1. CEDART<br />“DAVID ALFARO SIQUEIROS”<br />TRABAJO FINAL DE ALGEBRA<br />PROFESOR: Víctor Manuel Morales Arzaga<br />ALUMNO: Gilberto Guzmán Carillo<br />GRUPO: 1 A<br />DICIEMBRE 2010<br />Índice<br />División<br />Productos notables<br />Multiplicación<br />Resta<br />Suma<br />Objetivo general<br />Este trabajo tiene como propósito hacer que el alumno desarrolle, explore, domine y aprenda más del álgebra que se nos enseña en el salón de clases, para que futuramente se le faciliten este tipo de problemas.<br />Además se espera que el resultado de la calificación que se obtenga del trabajo, contribuya a que el alumno que lo realiza tenga una calificación aprobatoria para el semestral.<br />División<br />Definir la división algebraica.<br />La división algebraica representa la razón de cambio entre dos funciones.<br />La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo.<br />Propiedades de la división.<br />Propiedad 1. Operación No Interna:<br />El resultado de dividir dos números naturales (esto es, su cociente) no tiene por qué salir otro número natural. Por esto se dice que el cociente de números naturales no es una propiedad interna, el resultado final puede pertenecer a otro conjunto numérico. <br />Por ejemplo, esto ocurre cuando el segundo término es mayor que el primero, ¿qué pasaría si hiciéramos 2/4 en lugar de 4/2? El resultado es 0.5<br />Propiedad 2. No Conmutativa:<br />El orden de los sumandos influye mucho en el resultado de una división. Como ya hemos visto: 2/4 no es igual que 4/2<br />Propiedad 3. Elemento Neutro:<br />Un elemento Neutro es un número que hace que al dividir quot;
no ocurra nadaquot;
, o sea, cuando tenemos un número y lo dividimos entre su elemento neutro, nos sigue apareciendo el mismo número. Así el 1 es el elemento neutro de la división porque cuando a un número cualquiera lo dividimos entre 1, se sigue quedando el mismo número. Por ejemplo: 3/1=1<br />Propiedad 4. El cero y la división:<br />Cero dividido entre cualquier número siempre da 0.<br /> <br />Propiedad 5, División exacta:<br />En una división exacta el dividendo es igual al divisor por el cociente. D = d · c<br />Propiedad 6. División externa:<br />En una división entera el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto.<br />D = d · c + r<br />Elementos (partes) de la división.<br /> Dividendo: Es lo que se desea dividir<br /> Divisor: Es en cuantas partes se quiere dividir<br /> Cociente: Es en cuantas veces queda dividido<br /> Resto: Es lo que sobra de la división.<br />Resolver: <br />(Nota) las operaciones de polinomios entre polinomios fueran hechas en cuaderno, debido a que no supe como poner exactamente la fórmula como se nos mostró en clase. <br />8m9n2-10m7n4-20m5n6+12m3n82m2n3<br />4m7n-5m5n-10m3n3+6mn5<br />20x4-5x3-10x2+15x-5x<br />-4x3+x2+2x+3<br />4a8-10a6-5a42a3<br />2a5-5a3-5a42a3<br />2x2y+6xy2-8xy+10x2y22xy<br />x+3y-4+5xy<br />3x3+2x-8x+2<br />3x2-6x+14-36x+2<br />2x3-4x-22x+2<br />x2-x-1<br />2a4-a3+7a-32a+3<br />a3-2a2+3a-1<br />14y2-71y-337y+3<br />2y-11<br />Si un espacio rectangular tiene un área de 6x2-19x+15 y la anchura es 3x-5 ¿Cuánto mide la base?<br />6x2-19x+153x-5=base:2x-3<br />Expresar conclusiones personales sobre la primera unidad “Operaciones algebraicas”.<br />Creo que es interesante la manera en que se desarrollan los temas, al igual que las operaciones, en parte porque los podemos utilizar para resolver problemas que se nos plantean a la hora de hacer un trabajo, puede ser el de medir un terreno, entre otros.<br />Me fije en que también se puede resolver un problema con distinto método, por ejemplo en la división, creo que en los otros no se puede, no estoy seguro, pero por lo menos en las mencionadas. Las divisiones que se pueden hacer con otro método son las de “monomio entre monomio”, se pueden resolver de la misma manera que las de “polinomio entre polinomio”, de hecho es hacer lo mismo pero acomodando el problema de otra manera.<br />Es muy importante la manera en que se aplican, dividen, o multiplican los signos porque si en una operación, por ejemplo en resta, no se cambian los signos dentro del paréntesis (en caso de que el signo de la izquierda del paréntesis sea negativo), el resultado estará equivocado.<br />Productos notables<br />Definir qué son los productos notables.<br />Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.<br />Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente.<br />Ejemplo: (3x+2)2= 9x2+12x+4<br />Indicar las reglas para la resolución de cada uno de los productos notables vistos en clase (5 tipos).<br />Binomios a una potencia:<br />(a+b)n<br />Los binomios a una potencia es la multiplicación de n veces un mismo binomio.<br />Ejemplo: x+3x+3x+3=(x+3)3<br />Binomio al cuadrado:<br />Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos.<br />Binomio al cubo:<br />Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.<br />Binomios con término común:<br />Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del término común con el producto del término común por la suma de los otros (por los términos no comunes), y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.<br />Binomios a potencia superior:<br />Triangulo de Pascal ↑<br />(Usando el triangulo de Pascal)<br />El primero inicia con la potencia indicada y luego baja hasta cero.<br />El segundo inicia con potencia cero y aumenta hasta la potencia que se indica.<br />A continuación podremos ver algunos de los ejemplos de resolución de cada tipo de los productos notables.<br />Desarrollar los siguientes productos notables:<br />3a+42<br /> 9a2+24a+16<br />(2x2-5)2<br /> 4x4-20x2+25<br />7m+8n2<br /> 49m2+112mn+64n2<br />4a+53<br />64a3+240a2+300a+125<br /> (2a3-7)3<br />8a9-84a6-294a3-343<br />5m+43<br />125m3+300m2+240m+64<br />3x+24<br /> 13x4+4(3x)32+3x222+3x23+24<br />81x4+216x3+36x2+24x+16<br />(2x2-4)5<br /> 1(2x2)5+5(2x2)4-4+<br />10(2x2)3-42+10(2x2)2-4)3+5(2x2(-4)4+1(-4)5<br /> 32x10-320x8+1280x6-2560x4+2560x2-1024<br />(4y3+3)6<br /> 1(4y3)6+6(4y3)53+15(4y3)432+20(4y3)333+<br /> 15(4y3)234+6(4y3)35+136<br />4096y18+18432y15+34560y12+34560y9+19440y6<br />5832y3+729<br />2x+32x+5<br />4x2+16x+15<br />(x2-1)(x2+1)<br />x4-1<br />m+4m-2<br />m2+2m-8<br />3a-73a+7<br />9a2-49<br />5a+3b5a-2b<br />25a5+5ab-6b2<br />(4x3+3)(4x3-3)<br />16x6-9<br />(a2-1)(a2-4)<br />a4-5a2+4<br />Investigar la aplicación de los binomios conjugados en otras áreas.<br />Expresar conclusiones personales sobre la segunda unidad “productos notables”<br />Creo que son muy difíciles pero interesantes de hacer, pero la mayoría tienen métodos más sencillos y uno en especial es más complejo (el de binomios a potencia superior). Aún así pienso que si uno se pone a desarrollar este tipo de operaciones puede llegar a entretenerse porque le llega a gustar, como me pasó a mí. <br />Multiplicación<br />Indica la ley de los signos en la multiplicación.<br />(+)(+)=(+) (+)(-)=(-) (-)(-)=(+) (-)(+)=(-)<br />Explica la ley distributiva de la multiplicación (utiliza un ejemplo).<br />La operación o es distributiva por la derecha respecto de la operación ∎si se cumple que dados tres elementos cuales quiera a, b, c, entonces: <br />(boc) ∎a= ab+ac<br /> Lo que nos quiere decir la ley distributiva es la manera en que se multiplican las letras, por así decirlo, las letras que están adentro del paréntesis multiplican en orden a la/las que están afuera del paréntesis, en este caso, “b” multiplica primero a “a”, y luego “c” multiplica por “a” y el resultado quedaría como el ejemplo anterior. Es la manera en queda multiplicada una operación.<br />Indica la ley de los exponentes en la multiplicación, división, radical y potencia.<br />MULTIPLICACION: al multiplicar dos potencias de igual base se copia la base y se suman los exponentes, para tener el exponente del producto.<br />DIVISION: al dividir dos potencias de igual base, se copia la base y al exponente del dividendo se le resta el exponente del divisor, dando el exponente del cociente. Toda cantidad con un exponente negativo es un número racional, que representa el inverso multiplicativo de un número entero. Al dividir dos cantidades exactamente iguales que tengan idéntico exponente, obtendremos una expresión con exponente cero, que también será equivalente a la unidad.<br />RADICAL: La expresión na es un radical el número a se llama radicando y n es el índice del radical. El símbolo es un signo radical.<br />Si a=b, entonces b2=a;esto es, (a)2=a<br />POTENCIA: al elevar una potencia a un exponente, se copia la base y se multiplican los exponentes.<br />Resuelve las siguientes multiplicaciones:<br />2x2-x-32x2-5x-2=<br />4x4-10x3-4x2-4x3+5x2+2x-6x2+15x+6=<br />4x4-143-5x2+17x+6 polinomio de 4to grado<br />3x-14x2-2x-1=<br /> 12x3-10x2-3x-4x2+2x+1=<br />12x314x2-x+1 polinomio cubico<br />43a2-54a-1225a+32=<br />815a3+126a2-1020a2+158a-210a-34<br />815a3+112a2+12740a-34 polinomio cubico<br />9xy-4x2y2xy2+6x2y2=<br /> 18x2y3+54x3y3-8x3y3-24x4y3<br />-24x4y3+46x3y3+18x2y3 trinomio de 7mo grado<br />5m12-3m324m-34-2m5=<br /> 20m-14-10m112-12m-112+6m173<br />25z2-13z+4937z2-72z-3=<br />635z4-1410z3-65z2-321z3+76z2+33z+1263z2-2818z-129 <br />635z4-11935z3+1170z2-59z-113 polinomio de 4to grado<br />(3y−5) (2y+4)=<br /> 6y2+12y-10y-20 <br />6y2+2y-20 trinomio cuadratico<br />3x2-x+75x+2=<br /> 15x3+6x2-5x2-2x+35x+14<br />15x3+x2+33x+14 polinolio cubico <br />4ab+3b6a2b-2ab2=<br />24a3b2-8a2b3+18a2b2-6ab3 polinomio de 6to grado<br />Un terreno rectangular mide 2x - 4 metros de largo y 5x + 3 metros de ancho ¿Cuál es el modelo matemático que expresa su área? (agrega la figura).<br />(2x-4)(5x+3) 2x-45x+3<br />En una tienda se compran tres diferentes artículos A, B y C. A cuesta 3x por unidad y se compran 5 unidades, B cuesta 4x + 2 por unidad y se compraron 3 unidades y C cuesta 34 x por unidad y se compraron 7 unidades. ¿Cuál es el modelo matemático del costo total de la compra?<br />5A+3B+7C= <br />5(3x)+3(4x+2)+7(34x)<br />Resta<br />Ejemplifica una aplicación de la resta algebraica (describe el <br />problema, agrega imagen o esquema y resuelve).<br />Tengo 8 laptops chicas (m), 5 medianas(n) y 7 grandes (p) y voy a vender 2 chicas, 3 medianas y 5 grandes, ¿cuántas computadoras me quedan de cada tamaño?<br />(8m+5n+7p) - (2n+3n+5p)= 6n+3n+2p trinomio lineal <br />Resuelve las siguientes operaciones.<br />(5m+4n-7) - (8n-7) + (4m-3n+5) - (-6m+4n-3)=<br />15m-11n+8 trinomio lineal.<br />4m4+ 3m3+6m2+ 5m-4-(6m3- 8m2- 3m+1)<br />4m4- 3m3- 14m2+8m-5 polinomio de 4togrado.<br />6x5+3x3-7x+2-10x5+6x3-5x2-2x+4<br />-4x5-3x3+5x2-5x-2 polinomio de 5to grado. <br />(-xy4-7y3+xy2)+-2xy4+5y-2-(-6y3+xy2+5)<br />-3xy4-y3+5y-7 polinomio de 4to grado.<br />(16x+38y-5)-83y-54+(32x+29)<br />x=16+32=2+1812=53 x <br /> y=38-83=9-6424=-5524 y <br /> No. -51+54=-20+54=-154 No.51+29=49+29=519=173<br />53x-5524y+173 trinomio lineal.<br />Diseñar otra resta con fracciones (mínimo trinomio)<br />910x+53y+78y-205-1015x-89<br />x=910-1015=135-100150=35150=15x<br />y=53+78=40+2124=6124y<br />No.=-205+89=-180+4045=289<br />15x+6124y+289 trinomio lineal.<br />Álgebra<br />El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades (en el caso del álgebra elemental). Es una de las principales ramas de la matemática, junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números.<br /> Álgebra elemental es la forma más básica del álgebra. A diferencia de la aritmética, en donde solo se usan los números y sus operaciones aritméticas (como +, −, ×, ÷), en álgebra los números son representados por símbolos (usualmente a, b, c, x, y, z). Esto es útil porque:<br />Permite la formulación general de leyes de aritmética (como a + b = b + a), y esto es el primer paso para una exploración sistemática de las propiedades de los números reales. <br />Permite referirse a números quot;
desconocidosquot;
, formular ecuaciones y el estudio de cómo resolverlas. <br />Permite la formulación de relaciones funcionales. <br />Usos <br />Los usos y costumbres sociales se refieren a las tradiciones que son memorizadas y pasadas a través de generaciones, originalmente sin la necesidad de un sistema de escritura.<br />Si tu trabajo requiere de algún conocimiento mayor entonces el álgebra está presente en la resolución de pequeñas ecuaciones. por ejemplo cuanto tiempo tengo que dejar determinado dinero a interés para obtener la cantidad que necesitas. O ver cuál es el interés que te están cobrando por financiarte un electrodoméstico y si las cuotas que te cobran son correctas, etc.<br />Término algebraico: <br />Es el producto y/o división de una o más variables (factor literal) y un coeficiente o factor numérico. Por ejemplo:<br />3xy2<br />Expresiones algebraicas<br />Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual. <br />Exponentes<br />El exponente de un número nos dice cuántas veces se usa el número en una multiplicación.<br />En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64<br />Grado<br />Grado de un polinomio<br />El grado de un polinomio de una variable es el máximo exponente que posee el monomio sobre la variable; Por ejemplo en 2x3 + 4x2 + x + 7, el término de mayor grado es 2x3; este término tiene una potencia tres en la variable x, y por lo tanto se define como grado 3 o de tercer grado. Para polinomios de dos o más variables, el grado de un término es la suma de los exponentes de las variables en el término; el grado del polinomio será el monomio de mayor grado. Por ejemplo, el polinomio x2y2 + 3x3 + 4y tiene un grado 4, el mismo grado que el término x2y2.<br />Suma<br />Resolver:<br />5a2-2a3+a+4a+3a2+5a2-2a+7+3a-2a3+5<br />a3+8a2+6a+12 polinomio cùbico<br /> <br />(34x2-43x+2)+(16x-52x2+78)<br />x2=34-52=6-208=-148=-74 x=-43+16=-24+318=2118=76 no.=21+78=16+78=238<br />-74x2+76x+238 trinomio cuadràtico<br />4y-5z+3+ 4z-y+2+(4y-2z-1)<br />6y-3z+4 trinomio lineal<br />12m2+35m-47+38m-54+(35m-310m2)<br />m2=12-310=10-620=420m2=15m2 m=35+38=24+1540=2540=58 58+35=25+2440=4940<br />-47-54=-16-3528=-5128 r = 15m2+4940m-5128 Trinomio cuadrático.<br />2pq-3p2q+4pq2 + pq-5pq2-7p2q++4pq2+3pq-pq<br />-10p2q-3pq2+5pq Trinomio cuadrático.<br />Conclusiones finales.<br />Personalmente, creo que es un buen ejercicio el que nos puso nuestro profesor de álgebra, pero lo veo algo extenso y demasiado difícil cuando no se tiene mucho tiempo de hacerlo (como en mi caso), no se si sea la cantidad de problemas más recomendable para aplicar a personas de nuestro grado, pero lo que sí sé es que te deja un buen aprendizaje y motivación para seguir adelante en cualquier situación.<br />Por otra parte, también saqué la conclusión de que si tienes un trabajo grande por hacer, más vale empezar lo más pronto posible como si el trabajo fuera a entregarse para el siguiente día.<br />Puede que dé flojera hacer tanto trabajo, pero hay que agarrar ganas para tomar nuestra responsabilidad y hacer lo que nos corresponde.<br />Una cosa que me gusta de estos problemas es que con sus formulas se pueden resolver problemas y ecuaciones si algún día se nos llega a ofrecer, y otra cosa que me gusta es que cuando uno se la pasa resolviendo estos problemas, llega un punto en el que ya hay facilidad para llevarlos a cabo y a veces dan ganas de realizar más de éstos.<br />