3. A.Pengertian Relasi
A.Pengertian Relasi
Relasi adalah hubungan antara dua elemen himpunan. Hubungan ini bersifat abstrak
dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkrit maupun secara matematis.
Jika R suatu relasi yang menghubungkan dengan , maka kita dapat menulisnya
dengan atau . Dimana x disebut prapeta y, ydisebut peta atau bayangan
dari x (ditulis: y = R(x)). Himpunan A disebut daerah asal atau domain, himpunan B
disebut daerah kawan atau kodomain dan himpunan yang dibentuk dari prapeta
pada anggota A yang merupakan anggota himpunan B disebut daerah hasil atau
range. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.
Contoh
A = {a,b,c,d}, B = {1,3,2,4} dan R relasi dari A ke B yang ditunjukkan dengan “kuadrat
dari”, maka relasi tersebut dapat digambarkan seperti diagram di bawah ini.
Domain : {a,b,c,d}
Kodomain : {1,3,2,4}
Range : {1,3,2,4}
4. Relasi dapat dinyatakan
dengan tiga cara,yaitu
Dengan Himpunan Pasangan Beruntun
Dengan Diagram Panah
Dengan Diagram Cartesius
5. 1.Dengan Himpunan Pasangan
Beruntun
Sebuah relasi yang menghubungkan himpunan yang satu
dengan himpunan lainnya dapat
disajikan dalam bentuk himpunan pasangan berurutan. Cara
penulisannya adalah anggota
himpunan P ditulis pertama, sedangkan anggota
himpunan Q menjadi pasangannya.
contoh :
{(Rani, basket)}, {(Rani, bulu tangkis)}, {(Dian, basket)}, {(Dian,
atletik)}, {(Isnie, senam)}, {(Dila, basket)}, {(Dila, tenis meja)}
6. 2.Dengan Diagram Panah
Langkah-langkah cara menyatakan relasi dengan diagram panah:
a.Membuat dua lingkaran atau ellips
b.Untuk meletakkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B x=A
diletakkan pada lingkaran A dan y=B diletakkan pada lingkaran B
c. x dan y dihubungkan dengan anak panah
d. Arah anak panah menunjukkan arah relasi
e. Anak panah tersebut mewakili aturan relasi
contoh :
7. 3. Dengan Diagram
Cartesius
Pada diagram cartesius diperlukan dua salib sumbu
yaitu; sumbu mendatar (horisontal) dan sumbu tegak
(vertikal) yang berpotongan tegak lurus.
a.x=A diletakkan pada sumbu mendatar
b. y=B diletakkan pada sumbu tegak
c. Pemasangan (x,y) ditandai dengan sebuah
noktah yang koordinatnya ditulis sebagai
pasangan berurutan (x,y)
Contoh:
9. B.Pengertian Fungsi
B.Pengertian Fungsi
Suatu fungsi f dari himpunan A ke
himpunan B adalah suatu relasi yang
memasangkan setiap elemen dari A secara
tunggal, dengan elemen pada B. Pemetaan seperti ini biasa dinotasikan
dengan
f : x y atau y f(x)
dibaca “f memetakan x ke y ”
y dinamakan peta atau bayangan dari x oleh fungsi f. Himpunan semua
peta/bayangan dari fungsi disebut daerah hasil (range).
11. 1.Injektif (Satu-satu)
Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satu-satu
(injektif), apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua
elemen
yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat dikatakan bahwa f:A→B
adalah
fungsi injektif apabila a ≠ a’ berakibat f(a) ≠ f(a’) atau ekuivalen, jika f(a) = f(a’)
maka akibatnya a = a’.
Contoh:
1. Fungsi f pada R yang didefinisikan dengan f(x) = x2 bukan suatu fungsi satu-
satu sebab
f(-2) = f(2).
Adapun fungsi pada A = {bilangan asli} yang
didefinisikan dengan f(x) = 2x adalah fungsi
satu-satu, sebab kelipatan dua dari setiap dua
bilangan yang berlainan adalah berlainan pula.
12. 2. Surjektif (Onto)
Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan A ke B maka daerah hasil f(A)
dari fungsi f adalah himpunan bagian dari B, atau f(A) c B. Apabila f(A) = B, yang
berarti setiap elemen di B pasti merupakan peta dari sekurang-kurangnya satu
elemen di
A maka kita katakan f adalah suatu fungsi surjektif atau “f memetakan A Onto B”
Contoh:
1. Fungsi f: R→R yang didefinisikan dengan rumus f(x) = x2 bukan fungsi
yang onto
karena himpunan bilangan negatif tidak dimuat oleh hasil fungsi tersebut
2. Gb. 2.11
Misal A = {a, b, c, d} dan B = {x, y, z} dan fungsi f: A
→ B yang didefinisikan dengan diagram panah adalah
suatu fungsi yang surjektif karena daerah hasil f adalah
sama dengan kodomain dari f (himpunan B).
13. 3.Bijektif (Korespondensi Satu-
satu)
Suatu pemetaan f: A→B sedemikian rupa sehingga f merupakan
fungsi yang
injektif dan surjektif sekaligus, maka dikatakan “f adalah fungsi yang
bijektif” atau “ A
dan B berada dalam korespondensi satu-satu”.
Contoh:
Relasi dari himpunan A = {a, b, c} ke himpunan B =
{p,q, r} yang didefinisikan sebagai diagram di
samping adalah suatu fungsi yang bijektif.
