mate3

1. CÁLCULO VECTORIAL
Notas de clase
Profesor: A. Leonardo Bañuelos Saucedo

2. S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S
TEMA IV
INTEGRALES MÚLTIPLES
INTEGRALES ITERADAS Y ÁREA EN EL PLANO
Desde el curso de Cálculo II se estudió la forma de derivar parcialmente a una
función de varias variables, derivando con respecto de una variable mientras las
demás permanecían constantes. En este tema se procederá de manera similar para
integrar funciones de varias variables.
Por ejemplo, para realizar una integral doble de la función sobre
una región se utiliza la notación , posteriormente la región
se convierte en límites de integración, por lo que
el orden en el que se escriben las diferenciales es importante debido a que indica
el orden de integración.
Las integrales iteradas se realizan de adentro hacia afuera, y para realizar
la integral con respecto de , , se considera a como
constante.
Geométricamente una integral del tipo o bien
representa el área de la región encerrada por las curvas
, ; o bien , .
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Evaluar la integral doble
Resolución
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Utilizar integración doble para obtener el área de la región
Resolución
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
INTEGRALES DOBLES Y VOLÚMENES
Así como la integral definida tiene como interpretación geométrica
el área bajo la curva de , al realizar una integral doble agregando una
función escalar, se puede tener como interpretación, el volumen bajo la superficie
; sin embargo, su aplicación no se restringe a volúmenes, mediante

3. INTEGRALES MÚLTIPLES 2
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S
integración múltiple se pueden calcular probabilidades, centroides, centros de
masa, centros de gravedad, etc.
Definición
Dada una función definida sobre una región acotada en el
plano , entonces la integral doble de sobre se define como
siempre y cuando el límite exista.
Como se dijo, la interpretación geométrica de la integral doble es el
volumen bajo la superficie definida por , siempre que . La siguiente figura
muestra un paralelepípedo representativo de las sumas de Riemann.
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Utilizar integración doble para obtener el volumen del siguiente sólido.
Resolución
La región de integración es:
Por lo que:
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Obtener el volumen del siguiente sólido mediante integración doble.

4. CÁLCULO VECTORIAL 3
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S
Resolución
La región de integración es:
Por lo que:
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Evaluar la integral
en coordenadas cartesianas, e invirtiendo el orden de integración.
Resolución
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
CAMBIO DE VARIABLES: COORDENADAS POLARES
En algunas ocasiones, debido a la geometría del problema, es mucho más sencillo
resolver la integral se recurre a un cambio de variables; en particular si la
geometría involucra circunferencias, entonces las coordenadas polares pueden
resultar muy útiles.
Teorema
Sea una función continua definida sobre una región plana
cerrada , entonces la integral doble de sobre la región es
igual a
Debe de recordarse que la diferencial de área en coordenadas cartesianas
es , y en coordenadas polares es , donde además de las
diferenciales de las variables, aparece el jacobiano de la transformación.
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Utilizar integración doble para obtener el área de la región encerrada por
la curva , definida en coordenadas polares.

5. INTEGRALES MÚLTIPLES 4
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S
Resolución
Evidentemente, la geometría de la región posee circunferencias, por lo
que es más fácil resolver la integral utilizando coordenadas polares.
O bien,
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Obtener el área de la región limitada por , empleando
integración doble.
Resolución
La región de integración es:
por la simetría de la figura, se tiene:
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
El siguiente ejemplo muestra la forma en la que se pueden utilizar las
coordenadas polares para la obtención de un volumen, utilizando integración
doble.
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Obtener el volumen del sólido limitado por las gráficas de
, , ,
Resolución
La región de integración es una corona circular, formada por la región
comprendida entre las circunferencias con radios 1 y 3.
Por la simetría de la región y de la superficie, se tiene:
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Evaluar la integral iterada cambiando a coordenadas polares
Resolución
La región de integración es:

6. CÁLCULO VECTORIAL 5
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))
CAMBIO DE VARIABLES: JACOBIANOS
Cuando la geometría del problema no corresponde a la cartesiana ni a la polar, se
pueden utilizar otros sistemas coordenadas, para ello se deben conocer las
ecuaciones de transformación y el jacobiano de la transformación.
Teorema
Sea una región en el plano y su transformación en el
plano , que se obtiene mediante las ecuaciones de
transformación y . Entonces bajo
ciertas condiciones de continuidad y derivabilidad se tiene que:
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Calcular la integral doble
Si
Sugerencia: Observar que , y
proponer una transformación adecuada.
Resolución
De la factorización
,
y utilizando el cambio de variables
de donde ,
Transformando se tiene:
,
Y se tiene la región de integración
De donde
Pero
Por lo que
Esta integral, todavía es complicada, por lo que para simplificarla se
realiza otro cambio de variables. Se cambia a coordenadas polares.
La región de integración en coordenadas polares es:

7. INTEGRALES MÚLTIPLES 6
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S
De donde la integral queda:
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
El problema anterior muestra una integral en la que se requirieron dos
cambios de variable para su solución. Cada cambio de variable que se realice
deberá ir acompañado de su respectivo jacobiano de la transformación.
ÁREA DE UNA SUPERFICIE
Así como en el curso de Cálculo Integral y en el tema II de Cálculo Vectorial se
obtuvo mediante integración la longitud de arco, utilizando integración doble es
posible obtener el área de una superficie alabeada.
Definición
Si y sus derivadas parciales primeras son continuas en una
región cerrada del plano , entonces el área de la superficie
sobre la región está dada por:
Así como la longitud de arco se denota con la letra (ese minúscula), el
área de una superficie alabeada se denota con la letra (mayúscula).
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Obtener el área de la superficie definida por sobre
el triángulo con vértices , y .
Resolución
La geometría de este problema es rectangular, por lo que se resuelve en
coordenadas cartesianas.
La región de integración es:
Por lo que
unidades de área.
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Si el problema lo requiere, es posible transformar a otro sistema
coordenado para resolver la integral.
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Determinar el área de la superficie , que está dentro
de .
Resolución
Del cilindro

8. CÁLCULO VECTORIAL 7
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S
La superficie es una esfera, por lo que tiene dos porciones con la misma
área.
,
cambiando a coordenadas polares y usando simetría nuevamente
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Calcular el área de las porciones del cilindro que están
dentro del cilindro .
Resolución
Por la geometría del problema, en cada octante existe una porción de la
superficie con igual área, por lo que al analizar el primer octante se
tiene:
, y la región de integración es
por lo que:
El área de una superficie alabeada está dada por:
Por la geometría del problema y sustituyendo las parciales
La gráfica de las superficies para es:
En el primer octante:

9. INTEGRALES MÚLTIPLES 8
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S
La figura completa es:
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Si la superficie está dada en forma paramétrica entonces se utiliza el
producto cruz entre las derivadas parciales para obtener el área de la superficie
alabeada, esto es:
Si
con , ; entonces
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo
Obtener el área superficial de un cilindro definido por las ecuaciones
, ,
para ,
Resolución
La superficie escrita en forma vectorial es:
de donde:
Por lo que
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))
APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES:
CENTRO DE MASA Y MOMENTOS
Considérese una lámina de densidad constante, por ejemplo la lámina
correspondiente a la región en el plano que se muestra a continuación.

10. CÁLCULO VECTORIAL 9
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S
La densidad para una lámina está dada por la expresión
donde es la masa de la lámina cuya área es .
Si se conoce la densidad de la lámina, entonces es fácil de obtener su
masa utilizando el siguiente desarrollo
y puesto que es constante
El resultado anterior se puede generalizar para el caso en el que la
densidad no sea constante, es decir, cuando la densidad sea una función
del punto estudiado.
Definición
La masa de una región en el plano, cuya densidad está
representada por la función continua es
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Obtener la masa de la lámina limitada por las gráficas de
, considerando
a) , es una constante
b) , es una constante
Resolución
a) Puesto que la densidad es constante, la masa está dada por
. . . (a)
y la región es
Puesto que la región es un semicírculo, su área es
y la expresión (a) se reduce a
b) Puesto que la densidad es variable, la masa está dada por
. . . (b)
de donde
integrando

11. INTEGRALES MÚLTIPLES 10
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S
. . . (c)
Utilizando sustitución trigonométrica para resolver la integral
con
, ,
y para los límites, cuando , : y cuando
entonces .
Se tiene
Finalmente al resolver la integral (c) y simplificar se obtiene
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Definición
Las coordenadas del centro de masa de una lámina se obtiene
mediante
,
donde
son los momentos de la lámina con respecto a los ejes y
respectivamente.
Intuitivamente el centro de masas es un punto en el cual se puede
concentrar toda la masa de un cuerpo para su estudio, y los momentos y
son medidas de la tendencia que presenta un cuerpo a girar alrededor de los ejes
y . Es conveniente observar, que en el caso de cuerpos con densidad constante,
las expresiones para obtener el centro de masa se simplifican de la siguiente forma
y análogamente
Las coordenadas anteriores
proporcionan el centroide de la lámina. De lo anterior se puede concluir que,
cuando la densidad es constante, entonces su centro de masa y su centroide
coinciden en el mismo punto.

12. CÁLCULO VECTORIAL 11
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Obtener el centro de masa de la lámina contenida en la región y
densidad .
: rectángulo con vértices , , ,
, es una constante.
Resolución
Para obtener el centro de masa, es necesario obtener primero la masa de
la lámina y los momentos.
Para la masa
Para los momentos
Finalmente
El centro de masa está localizado en el punto .
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Definición
Los momentos de segundo orden, o momentos de inercia de una
lámina con respecto a los ejes y están dados por
y
El momento de inercia de un cuerpo, es una medida de la oposición que
presenta la materia a un cambio de movimiento rotatorio.
Definición
El momento polar de inercia de una lámina se define como la
suma de los momentos e
Si la lámina está en el plano , entonces representa el momento de
inercia de la lámina respecto al eje .
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Obtener , e para la lámina limitada por las gráficas de las
ecuaciones y , considerando , donde es una
constante.
Resolución

13. INTEGRALES MÚLTIPLES 12
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
INTEGRALES TRIPLES
El caso más simple de una integral triple puede presentarse como una
generalización de una integral doble. Supóngase que se desea obtener el volumen
de un cuerpo cualquiera, puesto que en coordenadas cartesianas la diferencial de
volumen , es igual a , entonces para obtener el volumen del sólido se
deben sumar todas las diferenciales de volumen, de donde se obtiene la expresión
donde representa una región en y el orden en el que aparecen las
diferenciales puede conmutarse.
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Obtener el volumen del sólido limitado por las gráficas de ,
, , , y utilizando integración triple.
Resolución
El sólido cuyo volumen se desea obtener es
de donde
unidades de volumen
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Obsérvese como la integral doble que se obtiene al
integrar con respecto de la integral triple original proporciona el volumen bajo
la superficie y contenida en la región , , y ,
de ahí que la integral triple sea una generalización de la doble.
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Evaluar la siguiente integral
Resolución

14. CÁLCULO VECTORIAL 13
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Plantear el volumen del sólido mostrado en la figura empleando los
órdenes de integración indicados
a) b) c)
Resolución
a)
b)
c)
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Representar la región cuyo volumen está dado por la integral
Resolución
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CURVILÍNEAS
Cuando la geometría del problema no corresponde a la cartesiana, el problema
puede ser resuelto con facilidad en otro sistema coordenado, recordando que si se
transforma un sistema a otro, las diferenciales se ven afectadas por el jacobiano
de la transformación.
Si se transforma a las coordenadas entonces
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Obtener el volumen del sólido limitado inferiormente por el interior de
la hoja superior del cono de ecuación y superiormente
por la esfera .
Resolución
Se desea obtener el volumen de

15. INTEGRALES MÚLTIPLES 14
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S
Puesto que el problema involucra una esfera, se utilizan coordenadas
esféricas.
La ecuación de la esfera en coordenadas esféricas es
La esfera y el cono se intersectan en
,
y de las ecuaciones de transformación se tiene que
de donde
y se tiene
unidades de volumen.
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES
Al igual que las integrales dobles, las integrales triples pueden utilizarse para
obtener el centro de masa y los momentos, pero para cuerpos sólidos. Entre otras
aplicaciones.
Centro de masa y momentos
Siunaregión tieneunafunción de densidad para cada punto
de la región, entonces:
La masa de una región está dada por
Los primeros momentos de la región con respecto a los planos ,
y están dados por
El centro de masa de la región sólida es , donde
, ,
Los segundos momentos o momentos de inercia con respecto a los ejes
, y están dados por
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

16. CÁLCULO VECTORIAL 15
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S
Ejemplo
Obtener las coordenadas del centro de masa de un sólido semiesférico de
densidad uniforme de radio .
Resolución
Se plantea:
Puesto que y , donde es constante y el volumen de la
semiesfera es , entonces la masa de la semiesfera es
.
además por la simetría de la figura y su densidad constante se tiene que
Y para obtener se tiene que plantear donde
Por la geometría del problema se utiliza un cambio a coordenadas
esféricas, por lo que
Finalmente
Las coordenadas del centro de masa son:
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Una esfera de radio igual a 5 unidades tiene una densidad
(masa/volumen) que es directamente proporcional al cuadrado de la
distancia a su centro. Si la densidad en la superficie de la esfera es de 25,
determinar la masa de la esfera.
Resolución
; cuando
y la densidad
Si se coloca la esfera con centro en el origen, su ecuación será:
y la densidad
En coordenadas esféricas: (esfera) ; (densidad).
Usando coordenadas esféricas, y planteando la integral para obtener la
masa:
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

17. INTEGRALES MÚLTIPLES 16
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S
TEOREMAS INTEGRALES
TEOREMA DE GREEN
El teorema de Green, que proporciona una relación entre la integral doble sobre
una región y una integral de línea, recibe su nombre en honor del matemático
inglés George Green (1793-1841).
Teorema de Green
Sea una región simplemente conexa y la curva orientada en
sentido positivo, la frontera de , si , , y son
continuas en
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Utilizar el teorema de Green para evaluar la integral
donde es la frontera de la región contenida entre las gráficas de
e .
Resolución
La curva es
y utilizando el teorema de Green
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Utilizar el teorema de Green para evaluar
donde es la circunferencia con centro en y radio .
Resolución
Del teorema de Green se tiene
pero , por lo que
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Utilizar el teorema de Green en el plano para obtener
a lo largo del triángulo de vértices , y , como se

18. CÁLCULO VECTORIAL 17
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S
indica en la figura.
Resolución
Puesto que no es conservativo, debe evaluarse la integral. Debido a
que la trayectoria se recorre en sentido negativo, se tiene:
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Un resultado interesante del teorema de Green se tiene cuando
es igual a 1, con lo que es igual al
área de la región .
De las múltiples combinaciones posibles de y que satisfacen la
condición anterior, se acostumbra elegir y , con lo que se tiene
el siguiente teorema para obtener el área de una región .
Teorema
El área de una región plana , limitada por una curva cerrada
simple suave por partes se puede obtener mediante la expresión
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Utilizar una integral de línea para obtener el área de la región limitada
por la gráfica de .
Resolución
La región es
El área se obtiene mediante
Si
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
INTEGRALES DE SUPERFICIE
Anteriormente se integró sobre una superficie plana, es decir, se integró una
función sobre una región plana limitada por curvas. Ahora se integrará una
función sobre una superficie en el espacio.

19. INTEGRALES MÚLTIPLES 18
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S
Teorema
Sea una superficie de ecuación y su proyección
en el plano . Si , y son continuas en y es
continua en , entonces la integral de superficie de sobre es
Si la superficie es una función de y o de y , es decir, si
o se pueden hacer los ajustes en la región y
reescribir el teorema anterior.
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Evaluar donde es la superficie ,
Resolución
Puesto que se tiene a despejada y está en el plano se tiene
Para el ejemplo
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Calcular , donde : ,
Resolución
Empleando coordenadas polares se tiene
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Obsérvese, como caso particular de la integral de superficie, el hecho de
que cuando se tiene que
Área de la superficie
y la integral de superficie proporciona, como caso particular, el área de la
superficie.

20. CÁLCULO VECTORIAL 19
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S
Por otra parte, si una lámina descrita por la superficie tiene una
densidad variable , entonces la masa de la lámina está dada por
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Obtener la masa de la lámina superficial cuya ecuación es
y tiene una densidad descrita por
, donde es una constante.
Resolución
Puesto que , entonces
donde es el área de la región .
Finalmente
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Al igual que la integral de línea se expresó como
donde el vector tangente unitario proporcionaba la orientación positiva de la
curva , la integral de superficie puede escribirse en forma vectorial como
siendo un campo vectorial definido en una región que contiene a y un
vector normal unitario a la superficie .
Una forma práctica para obtener un vector normal unitario a una
superficie, es mediante el concepto de gradiente. Para una superficie descrita
por , haciendo , se pueden obtener
entonces los vectores unitarios normales a según
Normal unitario hacia arriba.
Normal unitario hacia abajo.
La integral de superficie escrita en forma vectorial tiene como principal
aplicación el cálculo del flujo a través de una superficie .
Definición
Sea el campo vectorial , donde
, y tienen primeras derivadas parciales continuas en la
superficie orientado mediante un vector normal unitario .
Entonces la integral del flujo de a través de está dada por

21. INTEGRALES MÚLTIPLES 20
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S
En forma práctica la expresión anterior se simplifica, puesto que
de donde, para valuar una integral de flujo se utilizan las siguientes expresiones
orientada
hacia arriba
orientada hacia
abajo
donde la superficie está dada por y es su proyección en el plano
.
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Obtener el flujo de a través de , utilizando la integral
donde .
(primer octante)
: orientado hacia arriba
Resolución
De la superficie la región es
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Obtener el flujo al exterior de sobre
el cubo unitario limitado por las gráficas de , , ,
. y .
Resolución
El cubo está limitado por 6 planos.
: plano
: plano
: plano
: plano
: plano

22. CÁLCULO VECTORIAL 21
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S
: plano
Finalmente, el flujo neto al exterior está dado por
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA
Una generalización del teorema de Green se llama teorema de la divergencia. El
teorema de la divergencia proporciona la relación entre una integral triple en una
región sólida y una integral de superficie sobre la superficie de .
Teorema
Sea una región sólida limitada por una superficie cerrada
orientada por un vector normal unitario dirigido al exterior de .
Si es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen
derivadas parciales continuas en , entonces
El teorema de la divergencia puede aplicarse para obtener el flujo a través
de una superficie, tal como se ilustra en el siguiente ejemplo.
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Utilizar el teorema de la divergencia para evaluar
y obtener el flujo al exterior de a través de la superficie del sólido
limitado por las gráficas de , , , , y
, siendo
Resolución
Puesto que , se tiene flujo.
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Utilizar el teorema de la divergencia para evaluar
y obtener el flujo al exterior de a
través de la superficie del cuerpo limitado por las gráficas de y
Resolución
El flujo está dado por:
de donde
utilizando coordenadas cilíndricas

23. INTEGRALES MÚLTIPLES 22
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Utilizar el teorema de la divergencia para evaluar
si y
es la superficie limitada por , , y
en el primer octante.
Resolución
Del teorema de la divergencia
La región de integración es:
por lo que
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
TEOREMA DE STOKES
Otra generalización del teorema de Green a más dimensiones es el teorema de
Stokes, que recibe su nombre en honor del físico y matemático inglés George
Gabriel Stokes (1819 - 1903).
El teorema de Stokes proporciona la relación entre una integral de
superficie sobre una superficie orientada y una integral de línea a lo largo de
una curva cerrada que forma la frontera de .
Teorema
Sea una superficie orientada, limitada por una curva cerrada
simple , suave por partes. Si es un campo con funciones
componentes con derivadas parciales continuas en , entonces
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Utilizar el teorema de Stokes para evaluar

24. CÁLCULO VECTORIAL 23
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S
donde y
es el triángulo con vértices , y .
Resolución
Sean , y
entonces
por lo que
La superficie tiene como vector normal a , ecuación
y puesto que
El rotacional de es
de donde
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Utilizar el teorema de Stokes para evaluar
donde es el triángulo con vértices , y .
Resolución
Puesto que
El vector normal unitario al plano orientado hacia arriba, está dado por
puesto que el plano es , y además ,
de donde
Por lo que, del teorema de Stokes
Puesto que es el área de la región de integración, y la región es
el triángulo con vértices , y , se tiene
que
Finalmente
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

25. INTEGRALES MÚLTIPLES 24
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S
BIBLIOGRAFÍA
Cálculo, Conceptos y Contextos.- Stewart, James.- Editorial Thomson.- Tercera
Edición.- México, 2006.
Cálculo Vectorial.- Marsden, Jerrold E. y Tromba, Anthony J.- Pearson Addison-
Wesley , S.A.- Quinta edición.- Madrid, 2004.
Análisis Vectorial.- Davis, Harry F. y Snider, Arthur David.- McGraw-Hill.-
Primera edición.- México, 1992.
Cálculo y Geometría Analítica.- Larson, Roland P. , Hostetler, Robert P. y
Edwards, Bruce H. -McGraw-Hill.-Octava edición.- China, 2006.
Cálculo Vectorial.- Pita Ruiz, Claudio.- Prentice Hall Hispanoamérica S.A.-
Primera edición.- México, 1995.
Cálculo con Geometría Analítica.- Zill, Dennis G.- Grupo Editorial Iberoamérica.-
Primera edición.- México, 1987.
Cálculo con Geometría Analítica.- Swokowski, Earl W.- Grupo Editorial
Iberoamérica.- Segunda edición.- México, 1988.
El Cálculo con Geometría Analítica.- Leithold, Louis.- HARLA.- Sexta edición.-
México, 1992.
Cálculo, Tomo 2.- Smith, Robert T. y Minton, Roland B.- Segunda edición.-
McGraw-Hill.- Madrid, 2002.