Este documento presenta conceptos básicos de vectores y rectas en el plano. Introduce vectores como segmentos dirigidos con magnitud y dirección. Explica cómo representar vectores mediante coordenadas cartesianas y define operaciones vectoriales como suma, resta y multiplicación por escalares. También define rectas en términos de pendiente, ecuaciones paramétricas y analíticas, y explica cómo determinar si rectas son paralelas o perpendiculares.

1. MATEMÁTICAESCUELA DE INGENIERÍA CIVILRECTAS EN EL PLANO TEMA: VECTORES Y RECTAS EN EL PLANO Ing : DANIEL IRENE

2. 1.1 Vector en el plano Las aplicaciones matemáticas con frecuencia se relacionan con magnitudes que poseen tanto cantidad como dirección. Definición.-Los físico e ingenieros entienden como vector un segmente rectilíneo dirigido, y las magnitudes que poseen cantidad dirección se denominan magnitudes vectoriales. En contraste, una magnitud que tiene cantidad pero no dirección se llama magnitud escalar. (2,3)(h+2, k+3) (h , k)

3. Coordenadas Cartesianas El producto cartesiano AXB (A cruz B) de los conjuntos A y B se define como el conjunto de todos los pares ordenados (x,y) en los cuales la primera componente x, es elemento de A y la segunda componente, y, es elemento de B. Por definición el producto cartesiano es: Las rectas perpendiculares divididas en segmentos numerados que aparecen en la Fig.1-2 se llaman ejes de los sistemas de coordenadas, y su punto de intersección, O, se llama el origen del sistema de coordenadas. Las cuatro regiones en que los ejes de coordenadas dividen al plano se llaman cuadrantes y se numeran I, II, III, IV como se muestra en la Fig.

5. Puesto que un par ordenado de números reales (x,y) se puede emplear para determinar una traslación en el plano, a un par ordenado se le llama frecuentemente vector. La representación geométrica de un vector (x,y) es una flecha o un segmento de recta dirigido, en el plano; la flecha se llama vector geométrico. La flecha asociada con (x,y) que tiene su punto inicial en el origen se le llama representación ordinaria y se dice que tiene una posición ordinaria y u o x

6. 1.1.1 Componentes de un vector: (Origen, modulo, dirección y sentido) En un segmento de recta dirigidoPQ que tiene como punto inicial P y como punto final Q, su Longitud,Magnitud o Módulo se representa Punto Final Q Punto Iniicila P

7. Un vector en el plano es un par ordenado de números reales (x,y). Los números x e y son las componentes del vector (x,y). De esta definición, dos vectores y son iguales si y sólo si y 1.1.1 Componentes del vector. Módulo o magnitud (norma) de v Definición.- El módulo de un vector a, denotado por , es la longitud de cualquiera de sus representaciones. Teorema: Si A es el vector ,entonces Ángulo Director Definición.- El ángulo director de cualquier vector diferente del vector 0 es el ángulo  medido desde la parte positiva del eje x en el sentido contrario al giro de las manecillas del reloj hasta la representación de posición del vector 1.1 Vector en el plano

8. 1.1.2 Operaciones Vectoriales Fundamentales Suma de vectores Definición.-Para sumar dos vectores por la regla del paralelogramo, se trazan paralelas a cada uno de los vectores, y la resultante será la recta trazada desde el punto de origen de los dos vectores hasta la intersección de las paralelas. Teorema: La suma de los vectores A= y B=es el vector A+B definido por

9. En general véase la Fig.2 una traslación a lo largo de cualquier flecha que represente al vector V1=(x1,y1) seguida de una traslación del punto final de esta flecha a lo largo del flecha que representa al vector V2=(x2,y2) produce como resultado una traslación total, correspondiente al vector (x1+x2,y1+y2) Esto nos permite definir la adición de dos vectores de la siguiente manera:

11. 1.1.2.1.PROPIEDADES DE LA ADICION DE VECTORES Si u, v y s son vectores en R2, entonces: Cerradura Conmutatividad Asociatividad Idéntico aditivo Inverso aditivo Otras propiedades, siendo c y d escalares, entonces:

12. Producto interno de vectores Si u y v son vectores no nulos y u es perpendicular a v, entonces u, v, y u-v (el vector que va de u a v) tienen representaciones geométricas que forman un triángulo rectángulo. Figura Aplicando el teorema de Pitágoras a este triangulo, se tiene: La expresión ocurre con tanta frecuencia cuando se trabaja con vectores (no solamente con vectores perpendiculares) que se le da nombre, y se le asigna un número especial. Se llama producto interno, producto punto o a veces producto escalar de los dos vectores . Es decir se tiene la siguiente definición.

14. Propiedades del producto interno Si u, v son vectores de R2 y r es un escalar tenemos:

15. Angulo formado por dos vectores Existe otro método para determinar si dos vectores son paralelos o no, que es sencillo, y se aplica a cualquier vector incluyendo al vector cero. Este método emplea el producto interno.

17. DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES Espacio vectorial Definición.- Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos, llamados vectores , junto con el conjunto de números reales , denominados escalares, con dos operaciones llamadas adición vectorial y multiplicación por un escalar. Vectores unitarios Definición.-Debido a que el módulo de cada uno de los vectores (1,0) y (0,1) es una unidad, se les conoce como vectores unitarios. A continuación se presenta la notación para estos dos vectores unitarios. El número de elementos de una base de un espacio vectorial se denomina dimensión del espacio vectorial. Por lo tanto es un espacio vectorial de dos dimensiones (bidimensional). y x

18. Componentes escalares: Componentes vectoriales

20. A.B = 0 B.C = (4,-1,3) (1, 2,3) BC= 4-2+9 BC= 11 A.C = (0, 0, 0) (1, 2, 3) AC= 0

21. 1.2 Geometría Analítica Definición.- L a geometría analítica estudia la relación que existen entre el algebra y la geometría como consecuencia de la asociación de números con puntos y de ecuaciones con figuras geométricas . Los primeros intentos sistemáticos hechos sobre este tema fueron ´publicados por René Descartes en 1637 1.2.1 COORDENADAS RECTANGULARES Definición.-A cada punto de un plano leamos una pareja de números llamados coordenadas. Estas coordenadas son simplemente distancias dirigidas desde un punto a dos rectas fijas, una de ellas horizontal, llamada eje x, y la otra llamada eje y. El punto de intersección de los ejes se llama origen , y se representa por la letra O.

22. 1.2 Geometría Analítica 1.2.2 SEGMENTOS DIRIGIDOS Definición.- Desde el punto de vista de la geometría analítica , un segmento de recta empieza en un punto y termina en otro SEGMENTOS HORIZONTALES Y VERTICALES Definición.- Si el segmento que une dos puntos es horizontal , las ordenadas de ambos puntos son iguales , y recíprocamente.

24. Cuando los puntos están sobre una recta vertical.

27. 1.2.2 Segmentos Dirigidos 1.2.2.4 Pendiente Definición.-La pendiente de una recta, es la tangente de su ángulo de inclinación, se la denota por m; por lo tanto: Si conocemos el ángulo de inclinación podemos determinar su pendiente y viceversa.

29. Varias rectas son paralelas, si tienen la misma pendiente, y si varias rectas tienen la misma pendiente, entonces son paralelas.

31. 1.2.2.6 Área de un Triángulo Para determinar el área de un triángulo, se lo encuentra mediante el desarrollo de un determinante de tercer orden, que generalmente se escribe de la siguiente forma: O simplemente, se utiliza lo mismo para diferentes polígonos. 1.2.2 Segmentos Dirigidos

32. Ejercicios de Aplicación Encontrar la tangentes de los ángulos de un triangulo cuyos vértices son A(4,1),B(-1,3) Y C(-5,-2) Tan A= Tan B= Tan C=

33. Ejercicios de Aplicación Demostrar que las rectas que unen los puntos medios de lados consecutivos de un cuadrilátero forman un paralelogramo. Supóngase que consecutivos de un cuadrilátero forman un paralelogramo. Supóngase que los vértices son (0,0), (a,0),(b,c) y (d,e)

34. RECTAS EN EL PLANO Ecuaciones Vectoriales de la recta Rectas y segmentos de recta en el plano

35. Fig. 2 - 5

36. SISTEMA DE ECUACIONES PARAMÉTRICAS CARTESIANAS Si se escribe la ecuación paramétrica vectorial ordinaria de la recta que pasa por S y T, en términos del parámetro r y de las coordenadas S,T,U se tiene

37. PUNTOS QUE ESTÁN SOBRE UNA RECTA Cualquier vector no nulo v que sea paralelo a L se llamará vector de dirección de L.

39. PENDIENTE DE UNA RECTA; RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES La pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo, y se la designa mediante la letra m.

41. L1 y L2 son perpendiculares si y sólo si (1,m1) y (1,m2) son perpendiculares, es decir si y sólo si

42. ECUACIONES CARTESIANAS EN LA RECTA Forma cartesiana ordinaria de la ecuación de la recta La ecuación de la recta en el plano es: Cualquier vector no nulo que sea perpendicular al vector de dirección de una recta L es un vector normal a L.

43. Si apreciamos en la gráfica A y B representa números reales, uno de los cuales es diferente a cero. Si U (x,y) es cualquier punto del plano, entonces U está sobre L si y sólo si u – s es paralelo a L, es decir, si y sólo si u – s es perpendicular a n. O bien Ecuación punto y pendiente, y ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados. Ecuación de la recta en su forma punto-pendiente Por la definición de la recta tenemos:

45. ECUACIÓN DE LA RECTA EN SU FORMA PENDIENTE-ORDENADA AL ORIGEN Por la definición de recta:

46. Si la abscisa al origen de una recta L es a y su ordenada al origen es b, con a ≠ 0 y b ≠ 0, se pueden emplear las coordenadas de los puntos de intersección de la recta L con los ejes (a,0) y (0,b), y por ecuación cartesiana de L que por dos puntos dados. Si multiplicamos ambos miembros por 1/ab, tenemos: Esta es la ecuación punto y pendiente de ordenada y abscisa al origen de la recta L.