Matematicas 4o

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

MATEMÁTICAS 4º BACHILLERATO

LIBRO DE APOYO:

Ciclo 2009-2010

Compilador:
Fis. Nicolás Mondragón Vega

COLEGIO ESTEFANIA FIS. Nicolás Mondragón Vega 2

PRESENTACIÓN:

El material de este libro está diseñado para facilitar el trabajo en
el aula, donde se sugiere:

a) La enseñanza sea constructiva, es decir significativa y basada en los
conocimientos previos del alumno.

b) Se fundamenta en el manejo de competencias,
Particularmente: Fundamentar sus juicios y resolver problemas

c) Distribución de tiempo:

a. Inducción 5 minutos
b. Introducción 5 minutos
c. Desarrollo de concepto 10 min.
d. Desarrollo 30 minutos Ejemplos y analogías 5 min.
e. Ejercicios supervisados 15 min.
f. Cierre y conclusión 5 min.
g. Tarea 5 minutos

TIPO DE EJERCICIOS

MARCA CARACTERISTICAS
1.- EJERCICIOS BÁSICOS
*1.- DIFICULTAD MEDIA
**1.- AVANZADOS

2


INDICE
UNIDAD SUBTEMA PÁGINA
1. conjuntos 1.1 Notación de conjuntos
1.2 Unión de conjuntos
1.3 Interseccion de conjuntos 4
1.4 Conmplemento de un conjunto
1.5 Diagrama de Venn
1.6 Producto Cartesiano
2. numeración 2.1 Sistema Decimal
2.2 Sistema Binario
2.3 Sistema Octal
2.4 Sistema Hexadecimal 17
2.5 Conversiones
2.6 Sistemas Aditivos
2.7 Sistemas Posicionales
3. Campo de los números reales 3.1 axiomas de campo de los
números reales
3.2 Propiedades de los números 22
reales
4. Operaciones con monomio y 4.1 Reducción de términos
polinomios semejantes
4.2 Suma y resta de Polinomios 24
4.3 Producto de Polinomios
4.4 División de polinomios
5. Productos notables y 5.1. Binomio al cuadrado
factorización 5.2 Binomios conjugados
5.3 Binomios con término común
5.4 factor común monomio
5.5 factor común polinomio
5.6 factor común agrupación 36
5.7 Trinomio cuadrado perfecto
5.8 Diferencia de cuadrados
5.9 Diferencia y suma de cubos
5.10 Trinomio forma x2 + bx +c
5.11 Trinomio forma ax2 + bx +c
6. Operaciones con fracciones 6.1 Simplificación de fracciones
algebraicas 6.2 Producto de fracciones
6.3 División de fracciones 53
6.4 Suma y resta de fracciones
6.5 Combinación de operaciones
6.6 Fracciones complejas
7. ecuaciones y desigualdades 7.1 Ecuaciones lineales
7.2 Ecuación de 2º grado con 1
incógnita 64
7.3 Ecuaciones con radicales
7.4 Problemas con palabras
8. Sistemas de ecuaciones y 8.1 Sistemas de 2 ecs. Con 2
desigualdades incógnitas
8.2 sistemas de 3 ecs. Con 3
incógnitas 76
8.3 Sistemas cuadrático lineal
8.4 Desigualdades simples
8.5. sistemas de desigualdades
8.6 Desigualdades cuadráticas
BIBLIOGRAFIA

3


1.- CONJUNTOS

1.1 Notación de conjuntos

4


Ejercicio 1.1
Escriba por comprensión o extensión
a) A = (a,e,i,o,u)

b) B = ( 2,4,6,8,10 ….)

c) C = ( 1,4,9,16,…)

d) D= ( …2,4,6,8,10)

e) E = ( …-3,-1,1,3,5,7…)

f) A = ( x/x es par)

g) B = ( x/x ε Naturales x< 8)

h) C = (x/x ε Naturales x > 8)

i) D = ( x/x ε Naturales 4< x < 12)

j) E = [x / x ε enteros − 5 ≤ x ≤ 13] )

5


6


1.2. Problemas sobre conjuntos

Ejercicio 1.2
a) Encuentra la cardinalidad del conjunto que consta de los números enteros mayores que -2 y
menores que 11.

b) Si A= {3, 4.5, 15, 7/8} y B = {-3, 15, 4.5}. Probar que B c A.

c) Si A= {1,2/1, 1/3, 3/2} y B= {2/3, 3/2, 1, ¼, ½, 5/2, -1}. Encontrar B/A.

d) Juan, José, Luis, Mario, Alfredo, Rubén, Roberto, Bruno, Adrián, Fernando, Daniel y Andrés estudian
en el mismo grupo. De ellos, Juan, Luis, Mario, Rubén y Roberto practican natación. José, Mario, Alfredo
Roberto, Bruno y Andrés juegan fútbol. ¿Cuáles niños hacen deporte?

e) Los miembros del consejo de seguridad de la ONU durante 1997 son Japón, Kenia, Polonia,
Portugal, República de Corea, Federación Rusa, Suecia, Reino Unido, Estados Unidos de Norteamérica,
Chile, China, Costa Rica, Egipto, Francia y Guinea-Bissau. De ellos Federación Rusa, Reino Unido,
Estados Unidos de Norteamérica, China y Francia son miembros permanentes. Por otra parte, Portugal,
Chile, Coste Rica, Francia y Guinea-Bissau tienen por idioma oficial una lengua romance. ¿Qué países
son miembros permanentes y tienen una lengua romance por idioma?

1.2 Unión de conjuntos

EJERCICIOS 1.3.

1.- Sean A ={1,2,3,4}; B ={2,4,6,8}; C ={3,4,5,6}

Hallar a).- A U B; b).- A U C; c).- B U C; d).- B U B

7


2.- Dado el conjunto A = {6,2,8,4,3} encontrar todos los subconjuntos de A que se puedan construir con
sus elementos, es decir el conjunto potencia. 2A

3.- ¿A quien se le considera el padre de la Teoría de Conjuntos ?

4.- ¿Cuál es la diferencia entre teorema y axioma?

5.- ¿Qué es un conjunto?

6.- Define la intersección entre conjuntos.

7.- ¿Cuál es la diferencia entre una intersección y una unión?

8.- ¿Cuál es la diferencia entre complemento y diferencia de conjuntos?

8


9.- ¿Cuál es conjunto formado por la intersección de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}?

10.- Representa la unión de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}

11.- ¿Cuál es la intersección de los siguientes conjuntos:

A= {l, u, n, a} y B= {t, r, i, u, n, f, o}

12.- Obtener la diferencia AB si A= {c, o, r, a, z, n} y B={h, i, p, e, r, t, n, s, o}

1.4 Conmplemento de un conjunto Diagrama de Venn

EJERCICIOS 1.4 Nivel II

*1.-Dado ¿qué afirmaciones son correctas y por qué?

(1) (2) (3)

2.- ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacíos, unitarios, finitos, infinitos?

a) A = { x I x es día de la semana}

b) B = { vocales de la palabra conjunto}

9


c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .}

d) D = {x I x es un número par}

e) E = {x I x < 15}

f) F = {x I es la solución de y(x)=IxI }

*3.- Demuestre que

**4.-Demuestre las leyes de De Morgan:

a)

b)

10


**5.-Demuestra las propiedades asociativas siguientes:

**6.- En el diagrama de Venn que sigue rayar,

(1) ; (2)

EJERCICIOS 1.5 NIVEL III

1.-. ¿Qué es un conjunto numerable?

11


2.- ¿Cuál es la diferencia entre conjunto numerable y conjunto contable?

3.- Demuestra que el conjunto Z, números enteros es numerable

4.- Demuestra que el conjunto de los números irracionales forman un conjunto contable.

5.- Demuestra que cualquier subconjunto de un conjunto finito es finito.

* 6.- En la ciudad de Santiago se realizó una encuesta, sobre la preferencia de consumo de carnes y los
resultados fueron los siguientes: 90% consumen carne de vacuno, el 85% comen carne de cerdo, el 78%
comen pescado y el 75% comen pollo. ¿Qué porcentaje mínimo de personas consumen los 4 clases de
carnes?

*7.- En una encuestas que se realizo en santiago se observo que el 70 % de las personas consumen
pollo , el 70 % consumen carne de res y 70% consumen pavo ¿Cual es el mínimo de personas que
consumen los tres productos?

*8.- En una reunión, 30 personas toman agua mineral y 48 toman gaseosas, 5 personas prefieren no
tomar ninguna de estas bebidas. ¿Cuántas personas asisten a la reunión si 16 bebieron ambas bebidas?
¿Cuántas personas estuvieron en la reunión? ¿Cuántas personas bebieron sólo agua mineral?
¿Cuántas personas bebieron sólo gaseosa? ¿Cuántas personas bebieron una sola bebida?

12


*9.- En una sala hay 30 varones. 8 mujeres de Valparaíso, 40 son de Santiago y el número de mujeres
de Santiago exceden en 12 al número de mujeres de Valparaíso. ¿Cuánto estudiantes hay en esta sala?

*10.- Un grupo de jóvenes fue entrevistado sobre sus preferencias por ciertos medios de transporte
(bicicleta, moto y auto). Los datos de la encuesta fueron los siguientes:

Moto solamente: 5
Moto: 38
No gustan de auto: 9
Moto y bicicleta, pero no auto: 3
Moto y auto pero no bicicleta: 20
No gustan de bicicleta: 72
Ninguna de las tres cosas: 1
No gustan de la moto: 61
(a) ¿Cuál fue el número de personas entrevistadas?
(b) ¿A cuántos le gustaba la bicicleta solamente?
(c) ¿A cuántos le gustaba el auto solamente?
(d) ¿A cuántos les gustaba las tres cosas?
(e) ¿A cuántos le gustaba la bicicleta y el auto pero no la moto?

*11.- En un avión hay 100 personas de las cuales 50 no fuman y 30 no beben.
¿Cuántas personas hay que fuman y beben, sabiendo que hay 20 personas que solamente fuman?

*12.- Una encuesta sobre 200 personas acerca del consumo de tres productos A, B y C reveló los
siguientes datos:

13


126 personas consumían C.
124 personas no consumían A.
36 personas no consumían A ni B.
170 personas consumían por lo menos uno de los tres productos.
60 personas consumían A y C.
40 personas consumían los tres productos.
56 personas no consumían B.
¿Cuántas personas consumían solamente B?
¿Cuántas personas consumían A y B?
¿Cuántas personas consumían solamente

Ejercicios 1.6 Propuestos de Conjuntos

3. En un Instituto universitario hay 14 estudiantes que siguen al mismo tiempo los cursos de francés e
inglés, hay 16 que estudian francés, 27 que estudian inglés y 7 no estudian idiomas. Halle el número
de estudiantes que estudian en el instituto. Sugerencia: Represente los conjuntos en un diagrama de
Venn.

4. Un conjunto formado por 250 personas presentó una prueba formada por tres preguntas. Luego de
la corrección, se obtuvieron los siguientes resultados: 27 respondieron correctamente las tres
preguntas, 31 respondieron correctamente sólo la primera y la segunda pregunta, 32 respondieron
correctamente sólo la primera y la tercera pregunta, 15 respondieron correctamente sólo la segunda y
la tercera pregunta, 134 respondieron correctamente la pregunta 1, 87 respondieron correctamente la
segunda pregunta y 129 respondieron correctamente la pregunta tres. Con la ayuda del diagrama de
Venn calcule el número de personas que no respondió correctamente ninguna pregunta.

5. El departamento de estadística de una empresa realiza una encuesta entre 250 empleados con el
fin de adoptar un plan de pensiones diseñado por el departamento. Los resultados se recogen en la
siguiente tabla:

Utilizando las siguientes notaciones:
S: Conjunto de empleados que contestaron a favor

14


N: Conjunto de empleados que contestaron en contra
C: Conjunto de capataces
D: Conjunto de trabajadores eventuales
T: Conjunto de trabajadores supernumerarios
F: Conjunto de trabajadores fijos
Determinar el número de empleados de:

8. Escriba en notación por comprensión los siguientes conjuntos:
a. El conjunto de los días de la semana
b. El conjunto de los números reales mayores que cuatro
c. El conjunto consistente de pares ordenados de números reales, donde el primer componente
es dos veces el segundo componente
d. Diga si los conjuntos anteriores son o no contables. Justifique su respuesta

9. ¿El conjunto de los enteros impares divisibles por 4 puede ser representado en general por que
conjunto?

10. Identifique los conjuntos representados en los siguientes diagramas de Venn

15


16


2. SISTEMAS DE NUMERACION

2.1 SISTEMA DECIMAL

Su origen lo encontramos en la India y fue introducido en España por los árabes. Su base es
10.
Emplea 10 caracteres o dígitos diferentes para indicar una determinada cantidad: 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9. El valor de cada símbolo depende de su posición dentro de la cantidad a la que
pertenece. Veámoslo con un ejemplo:

13610 = 1 ⋅ 10 2 + 3 ⋅ 101 + 6 ⋅ 10 0

136,4210 = 1 ⋅10 2 + 3 ⋅101 + 6 ⋅10 0 + 4 ⋅10 −1 + 2 ⋅10 −2

2.2 SISTEMA BINARIO

Es el sistema digital por excelencia, aunque no el único, debido a su sencillez. Su base es 2
Emplea 2 caracteres: 0 y 1. Estos valores reciben el nombre de bits (dígitos binarios). Así,
podemos decir que la cantidad 10011 está formada por 5 bits. Veamos con un ejemplo como
se representa este número teniendo en cuenta que el resultado de la expresión polinómica
dará su equivalente en el sistema decimal:

100112 = 1⋅10 4 + 0 ⋅103 + 0 ⋅10 2 + 1⋅101 + 1⋅10 0 = 1910

2.3 SISTEMA OCTAL

Posee ocho símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Su base es 8.
Este sistema tiene una peculiaridad que lo hace muy interesante y es que la conversión al
sistema binario resulta muy sencilla ya que, 8 = 23 . Así, para convertir un número de base 8 a
binario se sustituye cada cifra por su equivalente binario en el apartado 1.5. Conversiones se
estudiará esta conversión.

2.4. SISTEMA HEXADECIMAL.

Está compuesto por 16 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Su base es 16. Es
uno de los sistemas más utilizados en electrónica, ya que además de simplificar la escritura de
los números binarios, todos los números del sistema se pueden expresar en cuatro bits binarios
al ser 16 = 24. La conversión de un número hexadecimal a uno binario es muy sencilla al igual
que en el sistema octal, profundizaremos en ello en el apartado 1.5.

2.5. CONVERSIONES

CONVERSIÓN ENTRE BINARIO Y DECIMAL

Si la conversión es de binario a decimal, aplicaremos la siguiente regla: se toma la cantidad
binaria y se suman las potencias de 2 correspondientes a las posiciones de todos sus dígitos
cuyo valor sea 1. Veamos dos ejemplos:

1011112 = 1.25+0.24+1.23+1.22+1.21+1.20 = 4510

101012= 1.24+0.23+1.22+0.21+1.20 = 2110

17


Si la conversión es de decimal a binario, aplicaremos la siguiente regla: se toma la cantidad
decimal dada y se divide sucesivamente entre 2. Los restos obtenidos en cada división (0, 1),
forman la cantidad binaria pedida, leída desde el último cociente al primer resto. Se
presentaran los ejemplos en forma de tabla debido a la dificultad que supone utilizar el sistema
tradicional de división con el editor:

Ejemplo: 55,358

Resultado: 101 101, 011 1012

Si la conversión es de binario a octal se realiza de modo contrario a la anterior conversión,
agrupando los bits enteros y los fraccionarios en grupos de 3 a partir de la coma decimal. Si no
se consiguen todos los grupos de tres se añadirán, los ceros que sean necesarios al último
grupo, veámoslo con un ejemplo:

Ejercicios
2. 1.- realice las siguientes transformaciones
a) (234)8 = ( )10

b) (220)2 = ( ) 10

c) (1010)2 = ( ) 10

d) (1010)2 = ( ) 16

e) (101AE)16 = ( ) 10

f) (100)10 = ( )2

2.6 Sistemas Aditivos
Para ver cómo es la forma de representación aditiva consideremos el sistema jeroglífico
egipcio. Por cada unidad se escribe un trazo vertical, por cada decena un símbolo en forma de
arco y por cada centena, millar, decena y centena de millar y millón un jeroglífico específico.
Así para escribir 754 usaban 7 jeroglíficos de centenas 5 de decenas y 4 trazos. De alguna
forma todas las unidades están físicamente presentes. Los sistemas aditivos son aquellos que
acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas como sean necesarios hasta completar
el número. Una de sus características es por tanto que se pueden poner los símbolos en
cualquier orden, aunque en general se ha preferido una determinada disposición. Han sido de
este tipo las numeraciones egipcia, sumeria (de base 60), hitita, cretense, azteca (de base 20),
romana y las alfabéticas de los griegos, armenios, judíos y árabes.

El Sistema de Numeración Egipcio
Desde el tercer milenio AC. Los egipcios usaron un sistema de escribir los números en base
diez utilizando los jeroglíficos de la figura para representar los distintos órdenes de unidades.

18


Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de
izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según
el caso.

Al ser indiferente el orden se escribían a veces según criterios estéticos, y solían ir
acompañados de los jeroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros,
vasijas etc.) cuyo número indicaban. En la figura aparece el 276 tal y como figura en una estela
en Karnak. Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al imperio romano.
Pero su uso quedó reservado a las inscripciones monumentales, en el uso diario fue sustituido
por la escritura hierática y demótica, formas más simples que permitían mayor rapidez y
comodidad a los escribas. En estos sistemas de escritura los grupos de signos adquirieron una
forma propia, y así se introdujeron símbolos particulares para 20, 30....90....200, 300.....900,
2000, 3000...... con lo que disminuye el número de signos necesarios para escribir una cifra.

2.7. Sistemas de Numeración Posicionales
Mucho más efectivos que los sistemas anteriores son los posicionales. En ellos la posición de
una cifra nos dice si son decenas, o centenas o en general la potencia de la base
correspondiente. Sólo tres culturas además de la Hindú lograron desarrollar un sistema de este
tipo. Babilonios, chinos y mayas en distintas épocas llegaron al mismo principio. La ausencia
del cero impidió a los chinos un desarrollo completo hasta la introducción del mismo. Los
sistemas babilónico y maya no eran prácticos para operar porque no disponían de símbolos
particulares para los dígitos, usando para representarlos una acumulación del signo de la
unidad y la decena. El hecho que sus bases fuesen 60 y 20 respectivamente no hubiese
representado en principio ningún obstáculo. Los mayas por su parte cometían una irregularidad
a partir de las unidades de tercer orden, ya que detrás de las veintenas no usaban 20x20=400
sino 20x18=360 para adecuar los números al calendario, una de sus mayores preocupaciones
culturales. Fueron los Hindúes antes del siglo VII los que idearon el sistema tal y como hoy lo
conocemos, sin más que un cambio en la forma en la que escribimos los nueve dígitos y el
cero. Aunque con frecuencia nos referimos a nuestro sistema de numeración cómo árabe, las
pruebas arqueológicas y documentales demuestran el uso del cero tanto en posiciones
intermedias como finales en la India desde el s. Los árabes transmitieron esta forma de
representar los números y sobre todo el cálculo asociado a ellas, aunque tardaron siglos en ser
usadas y aceptadas. Una vez más se produjo una gran resistencia a algo por el mero hecho de
ser nuevo o ajeno, aunque sus ventajas eran evidentes. Sin esta forma eficaz de numerar y
efectuar cálculos difícilmente la ciencia hubiese podido avanzar.

El Sistema de Numeración Maya
Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base auxiliar. La unidad se
representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya
horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se
usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro rayas.

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Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados cada uno
un solo signo, estos símbolos constituyen las cifras de un sistema de base 20, en el que hay
que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... según el lugar que ocupe, y
sumar el resultado.
Es por tanto un sistema posicional que se escribe a arriba abajo, empezando por el orden de
magnitud mayor.
Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo para el
cero, con el que indicar la ausencia de unidades de algún orden, se hace imprescindible y los
mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto de cantidad nula. Cómo
los babilonios lo usaron simplemente para indicar la ausencia de otro número. Pero los
científicos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la observación astronómica y para
expresar los números correspondientes a las fechas usaron unas unidades de tercer orden
irregulares para la base 20. Así la cifra que ocupaba el tercer lugar desde abajo se multiplicaba
por 20x18=360 para completar una cifra muy próxima a la duración de un año.

El año lo consideraban dividido en 18 uinal que constaba cada uno de 20 días. Se añadían
algunos festivos (uayeb) y de esta forma se conseguía que durara justo lo que una de las
unidades de tercer orden del sistema numérico. Además de éste calendario solar, usaron otro
de carácter religioso en el que el año se divide en 20 ciclos de 13 días. Al romperse la unidad

20


del sistema éste se hace poco práctico para el cálculo y aunque los conocimientos
astronómicos y de otro tipo fueron notables los mayas no desarrollaron una matemática más
allá del calendario.

Sistema de numeración Romano
El sistema de números romanos carece del 0 por lo que se convierte en un sistema muy
complicado al querer realizar multiplicaciones y divisiones. Este sistema de numeración, ha
caído en desuso y sólo se lo usa con fines decorativos (relojes, estatuas, monumentos) y cierto
protocolo (para numerar: los siglos, los papas, los reyes y reinas, etc.).

Los signos que utiliza son:

I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000
Las reglas para escribir los números son:
1- Un símbolo no se puede repetir más de tres veces seguidas
2- Si un símbolo de valor inferior, antecede a otro de valor superior, el primer símbolo resta su
valor, al valor del símbolo de la derecha.
3- Una raya encima de un símbolo, multiplica por mil el valor del símbolo. Dos rayas encima de
un símbolo multiplica por un millón el valor del símbolo.

Ejercicios: 2.2
1 Convertir a la numeración señalada
a) 123 maya

b) 456 romana

c) 23456 romana

d) 2345 egipcia

21


3. DE LOS NUMEROS REALES

22


EJERCICIOS 3.1

*2.- Demostrar
a) Si a+b= a+d entonces b= d

b) si ab = bc entonces a=c

c) si ab = 0 entonces a = 0 o b = 0

3.- Determine que propiedad se está usando en cada afirmación

a) 5+ 0 = 5 ______________________________

b) 8(1) = 8 _______________________________

c) 3+5= 5+3 _______________________________

23


4. OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS

A L G E B R A
CONCEPTOS BÁSICOS:

1. Término algebraico: Un término algebraico es el producto de una o más variables y una
constante literal o numérica. Ejemplos: 3x2y ; 45 ; m
En todo término algebraico podemos distinguir: Signo, coeficiente numérico y
factor literal.

2. Grado de un término: Se denomina grado de un término algebraico a la suma de los
exponentes de su factor literal.
Ejercicios:
Para cada uno de los siguientes términos algebraicos, determina su signo, coeficiente
numérico, factor literal y grado:

Ejercicio Signo C. numérico F. literal Grado

– 5,9a2b3c menos 5,9 a2b3c 2+3+1=6

3. Expresiones algebraicas: Expresión algebraica es el resultado de combinar, mediante la
operación de adición, uno o más términos algebraicos.
Ejemplo:
3x2 +5y

4. Cantidad de términos: Según el número de términos que posea una expresión algebraica
se denomina:
Monomio : Un término algebraico : a2bc4 ; –35z
Binomio : Dos términos algebraicos : x + y ; 3 – 5b
Trinomio : Tres términos algebraicos : a + 5b -19
Polinomio: Más de dos términos algebraicos: 2x – 4y + 6z – 8x2

5. Grado de un polinomio: El grado de un polinomio está determinado por el
mayor grado de alguno de sus términos cuyo coeficiente es distinto de cero.

Ejercicios:
Determina el grado y clasifica según el número de términos, las siguientes expresiones
algebraicas:

Expresión algebraica Grado de la Número de términos
expresión

2x – 5y3
a – b + c – 2d
m2 + mn + n2
x + y2 + z3 – xy2z3

24


VALORACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

Valorar una expresión algebraica significa asignar un valor numérico
a cada variable de los términos y resolver las operaciones indicadas en la expresión
para determinar su valor final.
Veamos un ejemplo:
Valoremos la expresión: 5x2y – 8xy2 – 9y3, considerando x = 2; y = –1

No olvidar:

1º Reemplazar cada variable por el valor asignado.
2º Calcular las potencias indicadas
3º Efectuar las multiplicaciones y divisiones
4º Realizar las adiciones y sustracciones

Veamos el ejemplo propuesto: 5x2y – 8xy2 – 9y3

=

=
Es el valor
numérico

Ejercicios: 4.1
Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes, considerando:

Expresión Reemplazar :a = 2; b Resultado
algebraica =5; c=–3; d=–1; f = 0

4 ab – 3 bc – 15d

Términos semejantes:

Se denominan términos semejantes de una expresión algebraica todos aquellos términos que
tienen igual factor literal.

Reducir términos semejantes consiste en sumar los coeficientes numéricos, conservando el
factor literal que les es común.

Ejemplos:

a) –3 a2b + 2ab + 6 a2b – 7 ab = 3 a2b – 5 ab

b) 6a2–1ab –9ab +21b2 =6a2 –23ab +21b2
c) x3+2x2 +4x–2x2 –4x –8= x3 –8

25


Uso de paréntesis:

En álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones.
Para eliminar paréntesis debes fijarte en el signo que tengan:

Si es positivo , se elimina manteniendo todos los signos que están dentro de él.

Si es negativo, se elimina cambiando todos los signos que están dentro de él.

Ejemplos:

1) 2) 3x – (6x + 1) + (x –3 )
3x – 6x – 1 + x – 3 = –2x – 4

Observación:

Si en una expresión algebraica existen paréntesis dentro de otros, se empiezan a eliminar
desde el más interior.

Ejemplo:

{2 + (1 − 5)} = {2 + (−4)} = {2 − 4} = −2
Ejercicios: 4,2

a ) {3 − [4 + (3 − 5 / 4) − 6] − 6}

b) {3 + 4[3 − 4(2 + 3 / 2) − 5] + 5}

Multiplicación en álgebra

Para multiplicar expresiones algebraicas , debes observar los siguientes pasos:

1º Multiplicar los signos ( ley de los signos para la multiplicación )
2º Multiplicar los coeficientes numéricos.
3º Multiplicar las letras ( multiplicación de potencias de igual base ).

Estos pasos son válidos para todos los casos de multiplicación en álgebra; esto es,
monomios por monomios, monomios por polinomios y polinomios por polinomios.
Ejemplos:

MONOMIOS POR MONOMIOS
( -4a5b4)•( 12ab2)= –48 a6b6
monomios por polinomios
7 a4b • ( 2 a3 – a b + 5 b3 )=14 a7b – 7 a5b2 + 35 a4b4
( 6 m5n-3p-4) • ( 5 mn-1p2)= 30 m6n–4p–2

26


polinomios por polinomios
( a x + b y – c z ) • (- x y )= – ax2y – bxy2 + cxyz

4.3 PRODUCTOS ALGEBRAICOS
EJERCICIOS 4.3

I,. Resuelve los siguientes ejercicios, reduce términos semejantes cuando sea posible:

1) 5x · 4x · -2x =

2) 15x3y2z · 4xy2z · 3x2yz2 =

3) -4x2y2 · -2x4y2 · 3x5y3 =

4) –18pq3· -3p2q =

5) z3n+2 · 3zn-2 =

6) y2p-1 · y6 =

7) 6y2 · 12y =

8) –19m3n · -6m2n3 =

9) 3x3a+2 · -4x4a-2 =

10) 7(a + b) =

11) 8(2x + 3y – 4z) =

12) 2a(4a + 2a2b + 3a2c) =

13) 5(2x – 3y + 2z) + 3(5y – 3x – 2z) =

14) 8a(3a - 5y – 2z) – 6y(4a - 6y + 3z) =

15) (a + b)(a – 2b) + (a + b)(a + b) =

16) (x - 1)(x3 + x2 + x + 1) =

17) 23) 2(x + 2)(x + 1) =

27


18) 4(a + 4)(a – 2) =

19) 26xy – (9x – 8y)(5x + 2y) – (4y – 3x)(15x + 4y) =

20) (2x + 3y + 4z)(5x + 2y + z) =

21) (2x – y + 3z)(4x + 2y – z) =

22) (x + 4)(x + 3)(x + 2) =

23) 8 – a2(10a + 3b) – [9 – 2(14a - 7b) - 4(3a - 9b)] =

24) (7a – 2b) – [2(3a - c) – 3(2b - 3c)] =

25) 2 – x[7x – {9x – 3(3 + 6x)}] =

4.4. Divisón de polinomios

1. Ley de los signos:
a) + entre + da +
b) - entre + da -
c) + entre - da -
d) - entre - da +

2. Ley de los exponentes:
a) Al dividir potencias con la misma base, las potencias se restan:

Haremos uso también de la siguiente notación:
1. Un monomio es un término como ax, donde a representa una constante y se llama
coeficiente y x representa una variable y se llama indeterminada.

2. Un binomio tiene la forma de la suma de dos monomios: por ejemplo ax + bx2.

3. Polinomio se usa para denotar a la suma de más de dos monomios, por ejemplo ax + bx2 +
cx3.

División de monomio entre monomio

28


Dividir -a2b entre -ab

ejemplo 2

ejercicios: 4.4

1.-

2.-

3.-

29


**4.-

Polinomio entre monomio

Ejemplo:

ejercicios: 4.5

2 xy 3 − 6 xy 2 z 3 + 8 y 4 z
1.-
2 xy 4 z 2

*2.-

**3.-

30


polinomio entre polinomio
ejemplos;

31


ejercicios: 4.6

1.- x − 5 x 2 − 7 x + 10

2.- x + 3 x 2 + 5 x + 6

3.- x − 5 x 2 − x − 6

32


4.- x − 9 x 2 − x − 72

5.- 2x − 3 2x2 − 4x − 3

5 x 2 + xy − 3 y 2 15 x 4 − 7 x 3 y − 6 x 2 y 2 + 7 xy 3 − 3 y 4
*6.-

*7.- am4 - am- 2a entre am + a

**8.-

33


**9.-

**10.- (6x5 + 2x4 – 23x3 + 11x2 + 12x – 3) : (3x3 – 5x2 + 3) =

**11- (4x3 – 2x2 + 8x – 4) : (2x2 – 4x + 1) =

**12.- (x3 – x2 – x – 2) : (x2 + x + 1) =

**13.- (6x3 – 5x2 + x) : (2x – 1) =

34


II. PROBLEMAS DE POLINOMIOS
1.- Una ventana con un perímetro de 8 m tiene la forma de un rectángulo con un semicírculo
Sobrepuesto.
(a) ¿Cuál es el área total de la ventana?

(b) Escribe un polinomio para representar el perímetro de la figura en términos solamente de la
variable r o de la variable x.

(c) Escribe un polinomio para representar el área de la figura en términos solamente de la
variable r o de la variable x.

*2.- Encuentra una expresión para la cantidad de concreto que se necesita para hacer una
tubería de concreto que tiene L metros de largo, un radio interior B y un radio exterior A. Si
L=1,000 m, B=65 cm y A=70 cm, ¿qué volumen de concreto se requiere?

*3.- Un avión pequeño puede cargar 950 kg de equipaje distribuidos en dos compartimentos de
carga. En un vuelo, el avión va totalmente cargado con 150 kg más en un compartimento
que en el otro. ¿Cuánto equipaje hay en cada compartimento?

4.- En un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos agudos mide 15º más que dos veces el otro
ángulo agudo. Calcula el valor de cada ángulo.

35


5.-Un automóvil recorre 50 km en el mismo tiempo en que un avión recorre 180 km. La
velocidad del avión es de 143 km/h mayor que la del automóvil. Calcula la velocidad del
automóvil.

5. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION

5.1 CUADRADO DE UN BINOMIO

EJERCICIO 5.1
1. Completa la siguiente tabla:

a B a+b (a + b)² a² 2·a·b b² a² + b² a² + 2ab +
b²
2 3
6 4
2 5
4 2

2. Observando los resultados de la tabla verificamos que la expresión algebraica equivalente a
(a + b)² es ____________________

3. Construye ahora la siguiente tabla:

a B a-b (a - b)² a² 2·a·b b² a² + b² a² - 2ab + b²
5 2
4 1
2 4
1 3

4. Observando los resultados de la tabla verificamos que la expresión algebraica
equivalente a (a - b)² es___________________

5. Resuelve los siguientes cuadrados de binomios:

1. (x + 5)²

2. (x - 7)²

3. (a + 1)²

4. (m + 21)²

36


5. (x - 2)²

6.(x - 18)²

7. (p + 5q)²

8. (x - 3y)²

9. (2x + 6)²

10. (3x - 5)²

11. (6x - 8y)²

12. (0,2x - 3)²

13. (5a - 0,3)²

3
14. ( x - 5)²
4

2
⎛2 3 ⎞
15. ⎜ a − b ⎟
⎝3 4 ⎠

6. Determina el área del cuadrado cuyo lado mide:

a) x + 12

b) 2x - 1

c) 0,3x + 2

2
d) x+ y
5

5.2 BINOMIOS CONJUGADOS
EJERCICIO 5.2
Desarrolla los siguientes productos de binomios conjugados
a) (x +4)(x-4)

b) (2x-6)(2x+6)

c) (4x-2y)(4x+2y)

d) (5a2b-2)(5a2b+2)

e) (7/5-4y)(7/5+4y)

37


f) (3xa-2y)(3xa+2y)
5.3 MULTIPLICACION DE BINOMIOS CON TERMINO COMUN
EJERCICIO 5.3
Resuelve los siguientes productos:

1) (x + 1)(x + 2) =

2) (x + 2)(x + 4) =

3) (x + 5)(x – 2) =

4) (m – 6)(m – 5) =

5) (x + 7)(x – 3) =

6) (x + 2)(x – 1) =

7) (x – 3)(x – 1) =

8) (x – 5)(x + 4) =

9) (a – 11)(a + 10) =

10) (n – 19)(n + 10) =

11) (a2 + 5)(a2 – 9) =

12) (x2 – 1)(x2 – 7) =

13) (n2 – 1)(n2 + 20) =

14) (n3 + 3)(n3 – 6) =

15) (x3 + 7)(x3 – 6) =

16) (a4 + 8)(a4 – 1) =

17) (a5 – 2)(a5 + 7) =

18) (a6 + 7)(a6 – 9) =

19) (xy2 – 9)(xy2 + 12) =

20) (a2b2 – 1)(a2b2 + 7) =

21) (x3y3 – 6)(x3y3 + 8) =

38


22) (ax – 3)(ax + 8) =

23) (ax+1 – 6)(ax+1 – 5) =

39


Productos Notables. Miscelánea.
EJERCICIOS 5.4
1. (1 + 3x ) 4 2
=

2. (7a b 2 3
+ 5x4 = )2

3. (a 3
)(
− b2 a3 + b2 = )
4. (1 − 8 xy ) ⋅ (1 + 8 xy ) =
5. (a x +1
)(
− 2b x −1 2b x −1 + a x +1 = )
6. (x + y + z )(x + y − z ) =

7. (a 2 − 2b)3 =
8. (x + 6 )(x − 8) =
3 3

9. (x y − 6 )(x y + 6 ) =
3 3 3 3

10. (5a − 7 )(5a x +1 − 4 ) =
x +1

⎛ 2 6 4 −3 2⎞
11. ⎜ a b c + 11ab ⎟ =
⎝3 ⎠

12. (5x 2 − 3)3 =
13. ( x − 1)(x + x + 1) =
2

14. (2 + y )(4 − 2 y + y ) =
2

15. (a b − 2 x y )(a b + 2 x y ) =
2n m 3 a 2n m 3 a

16. (x − 8)(x a +1 + 9 ) =
a +1

⎛ x +1 m 1 ⎞⎛ 1 ⎞
17. ⎜ 3 7 a b − b − 7 c − 2 ⎟⎜ 3 7 a x +1b m + b − 7 c − 2 ⎟ =
⎝ 5 ⎠⎝ 5 ⎠

(
2 2 2 2
18. a b − 1 a b + 7 = )( )
(
19. (5 − ab ) 25 + 5ab + a b =
2 2
)
( 2 −1 − 3 2
20. 2mn + 3m n = )
21. (3a − 2 )(3a x + y − 5) =
x+ y

2
⎛2 2 1 3 4⎞
22. ⎜ a b − x y ⎟ =
⎝3 5 ⎠

40


(
2
)(2
23. m − m + n n + m + m = )
24. (2a − 3b + c ) =
2

(
2 −3 −6
25. x y z )(
− 5a 3b 7 c x 2 y −3 z −6 + 5a 3b 7 c =)
FACTORIZACION
5.4 FACTOR COMÚN

Procedimiento:
1° Paso: Buscamos el factor común (que debe ser el mayor posible)
2° Paso: Se expresa el polinomio dado como el producto del factor común por el polinomio
que resulta de dividir el polinomio dado por el factor común.
Ejemplos:

4a 2b + 2ab 2
1) ↓ Factor comun
2ab(2a + b)

3xby − 9 xa
2) ↓ Factor comun
3x (by − 3a )

EJERCICIOS 5.5.
FACTORIZAR
1.- -6Y + 12

2.- 10X2 -25X3=

3.- 6X3 +12X2 +18X =

4.- 12ab + 3abc + 6bcd

5.- 15ab2 - 25a3b + 30a3b2c

6.- 45a5b3x6y2 +15a2b3x3yd.

5.5. FACTOR COMUN POLINOMIOS

+ n)
Paso 1 Buscamos el factor común de x(m + n) y y(m + n),
como el factor común de x(m + n) y y(m + n) es (m + n), podemos factorizarlo.
x(m + n) + y(m + n) = (m + n)(x + y):

Paso 1 Buscamos el factor común de a(x - y) y b(x - y),
como el factor común de a(x - y) y b(x - y) es (x - y),podemos factorizarlo.
a(x - y) + b(x - y) = (x - y)(a + b):

41


ejercícios: 5.6
a. r(m + n) ¡ s(m + n) =

b. x(a + b) + a + b =

c. x(a + b) –( a- b) =

d. (c - d) +( xc – xd) =

e. a(m + 2n) + bm + 2bn =

f. x(3a + 1) + 6a + 2 =

g. m(4x - 1) + 12x – 3 =

h. y(5x- 2)- 15x + 6 =

5.6. FACTOR COMÚN AGRUPACION
Se aplica en polinomios que no tienen factor común en todos sus términos.

Procedimiento

1° Paso: Se forman grupos de igual cantidad de términos que tengan factor común, se sustrae
dicho factor común en cada uno de los grupos.

2° Paso: Debe quedar un paréntesis común.

3° Paso: Se extrae dicho paréntesis como factor común.

Ejemplos:

2 xy 2 a + mb + 2 xy 2b + ma
↓ Agrupo
(2 xy a + ma ) + (mb + 2 xy b)
2 2

1) ↓ Factor Comú n
a ( 2 xy + m) + b(m + 2 xy 2 )
2

↓ Factor Comú n
(2 xy + m)(a + b) → Factor Comú n por Gru
2
pos

( x 2 + ax ) + (bx + ab)
↓ ↓ Factor comun
x ( x + a ) + b( x + a )
2)
↓ Factor comun
( x + a )( x + b) → Factor Comun por Grupo

42


EJERCICIOS 5.7
Factorizar
1. ax + bx – ay- by =

2. 2xy + y - 6x- 3 =

3. 3mn + 15n - 4m – 20 =

4. 2a2 + 6a - 3ab - 9b =

5. x + y2 - 3mx - 3my2 =

6 6ab + 15a + 4b + 10=

7. 12mn + 8m + 3n + 2 =

8. 4 + 15xy + 5x + 12y =

9. -6y - 9 + 15x + 10xy =

10. 3ab - 9a - b + 3 =

5.7 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Recuerdo: “Cuadrado de un Binomio”

(x + y) 2 = x 2 + 2 xy + y 2
Procedimiento:

1°Paso: Se reconocen los cuadrados perfectos, los cuales no deben tener un signo negativo
adelante.
Y calculo sus raíces cuadradas, dichas raíces serán las bases.
2° Paso: Luego calculo el doble producto de sus bases; y luego nos fijamos si se verifica que el
doble producto figura en el trinomio dado,
3° Paso: Si el doble producto figura en el trinomio dado, entonces decimos que es un Trinomio
Cuadrado Perfecto; y luego lo factorizo como el cuadrado de un binomio, formado por dichas
bases.
Ejemplos:

1)

4 x 2 + 12 xz + 9 z 2
4x2 = 2x ⎫
⎪
⎪
9 z = 3z
2
⎬ ⇒ Es un Trinomio Cuadrado Perfecto
2.2 x.3z = 12 xz ⎪
⎪
⎭
Entonces: 4 x + 12 xz + 9 z 2 = (2 x + 3z ) 2 o( −2 x − 3z ) 2
2

43


2)

1
4x6 + + x3
16
⎫
4x6 = 2x3 ⎪
⎪
1 1 ⎪
= ⎬ ⇒ Es un Trinomio Cuadrado Perfecto
16 4 ⎪
1 ⎪
2.2 x 3 . = x 3 ⎪
4 ⎭
1 1 1
Entonces: 4 x 6 + + x 3 = (2 x 3 + ) 2 o( −2 x 3 − ) 2
16 4 4

EJERCICIOS 5.8

1) 4x2-20xy+25y2

2) 25x2+30x+9

3) 3a3+24a2b+48ab2

4) 100x10-60c4x5y6+9c8y12

5) 100x6-160x3y3+64y6

6) 9x4-36x2y3+36y6

7) 36y2-48y+16

8) 4a2-32a+64

44


9) 64x4-64x2+16

10) 81x4y4-72x2y2+16

5.8 DIFERENCIA DE CUADRADOS

Recuerdo: Producto de Binomios Conjugados

( x − y )( x + y ) = x 2 − y 2

Procedimiento:

1° Paso: Debo identificar la resta (debe haber un solo signo negativo) y luego los cuadrados
perfectos.
2° Paso: Calculo las bases de los cuadrados perfectos (haciendo la raíz cuadrada de cada
uno)
3° Paso: Transformo la diferencia de cuadrados en un producto de binomios conjugados,
formado por dichas bases.

Ejemplos:
1)

9 x 2 − 25 y 2
9 x 2 = 3x ⎫
⎪
⎬Entonces: 9 x − 25 y = (3x + 5 y )(3x − 5 y )
2 2

25 y = 5 y ⎭
2
⎪

2)

4 6 4 2
x −z y
9
4 6 2 3⎫
x = x ⎪
3 ⎬ Entonces: x 6 − z 4 y 2 = ⎛ x 3 + z 2 y⎞ ⎜ x 3 − z 2 y⎞
⎛2
4 2
9 ⎜ ⎟ ⎟
⎪ 9 ⎝3 ⎠⎝ 3 ⎠
z y =z y⎭
4 2 2

EJERCICIOS 5.9

a) 4a2-9b2

45


b) 25c4-b2

c) 64x6-y4

d)

e)

f) 4ax2-16ay2

g) x2-16y

h) x8y8-z8

i) x4y4-64

j) 121c2-9

5.9 Diferencia y suma de cubos
EJEMPLO:

Factorizar y − 27 , observemos primero que se puede escribir en otra forma: y − 3
3 3 3

Así, advertimos que se trata de la diferencia de dos cubos. Si aplicamos la fórmula de factorización
y usamos los siguientes valores A=y, y B=3, obtenemos:

(
y 3 − 27 = y 3 − 33 = ( y − 3) y 2 + 3 y + 9 )
Ejercicios 5.10
01) 1 + x3

02) x3 + 1000

03) 27a3 + 125b3

04) 64x3y6 + 216z9

05) 512x6a + 729y3b

06) 1/8 + 125x3

07) 1/27 + x6/216

08) a6/343 + 8b12/1000

09) 1000 - m3

10) 8a3 - 64b3

11) 125x9y18 - 512z27

12) 216x12 - 729y21a

46


13) 343x3a - 512y6b

14) (x + 4)3 – 8

**15) (3a + 2b)3 - (2a + 2b)3

16) 125 - (3a2 + 1)3

17) 27(x - y)3 - 8(x + y)3

18) 0.027x3 – 0.008y6

*19) 8/125x6 - 1000z9/64y12

**20) 64(a - b)3 + 27(a + b)3

5.10 Trinomio forma x2 + bx +c
ejercicios 5.11

x2 + 8x + 15
01)

02) n2 + n – 20

03) m2 - 12m + 27

04) x2 - 2x – 24

05) x2 + 20x + 75

06) y2 + 16y – 80

07) x2 - 25x + 100

08) y2 - 6y – 72

09) x2 + 0.6x - 2.16

10) y2- 0.2y - 1.95

11) x2 + 35x + 300

12) y2 + 10y - 600

13) z2 + 12z - 693

14) w2 - 69w + 1080

15) x2y2 + 34xy + 120

16) z2 - 2.3z + 1.26

17) w2 + 0.8w + 0.15

47


18) 403 - 44x + x2 =

19) x2+5x+6 =

20 ) x2+2x-15 =

5.11 Trinomio forma ax2 + bx +c
ejercicio 5.12
01) 2x2 + 7x + 3

02) 2y2 + 9y + 4

03) 3z2 - 14z - 5

04) 4x2 - 29x + 7

05) 5x2 + 12x - 9

06) 6y2 + 21y + 12

07) 7x2 - 46x - 21

08) 8y2 + 24y - 32

09) 9x2 - 66x + 40

48


10) 10x2 - 32x - 90

11) 20x2 + 84x - 80

12) 24b2 + 58b - 35

13) 10x2 + 110x + 300

14) 6y2 + 50y - 600

15) 15z2 + 186z - 693

1.5w2 + 4w + 2
16)

17) 2x2y2 + 5xy + 2

18) 0.2z2 - 1.3z + 2

19) 0.1w2 + 13w - 3

20) 200 - 130x + 11x2

49


PRODUCTOS NOTABLES y factorización (Repaso)

Ejerciccios 5.13
1. Resuelve:

a) ( x + 2 y)2

b) (2a − 3) 2

2
⎛ y⎞
c) ⎜ 2 x + ⎟
⎝ 2⎠

(a − b2 )
2 2
d)

2
⎛ 3⎞
e) ⎜ 3x − ⎟
⎝ x⎠

2
⎛ 2 3⎞
f) ⎜ − ⎟
⎝ 3y y ⎠

2. Expresa como un cuadrado de binomio:

a) x2 + 6 x + 9

b) 4a 2 + 12a + 9

c) 4 x2 − 4 x + 1

d) x4 − 2 x2 + 1

e) x 2 − 10 x + 25

f) b 4 + 6b 2 + 9

3. Calcula los productos siguientes:

a) (2 x + 1) ⋅ (2 x − 1)

b) ( x 2 − 4) ⋅ ( x 2 + 4)

c) (3a − b) ⋅ (3a + b)

50


d) (2a 2 + 5) ⋅ (2a 2 − 5)

4. Expresa como una suma por su diferencia:

a) 4 x 2 − 25

b) 9a 4 − 16b 2

c) 16 − 25x 2

5. Expresa como un producto:

a) 9 x 2 − 25 y 2

b) 16 − 40 x + 25 x
2

c) 100a 2 + 144 + 240a

6. Resuelve:

a) (3x + 2) ⋅ (3x − 2)

b) (5 x 2 − 3) 2

c) (3a 2 + b) 2

d) (2 x − 1) ⋅ (2 x + 1)

6. OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
FRACCIONES ALGEBRAICAS

6.1 Simplificación de fracciones

Ejercicios 6.1

1.-Evalúa en X=2 y en X=3 la expresión x2 – 5X + 3 ¿Qué sucede cuando X = 5
X–5

2.- Encuentra el valor máximo y mínimo que pueden tomar las fracciones, siendo n un número
natural.

a) n b) 2n c) n+ 1 .
n–1 n+1 2n

51


3.- Indica las restricciones que se deben tener para las siguientes fracciones algebraicas.

a) 4 – 3c b) x – 2y – 1 c) a + b
c2 – 2c x2 – 4 a–b

d) 3b – c e) 1 f) x + y
bc a2 + 4ab + 4b2 ( x -1) ( y + 2)

4.- Simplifica cada una de las siguientes fracciones y restringe el denominador

a) 15a3b2 b) 7mn4p5 c) 121a4c5d7
2a2b4 21m3np 11ac5d8

d) 8a – 16b e) 42 f) 14x + 21y
24 18a + 24b 50x + 75y

g) 27m – 36n h) x2 – x i) a2 + 2ab + b2
36 m – 48n xy – y 3a + 3b

j) m 2 – n2 k) x2 – 5x + 6 l) 3x2 – 27x + 42
m2 + 2mn + n2 x2 – 2x 5x2 -15x-140

m) 4p + 2q h) ac –ad + bc – bd ñ) 16xy – 25 y
8p2 + 8pq + 2q 2c + 3bc – 2d – 3bd 4x2y – 3xy -10y

o) a2 – ab p) r – s q) 4a – 4b r) 6 – 3x .
a4 – a2b2 s–r 2b – 2a x2 – x – 2

15a 3 b 2 121a 4 c 5 d 7 7mn 4 p 5 8a − 16b
u) v) w) x)
5ab 4 11ac 5 d 8 21m 3 np 7 24

42 14 x + 21y 27m − 36n x2 − x
y) z) 1) 2)
18a + 24b 50 x + 75 y 36m − 48n xy − y

a 2 + 2ab + b 2 m2 − n2 x 2 − 5x + 6 a3 − b3
3) 4) 5) 6) 2
3a + 3b m 2 + 2mn + n 2 x 2 − 2x a − b2

7)
m4n − m2n3 x 3 + 3x 2 − 10 x
8) 3 9)
(8 p q )
3 2 4
10)
(12mn ) 3 3

m3n + m2 n 2 x − 4x 2 + 4x (16 p q )
2 2 3
(18m n)
2 4

x4 −1 m3 − n3 2ax − 4bx
11) 12) 13)
3x 2 − 3 5m 2 + 5mn + 5n 3ay − 6by

6.2 Producto de fracciones

52


Ejercicios 6.2

2a 2 6b 2
1) •
3b 4a

x 2 y 10a 3 9m
2) • •
5 3m 2 x 3

5 x 2 4 y 2 14m
3) • •
7 y 3 7m 3 5 x 4

5 2a 3b
4) • •
a b 2 10

2 x 3 3a 2 5 x 2
5) • •
15a 3 y 7 xy 2

7a 3m 5n 4
6) • •
6m 2 10n 2 14ax

2x 2 + x 8
7) •
6 4x + 2

5 x + 25 7 x + 7
8) •
14 10 x + 50

m+n n2
9) •
mn − n 2 m 2 − n 2

xy − 2 y 2 x 2 + 2 xy + y 2
*10) •
x 2 + xy x 2 − 2 xy

x 2 − 4 xy + 4 y 2 x2
*11) • 2
x 2 + 2 xy x − 4y2

2x 2 + 2x x 2 − 3x
*12) • 2
2x 2 x − 2x − 3

53


a 2 − ab + a − b 3
*13) • 2
a + 2a + 1
2
6a − 6ab

*14)
(x − y )3 •
x2 + x +1
x3 − 1 ( x − y )2

2a − 2 a 2 − 4a − 5
*15) •
2a 2 − 50 3a + 3

2 x 2 − 3x − 2 3x + 6
*16) • 2
6x + 3 x −4

y 2 + 9 y + 18 5 y − 25
*17) •
y−5 5 y + 15

x 3 + 2 x 2 − 3x 2 x 2 + 3x
*18) • 2
4 x 2 + 8x + 3 x −x

x 3 − 27 a 2 + a + 1
*19) •
a 3 − 1 x 2 + 3x + 9

a 2 + 4ab + 4b 2 2a + 4b
*20) •
3 (a + 2b )3
1− x a2 + a x2
*21) • •
a +1 x − x2 a

x 2 + 2x x 2 − 2x − 8 x 2 + 4x
*22) • • 2
x 2 − 16 x3 + x2 x + 4x + 4

*23)
(m + n )2 − x 2 • (m − n )2 − x 2
(m + x )2 − n 2 m 2 + mn − mx

2a 3 + 2ab 2 x3 − x x
*24) • 2 •
2ax − 2ax a x + b x x + 1
2 2

a 2 − 5a + 6 6a a 2 − 25
*25) • 2 •
3a − 15 a − a − 30 2a − 4

54


Ejercicios 6.3

Calcula el cociente entre las siguientes fracciones algebraicas:

35a 3 14ab 2
1) :
18b 3 9b 3

a 5b8c7 a 6 b8c9
2) :
a 4 b 6 c10 a 3 b 2 c 5

6x 2 + 9xy a
3) :
a 3
14 x + 21x 2 y
3

a3 + a a3 −a2
4) :
a 2 − a a 2 − 2a + 1

m 2 + 8m + 16 m 2 − 2m − 3
5) :
m 2 + 2m − 8 m 2 − 3m + 2

3p 2 + p − 2 3p 2 − 8p + 4
6) :
4p 2 + 7 p + 3 4p 2 − 5p − 6

x4 − y4 x2 + y2
7) :
x 2 + 2 xy + y 2 x 2 + 2xy + y 2

55


x 3 − y3 x2 − y2
8) :
x 2 − 2 xy + y 2 x 2 + 2 xy + y 2

x 3 − x x −1
9) :
x +1 x +1

m 2 − 3m + 2 m 2 + 6m − 16
10) :
m 2 − 5m + 4 m 2 + m − 20

6.4 Suma y resta de fracciones
ejercicios 6.4
1.-

2.-

3.

4.-

5.-

6.-

7.-

56


ejercicios 6.5
III. Calcula la adición o sustracción de las siguientes fracciones algebraicas y simplifique cuando
proceda:

9 5 7
1) + −
x x x

4 5 9
2) 2
+ 2 − 2
a a a

6x 4
3) −
3x − 2 3x − 2

2x − 3 7x + 8
*4) +
2 x + 15 2 x + 15

4m 5m + 6 7m + 8
*5) + −
2m + 5 2m + 5 2m + 5

7 2a − 5
*6) + 2
a − 3a − 4 a − 3a − 4
2

a+3 9
*7) + +1
a−2 a−2

5m − 8n 7m + 9n 5m − 15n
*8) + −
3m − 2n 2n − 3m 2n − 3m

3 p − 12 p 2 p + 10 p 2 5p + 9p2
*9) + −
20 p 2 + 7 p − 6 20 p 2 + 7 p − 6 20 p 2 + 7 p − 6

a−5 7
*10) −1−
a+5 a+5

m−4 m 2 − 3m 7 + 2m 2
*11) − 2 + 2
m 2 + 2m − 3 m + 2m − 3 m + 2 m − 3

ejercicios 6.6

III. Calcula las siguientes sumas o restas y simplifica cuando proceda:

9 5 3
1) − +
5x 2x x

57


6 7 5
2) 2
+ −
x 2x 3x

m - 2 3m - 1
3) +
8m 5m

x + 6 2x + 5
4) −
8x 12x

5
5) m − 2 −
m +1

7
6) + a +1
2a - 3

2 3a
7) 2
+ 2
a -1 a -a -2

x 2xy y
8) − 2 +
x - 2y x - 2xy x

d +1 d 6(d + 1)
*9) + −
d -3 d + 3 d2 −9

2 9 4x − 5
*10) + +
x + 10x + 24 18 - 3x - x
2 2
x + x − 12
2

p + 17 p +1 6
*11) + −
p − p − 12
2
p + 5p + 6
2
p − 2p − 8
2

3d 7 1
*12) + +
2d + d − 1
2
6d + d − 2
2
3d + 5d + 2
2

58


6.5 Combinación de operaciones

EJEMPLO:

Ejercicios 6.7

1. . Haz las operaciones indicadas y simplifica:

⎛ x+ y x- y ⎞ ⎛ x y ⎞
a) ⎜
⎜ - ⎟ .⎜
⎟ ⎜ y - x ⎟
⎟
⎝ x- y x+ y ⎠ ⎝ ⎠

⎛ 1 1 x+ y ⎞ 2xy
b) ⎜
⎜ - + ⎟ .
⎟ x+ y
⎝ x y xy ⎠

⎛ x +1 x ⎞ ⎛ 1 ⎞
c) ⎜ - ⎟ .⎜ x - ⎟
⎝ x - 1 x +1 ⎠ ⎝ x ⎠

2 . - Opera y simplifica:

⎛ 4 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞
a) ⎜ - x ⎟:⎜ + ⎟
⎝ x ⎠ ⎝ x 2 ⎠

2
x+2 x -4
b) 2
.
(x + 2 ) x

59


⎡ ⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎤
c) ⎢ ⎜ ⎟ : ⎜x - ⎟
x +1 ⎠ ⎥
+ . x
⎣ ⎝ x x +1 ⎠ ⎝ ⎦

x ⎛ 2 1 ⎞
2
d) .⎜ : ⎟
2 ⎝ x x+2 ⎠

⎛ 3 x + 2 x +1 ⎞
e) ⎜ + - ⎟ . 2 x2
⎝ x x-2 ⎠
2
x

3.- Si a y b son números naturales, completar el siguiente cuadriculado con las expresiones
1 y (a + b)
a ab
de tal modo que en cada fila y en cada columna aparezca sólo una vez la expresión

¿Que condiciones debe satisfacer a y b para que el cuadriculado sea un
1/b cuadrado mágico?
1/b
1/b

4.- Demuestra que:

a) 123123123123 = 123
457457457457 457

b) a + b __ a – b = 2
b b

5.- Considerar las fracciones a y a ¿Qué condiciones cumplen b y c para que a < a de
b c b c
ejemplos numéricos

6.- Si a y c son dos fracciones en que a < c , determine a lo menos dos fracciones
b d b d
que se ubiquen entre ambas, resolver la situación con algunos ejemplos numéricos

n+9
7.- ¿Para qué valores enteros positivos de n la fracción representa
n−3
un numero entero positivo? .

8- Si a, b, c, d son dígitos distintos de 0 y distintos entre sí,

a
a) ¿ Qué valores toman a y b para que tome el menor valor posible?
b
b) ¿Qué valores toman a, b, c, d para que el valor a + c sea el máximo
b d
posible?

c) ¿Qué valores toma a, b, c, d para que a + b sea igual a 1?
c d

9- Si a y b son enteros y a < b ordena de menor a mayor las fracciones:

60


a ; b ; -a ; -b
b a b a

Considerar 0 < a < b
.a < 0 < b
.a < b < 0

10.- Dos ángulos suplementarios son aquellos cuya suma es 180º. Encuentra las medidas de dos
ángulos suplementarios si están en una razón de 5 a 7.

11.- Dos ángulos complementarios son aquellos cuya suma es 90º. Encuentra las medidas de dos
ángulos suplementarios si están en una razón de 3 a 2.

12.- Santiago recorrió 425 kilómetros en el mismo tiempo que Jerónimo recorrió 325 kilómetros. La
velocidad de Santiago era de 20 kilómetros por hora más que Jerónimo. ¿A qué velocidad iba
cada uno?

13.-Un río tiene una corriente de 5 kilómetros por hora. Si una lancha de motor tarda el mismo
tiempo en recorrer 15 kilómetros a favor de la corriente que 9 kilómetros en contra de la corriente,
¿cuál es la velocidad de la lancha en aguas tranquilas?

6.6 Fracciones complejas
ejercicios 6.8

Simplifica las fracciones complejas:

x2
y−
y
1) =
y2
−x
x

5
2−
2)
x =
25
4− 2
x

1
3) 1 + =
1
2+
y

61


x− y x+ y
−
x+ y x− y
*4) =
x 2 − xy − y 2
1−
x2 − y2

1
1+
1
1+
**5)
x −1 =
1
1
1−
x +1

1
1+
*6)
x =
1
1−
2
1+
x−4

x x2
− 2
*7)
x +1 x −1 =
1
1+
x −1

7. ECUACIONES Y DESIGUALDADES
7.1 Ecuaciones lineales
FUNCIONES LINEALES
Son aquellas funciones cuya representación gráfica es una recta.

Todas estas funciones admiten una expresión analítica de la forma y = ax + b, siendo a y b
números reales cualesquiera.

Las funciones lineales se pueden clasificar en:
F unciones afines: son de la forma y = ax + b con a ≠ 0 y b ≠ 0
F unciones de proporcionalidad directa: son de la forma y = ax con a ≠ 0 y b = 0
F unción constante: son de la forma y = b con a = 0 y b un número real
cualquiera.

62


En una recta de ecuación y = ax + b se llama pendiente al número a, a es la tangente del ángulo
que forma la recta con la horizontal (0º < θ < 180º). Al número b se le llama ordenada en el
origen, representa el punto de corte de la recta con el eje Y, en concreto (0, b).

Para las siguientes rectas se pide:
a) Nombre de la función lineal que representa.
b) Tabla de valores y representación gráfica.
c) Dominio, puntos de corte con los ejes, monotonía.
d) Pendiente y ángulo que forma la recta con la horizontal.

1. y = 2x + 3, y = -x + 5, y = -2x + 1, y = 2x – 5
2. y = x, y = -2x, y = -x, y = 5x
3. y = 3, y = -2, y = 0
4. Comenta las características comunes a cada grupo de funciones lineales.

Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita
Ejercicios 7.1
1.- Determina el valor de x de las siguientes ecuaciones enteras

a) 2x – 4 = 9

b) 3x – 5 = 5x + 3

c) 4x – 6 = 7x + 5

d) 2(x-4) = 3( 2x +5)

e) 3 ( 2x -4) + 3x = 5( 4x – 1)

2. Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones fraccionarias:

2 x − 4 3x + 4
a) =
5 8

3x − 6 2 x + 4
b) =
3 6

2( x − 7) 3( x + 4)
c) =
6 8

2(3 x − 4) 4(3x + 2)
d) =
3 5

63


x x
e) + =5
2 3

x 1 5x
f) − + =3
3 2 6

7 8 9 1 31 − 7 x
g) − + − =
2 x 3x 4 x 3 6x

x + 3 x − 4 1 x + 1 2x + 1
h) − = − +
4 9 2 4 9

12 7 4 1
i) − = −
5( x + 3) 10 3( x + 3) 30

5 3 4 7
**j) + +3= +
2(2x − 1) 3(2 x − 1) 3(2x − 1) 6

x −1 x − 3
k) + =2
x − 3 x +1

x
l) x − =b
a

x−a x−b
m) + =2
b a

64


Ejercicios 7.2
Resolver los siguientes problemas con palabras

1. La tarifa de los taxis de una ciudad es de 1 euro por bajada de bandera y por cada kilómetro
recorrido 0,8 euros.
a) Haz una tabla que exprese el precio del viaje según los kilómetros que hagamos.

b) Encuentra la función que relaciona los kilómetros recorridos (x) y el precio del viaje (y).

c) Representa dicha función.

e) ¿Es una función lineal? ¿De qué tipo? ¿Cuál es el dominio?

3. A nivel del mar el punto de ebullición del agua es de 100 ºC. Cuando se asciende a una montaña
el punto de ebullición disminuye, en función de la altura, con arreglo a la siguiente fórmula:
t = 100 – 0,001h donde t es la temperatura del punto de ebullición en grados centígrados y h la
altura alcanzada en metros.
a) ¿Cuál es el punto de ebullición a 1500 m de altitud?

b) ¿Cuál es el punto de ebullición en la cima del Everest (8848 m)? ¿Y en la cima del Aneto (3404
m)?

c) Representa la gráfica de esta recta.

4. Una empresa petrolífera paga a sus obreros según los metros excavados. El primer metro lo
paga a 60 euros y los restantes a 30 euros cada uno.
a) Construye una tabla de valores.

65


b) Representa la gráfica asociada a la tabla anterior.

c) Halla la expresión matemática que nos da el coste (y) en función de los metros excavados (x).

7.2 Ecuación de 2º grado con 1 incógnita
ejercicios 7.3

ecuaciones Puras ax2 + c = 0
1) 2x2-32 = 0

2) 3x2-12 = 0

3) x2+4 = 0

4) 2x2+32 = 0

5) (x-5)(x-4)=x(x-9)

6) (2x-5)(3x+4) = (6x - 1 ) ( x-1)

7) x2 = 81

8) 14x2 - 28 = 0

9) (x + 6)(x - 6) = 13

10) (2x - 5)(2x + 5) - 119 = 0

66


(x + 11)(x - 11) = 23
11)

12) 21x2 + 100 = - 5

ecuaciones impuras o mixtas ax2+bx = 0
Ejercicios
7.4

1) x2 = 7x

3x2-6x = 0
2)

3) 2x2 - 6x = 6x2 - 8x

4) (x - 3)2 - (2x + 5)2 = - 16

5) (4x - 1)(2x + 3) = (x + 3)(x - 1)

ecuaciones completas por factorización.
Ejercicios 7.5

1) x2 + 5x + 6 = 0

2) x2 + x − 6 = 0

3) x 2 + 4 x − 21 = 0

4) − x2 + 2x + 8 = 0

5) − x 2 + 20 x − 64 = 0

6) 3x 2 + 8 x + 4 = 0

67


7) x2 − 4 x + 4 = 0

8) − x 2 + 10 x − 25 = 0

9) 4 x2 − 4 x + 1 = 0

10) x − 2 x + 3 = 0
2

Ecuaciones completas por fórmula general
Ejercicios 7.6

1) x2 + 5x + 6 = 0

2) −6 x 2 − x + 1 = 0

3) 12 x 2 − 17 x + 6 = 0

4) x2 − 4 x + 4 = 0

5) − x 2 + 10 x − 25 = 0

6) 4 x2 − 4 x + 1 = 0

2 2 1
7) x − x −1 = 0
9 3

4 2
8) x + 5x + 9 = 0
3

68


Ecuaciones completas por completar el trinomio cuadrado perfecto
Ejercicios 7.7

1) x2 + 5x + 6 = 0

2) 12 x 2 − 17 x + 6 = 0

3) 4 x2 − 4 x + 1 = 0

4) 2 x2 + x + 6 = 0

5) 6 x 2 + 13 x − 5 = 0

7.3 Ecuaciones con radicales
Usaremos la siguiente propiedad para resolver estas ecuaciones:

Cualquier raíz de una ecuación dada, puede ser también raíz de otra ecuación que se obtenga al
igualar los cuadrados de los dos miembros de la ecuación propuesta.

Empero, al elevar al cuadrado los dos miembros de una ecuación, se obtienen valores para la
incógnita que pueden resultar incorrectos para la ecuación original, tales valores se llaman raíces
extrañas de la ecuación
.
Esto debido a que los radicales de índice par presentan problemas de indefinición con subradicales
negativos.

69


70


71


Ejercicios 7.8

Parte I. Resuélvanse las ecuaciones con radicales. Recuerde que hay que verificar las
respuestas en la ecuación original.

Ejercicios 7.9

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (Miscelánea) ejercicio 7.10
I. Determina las raíces de las siguientes 6. x 2 − 10 = 71
ecuaciones:
7. x 2 + 23 = 167
1. x 2 = 100
8. 6 x 2 − 27 = 5x 2 + 73
2. x 2 − 225 = 0
9. 7 x 2 = 252
3. x 2 = 1225
10. 2x 2 + 35 = 1315 − 3x 2
4. x 2 = 50
11. x 2 = a 2 + 25b 2 − 10ab
5. x 2 − 3c 2 = 0

72


4 2 9 54
12. x 2 = m + mn + n 2 43. 3x + = 18
9 16 2x + 3
13. x (2 x − 3) − 3(5 − x ) = 83 4 3 7
44. − =
14. (2 x + 5)(2 x − 5) = 11 x +3 x −3 3
15. (7 + x ) 2 + (7 − x ) 2 = 130 45. x + 9 − 1− x = 4
16. (3x + 5)(4x + 3) = (5x − 3)(2z − 9) + 80 x + 20 46. 1 + 4x − 1 − 4x = 4 x
17. (2 x − 3)(3x − 4) − ( x − 13)( x − 4) = 40 47. x 2 − 18x + 80 = 0
18. (3x − 4)(4 x − 3) − (2 x − 7)(3x − 2) = 214 48. x 2 − 4 x − 96 = 0
19. 8(2 − x ) 2 = 2(8 − x ) 2 49. x 2 − 17 x + 52 = 0
2x 2 − 8 50. x 2 − 7 x − 12 = 0
20. =2 51. 4 x 2 + 5x − 6 = 0
3
x2 −6 x2 + 4 52. 6 x 2 + 5x − 1 = 0
21. − =5
2 4 53. 3x 2 − 10 x − 25 = 0
5x − 3 7 − x 54. 7 x 2 − 16 x + 9 = 0
22. =
x x+2 55. x 2 + 4ax − 12a 2 = 0
23.
x
+
x
=1 56. x 2 − 5ax + 6a 2 = 0
x+2 x−2 57. abx 2 + (a 2 − b 2 ) x − 2ab = 0
x+2 x−2 40
24. + = 2 58. a ( x + a ) 2 = b( x + b) 2
x−2 x+2 x −4
15
x 2 − 5x + 11
5 59. x + =8
25. 2 = x
x − 7 x + 83 7 x 18
60. + +5 = 0
1 x−4 3 x
26. =
x+4 3 x −8 x −1
61. =
3 x + 2 2 x + 10
27. 5x + 9 − 19 = 2
2
x x + 1 13
x +1 62. + =
28. x+4 − x−4 = x +1 x 6
x+4 4 3− x
8 63. − =2
29. x + 3 − 5x − 25 = x −1 2
x +3 64. x + 7 = x +1
30. 10 + x − 10 − x = 2 65. 4− x + x −3 =1
31. 2 5 + x + 9 − 3x = 41 − 3x 7 − 3x 2x
66. − =8
32. 5 + x − 25 − 3x = 2 5 − x 5− x 3− x
33. x 2 − 3x = 0 67. 5 x + 1 + 3x = 8 x + 1
34. 6 x 2 + 42 x = 0 x −a x −b
68. + =2
35. x 2 + ax = 0 x−b x−a
36. ( x − 2)( x − 3) = 6 x 2 3
69. − = 2
37. ( x − 2)( x + 5) = 9 x − 10 x −1 x +1 x −1
38. (2 x + 6)(2 x − 6) = (2 x + 9)(3x − 4) x +1 x+5 13
70. 2 + 2 =
39. (8x + 3)(2 x − 5) − (3x + 5)(3x − 5) = 22x + 10 x − 5x + 6 x − 6 x + 18 x−2

40. ( x + 3) 2 − 8x − 9 = 0
41. ( x + 4) 2 + ( x − 3) 2 = ( x + 5) 2
42. ( x + 13) 2 = ( x + 12) 2 + ( x − 5) 2

Ejercicio 7.11
II. Resuelve:

1. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación x2 – kx + 4 = 0, para que las dos raíces sean iguales.

2. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación x2 – (k+2)x + 3k = 0, para que el producto de las raíces
sea 24?

3. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación 4x2 – 5x + 4k – (6+k) = 0, para que una de las raíces sea
cero?

73


4. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación 7x2 – 9x + k = 0, para que las raíces sean recíprocas
una de la otra?

5. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación 2x2 + kx + 5 = 0, para que una de las raíces sea 1?

6. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación x2 – (k-2)x – (k+6) = 0, para que la suma de las raíces
sea 2?

7. ¿Para qué valor de m, la ecuación mx2 - 6x + 5 = 0, tiene sus raíces reales?

8. Determinar k en la ecuación x2 + kx + 12 = 0, de modo que una de las soluciones sea el triple de
la otra?

Ejercicio 7.12
III. Grafica, basándote en las propiedades de los coeficientes y el discriminante, las siguientes
funciones:

1. y = 2x2 – 3x

2 y = 6x2

3. y = -2x2 + 3x + 6

4. y = 4x2 – 4x – 1

5 y = 5x2 + 2

74


8.-SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES
8.1 Sistemas de 2 ecs. Con 2 incógnitas

SISTEMAS DE ECUACIONES

Ejercicios 8.1
Resuelve utilizando los métodos de Igualación, Sustitución, Reducción y Determinantes:

1) 3x + 2y = 21
5x – y = 22

2) x + 2y = 0
5x – y = 11

3) x + y = 11
2x – y = 1

4) x – 2y = 3
4x + 3y = 45

5) 4x + 5y = 3
6x – 10y = 1

6) 4(x + 2) = -6y
3(y + 2x) = 0

75


7) y(x – 3) – x(y – 2) = 14
x(y + 9) – y(x – 6) = -54

3
x + y = 12
2
8)
2
x− y =0
3

x+ y+5 1
=
9) x − y + 3 2
x + y =1

x +1
=6
y−2
10)
x−3 1
=
y+5 4

11) x – by = -1
ax + y = -a

76


12) ax – by = a
bx + ay = b

13) 3x + y = 7
6x + 2y = 3

14) 2x – 3y = -7
x:y=4:5

y−4
3x − = 16
2
15)
x y
+ =4
3 4

2 3
x + y = 17
3 5
16)
3 2
x − y = −1
4 3

77


17) (x+3)(y+5)-(x+1)(y+8) = 0
(x-10)(y-1)+(x-9)(3-y) = 0

y+a a
x= −
3 2
18)
x+b b
y= −
3 2

19) 2,4x + 1,8y = 30
3,6x + 5,4y = 61,2

5x + 3 5 y + 6
− = x −1
2 3
20)
5 x − 4 y + 21 3 x − 2 y − 2
− =y
6 9

8.2 sistemas de 3 ecs. Con 3 incógnitas Resuelva por suma y resta y por
determinantes

ejercicio 8.2
a) x + 3y + 5 z = 9
2x – 4y + z = -1
3x + 4y – z = 6

78


b) 4x + 5y – 2z = 5
3x + y – 2z = 0
x - 2y - z = -3

c) x + 5y - 4 z = 7
2x + 4y - 3z = 6
4x + 5y + 4z = 8

8.3 Sistemas cuadráticos lineales

ejercicio 8.3

I) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones cuadráticos:

1) x + y = 7
x·y = 12

2) x + y = 10
xy = 16

3) x + y = 9
x2 + y2 = 41

4) x2 + y2 = 52
xy = 24

5) x2 + y2 = 34
x - y = -2

79


6) x2 + 3xy + y2 = 31
xy = 6

7) x + y + xy = 14
x+y=6

8) x2 + y2 = 29
x2 - y2 = 21

9) x2 - y2 =640
x:y=7:3

10) x2 - y2 = 44
xy - y2 = 20

II) Resuelve los siguientes problemas verbales, a través de sistemas de ecuaciones:

1. La suma de dos números es 3 y su producto es -4. Hallar los números.

2. Determina dos números cuya suma es 9 y su producto 18.

3. La diferencia de dos números es 5 y su producto 14. Hallar los números

80


4. Hallar dos números cuya suma es 9 y la suma de sus cuadrados es 53.

5. Determina dos números cuya suma de sus cuadrados es 13 y la diferencia de sus cuadrados es
5.

6. Hallar un número que es 3/5 del otro y el producto de ellos resulta 2160.

7. La diferencia entre un número y el doble de otro número es 5. Si el producto de ellos es 18,
¿cuáles son los números?

8. La diferencia entre dos números es 8 y la suma de sus cuadrados es 34. ¿Cuáles son los
números?

9. La diferencia de dos números es 7 y el producto de su suma por el número menor es 104. Hallar
los números.

10. La diferencia entre el quíntuplo del cuadrado de un número y el cuadrado de otro número es
11. Si la suma del primero con el cuadrado del segundo resulta también 11. ¿Cuáles son los
números?

81


11. ¿Cuánto mide la diagonal de un rectángulo cuya área mide 24 cm2 si sus lados están en la
razón de 2 : 3?

12. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 cm. Si la diferencia entre sus catetos es 2
cm. ¿Cuál es el perímetro de dicho triángulo?

13. La suma de los cuadrados de dos números es 18. Si al cuadrado del primero se le suma el
producto entre ambos números resulta 0. ¿Cuáles son los números?

14. La diferencia entre dos números es 4. Al sumar sus cuadrados a la diferencia de su

producto resulta 112. ¿Cuáles son los números?

15. El área de un rectángulo es 60 m2. Si su diagonal mide 13 m. ¿Cuál es el perímetro del
rectángulo?

16. La suma de los cuadrados de dos números es 5/36. ¿Cuáles son los números si su diferencia
es 1/12?

17. ¿Cuánto mide el área de un rectángulo si su diagonal es a2 + b2 y la diferencia entre sus lados
es a - b?

8.4 Desigualdades simples

INECUACIONES

82


1) Inecuaciones de primer grado
Ejercicio 8.4

Resuelve las siguientes desigualdades:
a) 2x < 7

b) 4x > 5

c) 5x -6 < 8x +5

d) 7x < 6 12x + 4

e) 7-4x < 4 + 3x

f) a) ( x - 2 )2 > (x + 2)⋅ ( x - 2) + 8

g) ( x – 1 )2 < x ( x - 4) + 8

g) 3 - ( x - 6) ≤ 4x – 5

h) 3x – 5 - x - 6 < 1
4 12
i) 1 - x - 5 < 9 + x
9

j) x + 6 - x + 6 ≤ x .
3 15

II.- Determine en cada uno de los siguientes ejercicios el intervalo real para x, tal que cada
expresión represente un número real.

i) x+5 ii)
2 x2 − 1
iii)
x+6 x −1

III.- Inecuaciones fraccionarias

x
a) >0
x −1

83


x+6
b) <0
3− x

x
c) −2≥ 0
x−5

2x − 1
d) >2
x+5

8.5. sistemas de desigualdades
ejercicio 8.5
Encuentra la región solución de cada sistema.

1. - x–y >-3 2. - 2x – y > 4
2x +y > 1 y + 3x >-6

3. - 2x – y > 4 4. - 3x + 1 > 5
y > x( x -3) 5x - 2 >-4

5. - 3x + 1 > 1 6. - 3(x – 1) – ( x – 2) > y
5x – 2 < 8 x–1 >y

8.6 Desigualdades cuadráticas
ejercicio 8.6

Inecuaciones de segundo grado

84


a) x2 ≥ 16 R. IR - ] -4 , 4[

b) 9x2 < 25 R. ] - 5/3 , 5/3 [

c) 36 > ( x - 1) 2 R. ] - 5 , 7 [

d) (x + 5)2 ≤ ( x + 4 ) 2 + ( x - 3 )2 R. IR - ] 0 , 8 [

e) x ( x - 2 ) < 2 ( x + 6) R. ] - 2 , 6 [

f) x2 - 3x > 3x - 9 R. IR - ⎨3⎬

R. ∅
g) 4 ( x - 1) > x2 + 9

h) 2x2 + 25 ≤ x ( x + 10 ) R. ⎨5⎬

i) 1 - 2x ≤ (x + 5)2 - 2(x + 1) R. IR

j) 3 > x ( 2x + 1) R. ] -3/2 , 1 [

k) x ( x + 1) ≥ 15(1 - x2 ) R. IR - ] -1 , 15/16 [

l) ( x - 2 ) 2 > 0 R. IR - ⎨2⎬

m) ( x - 2)2 ≥ 0 R. IR

85


n) ( x - 2)2 < 0 R. ∅

o) ( x - 2)2 ≤ 0 R. ⎨2⎬

86


87


88


89


Bibliografía
http://www.sectormatematica.cl/educmedia.htm
http://www.mediafire.com/?qggynvmjhgb
http://www.epler.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/index.htm
http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/algebra.htm
http://www.sectormatematica.cl/libros.htm
www.google.es
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM.html

90


www.terra.es/personal/jftjft/Aritmetica/Numeros/NumRom.htm
www.pallotti.edu.uy/repartidos/informatica/numeracion.doc

91

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