information
• Modellierung dynamischer Anpassungprozesse;
Ereignisanalysen; Vorher-Nachher Vergleiche etc.

Nachteile von Paneldaten:
• Mikro-Panels meist nur für kurze Zeiträume verfügbar
relativ teuer zu erheben
• hohe Panelsterblichkeit („sample attrition“) mit häufig nicht
rein zufälligen Ausfällen Stichprobenselektion
• Messfehler bei retrospektiv erhobenen Fragen


2.1 Statische Modelle
Grundmodell: y it = α i + β ′ xit + ε it
α i := Individualeffekt, variiert über i, aber nicht über t
E ( ε it xit ) , ∀ i , t := Annahme „strikter Exogenität“
Bei Gültigkeit der Annahme strikter Exogenität und:
• αi = α, ∀i: OLS, erwartungstreu und effizient
• αi ≠ α:
E (α i xit ) = 0 : OLS, erwartungstreu aber ineffizient
GLS konsistent und effizient
„Random Effects“-Modell (αi ist Zufallsvariable)
E (α i xit ) ≠ 0 : OLS, verzerrt
„Fixed Effects“-Modell (αi ist „fixer Effekt“)


2.1.1 „Fixed Effects“-Modell
Traditionell werden αi als fixe Parameter (individual-
spezifische Konstante) modelliert:
(2.1) y i = i α i + X i β + ε i T Beobachtungen für Person i
T ×1 T ×K
n × T Beobachtungen für alle n Personen („balanced panel“)
⎡ y1 ⎤ ⎡i 0 ⋅ ⋅ 0 ⎤ ⎡ α1 ⎤ ⎡ X 1 ⎤ ⎡ ε1 ⎤
⎢y ⎥ ⎢0 i ⋅ ⋅ 0 ⎥ ⎢α 2 ⎥ ⎢ X 2 ⎥ ⎢ε ⎥
⎢ 2⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2⎥
(2.2) ⎢ ⋅ ⎥ = ⎢ ⋅ ⋅ ⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥β + ⎢ ⎥
⎢ ⋅ ⎥ ⎢ ⋅ ⋅ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢yn ⎥
⎣ ⎦ ⎢0
⎣ 0 ⋅ ⋅ i ⎥ ⎢α n ⎥ ⎢ X n ⎥
⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ε n ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ nα1 ⎤
(2.3) y = ⎢ d1 d 2 ⋅ ⋅ dn X ⎥ ⎢ × ⎥+ε
( nT )×1 ⎣ ( nT )×1 ( nT )× K ⎢ β ⎥
( nT )×1 ⎦ ⎣ K ×1 ⎦


(2.4) y = Dα + Xβ + ε , D = [d1 d2 ⋅ ⋅ dn ]
( nT )× n
OLS mit n × T Beobachtungen und K + n zu schätzenden
Parametern: LSDV („least squares dummy variable model“)
Unter Standardannahmen haben OLS-Schätzer für α und β
die üblichen Eigenschaften.
Falls n sehr gross (wie bei Mikro-Panels) direkte Schätzung des
LSDV (Inverse der Matrix [D X]‘[D X] !) nicht möglich:
Transformation der Variablen, so dass fixe Individualeffekte
eliminiert werden, mit Transformationsmatrix ( Übung)
= I − D ( D′D ) D′ := Diagonalmatrix
−1
(2.5) Md
( nT )×( nT )
mit Diagonalelement M 0 = I T − ii ′ / T
Für beliebigen T × 1 Vektor zi gilt: M zi = zi − zi
0

:= Abweichung der Beobachtung vom individuellen Mittelwert


OLS mit transformierten Daten:
(2.6) y it − y i . = β ′ ( x it − x i . ) + ε it − ε i .
ˆ = [ X ′M X ]−1 [ X ′M y ]
(2.7) β d d

Schätzung der individuellen Effekte:
α i = yi . − β ′x i .
ˆ ˆ
(2.8)
ˆ = [ D ′D ] D ′ y − Xβ
α
−1
ˆ ( )
∑∑( )
n T
Schätzung der Varianzen: 2
yit − α i − β′x it
ˆ ˆ
∧
Var ( β ) = s [ X ′M d X ] , s =
2 −1 2 i =1 t =1
(2.9)
nT − n − K
∧ s2 ⎡ ∧
⎤
(2.10) Var (α i ) =
ˆ + ⎢ x i′. Var ( β ) x i . ⎥
T ⎣ ⎦


F-Test auf fixe Effekte:
H0: αi = α, ∀i; H1: αi ≠ α

(2.11) F =
( Ru2 − Rr2 ) / ( n − 1)
n −1, nT − n − K
(1 − Ru2 ) / ( nT − n − K )
2
mit: Rr := Bestimmtheitsmass unter H0
Ru2 := Bestimmtheitsmass unter H1
Erweiterungen:
• Anstatt n Individual-Dummies auch Spezifikation mit (n – 1)
Individual-Dummies und einer allgemeinen Konstanten
• Modifikation falls T über i variiert („unbalanced panel“)
Problem: nicht zufällige Ausfälle
• Fixe Zeiteffekte: zweifache Transformation (Greene, S. 198)
oder – üblicher – Zeitdummies


• Spezialfall: Schätzung erster Differenzen
y it = α i + β ′x it + ε it
y it − y i ,t −1 = β ′ ( x it − x i ,t −1 ) + ε it − ε i ,t −1
Erste-Differenzen Transformation eliminiert FE
OLS-Schätzung des transformierten Modells:
Δ y it = β ′Δ x it + Δ ε it , t = 2, 3,.., T
T = 2: FE− und Δ−Schätzer sind identisch
T > 2:
− FE ist effizienter als Δ−Schätzer, falls εit nicht autokorreliert
− Δ ist effizienter falls εit einem random walk folgt, da dann
Δ ε it = ε it − ε i ,t −1 unkorreliert ist
vgl. dazu Übung und dynamische Modelle und Übung


2.1.2 „Pooled“-, „Within“- und „Between“-Schätzer
Aus dem Regressionsmodell (mit αi = α, ∀i):
(2.12) y it = α + β ′x it + ε it
ergibt sich als Abweichung von den Gruppenmittelwerten:

(2.13) y it − y i . = β ′ ( x it − x i . ) + ε it − ε i .
und bezogen auf die Gruppenmittelwerte:
(2.14) y i . = α + β ′x i . + ε i .
Der Koeffizientenvektor β kann aus jeder der drei Gleichungen
unter bestimmten Annahmen erwartungstreu geschätzt werden.
Die Schätzer unterscheiden sich hinsichtlich der jeweils
genutzten Information und damit der Effizienz der Schätzung.


Abweichungen von den Gesamtmittelwerten x , y
n T
(2.15) S g = xx( x − x )( x − x )′
∑∑ it it
i =1 t =1
n T
(2.16) S xgy = ∑ ∑ ( x it − x )( yit − y )
i =1 t =1

Abweichungen von den Gruppenmittelwerten xi . , y i .
n T
(2.17) S =
w
( x − x )( x − x )′
xx ∑∑ it i. it i.
i =1 t =1
n T
(2.18) S xy = ∑ ∑ ( x it − xi . )( yit − yi . )
w

i =1 t =1

Abweichungen der Gruppenmittelwerte von Gesamtmittelwerten
n
(2.19) S b = T ( x − x )( x − x )′
xx ∑ i. i.
i =1
n
(2.20) S xy = ∑ T ( x i . − x )( yi . − y )
b

i =1


(2.21) S xx = S xx + S xx ,
g w b
S xgy = S xwy + S xy
b

Drei alternative Schätzer für β:
• OLS (pooled)
−1 −1
(2.22) β = ⎡ S ⎦ S
⎣ ⎤ = ⎡ S + S ⎤ ⎡ S xwy + S xy ⎤
g g g w b b
xx xy ⎣ xx ⎦ ⎣ xx ⎦
• Within-Group (LSDV)
−1
(2.23) β = ⎡ S ⎦ S xy
⎤
w w w
⎣ xx

• Between-Group
−1 b
(2.24) β = ⎡ S xx ⎦ S xy
⎣ ⎤
b b

Einsetzen von S xy = S xx β , S xy = S xx β in Formel für β :
w w w b b b g

−1
(2.25) β = F β + F β , F = ⎡ S + S ⎦ S xx = I − F b
⎤
g w w b b w w w b
⎣ xx xx

OLS: gewichteter ∅ aus Within- und Between-Schätzer


2.1.3 „Random Effects“-Modell
(2.26) y it = α + β ′x it + ui + ε it , ui :=„random effect“
E ( ε it | x ) = E ( ui | x ) = 0
E ( ε it | x ) = σ ε2 , E ( ui2 | x ) = σ u2
2

(2.27) E ( ε it u j | x ) = 0, ∀ i , t , j ; E ( ui u j | x ) = 0, ∀ i ≠ j
E ( ε it ε js | x ) = 0, ∀ t ≠ s ∨ i ≠ j
E (ε it x it ) = 0, ∀ k , i , t
E ( ui x it ) = 0, ∀ k , i , t
wit = ui + ε it (Varianzkomponenten)
(2.28)
w = [ w , w ,..., w ]′
i i1 i2 iT

(2.29) E ( wit | x ) = σ ε2 + σ u2 , E ( wit wis | x ) = σ u2 , t ≠ s
2


(
(2.30) E w i w i ′ = Ω )
⎡σ ε2 + σ u
2
σ u2 σ u2 ⋅ ⋅ σ u2 ⎤
⎢ ⎥
⎢ σ u2 σ ε2 + σ u2 σ u2 ⋅ ⋅ σ u2 ⎥
(2.31) Ω = ⎢ ⋅ ⋅ ⎥
( T ×T ) ⎢ ⎥
⎢ ⋅ ⋅ ⎥
⎢ σu
⎣
2
σ u2 σ u2 ⋅ ⋅ σ ε2 + σ u2 ⎥
⎦

= σ ε2 I T + σ u i T i T
2
′

Wegen Unabhängigkeit von i und j, ist die Kovarianzmatrix V für
alle n×T Beobachtungen eine Diagnonalmatrix mit Element Ω :
(2.32) V = In ⊗ Ω
(Tn )×(Tn )


GLS-Schätzung

β′ = ∑ ( X′V Xi ) ( )
n −1
GLS i
-1
Xi′V -1 y i
i =1
Praktisch: Transf. aller Variablen durch Pre-Multiplikation mit:
1 ⎡ θ ⎤ σε
(2.33) Ω − 1/ 2
= ′ mit θ = 1 −
⎢ I − T ii ⎥ ,
σε ⎣ ⎦ T σ u + σ ε2
2

⎡ zi1 − θ zi . ⎤
⎢z −θ z ⎥
⎢ i2 i.
⎥
⎥ , mit zi := { y i , x i }
− 1/ 2 1
(2.34) Ω zi = ⎢ ⋅
σε ⎢ ⎥
⋅
⎢ ⎥
⎢ ziT − θ zi . ⎦
⎣ ⎥
Schätzung des transformierten Modells mit OLS
analog zur FE-Schätzung (DVLS) mit θ = 1


Analog zum OLS-Schätzer ist der GLS-Schätzer ein (anders)
gewichteter Durchschnitt aus Within- und Between-Schätzer:

(2.35)
ˆ ˆ (
β GLS = F w β w + I − F w β b , )
−1 σ ε2
ˆ w = ⎡S w + λ S b ⎤ S w , λ = = (1 − θ )
2
F ⎣ xx xx ⎦
σ ε + Tσ u
xx 2 2

λ ≠ 1: OLS ist ineffizient, da die relative Querschnitts-
(between-group) und Längschnittvariation
(within-group) nicht optimal berücksichtigt wird.
Spezialfälle
• λ = 1 ⇔ σu = 0 :
2
GLS = OLS

• λ = 0 ⇔ σε = 0 :
2
DVLS
⇔T → ∞:


In der Praxis sind die Varianzkomponenten i.A. nicht bekannt,
und müssen daher geschätzt werden
FGLS-Schätzung (Feasible Generalised Least Squares)
Schätzer für die Varianzkomponenten (Greene, 2008, S. 203ff.):
n T

∑ ∑ (e − ei . )
2
it
σ ε2 =
ˆ i =1 t =1
,
nT − n − K
(2.36)
e it − e i . = y it − y i . − β w ′ ( x it − x i . )
σ ε2
e ′ e b σ ε2
ˆ ˆ
σu = σb −
ˆ 2
ˆ 2
= b
−
T n−K T
(2.37)
e ′ = ( e1 , e2 ,.., en ) := Residuen aus between Schätzung
b

Alternativ: Residuen aus pooled Schätzung (Greene, p. 204f.)
Check the computer program!


LM-Test auf Random Effects (Breusch/Pagan-Test)
H 0 : σ u = 0 ⇔ Corr ( wit , wis ) = 0; H 1 : σ u ≠ 0
2 2

( )
2
⎡ n ⎤ 2

nT ⎢ ∑ i =1 ∑ t =1
T
eit ⎥
(2.38) LM = − 1⎥ ~ χ12
2 (T − 1) ⎢ ∑ n ∑ T eit 2
⎢
⎣
i =1 t =1 ⎥
⎦ eit := OLS Resid.
Hausman-Test
H 0 : E ( ui xit ) = 0, ∀ i , t ; H 1 : E ( ui xit ) ≠ 0
Unter H0: FE und RE sind konsistent, FE ist aber ineffizient
Unter H1: FE ist konsistent, RE ist inkonsistent
HT = ( β w − β GLS )′ Σ −1 ( β w − β GLS ) ~ χ K
ˆ 2

(2.39) Σ = Var ( β w − β GLS ) = Var ( β w ) − Var ( β GLS )
ˆ
wegen: Cov ⎡ ( β w − β GLS ) , β GLS ⎤ = 0 (Hausman)
⎣ ⎦
⇒ Cov ⎡ β w , β GLS ⎦ = Var ( β GLS )
⎣ ⎤


**********************************************************
Beispiel: Schätzung von Lohngleichungen mit Paneldaten
Interpretation:
• Koeffizienten von zeitkonstanten
Variablen (educ, black, hispan)
oder kollinearen (exper) Variablen
sind im FE nicht schätzbar
• Da der geschätzte Wert für θ
näher bei 1 als bei 0 liegt, sind
die RE-Koeff. näher bei den
(schätzbaren) FE- als OLS-Koeff.
• Interpretation des union-Koeff.
FE-Schätzer kontrolliert aus
konstanten Individualeffekten
resultierende Selektivität
• Unterschiede zw. FE und RE
θˆ = 0, 643 bei Koeffizienten für married
Anm.: Regr. enthalten Zeitdummies und union sind statistisch nicht
Quelle: Wooldridge, 2003, S. 472. signifikant.
**********************************************************


Erweiterungen
• „Unbalanced Panels“
Verhältnis der Varianzkomponenten variiert über i:
σε
θi = 1 −
Tiσ u + σ ε2
2

und Schätzformel für θ muss entsprechen angepasst werden;
• Heteroskedastie
σε
E (ε 2
) = σ εi , θi = 1 −
2 i

T σ u + σ ε2i
it 2

und Schätzung von σ u , σ ε2i (Greene, 2008, S. 212f.).
ˆ2 ˆ
• Autokorrelation - z.B.: ε it = ρε i ,t −1 + vit
Schätzung von ρ und zweifache Transformation des Modells
( Übung)


RE-Ansatz von Mundlak (1978)
Statt Annahme E ( u i | X i ) = 0, X i := [ x i1 , x i 2 ,..., x iT ] :
E ( ui | X i ) = γ ′x i , Mittelwerte der x-Variable über alle Perioden.
(Alternativ könnte der Indivdiualeffekt auch in Abhängigkeit
kontemporärer Werte von xi und aller lags und leads modelliert
werden (Chamberlain 1982, Wooldridge 2005; siehe unten bei
Panelprobit-Modellen.)
yit = β ′x it + γ ′x i + ε it + ( ui − E ( ui | X i ) )
(2.40)
= β ′x it + γ ′xi + ε it + ui .
Auf der Basis von (2.40) kann mittels eines Wald-Tests
einfach zwischen FE und RE Spezifikationgetestet werden
einfache Alternative zum Hausman-Test.


IV-Schätzung (Hausman / Taylor, 1981)
yit = β ′x it + α ′x i + eit
(2.41) = β1x 1it + β ′ x 2 it + α1x 3i + α ′ x 4 i + ui + ε it
′ 2
′ 2
mit x 1it := K1 zeitvariierende exogene Variable
x 2it := K2 zeitvariierende Variable, mit u korreliert
x 3i := L1 zeitinvariante exogene V.
x 4i := L2 zeitinvariante V., mit u korreliert
β = ( β1 , β 2 ) , α = ( α 1 , α 2 )
E ( ui | x 1it , x 3i ) = 0, E ( ui | x 2 it , x 4 i ) ≠ 0
Var ( ui | x 1it , x 2 it , x 3i , x 4 i ) = σ u 2

Cov ( ε it , ui | x 1it , x 2 it , x 3i , x 4 i ) = 0, ∀ i , t
Var ( ε it + ui | x 1it , x 2 it , x 3i , x 4 i ) = σ 2 = σ ε2 + σ u 2

Corr ( ε it + ui , ε is + ui | x 1it , x 2 it , x 3i , x 4 i ) = ρ = σ u / σ 2 , ∀ t ≠ s
2


Schätzidee:
• Abweichungen von jeweiligen Gruppenmittelwerten sind
gültige IV für x1t, x2t
• Die Gruppenmittelwerte von x1t sind potenzielle IV für x4
• Die Varianzkomponenten für eine GLS-Schätzung können
aus der FE-Schätzung des Modells gewonnen werden:
(2.42) yit − yi = β1 ( x 1it − x1i ) + β′ ( x 2 it − x 2 i ) + ( ε it − ε i )
′ 2

Mehrstufige Schätzung:
1. Berechne aus der Schätzgleichung (2.42) σ ε
ˆ2
2. Berechne aus (2.42) die Gruppenmittelwerte der Residuen:
∗
eit = ei , t = 1,..., T ; i = 1,..., n
IV-Schätzung mit diesem (nT)×1 Residuenvektor als
abhängiger Variabler, x3, und IV x1 für x4: ⇒ α IV
ˆ
Notwendige Bedingung für Identifikation: K1 ≥ L2


3. Die Residualvarianz aus der 2. Stufe ist ein konsistenter
Schätzer für: σ = σ u + σ ε / T
∗2 2 2

σ u2 = σ ∗2 − σ ε2 / T , mit σ ε2 aus 1. Stufe
ˆ ˆ ˆ ˆ
σεˆ
Gewicht für FGLS-Schätzung: θ ˆ =1−
σ ε2 + T σ u2
ˆ ˆ
4. Variablentransformation mit θˆ
w it = w it − θˆw i ,
% w it := {x 1it , x 2 it , x 3i , x 4 i }
yit = yit − θˆ yi
%
IV: z it = ⎡ ( x 1it − x1i ) , ( x 2 it − x 2 i ) , x 3i , x1i ⎤ ,
⎣ ⎦
alle nT Beobachtungen: nT × K +Z + L + K , mit K1 ≥ L2
( 1 K2 1 1 )
(2.43)

( ) = ⎡ ( W ′Z ) ( Z ′Z ) (Z ⎦ ⎣
′W ) ⎤ ⎡ ( W ′Z ) ( Z ′Z ) ( Z ′y ) ⎤
' −1 −1 −1
ˆ ˆ
β, α % % % %
2 SLS ⎣ ⎦


Hausman / Taylor, 1981

(x3)

(x4)

Hausman χ 32 = 7.8


2.1.4 Random Coefficients Models
(2.44) y i = x i β i + ε i , (including a constant)
{
T × ( K +1)

E (εi | xi ) = 0
E ( ε′ε i | x i ) = σ ε2 I T ,
i (assume T > K)
(2.45) βi = β + ui ,
{
( K +1)×1
E ( u i | x i ) = 0,
E (u i u′ | x i ) =
i Γ
{
( K +1)×( K +1)
(If only the constant term is random RE model specification)
(2.46) y i = xi βi + ( ε i + xi u i ) ,
with Ωii = E[( y i − xi βi )( y i − xi βi )′ | xi ] = σ ε2 IT + xi Γx′
i


The GLS estimator is:
n
= ( X′ΩX ) X′Ω y = ∑ Wi βOLS ,
−1 −1
(2.47) ˆ
β GLS ˆ
i
i =1
with Ω := block-diagonal matrix with diag. element Ωii
−1
⎡
( )
−1 −1 ⎤ ⎡ −1 −1
n
Wi = ⎢ ∑ Γ + σ ε2 ( x′xi ) ⎥ ⎣ Γ + σ ε ( x′ x i ) ⎤
2

⎣ i =1
i
⎦
i
⎦
According to Swamy (1971), an estimate of the matrix Γ may
be obtained based on the estimated n OLS coefficient vectors;
also see Greene (2008, p. 224).
Efficient estimates of group specific (individual) coefficient
vectors are weighted averages of the GLS estimator and the
group specific OLS estimators (Greene, 2008, p. 224).
The Random Coeff. model can be tested against the Pooled
OLS model based on a χ2- test (Greene, 2008, p. 224).


Example: State-level productivity regressions
Continental (48) U.S. states, 1970-1986, Cobb-Douglas production function:
ln gspit = α + β1 ln pcit + β 2 ln hwyit + β 3 ln waterit + β 4 ln utilit
+ β 5 ln empit + β 6unemp + ui + ε it , where:
gsp := gross state product
p_cap := private capital
hwy := highway capital
water := water utility capital
util := utility capital
emp := employment
unemp := unemployment rate

Source: Greene (2008, S. 225)


Example cont.: Distribution of β2 coefficient - histogram

Source: Greene (2008, S. 225)
In theory, both estimators should be consistent under the
maintained model assumptions!


2.1.5 Models for Repeated Cross Sections
Individual data from independent cross sections are treated as
cohort data.
A cohort is defined as group of units with fixed membership,
i.e. an age cohort.
In large successive samples (like the German Microcensus or
the Income and Expenditure Survey), random samples of
members of each cohort will be generated.
Unit of regression analysis: time series of sample averages of
cohorts (pseudo panels). Here we focus on static pseudo panel
models.
At the individual level, the model is:
(2.48) yit = α i + x it β + ε it ,
with the usual strict exog. assumption E(xituis)=0, ∀ t,s; t=1,...T


Each unit belonging to some cohort, c, is assumed to be
observed in one period only. The model for the cohort
population is (* for population):
(2.49) y = α + x β + ε , with
*
ct
*
c
*
ct
yct = E ( yit | i belongs to c ) etc.
* *
ct

Assuming a stationary population, the cohort fixed effect, α c ,
*

x*
is constant over time, but will be correlated with ct
if the individual-level counterparts in (2.48) are correlated.
Population means are not observed, but are estimated by
cohort-time averages leading to the model:
(2.50) yct = α c + x ct β + ε ct , c = 1,..., C ; t = 1,..., T
Using these averages instead of unobserved population means
Introduces measurement error in both dependent and explanatory
variables.


Exkurs: Messfehler in erklärenden Variablen
y i = β 0 + β 1 xi*1 + ui
xi*1 := (unbeobachbarer) „wahrer“ Wert der Variablen
xi1 := mit Fehler beobachteter Wert der Variablen
ei1 = xi1 − xi*1 := Messfehler
mit E ( e1 ) = 0, Var ( e1 ) = σ e1 , Cov ( x1 , e1 ) = 0
2 *

Cov ( x1 , e1 ) = E ( x1e1 ) = E ( x1 e1 ) + E ( e12 ) = σ e21
*

y = β 0 + β 1 x1 + ( u − β 1e1 )
mit Cov ( x1 , u − β 1e1 ) = − β 1Cov ( x1 , e1 ) = − β 1σ e2
1

ˆ OLS = β + Cov ( x1 , u − β 1e1 )
p lim β 1( ) Var ( x1 )
1

⎣ ( (
= β1 ⎡1 − σ e21 / σ x* + σ e21
⎢
2
1
)) ⎥
⎦ 1
⎣ x1 x1 (
⎤ = β ⎡σ 2* / σ 2* + σ 2 ⎤
e1
⎦ )


If measurement errors are small due to the large number of
observations per cohort (nc = N/C ∞), they can be ignored (if
there are no time effects in εit, see Verbeek 1992)
(2.50) can be estimated by the FE-estimator (within-
transformation of cohort means).
If measurement errors cannot be neglected:

• Measurement Error Estimator (Deaton, 1985)
⎛ yct − yct ⎞ iid ⎛ ⎛ 0 ⎞ ⎛ σ 00 σ ' ⎞ ⎞
*
(2.51) ⎜ * ⎟
~ N ⎜ ⎜ ⎟;⎜ ⎟⎟,
⎝ x ct − x ct ⎠ ⎝⎝0⎠ ⎝ σ' Σ ⎠⎠
with population means treated as unknown constants.
These variances and covariances can be estimated consistently
on the basis of the individual data for large N (or T, or both).


Estimation idea: Adjust the moments in the within estimator
using estimated error variances to eliminate measurement error:
−1
⎛ 1 C T
T −1 ˆ ⎞
βD = ⎜
ˆ
∑∑( x ct − x c )′ ( x ct − x c ) − Σ⎟
(2.52) ⎝ CT c =1 t =1 T ⎠
⎛ 1 C T ′ ( y − y ) − T − 1σ ⎞
×⎜ ∑ ∑ ( xct − xc ) ct c T ˆ ⎟
⎝ CT c =1 t =1 ⎠
Note: In the Deaton article (T-1)/T :=1, irrelevant for large T.
If nc ∞, measurement errors and both Σ and σ 0;
Errors-in-variables estimator (2.52) is asymptotically equivalent
to the within-estimator applied to cohort-time averages in (2.50):
−1
⎛ 1 C T
⎞
βW = ⎜
ˆ
∑∑( x ct − x c )′ ( x ct − x c ) ⎟
(2.53) ⎝ CT c =1 t =1 ⎠
⎛ 1 C T ′ (y − y )⎞
×⎜ ∑ ∑ ( xct − xc ) ct c ⎟
⎝ CT c =1 t =1 ⎠


• IV Estimator (Moffitt, 1993, Collado, 1997)
yct = yct + ξ ct
*
(2.53)
x ct = xct + ζ ct
*

Inserting (2.53) into (2.49):
yct − ξ ct = α c + ( x ct − ζ ct ) β + ε ct
* *

(2.54)
yct = α c + x ct β + ω ct , ω ct = ε ct − ζ ct β + ξ ct
* *

First-differencing (2.54) eliminates the population cohort
fixed effect:
(2.55) Δ yct = Δ x ct β + Δ ω ct , t = 2,..., T
Due to measurement error, E ( Δ x ct Δ ω ct ) ≠ 0
Potential IV: lagged levels of exogenous variables, x c ,t −1

Kap2 1

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Destaque

Destaque (20)

Semelhante a Kap2 1

Semelhante a Kap2 1 (12)

Kap2 1