1. UNED. ELCHE. e-mail: imozas@elx.uned.es
TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (2º A.D.E.) http://telefonica.net/web/imm
EJERCICIOS DE SERIES NUMÉRICAS PROPUESTOS EN EXÁMENES
∞
1.- Estudie el carácter de la serie numérica ∑ n =1
1
n
. (Febrero 2002, ex. or.)
∞
Solución.- Puesto que
1
≥
n n
1
, n = 1, 2, 3, ....y la serie ∑n =1
1
n
es divergente, la serie
propuesta será divergente.
∞
∑
ln n
1
2.- Estudiar el carácter de   .(Febrero 2002, ex. res.)
n =1
2
1 1
Solución.- 2ln n < eln n = n ⇒ ≥
, n = 1, 2, 3, ...., luego la serie propuesta diverge.
ln n
2 n
∞
3.- Utilizando el criterio de D’Alembert, demostrar que
 nn 
  es divergente.
 n! 
n =1  
∑
(Septiembre 2002, ex. or.)
(n + 1)n +1
a
Solución.- lim n +1 = lim
(n + 1)! = lim
n + 1  n + 1
·
n
n →∞ n + 1
 = e > 1, luego por el criterio de
n →∞ a
n nn
n →∞
 n 
n!
D’Alembert, la serie dada es divergente.
∞
4.- Utilizando el criterio de D’Alembert, demostrar que
∑ n =1
 n! 
 n  es convergente.
n 
(Septiembre 2002, ex. res.)
(n + 1)!
a
= lim
(n + 1)n +1 = lim
n +1 n  1
n
Solución.- lim n +1 ·
n →∞ n + 1 n + 1
 = < 1 luego por el criterio de
n →∞ a
n
n!
n →∞
  e
nn
D’Alembert, la serie dada es convergente.
∞
∑
2
5.- Demuestre si es convergente o no la siguiente serie numérica: ne − n (Enero
n =1
2003, ex. or.)
Solución.-
Por el criterio de D’Alembert :
n +1
2
e ( n +1) = lim (n + 1)e = lim n + 1·1· 1  = 0 < 1
n
a n +1
lim = lim  2n 
n ne ( n +1)
2
n →∞ a
n
n →∞ n →∞ n →∞
 n ee 
2
en
luego la serie es convergente.
–1/2– Ejercicios de series numéricas propuestos en exámenes

2. UNED. ELCHE. e-mail: imozas@elx.uned.es
TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (2º A.D.E.) http://telefonica.net/web/imm
∞
∑
2
 n −1
6.- Demuestre si es convergente o no la siguiente serie numérica:  
n =2
 n 
(Enero 2003, ex. res)
Solución.-
Es divergente ya que no cumple la condición necesaria de convergencia. En efecto:
2
 n −1
lim a n = lim   =1≠ 0
n →∞ n →∞
 n 
∞
∑( )
n
7. Estudiar el carácter de la serie n
n − 1 (Septiembre 2003, ex. res)
n =2
Solución.-
Aplicamos el criterio de Cauchy: lim n a n = lim
n →∞ n →∞
( n
)
n − 1 = lim n n − 1 = 1 − 1 = 0 <1 luego
n →∞
la serie es convergente.
∞
8. Estudiar el carácter de la siguiente serie: ∑ n =1
n2 +1
na n
, a > 0. (Septiembre 2004, ex.
res)
Solución.-
(n + 1)2 + 1
Aplicamos el criterio de D’Alembert: lim
a n +1
= lim
(n + 1)a n +1 lim [(n + 1)2 + 1]n = 1 .
n →∞ a
n
n →∞ n 2 + 1 n →∞ a (n + 1)(n 2 + 1) a
na n
Hay tres casos:
- si 0 < a < 1 → DIVERGENTE
- si a > 1 → CONVERGENTE
n2 +1
- si a = 1 → DIVERGENTE, por que el término general → ∞.
n
–2/2– Ejercicios de series numéricas propuestos en exámenes