1. Investitionsrechnung
Andreas Müller
EEG, TU Wien
373.020 11. Jänner 2010

2. Motivation
• Ein Teil der Energiewirtschaft betrifft Methoden der
Wirtschaftlichkeitsrechnung
Wi h f li hk i h
• Energiewirtschaft ist häufig an wirtschaftsbezogenen
Instituten angesiedelt und hat vielfach einen stärkeren
Fokus auf Wirtschaft.

3. Inhalt der Vorlesung
• Grundlagen der Entscheidungstheorie
• I
Investitionsrechnung: M h d
i i h Methoden d
des
Umgangs mit Unsicherheiten bei
Investitionen
• Ü
Übungsbeispiele

4. Entscheidungstheorie

5. Entscheidungstheorie
• Die Entscheidungstheorie untersucht
Entscheidungssituationen, in denen ein Einzelner
eine Aktion zu wählen hat in Anbetracht einer häufig
unsicheren Umwelt
Umwelt.
• Im Gegensatz da u u te suc t d e Spieltheorie
Gege sat dazu untersucht die Sp e t eo e
interaktive Entscheidungssituationen, bei denen das
Ergebnis für ein Individuum vom Verhalten der
anderen Teilnehmer abhängt.
abhängt.
• Entscheidungstheorie stellt eine gewisse
vereinfachte Form der Spieltheorie dar und bedient
sich z.T. der selben Themen.

6. Wichtige Begriffe der
Entscheidungstheorie
• Strategien S: Handlungsoptionen des Entscheiders
s S Bestimmte Strategie aus den möglichen
Handlungsoptionen. (z.B.: Baue Gaskraftwerk)
• Umweltzustände Z: Möglichkeiten der Exogenen
Parameter
zZ Realisierung eines bestimmten Umweltzustandes
(z.B.: Gaspreis i t teuer)
( B G i ist t )
• Auszahlungen: Erlöse oder Kosten
• Auszahlungsfunktion  : verbindet die Strategien und
Umweltweltzustände mit den Auszahlungen
 z.B.: Erlös wenn folgendes eintrifft: Baue
Gaskraftwerk und Gaspreis ist teuer
G k ft k dG i i tt
• Eintrittswahrscheinlichkeiten W: Wahrscheinlichkeiten
mit denen bestimmte Umweltzustände eintreten.
 n 
w  W;   w i  1 
 i 1 

7. Wichtige Begriffe der
Entscheidungstheorie
• Entscheidung unter Ungewissheit
– Der Entscheider kennt die Eintrittswahrscheinlichkeit der
Umweltzustände und damit die Verteilung der
Grundgesamtheit nicht
nicht.
• Entscheidung unter Risiko
– Eintrittswahrscheinlichkeiten für die möglichen
Umweltzustände aus Z sind bekannt. Wahrscheinlichkeiten
werden als Wahrscheinlichkeitsverteilung w auf Z angegeben.
 w(z)  1
zZ
(Entscheider kennt die Verteilung der Grundgesamtheit)

8. Entscheidung unter
Ungewissheit
Klassische Entscheidungsregeln:
• Maximin-Regel: Pessimistische Einstellung: Entscheider
Maximin-
geht davon aus, jeweils das die denkbar schlechteste
Auszahlung zu erhalten und versucht d h d minimale
hl h l d h daher die l
Auszahlung zu maximieren.
• Maximax-Regel: Optimistische Einstellung: Entscheider
Maximax-Regel:
geht davon aus, jeweils das die denkbar beste Auszahlung
zu erhalten und versucht daher die maximale Auszahlung
zu maximieren.
• Hurwicz-Regel: Hurwicz-Regel wählt einen Mittelwert.
Hurwicz- Hurwicz-
Gewichtungsfaktor 0    1für die Höchste Auszahlung, 1 
für die niedrigste Auszahlung
Auszahlung.

9. Entscheidung unter
Ungewissheit
Klassische Entscheidungsregeln:
• Laplace-Regel: Diese Regel unterstellt
Laplace-
Eintrittswahrscheinlichkeiten für die unterschiedlichen
Umweltzustände (Gl h
l d (Gleichverteilung) und wählt d
l ) d hl die
Alternative mit der höchsten Auszahlung.
 Laplace-Regel mit gewichteter Risikofunktion: Die
Laplace-
Abweichungen vom Erwartungswert werden gewichtet
berücksichtigt.
berücksichtigt

10. Entscheidung unter Risiko
Entscheidungsregeln:
– BAYES-Regel: Eine naheliegende Lösung bietet die
BAYES-
Bayes-
Bayes-Regel (seit 17. Jahrhundert): Wähle unter den
möglichen S
l h Strategien diejenige die unter
d d
Berücksichtigung der Eintrittswahrscheinlichkeiten von
Umweltzuständen die größte Auszahlung bieten.
max  w(z)(s, z)
zZ
– Nachteil der Bayes-Regel: Berücksichtigt keine
Bayes-
unterschiedlichen Risikopräferenzen.

11. Entscheidung unter Risiko
Entscheidungsregeln:
– Bernoulli-Prinzip: Keine Maximierung der
Bernoulli-Prinzip:
Auszahlungsfunktion sondern des erwarteten Nutzens.
Auszahlungsfunktion wird in Nutzfunktion transferiert.
hl f k d f k f
max  w(z)u((s z))
(s,
zZ
u  Transformationsfunktion z B :ln Wurzel 2 ,...
Transformationsfunktion,z.B.:ln,Wurzel,
– John von Neumann und Oskar Morgenstern:
Begründung der Rationalität des Bernoulli-Prinzips.
g g Bernoulli- p
Bernoulli ist rationell (Darstellungssatz von NM und MS
ist gültig) wenn deren Axiomensystem (Ordnungsaxiom,
Stetigkeitsaxiom und Unabhängigkeitsaxiom) gültig ist.

12. Entscheidung unter Risiko
Risikoaversion und Risikoaffinität:
Jensen-
Jensen-Ungleichung:
n 1
Erwarteter Nutzen: u   w i u(i )   u( w )dw
e
Nutzen
i 1 0
n
Erwartungswert:    w i i
e
i 1
N t en des Er art ngs ertes  u(e )
Nutzen Erwartungswertes (
u( e )
Risikoavers wenn u = konvex (u'<0):
u e  u(e )
(
Risikofreudig wenn u = konkav (u'>0):
(w)  90 (w)  100 (w)  110
u e  u(e )  e
Gewinn, Auszahlung

13. Entscheidungstheorie
Zusammenfassung:
• Entscheidung unter Risiko:
Eintrittswahrscheinlichkeiten der Umweltzustände sind bekannt
• Entscheidung u e U s c e e
sc e du g unter Unsicherheit:
Eintrittswahrscheinlichkeiten der Umweltzustände sind NICHT bekannt
• Bernoulli-
Bernoulli-Prinzip (
p (Morgenstern und von Neumann): Berücksichtigung
g ) g g
von Risikopräferenzen durch Überführung der Auszahlungsfunktion in eine
Nutzenfunktion
• Risikoaversion: Bei gleicher mittleren Auszahlung wird diejenige
Entscheidung bevorzugt, die di möglichen V l
E h id b di die ö li h Verluste minimiert
i i i
• Risikoaffinität: Bei gleicher mittleren Auszahlung wird diejenige
Entscheidung bevorzugt, die die möglichen Gewinne maximiert
Vorausschau:
V h
• Risikopräferenz und der daraus folgende Gewinnaufschlag von Investoren
wird über den Zinssatz abgebildet
• Es gibt formale Methoden, wie sich ein solcher Zinssatz in Abhängigkeit
vom Risiko beschreiben lässt

14. Investitionsrechnung

15. Methoden aus der VU:
Energieökonomie
• Statische Methoden
– Unterschiedliche Zeitpunkte der Kapitalflüssen ändern deren Wert
nicht
– z.B.: Statische Amortisationsdauer
– Bilden keine adäquate Berechnungsbasis für substantielle
Investitionen
• Dynamische Methoden
– Unterschiedliche Zeitpunkte der Kapitalflüssen wird berücksichtigt
– z.B.: Annuitätenmethode, Kapitalwertmethode, interner Zinsfuß
Annuitätenmethode,
– Alle drei Methoden basieren 
CFt
auf dem selben Berechnungsprinzip Wert t  0  
1  i 
t
t 
CF  C h fl
Cash flows(Geldflüsse)
(G ldflü )
i  Zinssatz

16. Inhalt
• Zinssatz bei sicheren Zahlungsströmen: Steuern,
Steuern
WACC
• Investitionsentscheidungstools zur
Berücksichtigung des Risikos
Im nachfolgendem wird immer mit inflationsbereinigten Größen operiert

17. Kapitalverzinsung
• Nach der ökonomischen Theorie gilt g
g grundsätzlich:
Kapitalangebot entspricht der Kapitalnachfrage
interner Zins ROI, Zeitpräferenz qS
20
Angebot der Sparer f(qS)
15
10
Nachfrage g(qI)
5
0
kumulierte Investition
-5
Quelle: G. Erdmann, P. Zweifel (2007):Energieökonomik – Theorie und Anwendungen. Springer 2007
• In einem vollkommenen effizienten unverzerrten Markt
vollkommenen, effizienten, Markt,
entspricht qs = i (risikolose Marktzinssatz)= ROI (Return on
investments = Erwartete Kapitalertrag eines Investors),
• Investor versucht einen möglichst hohen Kapitalertrag zu
lukrieren

18. Kapitalverzinsung
• Kapitalsteuern Gewinnsteuer, geforderte
Kapitalsteuern, Gewinnsteuer
Kapitalrendite ROI (Return on Investment)
– Unternehmen müssen Gewinn versteuern
(Körperschaftssteuern, …), deshalb muss der ROI größer
( h f ) d h lb d O ß
sein als der Marktzinssatz.

ROI 1  tax corp  i 
i
ROI 
1  tax corp
– Selbiges gilt für Spareinlagen
i 1  tax sav   qs
qs  von Sparern erwarteter Kapitalertrag
Daher gilt in einem p
g perfekten Markt mit Steuern:
qs < i < ROI

19. Kapitalverzinsung
• Kapitalkostensatz: Weighted average costs of capital
Kapitalkostensatz:
(WACC)
– Zinssatz für Fremdkapital ist niedriger als der für
Eigenkapital (
k l (u.a. wegen geringeren Risikos)
k )
– Investitionen werden häufig mit Fremdkapital (unter
Einhaltung einer bestimmten Eigenkapitalquote
finanziert).
EKap FKap
WACC  ROI  i FK (1  tax corp )
GesKap GesKap
EKap  Eigenkapital
FKap  Fremdkapital
i FK  Fremdkapitalzinssatz
Im nachfolgendem wird auf Steuern nicht weiter eingegangen

20. Investitionsrechnung unter Risiko
– Im Grunde sind im Allgemeinen die zukünftigen
Eintrittswahrscheinlichkeiten nicht bekannt -> daher handelt es
sich streng genommen bei Investitionsentscheidungen um
Entscheidungen unter Unsicherheit.
Unsicherheit.
– Vorgehensweise ist aber üblicherweise die, dass
Eintrittswahrscheinlichkeiten geschätzt werden. (Extrapolation
der Vergangenheit, umfassende mathematische Modelle, Bauchgefühl)
– Damit erfolgt eine Überführung des Problems von:
Entscheidungen unter Unsicherheiten ->
zu Entscheidungen unter Risiko

21. Investitionsrechnung unter
Risiko ohne Handlungsoptionen
• Wie lässt sich das Risiko unsicherer Zahlungsströme
bei Investitionsentscheidungen berücksichtigen?
1. NPV-Sensitivitätsanalyse: Teste den NPV auf
NPV-
Veränderungen exogener Variablen (eventuell
Szenarienanalyse)
Szenarienanalyse)
2. Risikogerechter Kalkulationszinssatz: Ein dem Risiko
gerechter Zinssatz (Ri ik
ht Zi t (Risikoaufschlag) wird bei der Berechnung
f hl ) i d b i d B h
des NPVs zugrunde gelegt.
3. NPV-Monte-Carlo-Analyse: stochastische Eigenschaften der
NPV-Monte-Carlo-
relevanten V i bl
l Variablen werden d fi i
d definiert (V
(Verteilung und
il d
Kovarianzen). Parameter werden zufällig gezogen und daraus
der NPV mit risikolosem Zinssatz errechnet. Durch Erstellen
von vielen ( t h ti h ) Szenarien kann eine Verteilung
i l (stochastischen) S i k i V t il
des NPV ermittelt werden. Investition wird durchgeführt wenn
sich in einer genügend großen Anzahl von Szenarien
(80%,90%,
(80% 90% 95%) ein positiver NPV einstellt.
einstellt

22. Investitionsrechnung unter
Risiko mit Handlungsoptionen
1. Zustands- oder Entscheidungsbaum-Analyse: Alle
Zustands- Entscheidungsbaum-
Möglichen Zustandsräume, deren Wahrscheinlichkeiten und
die Einflussmöglichkeiten werden abgebildet. Methoden der
dynamischen Programmierung führen zu einer optimalen
Entscheidung. Entscheidungsbaumanalyse stellt die
Erweiterung der Zustandsbaumanalyse dar.
Methode: Roll back-Verfahrens auf Basis des
back-
Optimalitätsprinzip von Bellman: Finden von bedingt-
Bellman: bedingt-
optimalen Teilpolitiken.
2. (Real-) Optionsbewertung: Der Wert des Projektes wird
(Real-
aus dem NPV und einer Optionsprämie zusammengesetzt.

23. Risikogerechter Kalkulationszinssatz
(Investitionsrechnung unter Risiko ohne Handlungsoptionen)
( g g p )

24. Risikogerechter
Zinsaufschlag
• Erwartete Kapitalverzinsung bei unsicheren
Zahlungsströmen
N
ROI   ROI k w k
e
k 1
2
    ROI k  ROI w
N
2 e
k
k 1
N  Summe der möglichen Realisierungen
ROI k  Kapitalverzinsung bei Realisierung des Zustandes k
w k  Eintrittswahrscheinlichkeit des Zustandes k
• Wenn Varianz > 0 fordern risikoaverse Investoren
einen Risikozuschlag  av 
max  ROI e   2 
– (Bernoulli-Kriterium) Auszahlungs-
Bernoulli- Auszahlungs-  2 
funktion wird in Nutzenfunktion  av 
Investiere wenn:  ROIe   2   i
umgewandelt und Maximiert  2 
i  (risikofreier) Marktzinssatz
av  0 ... Risikoaversionsfaktor

25. Risikogerechter
Zinsaufschlag: CAPM
• Preismodell für Kapitalgüter:
CAPM (Capital Asset P i i
(C it l A t Pricing Modell)
M d ll)
– Kapitalmarktgleichgewichtsmodell, das die Portfoliotheorie um
die Frage erweitert, welcher Teil des Gesamtrisikos eines
Investitionsobjekts nicht durch Risikostreuung (Diversifikation)
zu beseitigen ist.
– Erklärt, basierend auf der Idee der Portfolioduplizierung,
Portfolioduplizierung,
wie risikobehaftete Anlagemöglichkeiten im Kapitalmarkt zu
bewerten sind (Modelle für den Risikozuschlagsfaktor).
(Modelle Risikozuschlagsfaktor).
– Modell inkludiert nur das systematische, nicht aber das
y ,
unsystematische (diversifizierbare) Risiko
COV    ROI k  ROIe  q Markt, j  q e Markt  w jk
– Grundlage: j,k
Nicht nur Risiko sondern (Markowitz,1952)
auch Diversifikation q Markt  Marktzinssatz
(
(= Kovarianzen COV) zwischen j, k  alternative Umweltzustände
dem Investitionsobjekt und e
 Erwartungswert
dem Gesamtmarkt ist relevant. w  E int rittswahrscheinlichkeiten

26. Risikogerechter
Zinsaufschlag: CAPM
• CAPM (Capital Asset Pricing Modell)
ROIe  i 
COV e
 Markt
2  q Markt  i   i    qeMarkt  i 
COV

 2 Markt
i = risikofreier Zinssatz
qeMarkt = erwartete Kapitalrendite des Gesamtmarktes
 2 Markt = Varianz des Gesamtmarktes
Voraussetzungen: vollkommener Kapitalmarkt, Risikoaversion und
homogene Erwartungen der Anleger, normalverteilte Renditen.
Anleger Renditen
T
NCFt e
NPV   I0  
e
1  i   q  i 
t
t 1 e
Markt
NCFe  Erwartete Nettoeinahmen (Net cash flows)
q e Markt  Erwarteter Ertrag des Kapital - Gesamtmarktes
i  risikofreier Zinssatz

27. Risikogerechter
Zinsaufschlag: CAPM
•Betha-Wert
Betha-
Keine Korrelation zwischen I
Keine K
  K i
K l ti i h Investitionsobjekt und G
titi bj kt d Gesamtmarkt
t kt
Perfekte
Perfekte Korrelation

negative
negative Korrelation, entspricht einer Versicherung
Ertrag
Risikozuschlag für i
Marktrisiko
Quelle: Wikipedia i
CAPM erfordert hohe, teils unrealistische Voraussetzungen, das Modell konnte
basierend auf empirischen Daten bislang nicht eindeutig falsifiziert werden.
Empirisch schwer überprüfbar, da auf Kapitalmärkten kein Gleichgewichtszustand.
Gaußsche Renditenverteilungen stehen im Widerspruch mit Beobachtungen.

28. Beispiel: CAPM
• Ein Unternehmen überlegt sich ein Kraftwerk zu bauen. Investitionsvolumen
zum Zeitpunkt Null beträgt 600 €/kW. Über 20 Jahre werden erwartete Netto-
kW. Netto-
Rückflüsse Deckungsbeitrag von 20 €/MWh bei 3500 Volllaststunden erwartet.
Andere Unternehmen in der selben Branche erwirtschaften eine erwarteten
Kapitalertrag von 10%, der risikolose Zinssatz beträgt 4%. Berechnen sie unter
der Annahme dass die Korrelation der Rückflüsse der Investition mit dem
Annahme,
Marktwert der Konkurrenten (Betha) 60%, 100%, 140% beträgt, ob die
(Betha)
Investition durchgeführt werden sollte.
• Unter der Annahme, dass das Betha 60% beträgt. Das Unternehmen hat die
Möglichkeit, über einen Forward-Vertrag mit einem ausfallssicheren
Forward-
Handelspartner die zukünftigen Einnahmen abzusichern. Um welchen Betrag in
€/Einheit wären Sie unter der A
/Ei h it ä Si t d Annahme der Risikoneutralität bereit, diesen
h d Ri ik t lität b it di
Vertrag einzugehen?

29. Risikogerechter
Zinsaufschlag: APM
Asset-
Asset-Pricing Methode (APM)
• Eine Weiterentwicklungen der risiko-bezogenen Wirtschaftlichkeits-
risiko- Wirtschaftlichkeits-
rechnungen.
rechnungen.
• Ihr zufolge leiden klassische Methoden (CAPM) darunter, dass das Risiko
von Investitionen mit einem einheitlichen Risikoaufschlag berücksichtigt
wird. Cash-Flow-Komponenten haben aber unterschiedliches Risiko (z.B.:
Cash-Flow-
Fremdkapital Zinszahlungen versus Umsatzerlöse)
• Bei APM wird je Cash-Flow Komponente mit einem angemessenen
Cash-
Risikodiskontsatz beaufschlagt, der die Eintauschbarkeit in einen
beaufschlagt,
risikofreien Titel berücksichtigt.

30. Investitionsrechnung unter
Risiko mit Handlungsoptionen

31. (Handlungs-
(Handlungs-) Optionen
Was sind Optionen:
• Optionen geben dem Inhaber das Recht aber nicht
die Pflicht eine zuvor festgelegt Aktion zu einem
zuvor ffestgelegten Preis innerhalb eines bestimmten
l i i h lb i b i
Zeitraums auszuführen.
• Durch Handlungsoptionen kann ein zusätzlicher Wert
u c a d u gsopt o e a e usät c e e t
geschaffen werden
Hat die Option bei der „Toy“-Bank Geld anlegen zu dürfen
„Toy“
einen Wert?
– Die „Toy“-Bank bietet für angelegtes Kapital eine Fixverzinsung
„Toy“
von 5% an. Das Recht anlegen zu dürfen ist für eine gewisse Zeit
(
(z.B.: ein Jahr) g
) gültig. Andere Banken bieten derzeit eine
g
Fixverzinsung für angelegtes Geld von 10% an.

32. (Handlungs-
(Handlungs-) Optionen
Beispiele für mögliche Handlungsoptionen (und deren
Schaffung) i d
S h ff ) in der E
Energiewirtschaft:
i i h f
• Ein neues Kohlekraftwerk wird so gestaltet (und platziert),
dass später CCS möglich wäre (CCS-ready).
spä e ög c ä e (CCS-ready).
eady)
eady)
• Ein neues Speicherkraftwerk wird so ausgeführt, dass später
Pumpspeicherbertrieb möglich ist.
• Eine unternehmenseigene St
Ei t h i Stromerzeugungsanlagen wird mit
l i d it
Entnahme-
Entnahme-Kondensationsturbine anstatt Gegendruckurbine
ausgestattet.
• Die Anbindung eines Offshore Windparks wird so ausgelegt,
dass später weitere Windparks angeschlossen werden können.
• Subventionen für eine neue unausgereifte und teure
neue,
Technologien X werden vergeben um damit diese später
eventuell eingesetzt werden kann.
• Feldversuch von Smart-Meters bevor ein flächendeckendes
Smart-
Austauschprogramm vorgenommen wird.

33. (Handlungs-
(Handlungs-) Optionen
• Wann haben (Handlungs-) Optionen
(Handlungs-
einen besonders hohen Wert:
– Zukünftigen Randbedingungen
(Wertentwicklung) unsicher ist
– Investitions- oder Handlungsflexibilitäten
Investitions-
vorhanden sind
– Wenn der NPV (net present value) in der Nähe
(net value)
von Null liegt (Graubereich)

34. Entscheidungsbaum-
Entscheidungsbaum-Analyse
• Darstellung aller möglichen
Umweltzustände und Handlungsoptionen
Berechnungsschritte:
Ein Investor: Planungszeitraum von 2 Jahren. 1.) Erstelle Zustandsbaum, bereche NPV der
Handlungsoptionen:
H dl ti Endknoten und erstelle einen Entscheidungsbaum
Im Zeitpunkt t=0: entweder eine kleine Anlage bauen (A)
oder eine große Anlage mit doppelter Kapazität (2A) 2.) Finde bedingt Optimale Teilpolitiken (Strategien)
errichten.
Im Zeitpunkt t=1: 3 Möglichkeiten: entweder die Anlage mit
einfacher Kapazität auf doppelte Kapazität erhöhen (A auf
2A), eine große Anlage auf einfache Kapazität verkleinern (2A Handlungsoptionen
auf A) oder aber nichts zu tun (NT).
Die zukünftige Entwicklung der Nachfrage ist unsicher und
damit hängen die Rückflüsse aus dem Verkauf der Produkte
Realisierungen von
R li i
nicht nur von den Entscheidungen des Investors über die
exogenen
Anlagenpolitik, sondern auch von der Nachfrageentwicklung
Umweltzuständen
ab. NPV können aber berechnet werden.
Die Einschätzung des Investors über Mögliche Zustände
die Entwicklung der Nachfrage:
Quelle: Kopel, Flexible Planungsmethoden

35. Optionen
• Wichtige Begriffe der Optionstheorie:
– CALL-Option: Der Inhaber hat das Recht aber nicht die Pflicht
CALL-
einen Titel zu einem festgelegten Preis zu erwerben.
erwerben.
– PUT-O ti
PUT-Option: Der Inhaber hat das Recht aber nicht die Pflicht
D I h b h t d R ht b i ht di Pfli ht
einen Titel zu einem festgelegten Preis zu verkaufen.
verkaufen.
Die Gegenseite muss akzeptieren.
– Amerikanische Option: Das Optionsrecht darf in der
gesamten Zeitspanne t<=T bis zum Verfallszeitpunkt T
ausgeübt werden.
– Europäische Option: Das Optionsrecht darf nur zum
Verfallszeitpunkt T ausgeübt werden.
– (Deep) in the money, at the money, near the money,
( p) y, y, y,
(deep) out of the money: Gibt an, ob der Ausübungspreis
(Strike, Exercise price) kleiner, größer oder gleich als/wie
der Markpreis des zugrunde liegenden Titels (Underlying)
p g g ( y g)
ist.
– Eventuell werden Caps, Floors definiert: Begrenzungen

36. Optionen: Wert der Option
Verteilung der zukünftigen Wertentwicklung eines bestimmten Titels
Wahrscheinlichkeit
Wert des Titels ist
Log-Normalverteilt
Put
Option Call Option Wert der Option
Optionswert CALL
Strike eT Strike eT Wert des Underlyings S (Marktwert, in EUR)
Aufgeld einer Option ist
maximal, wenn der
Preis des Underlyings
at the Money ist
innerer Wert
der Option
Aufgeld Preis des
Underlyings
U d l i
Out of the Money Ausübungs- In the Money
preis eT
(Strike)
Quelle: G. Erdmann, P. Zweifel (2007):Energieökonomik – Theorie und Anwendungen. Springer 2007

37. Real-
Real-Optionen
• Bewertung von unternehmerischen Handlungsoptionen
• Marktwert einer Realoption lässt sich barwertorientiert oder
optionspreistheoretisch fundieren. Die Methoden liefern i.R.
p p
aber unterschiedliche Resultate.
• Barwertorientierte Ermittlung: Ermittlung des Wertes
des Investitionsobjektes mit und ohne Handlungsoptionen
-> Differenz ergibt den Wert der Handlungsoption.
-> Problem: unterschiedliche Ausnutzung der Handlungs-
Handlungs-
optionen erfordert unterschiedliche, risikogerechte
ti f d t t hi dli h i ik ht
Kapitaldiskontsätze
• Optionspreistheoretische Ermittlung: Versuch, die
p p g ,
Zahlungsströme durch Duplikationsportefeuilles aus sichern
Kapitalveranlagen bzw. Verschuldungen und Teilen des
Zahlungsstroms abzubilden.
->Problem des Duplikationsportefeuilles

38. Formale Optionsbewertung
• (geschlossenes) Modell von Black und Scholes 1973
– Annahmen:
• Law of one Price: Keine Abitragemöglichkeiten
• Ausübung nur am Verfallszeitpunkt: Europäische Option
• Nur eine Unsicherheitsquelle: Keine Rainbow-Optionen
• Nur ein riskantes Asset: keine Compount-Option
• Es werden keine Dividenden ausbezahlt
• Marktpreis und Unsicherheiten sind beobachtbar, Varianz bleibt konstant
• Ausübungspreis ist konstant
• Wertentwicklung entspricht einer geometrischen Brownschen Bewegung
(Wiener P
(Wi Prozess)
)
– Marktpreisentwicklung folgt einem Wiener Prozess (GBM)
dp t
 dt  dz
pt
  Drift
  Pr eisvolatilität (Stan dabweichung)
– Wert der Option entspricht der Lösung einer stochastischen
DGL (Ito-Integral)
(Ito-

39. Formale Optionsbewertung
• Preisänderungen zwischen Gegenwartswert t und
zukünftigem Wert zum Zeitpunkt T sind dann log-normal
log-
Verteilt mit Erwartungswert Annahmen:
 2 
p  ln p t       T  t 
e
T
 2 
S tan dartabweichung
e   T  t
T
• Wert einer Europäischen Call Option zum Zeitpunkt t für
Ausübungszeitpunkt T>t
CALL t (T)  p t N(d1 )  eT e  i(T  t ) N(d 2 ) p t  Wert der Investition (Spotmarktpreis, NPV)
p   2  eT  Ausübungspreis, Investitionskosten
ln  t    i   T  t 
 eT   2  i  Risikofreier Zinssatz
d1 
 Tt   jährliche Volatilität, Risiko des Projektes
d 2  d1   T  t CALL t (T) Wert der Option im Zeitpunkt t
N(d)  Summenhäufigkeitsfunktion der für den Ausübungszeitpunkt T
Standard Normalverteilung

40. Beispiel: formale Bewertung
nach Black-Scholes
Black-
• Einem kleinen, lokalen Stromversorger vertraglich angeboten, seinen eigenen
Ausgleichsenergiebedarf an ein anderes Unternehmen auszulagern. Die dafür zu
tätigen Investitionskosten werden mit 100 €/kW (risikoadäquater Zinssatz:
10%, Abschreibungsdauer 10 Jahre, Fälligkeit der Investitionssumme erst in 10
Jahren) angeboten. Durch die Bereitstellung von Ausgleichsenergie kann sich
das Unternehmen erwartungsgemäß Deckungsbeiträge (DB = Erlös minus
variable Kosten) von 5 € /MWh vermeiden, die Volatilität (Risiko) beträgt 35%.
Die jährliche Betriebszeit, zu welcher Ausgleichsenergie in diesem Umfang
reduziert wird, beträgt 2000 Stunden pro Jahr. Der risikofreie Zinssatz beträgt
4%.
• Die firmeninternen Finanzanalysten sehen die Voraussetzungen zur Anwendung
der Optionswertberechnung nach Black-Scholes gegeben. Welchen Wert in
Black-
€/(kW x Jahr) hat die Option, das Kraftwerk auch zur Bereitstellung von
/(kW Option
Regelenergie betreiben zu können.

41. Beispiel: formale Bewertung
nach Black-Scholes
Black-
30
Optionswert
25
Wert des Underlyings
Wert des Underlyings
20
15
€/MWh
10
Wert €
5
0
0 5 10 15 20 25 30 35
‐5
Wert der Investition (vermiedene DB) €/MWh
‐10

42. Real-Optionen:
Real-Optionen
Numerische Ansätze

43. Real-
Real-Optionen:
unterschiedliche Ansätze
• Klassischer Ansatz
– Keine Arbitrage, basierend auf Marktdaten
• Duplikationsportefeuille, Standardmethoden z.B.: Black-Scholes
• Subjective Approach
– Keine Arbitrage, Wert des Assets basiert auf Schätzungen
• Duplikationsportefeuille Standardmethoden z.B.: Black Scholes
Duplikationsportefeuille, z B : Black-Scholes
• Market Dissclaimer Approach (MAD)
– Das Projekt selbst ohne Handlungsmöglichen wird als
Duplikationsasset herangezogen, subjektive Wert- und
D lik ti th bj kti Wert-
W t d
Risikoeinschätzung. Wesentliche Annahme: Ausreichende Korrelation
zwischen dem Projekt und seinen Zahlungsströmen
• Erstellen eines CF Models, NPV basierend auf CAPM
f
• (Schätzen der Unsicherheiten, Monte Carlo)
• Aufbauend auf der Verteilung der NPVs Risikoneutraler Binominal
g
Baum und Berechnung des Projektwertes

44. Real-
Real-Optionen
• Revised Classic Approach
– 2 unterschiedliche Typen von Investitionen
• Dominanz des allgemeinen oder projektspezifischen Risikos
• Real-Optionen oder Entscheidungsbaum-Analyse
• Integrated Approach
– Spaltet das Projekt in 2 Elemente auf: Solche mit
projektspezifischen und solche mit allgemeinen Risiken.

45. Real-
Real-Optionen
• MAD-Approach: Vorgehensweise
MAD-
1. Erstellen eines CF Models (Cash-Flow)
(Cash-
2. Evaluierung von risikoadjustiertem Zinssatzes und NPV des
Projektes ohne Handlungsoptionen
j g p
3. Berechnung der risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten
4. Berechnung der Entscheidungen und den Wert des Optionsrechtes
sowie den NPV im Roll-back Verfahren
Roll-

46. Real-
Real-Optionen: Beispiel
• Investitionsmöglichkeit: Option die Entscheidung zu
Verzögern (=> CALL Option)
Projektdaten, Laufzeit 1 Jahr, Option 1 Jahr gültig
Einnahmen Eintrittswahr-
Eintrittswahr- Investition Nettoeinahmen wenn Entscheidung
scheinlichkeit Entscheidung jetzt verzögern
Up state 170 50% 115 55 Max(55,0)
Down state 65 50% 115 -50 Max(-50,0)
Max(-
Es existiert ein Duplikationswertpapier mit selben Betha: Wert jetzt 20,
Betha:
Wert nächste Jahr im Upstate 34, Wert im Downstate 13, Risikoloser
Zinssatz i =8%

47. Real-
Real-Optionen: Beispiel
1.) CF-Modell (mit Zeitwert der Zahlungsströme)
CF-
Einnahmen: 170
Investitionen: 115
wu = 50%
wd = 50%
Einnahmen: 65
Investitionen: 115

48. Real-
Real-Optionen: Beispiel
2.) Evaluierung von risikoadjustiertem Zinssatzes und NPV des
) g j
Projektes ohne Handlungsoptionen
Zinssatz ohne Handlungsmöglichkeiten
z.B.: Zinssatz ohne Handlungsmöglichkeiten schätzen über Duplikationswertpapier
V  Wert
w u Vu,DWP  w d Vd,DWP
VDWP  DWP  Duplikations  Wertpapier
1 k
u  Zus tan d Upstate
k  17,5%  Risikobehafter Zinssatz
d  Zus tan d Downstate
Berechnung des PV der Zahlungsströme
0.5 170  0.5  65
PVEinnahmen   100
1.175
115
PVAusgaben   106.48
1.08
1 08
NPV  6.48

49. Real-
Real-Optionen: Beispiel
2.) Evaluierung von risikoadjustiertem Zinssatzes und NPV des
) g j
Projektes ohne Handlungsoptionen
Zinssatz ohne Handlungsmöglichkeiten
z.B.: Zinssatz ohne Handlungsmöglichkeiten schätzen über Duplikationswertpapier
V  Wert
w u Vu,DWP  w d Vd,DWP
VDWP  DWP  Duplikations  Wertpapier
1 k
u  Zus tan d Upstate
k  17,5%  Risikobehafter Zinssatz
d  Zus tan d Downstate
Berechnung des PV der Zahlungsströme
0.5 170  0.5  65
PVEinnahmen   100
1.175
115
PVAusgaben   106.48
1.08
1 08
NPV  6.48

50. Real-
Real-Optionen: Beispiel
3.) Berechnung der Risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten (bedingte
Wahrscheinlichkeiten)
Vu ,P Vd ,P
u ,d 
VP VP
 (1  i)  d 
p 
 ud 
Vp  W ert der Einnahmen aus dem Projekt im Zeitpunkt t ohne Handlungsflexibilitäten
Vu ,p  W ert der Einnahmen aus dem Projekt im Zeitpunkt t+1 im upstate
p j p p
Vd ,p  W ert der Einnahmen aus dem Projekt im Zeitpunkt t+1 im downstate
p  risikoneutrale W ahrscheinlichkeiten (bedingte W ahrscheinlichkeiten)
170
u
u= 1 7
1.7
100
d  65 / 100  0.65
 (1  0.08)  0.65 
p   0.409
 1.7  0.65
.7 
Pr obe :
p170  (1  p)65
PV  100 
(1  i)
i  8%

51. Real-
Real-Optionen: Beispiel
4.) Berechnung der Entscheidungen und den Wert des
Optionsrechtes sowie den NPV im Roll-back Verfahren
Roll-
Vu O=MAX(uVP-eT;0)=max(170-115;0)
u,O MAX(uV e ;0) max(170 115;0)
= 55 =>Exercise Call
p = 40,9%
Vp 
p
1-p = 59,1%
Vd O=MAX(dVP-eT;0)=max(65-115;0)
d,O ( ) ( )
= 0 =>Don‘t Exercise Call
pVuO  (1  p)VdO 0, 409  55  (1  0, 409)0
V0,O    20 8
20,8
1 i 1  0, 08
NPV  NPVohneFlexibilitäten  WertderFlexibilität
NPV  6.48  20,8  14,374

52. Real-
Real-Optionen 2-Perioden
2-
Beispiel
Zeitwert Baum eines Projektes (wird mit risikoadjustiertem WACC des Projektes
ohne Handlungsoptionen erstellt) Risikoloser Zinssatz i = 3%
erstellt),
u2VP=144
wu=60%
u=1,2;Vu,t=1=uVP=120
wu=60% 1-wu=40%
NPVP=100
udVP=100
wu=60%
1-wu=40%
d=1/1,2; Vd,t=1=dVP=83,33
1-wu=40%
d2VP=69,44
69 44
2-Jährige Amerikanische CALL-Option,
Ausübungspreis eT= 95

53. Real-
Real-Optionen 2-Perioden
2-
Beispiel
1) Berechnung des hinterlegten WACC
H int erlegter WACC :
w u 2144  2w u (1  w u )100  (1  w u ) 2 69, 44
PV  100 
(1  WACC) 2
WACC  5,33%
2) Berechnung der risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten
(1  i)  d (1  3%)  0,833
p   0,53722
u d 1, 2  0,833
1  p  0, 46278
Pr obe :
p 2120  2p(1  p)100  (1  p) 2 69, 44
PV  100 
(1  i) 2
i  3%

54. Real-
Real-Optionen 2-Perioden
2-
Beispiel
Risikoneutraler Entscheidungsbaum der Call-Option
A V =MAX(u2V -e ;0)=max(144-
uu,O P T
MAX(uVP-eT;Vu,O)= 95;0) = 49 =>Exercise Call
max(120-95; 27,8) p=53,7%
= 27,8 =>Hold
D
p=53,7%
1-p
VO =15,67 F
B Vdu,O=MAX(udVP-eT,0)=max(100-
95;0) = 5 =>Exercise Call
p=53,7%
1-p
E
MAX(dVP-eT;Vd,O)=
max(83,33-95; 2,61)
= 2,61 =>Hold 1-p Vdd,O=MAX(d²VP-eT,0)=max(69,4-
,
95;0) = 0 =>Don‘t Exercise Call
t0 C
NPVmitFlexibilität  NPVohne  V0, O
,
D:
pVuuO  (1  p)VudO
 100  15, 67  115, 67 Vu,O 
1 i

55. Literatur und
Weiterführendes:
• Erdmann G Zweifel P : Energieökonomik Springerverlag,
G., P.: Energieökonomik, Springerverlag
2008.
• Realoptionen in der Unternehmenspraxis, Springerverlag,
2001.
• Copeland T.,Antikarov V.: Real Options, a practitioner’s
guide. Texere
guide Texere, 2007
• Schwartz et al.: Real Options and Investment under
Uncertainty
• Werner T.: Investitionen, Unsicherheit und Realoptionen,
Dt. Univ.-Verl., 2000.
Univ.-
• Stephan Kopel, u.a: Vorlesungen a.d. TU, Inst. Industrielle
Stephan, Kopel u a: a d TU Inst
Betriebswirtschaftslehre und Wettbewerb.

57. Übungsbeispiele