Este documento presenta un resumen de tres oraciones o menos de un trabajo sobre conjuntos infinitos de enteros positivos cuyas sumas están libres de potencias. El trabajo construye un conjunto infinito de enteros positivos tal que la suma de cualquier número finito de elementos distintos del conjunto no es una potencia. El trabajo está basado en artículos previos y desarrolla definiciones, lemas y teoremas matemáticos para demostrar la propiedad del conjunto construido.

1. CONJUNTOS INFINITOS DE ENTEROS
POSITIVOS CUYAS SUMAS ESTAN LIBRES DE
POTENCIAS.
GONZALO ALONSO JARABA CALDERA
gonzalojarabac@hotmail.com
MONOGRAFIA PARA OPTAR AL TITULO DE
MATEMATICO
UNIVERSIDAD DE CARTAGENA
FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERIAS
PROGRAMA DE MATEMATICA
CARTAGENA
2004

2. CONJUNTOS INFINITOS DE ENTEROS
POSITIVOS CUYAS SUMAS ESTAN LIBRES DE
POTENCIAS.
GONZALO ALONSO JARABA CALDERA
MONOGRAFIA PARA OPTAR AL TITULO DE
MATEMATICO
PEDRO ORTEGA PALENCIA
ASESOR
UNIVERSIDAD DE CARTAGENA
FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERIAS
PROGRAMA DE MATEMATICA
CARTAGENA
2004

3. AGRADECIMIENTOS
Deseo expresar mis agradecimientos a todos mis profe-
sores por el conocimiento adquirido. Especialmente al
profesor Florian Luca por el material brindado para el de-
sarrollo de este trabajo, al profesor Pedro Ortega Palen-
cia por su disposici´n a colaborarme en todo y por todo el
o
conocimiento transmitido, al profesor Joaqu´ Luna Tor-
ın
res por el conocimiento brindado y por todos sus aportes
en el plano personal facilitando nuestro desempe˜o co-
n
mo estudiantes, a m´ compa˜eros Michael Plaza, Pedro
ıs n
Hurtado, Jhon Beiro Moreno por su humilde amistad, y
a Katia Madariaga por su gran comprensi´n. o

4. Este trabajo est´ dedicado a todas esas personas que
a
me han apoyado en la obtenci´n de mis metas, especial-
o
mente mis familiares, pero sobre todo esta dedicatoria es
para esas dos mujeres que pese a todas las dificultades
han estado a mi lado siempre, mi hermana Aurora Jara-
ba y mi madre Arcelia Caldera.
GONZALO JARABA CALDERA

5. TABLA DE CONTENIDOS
Introducci´n.......................................................................1
o
Definiciones........................................................................4
Nociones preliminares.........................................................6
Desarrollo del trabajo ........................................................8
Conclusiones.....................................................................20
Bibliograf´
ıa.......................................................................21

6. INTRODUCCION
En este trabajo se construir´ un conjunto infinito de en-
a
teros positivos tales que para cualquier n ≥ 1 y cua-
n
lesquiera n-elementos distintos x1 , ..., xn la suma xi
i=1
no es una potencia perfecta.
El presente trabajo est´ basado en el art´
a ıculo Infinite
sets of positive integers whose sums are free of
powers publicado por la revista Colombiana de Matem´ticas,
a
volumen 36, n´mero 2, 2002. En este art´
u ıculo el matem´tico
a
Florian Luca generaliza y resuelve el siguiente problema
propuesto en la IV Olimpiada de Centro Am´rica y el
e
Caribe (M´rida, M´xico, Julio, 2002):
e e
Construir un conjunto infinito S de enteros positivos
tales que la suma de cualquier n´mero finito de elemen-
u
tos distintos de S no sea un cuadrado perfecto.
Un ejemplo de tal conjunto es el conjunto de los n´meros
u
de Fermat, dado por
n
S = {Fn /n > 0}donde Fn = 22 + 1.
Veamos que el conjunto S satisface la propiedad enunci-
ada.
Se afirma que
n nt −1
22 t = (22 )2 , nt > 0. (1)
En efecto:
n −1 n −1 n −1 n −1
(22 t )2 = (2(2 t ) )2 = (2(2 t ) ) (2(2 t ) )
n −1 n −1 [n −1] [n −1+1] n
= 2(2 t +2 t ) = 2(2 t 2) = 2(2 t )
= 2(2 t ) .
n n −1
Por lo tanto 2(2 t ) = (22 t )2 .
1

7. Sean Fn1 , Fn2 , ..., Fnt n´meros de Fermat, con
u
n1 < n2 < ...< nt y t > 0.
n
Como Fn = 22 + 1, entonces
nt −1 n
Fn1 + Fn2 + ... + Fnt > (22 )2 = 2(2 t ) . (2)
Ahora probemos por inducci´n que
o
nt −1
Fn1 + Fn2 + ... + Fnt < (22 + 1)2 . (3)
Veamos que la desigualdad se cumple para t = 1.
n −1 n −1 n −1 n n −1
(22 1 +1)2 = (22 1 )2 + 2(22 1 ) + 1 = (22 1 ) + 2(22 1 )
n n −1
+ 1 y como Fn1 = 22 1 + 1 se tiene que Fn1 < (22 1 +1)2 .
Supongase ahora que para t = k se cumple que
n −1
Fn1 + Fn2 + ...+ Fnk < (22 k + 1)2
para probar que para t = k + 1 se cumple que
n −1
Fn1 + Fn2 + ... + Fnk + Fnk+1 < (22 k+1 + 1)2 .
Sin perdida de generalidad supongase que nk > 1.
Sumando Fk+1 a ambos lados de la hip´tesis inductiva
o
se tiene que
n −1
Fn1 + Fn2 + ... + Fnk + Fnk+1 < (22 k + 1)2 + Fk+1
n −1 n −1 n
pero (22 k + 1)2 + Fk+1 = (22 k + 1)2 + 22 k+1 + 1,
n −1
as´ Fn1 + Fn2 + ... + Fnk + Fnk+1 < (22 k + 1)2 +
ı
n
22 k+1 +1
La idea es probar que
n −1 n n −1
(22 k + 1)2 + 22 k+1 + 1 < (22 k+1 + 1)2 .
Por hipotesis nk < nk+1 , as´ que nk ≤ nk+1 -1,
ı
n −2
2nk −1
nk - 1 ≤ nk+1 - 2, 2 ≤ 22 k+1 ,
n −1 n −2
22 k + 1 ≤ 22 k+1 + 1
n −2 1 n −2
como nt > 1 es claro que 22 k+1 + 1 < 2 2 22 k+1
n −1 1 n −2
as´ 22 k + 1 < 2 2 22 k+1 ,
ı
n −1 n −2 n −1
(22 k + 1)2 < 2 (22 k+1 )2 = 2 (22 k+1 ),
2

8. n −1 n −1 n −1 n −1
(22 k +1)2 + (22 k+1 +1)2 < 2 (22 k+1 ) + (22 k+1 +1)2 ,
n −1 n n −1 n −1
(22 k + 1)2 + (22 k+1 ) + 2(22 k+1 ) +1 < 2 (22 k+1 ) +
n −1
(22 k+1 + 1)2 ,
n −1 n n −1
(22 k + 1)2 + 22 k+1 +1 < (22 k+1 + 1)2
que es lo que se quer´ demostrar.
ıa
Por lo tanto para t = k + 1 se tiene que
n −1
Fn1 + Fn2 + ... + Fnk + Fnk+1 < (22 k+1 + 1)2 .
De (2) y (3) se tiene que
nt −1 nt −1
(22 )2 < Fn1 + Fn2 + ... Fnt < (22 + 1)2 .
Lo cual muestra que la suma de t-n´meros de Fermat
u
Fn1 , Fn2 , ..., Fnt no es un cuadrado perfecto.
3

9. CAPITULO 0
DEFINICIONES
DEFINICION 1.
Sea b un n´mero real positivo, b = 1. El logaritmo en
u
base b de un n´mero x > 0 se define como el n´mero a
u u
que satisface la siguiente relaci´n
o
a
logb x = a ⇐⇒ b = x.
DEFINICION 2.
Dos n´meros enteros a y b son congruentes m´dulo m si
u o
b − a es divisible por m
DEFINICION 3.
n
Los n´meros Fn = 22 + 1 donde n es un entero no
u
negativo, se llaman n´meros de Fermat.
u
DEFINICION 4.
Cualquier ecuaci´n en la que sus soluciones se restrinjan
o
a valores enteros recibe el nombre de ecuaci´n diof´ntica.
o a
DEFINICION 5.
Un n´mero entero positivo m es una potencia perfecta si
u
es de la forma m = nk para n y k enteros positivos.
Si k = 2, m se dice cuadrado perfecto.
Si k = 3, m se dice cubo perfecto.
4

10. DEFINICION 6.
Un conjunto S, de enteros positivos, se dice infinito si
existe una funci´n F biyectiva que aplica el conjunto S
o
en el conjunto de los enteros positivos.
DEFINICION 7.
Una funci´n real F , de variable real, se dice creciente
o
si F (x) ≤ F (y) siempre que x ≤ y para todo par de
elementos x e y en el dominio de F .
DEFINICION 8.
Una suceci´n de n´meros reales {Un }∞ es una funci´n
o u n=1 o
que aplica el conjunto de los n´meros naturales en el
u
conjunto de los n´meros reales.
u
5

11. CAPITULO 1
NOCIONES
PRELIMINARES
TEOREMA 1.
Si p es un n´mero primo y p divide a ab entonces p divide
u
a a o p divide a b.
COROLARIO 1.
Si p es un n´mero primo y p divide a un entonces p divide
u
a u.
COROLARIO 2. ( [10] )
Para enteros a > 1, b> 1 y k =0, todo par de enteros m y
n no negativos que satisfagan la ecuaci´n am −bn = k son
o
acotados por un n´mero calculable que depende solo de k
u
y p(ab), donde p(ab) denota el mayor divisor primo de ab.
PROPOSICION 1.
Si 0 ≤ y ≤ 1 entonces
2
| log(1 + y) | ≤ y, | log(1 − y) | ≤ y.
6

12. LEMA 2.( [9] )
Sean A1 , ..., An enteros positivos. Sean b1 , ..., bn−1 enteros
positivos menores o iguales a B y sea bn un entero positi-
vo menor o igual a M . Sea D = b1 log(A1 )+...+bn log(An ).
B
Si D = 0 entonces |D| > exp−C(log(M )log(An )+ M donde C
es una constante positiva que es efectivamente calculable
en t´rminos de n, A1 , ... y An−1 .
e
TEOREMA 12.2 ( [10] )
Sean T > 0 y m un entero positivo, con m > 1. Existe
un n´mero C2 , calculable, que depende solo de m, p y T
u
tal que la ecuaci´n axm - by n = k, con a, b, k, n, m, y, p
o
enteros positivos, n > 1, k > 1, y >1. mn > 4 y (axm , k)
≤ T implica que max(a, b, k, n, x, y) ≤ C2 .
7

13. CAPITULO 2
DESARROLLO DEL
TRABAJO
LEMA.
Sea (Un )n≥0 una sucesi´n de enteros positivos tales que
o
existe un entero positivo α > 1 y una constante δ, con
0 < δ < 1 tal que la desigualdad
0 < | Un − αn | < αn(1−δ) (1)
se cumple para todo entero positivo n. Entonces existe
una constante calculable C2 que s´lo depende de α y δ
o
q
tal que si Un = x con x > 1 entonces q ≤ C2 .
DEMOSTRACION:
Sean α, q, x y b enteros positivos con b definido as´
ı:
b = Un - αn . (2)
De (1) se sigue que b=0.
Sean C1 ,C2 , ...,n´meros positivos efectivamente calcula-
u
bles en t´rminos de α y δ.
e
As´mase que n > C1 , ya que C1 puede ser elegido lo su-
u
ficientemente grande como se quiera,cumpliendo las exi-
gencias del lema.
Se afirma que
1 - α−nδ ≤ Un
αn . (3)
8

14. En efecto: Supongase que la desigualdad (3) no se cumple,
as´ por la ley de la tricotom´ se tiene que Un < 1 - α−nδ ,
ı, ıa α
n
n
α
de donde Un < αn - αnδ , ahora, como b = Un - αn se tiene
αn αn
que b + αn < αn - αnδ , b < - αnδ pero por (1)
-αn(1−δ) < b < αn(1−δ) por lo cual
αn n
-αn(1−δ) < - αnδ , αn−nδ > α , α(n−nδ+nδ) > αn , αn > αn
nδ
lo cual no es posible. Por lo tanto la desigualdad (3) se
cumple.
n(1−δ)
Por otro lado Un = 1 + αn ≤ 1 + α αn = 1 + α−nδ de
α
n b
donde
Un
αn ≤ 1 + α−nδ . (4)
De (3) y (4)
Un
1-α(−nδ) ≤ αn ≤ 1 + α(−nδ) . (5)
Es claro que para n suficientemente grande
α(−nδ) < 1 .
2 (6)
Tomando los logaritmos y recordando que para
0 < y < 1 se cumple que
2
|log(1 + y) | ≤ y, |log(1 − y) | ≤ y (7)
encontramos que
| q(log(x)) − n(log(α)) | < C3 α(−nδ) . (8)
En efecto, h´gase Un = xq (por hip´tesis), asi
a o
Un xq
|log αn | = |log αn | = | q(log(x)) − n(log(α)) |.
Como la funci´n logaritmo es creciente , de (5), (6) y (7)
o
haciendo y=α(−nδ) se tiene que
xq
|log αn | ≤ |log(1+α(−nδ) | ≤ α(−nδ) < C3 α(−nδ) para algu-
na constante C3 > 1, por lo tanto | q(log(x))−n(log(α)) |
9

15. < C3 α(−nδ) que era lo que se quer´ demostrar.
ıa
H´gase D = q(log(x)) - n(log(α)).
a
Se afirma que D =0. En efecto supongase que D=0, en-
xq xq
tonces q(log(x)) - n(log(α)) = 0, log( αn ) = 0, ( αn ) = 1.
xq
Por (2) αn = 1 + bα(−n) , de manera que 1 = 1 + bα(−n)
lo cual no es posible por ser b=0. Por lo tanto D= 0.
Aplicando el lema 2 (ver capitulo 1) con M = q se obtiene
que
|D| > exp(−C5 (log(q))(log(x)) + n ).
q (9)
Comparando (8) y (9) tenemos que
n
e(x(−C5 [log(q)(log(x))+ q ]) < C3 α(−nδ) . (10)
Como C3 > 1, puede suponerse sin p´rdida de generali-
e
(−nδ) 1
dad que C3 > 2 y como α < 2 se tiene que C3 α(−nδ)
> 1 y como el logaritmo es una funci´n creciente, de la
o
(x[−C5 [log(q)(log(x))+ n ]
desigualdad (10) se tiene que ln(e q ) <
ln(C3 α(−nδ) ), (x[C5 [log(q)(log(x)) + n ]) > -ln(C3 α(−nδ) )
q
(−nδ) 1 nδ
≥ −[ln(C3 )+ln(α = ln C3 + ln(α ), luego
δ
n
q + (ln(q))(lnx)) > n(ln(α
xC5
))
- ln(C3 )
xC5 ≥ nC6 - C7 con C6 =
ln(αδ ) ln(C3 )
xC5 , C7 = xC5 .Pero es claro que nC6 - C7 > nC8 para
alguna constante C8 , por lo tanto n + (ln(q))(ln(x)) >
q
nC8 , de donde
n 1
(ln(q))(ln(x)) > nC8 - q ≥ n(C8 − q ) = nC9 . (11)
De (2) se tiene que ln(xq ) = ln(αn +b) < ln((α + b)n )≤n(ln(α
+ b)) < nC10 por lo tanto
q(ln(x)) < nC10 . (12)
De la desigualdad (12) se tiene que
10

16. q(ln(x))
n < C10 . (13)
Multiplicando (13) y (11) miembo a miembro, se tiene
que
qC9 (ln(x)) < C10 (ln(q))(ln(x)) de donde q(ln(x)) < C10 (ln(q))(ln(x)),
C9
C10
q < C9 (ln(q)) por ser x > 1, luego q < C2 que es lo que
se quer´ probar.
ıa
Notar que la multiplicaci´n miembro a miembro que re-
o
alizamos es correcta, pues, si 0 < a < b, c < d y d > 0
entonces
0 < ad < bd, y ac < ad, de donde ac < bd.
Ahora si se hace a = q(ln(x)) , b = C10 , d = (ln(x))(ln(q)),
n
c = nC9 se tiene la conclusi´n deseada.
o
TEOREMA.
Sea k un entero positivo, sea pk el k-´simo n´mero primo
e u
y q un entero positivo con q > 1.
Si para cualquier entero positivo m se define
xm = q p1 p2 ...pm + 1, entonces existe una constante C1 efec-
tivamente calculable tal que el conjunto S definido por
S = {xn /n≥C1 } tiene la propiedad de que cualquier suma
finita de elementos de S no es una potencia perfecta.
DEMOSTRACION:
Asumase que t ≥ 1 y que n1 < n2 < ... < nt son enteros
positivos tales que
xn1 + xn2 + ... + xnt = xL (a)
donde x y L son enteros positivos con L ≥ 2.
Por hip´tesis tenemos que q > 1 y xnj = q p1 ...pnj + 1 con
o
j = 1, 2, ..., t.
11

17. As´ xL = xn1 + xn2 + ... + xnt = (q p1 ...pn1 + 1) + (q p1 ...pnt
ı
+ 1) + ... + (q p1 ...pnt + 1) > 1 ya que q > 1.
De la desigualdad xL > 1 se sigue que x > 1.
Sin p´rdida de generalidad as´mase que
e u
L es primo, nt ≥ 4, t ≥ 2.
Esta ultima suposici´n es debido a que para t = 1 la
´ o
ecuaci´n (a) se reduce a xn1 = q p1 ...pn1 + 1 y como p1 =
o
2, la ecuaci´n inmediatamente anterior es un caso par-
o
ticular de la ecuaci´n de Catalan xm + 1 = y L con m
o
entero positivo par, y es sabido que esta ecuaci´n no tiene
o
soluciones enteras positivas (x,y,m,L) con L > 1. (En el
art´ ıculo Catalan‘s Conjecture de Ren´ Schoof hay una
e
prueba muy completa de este hecho).
Primero se mostrar´ que existe una constante efectiva-
a
mente calculable C1 que depende solamente de q tal que
L ≤ C1 .
xL = xn1 + xn2 + ... + xnt = xnt +xnt−1 + ... +xn1 =
q p1 ...pnt + 1 + xn1 + ... + xnt−1 = q p1 ...pnt + z con z = 1
+ xn1 + ... + xnt−1 , asi xL = q p1 ...pnt + z.
Por hip´tesis t ≥ 1.
o
Probemos por inducci´n sobre t que
o
t ≤ z = 1 + xn1 + ... + xnt−1 . (1)
Veamos que la desigualdad anterior se satisface para el
primer valor de t, que es 2, ya que se asumi´ que t ≥ 2.
o
xn2−1 + 1 = xn1 + 1 > 2 ya que q > 1.
Sup´ngase ahora que la desigualdad en cuesti´n se cumple
o o
para el k-´simo valor de t, es decir, k ≤ xn1 + ... + xnk−1
e
+ 1 , para probar que para el (k+1)-´simo valor de t se
e
cumple que k + 1 ≤ xn1 + ... + xnk−1 + xnk + 1.
Por hip´tesis de inducci´n k ≤ xn1 + ... + xnk−1 + 1,
o o
12

18. adem´s xnk > 1 por ser q > 1.
a
Estas dos ultimas desigualdades implican que k + 1 ≤
´
xn1 + ... + xnk−1 + xnk + 1. Por lo tanto t ≤ z.
Probemos ahora que
nt−1
z ≤ nt + q p1 ...pi . (2)
i=1
z = 1 + xn1 + ... + xnt−1 = (q p1 ...pn1 + 1) + ... + (q p1 ...pnt−1
nt−1
+ 1) + 1 = q p1 ...pi + (t-1) + 1 ya que por cada xnj
i=1
aparece un uno, y como t ≤ nt se tiene que
nt−1 nt−1
z= q p1 ...pi + t ≤ nt + q p1 ...pi
i=1 i=1
nt−1
p1 ...pi
por lo tanto z ≤ nt + q .
i=1
nt−1
Por otro lado nt + q p1 ...pi = nt + (q p1 ...pn1 ) + ... +
i=1
(q p1 ...pnt−1 ).
Es claro que p1 ...pnj ≤ p1 ...pnt−1 para todo j = 1, 2 ...,
t-1, luego q p1 ...pnj ≤ q p1 ...pnt−1 para todo j = 1, 2, ..., t-1.
nt−1 nt−1
Esta ultima desigualdad implica que
´ q p1 ...pi ≤ q p1 ...pnt−1
i=1 i=1
≤ nt−1 q p1 ...pnt−1 < nt q p1 ...pnt−1 ya que nt−1 < nt ,
nt−1
de manera que q p1 ...pi <nt q p1 ...pnt−1 y como nt < nt q p1 ...pnt−1
i=1
se tiene que
nt−1
nt + q p1 ...pi < 2nt q p1 ...pnt−1 . (3)
i=1
Ahora se probar´ que
a
p1 ...pnt
2nt q p1 ...pnt−1 < q 2 (4)
pnt
o equivalentemente 2nt < q p1 ...pnt−1 ( 2 −1) .
Como nt ≥ 4 es claro que nt < pnt−1 < pnt , de donde se
pn
tiene que nt < pnt si y solo si nt - 1 < 2t - 1
2
13

19. nt pnt
luego p1 ...pnt−1 ( 2 - 1) < p1 ...pnt−1 ( 2 - 1)
as´
ı
nt pnt
q p1 ...pnt−1 ( 2 −1) < q 1 ...pnt−1 ( 2 −1)
. (5)
nt
Como por hip´tesis nt ≥ 4, entonces
o 2 ≥ 2,
nt
2 -1 ≥ 1. (6)
Adem´s pj > 1 para todo entero positivo j y como p1 =
a
2 se tiene que
p1 p2 > 2 (7)
luego p1 ...pnt−1 > 2 y como 0 < nt ≤ pnt−1 se tiene que
2nt ≤ p1 ...pnt−2 pnt−1 . (8)
Notar que tiene sentido hablar de p1 y p2 en (7) ya que
el hecho nt ≥ 4 garantiza por lo menos la existencia de
p1 , p2 , p3 y p4 .
De (6) y (8) se obtiene que
2nt ≤ p1 ...pnt−2 pnt−1 ( nt - 1).
2 (9)
Como por hip´tesis q ≥ 2, se tiene que
o
nt
p1 ...pnt−2 pnt−1 ( nt - 1) < q p1 ...pnt−2 Pnt−1 ( 2 −1) .
2 (10)
De (9) y (10) se tiene que
nt
2nt < q p1 ...pnt−2 pnt−1 ( 2 −1) . (11)
Que era lo que se qer´ probar.
ıa
Ahora como t ≥ 1 de (1), (2), (3) y (4) se obtiene que
nt−1 p1 ...pnt
1 ≤ t ≤ z ≤ nt + q p1 ...pi < 2nt q p1 ...pnt−1 < q 2 .
i=1
Por lo tanto se puede escribir
14

20. xL = xn1 + xn2 + ... + xnt (12)
donde
nt−1 p1 ...pnt
1≤t≤z≤ nt + q p1 ...pi < 2nt q p1 ...pnt−1 < q 2 .
i=1
(13)
Ahora probemos por inducci´n sobre nt que
o
215(pnt −2) ≥ (2nt )2 . (14)
Como 215(pnt −2) ≥ (2nt )2 si y s´lo si 215pnt 2−30 ≥ 22 n2 si
o t
15pnt 2 30 2 32 2
y solo si 2 ≥ 2 2 nt = 2 nt es suficiente probar que
15pnt 32 2
2 ≥ 2 nt .
Por hip´tesis nt ≥ 4, as´ el primer valor que nt puede
o ı
(15)4
asumir es nt = 4 y 2 = 260 ≥ 232 42 si y s´lo si
o
260 ≥ 236 . De esta manera vemos que la desigualdad en
cuesti´n se cumple para el primer valor de nt .
o
Supongase ahora que la desigualdad se cumple para el
k-´simo valor de nt , es decir, si nt = k entonces 215pk ≥
e
232 k 2 . Para probar que cuando nt = k + 1 se cumple que
215pk+1 ≥ 232 (k + 1)2 = 232 [k 2 + 2k + 1].
Por hip´tesis de inducci´n se tiene que 215pk ≥ 232 k 2 luego
o o
15pk
2 + 2 (2k) + 2 ≥232 k 2 + 232 (2k) + 232 =232 [k + 1]2 .
32 32
Por otro lado
215pk+1 ≥ 215pk + 232 (2k) + 232 para nt ≥ 4.
En efecto:
215pk+1 ≥ 215pk + 232 (2k) + 232 si y s´lo si o
15pk+1 15pk 32
2 -2 ≥ 2 [2k+1]si y s´lo si o
15pk+1 −32 15pk −32
2 -2 ≥ 2k + 1 si y s´lo si
o
15pk −32 15pk+1 −32−(15pk −32)
2 [2 − 1] ≥ 2k + 1 si y s´lo si
o
15pk −32 15(pk+1 −pk )
2 [2 − 1] ≥ 2k+ 1.
Es suficiente probar que la ultima desigualdad es cierta.
´
15

21. En efecto:
como 15pk+1 ≥ 15pk + 1 entonces 215pk+1 ≥ 215pk +1 , de
donde 215pk+1 2−15pk ≥ 2, por lo tanto 215pk+1 −pk - 1 ≥ 1
Por otro lado 13pk ≥ 33, por ser pk ≥ 7, 15pk ≥ 2pk +
1 + 32, 15pk - 32 ≥ 2pk + 1, 215pk −32 ≥ 2pk +1 ≥ 22k+1 ≥
2k + 1, as´ 215pk −32 ≥ 2k + 1.
ı
Hemos probado que
215pk −32 ≥ 2k + 1 y que 215(pk+1 −pk ) - 1 ≥ 1
y estas dos desigualdades implican que
(215pk −32 )(215(pk+1 −pk ) - 1) ≥ 2k + 1
de donde se tiene que
215pk+1 ≥ 215pk + 2k232 + 232
y como 215pk+1 ≥ 215pk + 2k232 + 232 ≥ 232 [k + 1]2 se
tiene que 215pk+1 ≥ 232 [k + 1]2 que es lo que se quer´ ıa
demostrar.
Si en la f´rmula (12) hacemos k = L y consideramos la
o
sucesi´n Un definida como sigue, Un = q n + z con n =
o
p1 ...pnt , obtenemos xk = Un . Adem´s al comienzo de esta
a
demostraci´n se prob´ que x > 1.
o o
n n
Por otro lado Un = q + z implica que | Un −pq...p| = | z |
1 nt
y como por la desigualdad (13) 0 p<1≤ z < q 2 ,
p1 ...pnt p1 ...pnt 1 ...pnt
- q 2 < z < q 2 , | z | < q 2 . Haciendo δ = 1 2
observamos que todas las hip´tesis del lema anterior se
o
cumplen, as´ este lema nos garantiza la existencia de una
ı,
constante C2 que depende solo de q talque L < C2 .
Hagase C1 = C2 y as´mase que n1 > C1 se cumple en la
u
f´rmula (12). En este caso nt > n1 > C1 , y como L es
o
primo, se sigue que L = pi para alg´n i < nt , notar que
u
i < nt debido a que L<C1 <nt ≤pnt .
p p ...p
Haciendo N = 1 2pi nt la ecuaci`n (12) puede ser
o
16

22. reescrita como z + xpi = q N pi o equivalentemente
z = q N pi - xpi = (q N - x)(q N (pi −1) + xq N (pi −2) + ... +
xpi −1 ). (15)
Como q > 0, entonces el segundo factor de (15) es posi-
tivo, es decir q N (pi −1) + xq N (pi −2) + ... + xpi −1 > 0.
Adem´s de la desigualdad (13) se tiene que z > 0, por lo
a
que el primer factor de(15), q N - x, es positivo , esto es,
q N - x > 0. p ...p
p1 ...pnt
p 1 nt
Adem´s, por (13), q 2 > z, as´ q i 2pi > z si y s´lo
a ı o
Npi
si q 2 > z
Npi
por lo que q 2 > z = (q N - x)(q N (pi −1) + xq N (pi −2) +
Npi
... + xpi −1 ) > q N (pi −1) de esta manera q 2 > q N (pi −1) ,
obteni´ndose as´ Npi > N (pi - 1), pero pi > pi - 1 si
e ı 2 2
y s´lo si pi > 2pi - 2 si y s´lo si 2 > pi lo cual es una
o o
contradicci´n ya que los pi son n´meros primos positivos.
o u
PROPOSICION.
No existe un conjunto infinito de enteros positivos S,
tales que para todo n ≥ 1 y cualquier n-elementos distin-
n
tos x1 , ..., xn de S la suma xi es una potencia perfecta.
i=1
DEMOSTRSCION.
As´mase que existe un tal conjunto.
u
Sea p cualquier n´mero primo fijo, entonces infinitos el-
u
ementos de S est´n en la misma clase de congruencia
a
modulo p.
∪Sk
En efecto: Sea Sk = { s S / s [k] } entonces S = 0≤k≤p−1 .
Si todos los Sk fueran finitos entonces S ser´ finito, ab-
ıa
17

23. surdo. Entonces alg´n Sk es finito.
u
Descartando los elementos restantes de S, podemos asumir
que todos los elementos de S est´n en la misma clase de
a
congruencia modulo p.
Denotemos los elementos de S por x1 , x2 , ..., xn , ..., con
x1 <x2 <...<xn < ...
p
Para cualquier i ≥ 1, sea yi = x(i−1)p+s .
s=1
Esto es y1 = x1 + x2 + ... + xp , y2 = xp+1 + xp+2 + ...
+ x2p , etc.
Notar que cada yi es la suma de p-elementos de S.
Como se han considerado los elementos de S como ele-
mentos de una misma clase de congruencia [k] , entonces
xj = k + pmj , para cualquier j ≥ 1, as´ ı
p
yi = x(i−1)p+s = x(i−1)p+1 + x(i−1)p+2 + ... + x(i−1)p+p
s=1
= x(i−1)p+1 + x(i−1)p+2 + ... + xip = (k + pm(i−1)p+1 )
+ (k + pm(i−1)p+2 ) + ... (k + pmip ) = p[k + m(i−1)p+1 +
m(i−1)p+2 + ... + mip ].
De esta manera hemos visto que para cada i ≥ 1, yi es
m´ltiplo de p.
u
El conjunto S definido as´ S = { yi / i ≥ 1} tiene la
ı
misma propiedad que el cojunto S, debido a que sumar
un n´mero finito de elementos de S se reduce a sumar un
u
n´mero finito de elementos de S. El argumento anterior
u
muestra que se puede asumir que todos los elementos de
S son multiplos de p, pues si hay dudas con el conjunto
S se puede trabajar con el conjunto S .
Sea i ≥ 1 arbirario. Como xi y x1 +xi son ambos poten-
cias perfectas, esto muestra que la ecuaci´n
o
x 1 = um - v n (6)
18

24. tiene infinitas soluciones enteras positivas (u, v, m, n)
con min{m, n } ≥ 2, donde p divide a u y v.
Lo anterior se consigue haciendo xi = v n , x1 + xi = um
para ciertos u, v, m, n enteros positivos.
Veamos que p divide a u.
Sabemos que si p divide a ab y p es primo entonces p
divide a a o p divide a b.
Como cada elemento de S es multiplo de p entonces x1 +
xi es multiplo de p y como x1 +xi = um entonces p divide
a u.
De forma similar vemos que p divide a v.
Como x1 es fijo y v, u, m, n variables en la ecuaci´n o
(6), el hecho de que p divide a v y u, implica que existe
una constante C3 (que depende solo de p y x1 ) tal que
2 ≤ min{n, m} < C3 , que contradice el teorema 12.2.
La existencia de la consante C3 es garantizada por el
corolario 2.(Ver nociones preliminares).
19

25. CONCLUSIONES
1. Existen subconjuntos S, infinitos, de enteros posi-
tivos tales que la suma de cualesquiera n-elementos
distintos de S, con n entero positivo, no es una po-
tencia perfecta.
2. Existen infinitos conjuntos que cumplen la propiedad
anterior; esto es debido a que el n´mero p usado en
u
la demostraci´n del teorema, pagina 11, es un entero
o
arbitrario.
3. No existe un subconjunto A, infinito, de enteros
positivos tal que la suma de cualesquiera n-elementos
distintos de A sea una potencia perfecta, con n entero
positivo.
4. La teor´ de n´meros moderna ofrece un amplio cam-
ıa u
po para realizar investigaciones.
20

26. BIBLIOGRAFIA
[1 ] ANTHONY J.Pettofreso. Introducci´n a la teor´ de
o ıa
n´meros.
u
[2 ] BURTON W . Jones. Teor´ de los n´meros, 1969.
ıa u
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[4 ] F.Luca, Distinct digits in base b expansios of linear
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px2 = q y1 − q y2 .
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la teor´ de n´meros, 1969.
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[10 ] T.N.Shorey & R.Tijdeman, Exponential diophan-
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40 y 202.
21