2.medidasdecentralizacióneposición

MÉTODOS ESTATÍSTICOS
E NUMÉRICOS

UNIDADE 2

MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN E
POSICIÓN

ÍNDICE
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas

Conceptos

1. Parámetros de centralización: media,
mediana e moda.
2. Parámetros de dispersión: rango, varianza,
desviación típica.
3. Utilización conxunta de media e desviación
típica.
4. Medidas de posición non central: cuartís,
decís, percentís.

IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.

1. Parámetros de Centralización

Este tipo de parámetros proporciónannos
uns valores en torno ós que se centran os
datos da distribución.
Os principais son:
 Media aritmética
 Mediana
 Moda


1. Parámetros de Centralización

Veremos tamén:
– media aritmética ponderada
– media a. Recortada
– media a. truncada ou Winsorizada,
– media cuadrática
– media xeométrica
– media harmónica.


1. Parámetros de Centralización. Tipos de media.

 Media aritmética
A media aritmética dunha variable estatística é o
cociente entre a suma de todos os valores de dita
variable e o número destes.

Fórmula para datos agrupados nunha táboa estatística:
_
x=
∑x ⋅ f i i

N

xi = valor da variable ou marca de clase
fi = frecuencia absoluta
N = nº de datos


 Media aritmética ponderada:
Emprégase para calcular o promedio duns valores
cando estes teñen diferentes ponderacións ou pesos.
Se unha variable estatística toma valores x1, x2,…,xn
con pesos w1, w2, …, wn respectivamente defínese a
media aritmética ponderada como:
n

∑ x
w i i
x = i =n
1

∑w
i=1
i



 Media recortada R(p)
Se temos unha serie de n datos ordenados,X1,X2,…,Xn,
defínese a media recortada nunha porcentaxe p como
a media aritmética deses datos onde se suprimen en
ambos os extremos os correspondentes á porcentaxe p.
Se suprimimos a datos por ambos extremos, teremos
que a media recortada ó p% é:
n −a

∑X i
R ( p ) = i =1+a
n − 2a



 Media truncada ou Winsorizada W(p):
Se temos unha serie de n datos ordenados,X1,X2,…,Xn,
defínese a media truncada ou Winsorizada nunha
porcentaxe p como a media aritmética deses datos
onde se substitúen en ambos os extremos os datos
correspondentes á porcentaxe p polo máis preto dese
extremo.



 Media cuadrática
Emprégase cando a variable toma valores positivos e
negativos e non queremos que a medida de tendencia
central reflicta os efectos do signo. É moi práctica
cando traballamos con erros na medida dunha
magnitude. Desígnase por C e a súa expresión para
datos agrupados é:
n

∑ i ⋅ fi
2
x
C= i=1
N

N = nº de datos



Media Xeométrica:
Utilízase cando calculamos números índices sintéticos
(combinan unha grande cantidade de prezos e
producións, como o IPC). Non se pode usar cando hai
valores negativos. Desígnase por G, e a súa expresión
para datos agrupados é:

f1 f2 fn
G= N
x1 ⋅ x2 ⋅ ... ⋅ xn
N = nº de datos



Media Harmónica:
É a inversa da media aritmética dos inversos dos
valores da variable. É útil na comparación de
velocidades promedio sobre varias distancias e na
resolución de problemas estatísticos de transporte.
Designase por H, e a súa fórmula para datos agrupados
é: N
H = n
1
∑x f i
i=1 i

N = nº de datos


Exemplo (media aritmética-media aritmética ponderada)

Un alumno obtivo en tres exames as seguintes notas: 4-5-6.
A nota media, se as tres tivesen a mesma importancia sería:

_
x=
∑x ⋅ f i i
=
4+5+6
=5
N 3
En cambio, se o profesor lle dá ás notas dos exames distintas
ponderacións, por exemplo: 3-2-1 respectivamente, a nota media ponderada
sería agora:
n

∑w x i i
3 ⋅ 4 + 2 ⋅ 5 + 1⋅ 6
x= i =1
= = 4,67
n
3 + 2 +1
∑w
i =1
i



Exemplo (media aritmética-media harmónica)
e 120
AB=120km. A B velocidade media=30Km/h ⇒ t= = = 4h
v 30
e 120
B A velocidade media=60Km/h ⇒ t= = = 2h
v 60
Acha a velocidade media da viaxe completa:

A velocidade media da viaxe sería:
distancia total 240
v= = = 40km / h
tempo total 6
Este promedio correspóndese coa media harmónica:

N 2
H = = = 40km / h
n
1 1 1
∑x f i 30 + 60
i=1 i

Se se considerara a media aritmética das velocidades, obteríamos:

_
x=
∑x ⋅ f
i i
=
30 + 60
= 45km / h Que é incorrecto!!!
N 2


Exemplo: Dada a serie estatística: 1- 4- 6- 6- 8- 8- 10- 12- 14- 30, imos achar a media
recortada ao 10% e a media winsorizada ao 10%.

MEDIA RECORTADA ao 10%: o 10% de 10 é 1 e eliminamos 1 dato por cada extremo.
Calculamos a media aritmética dos 8 datos restantes:
n−a 10 −1

∑X i ∑X i
4 + 6 + 6 + 8 + 8 + 10 + 12 + 14
1 4 6 6 8 8 10 12 14 30 ⇒ R (10) = i =1+ a
= i =1+1
= = 8,5
n − 2a 10 − 2 8

MEDIA WINSORIZADA ao 10%: substituímos os datos extremos polos datos máis próximos a
eles, e calculamos a media da serie:

4 + 4 + 6 + 6 + 8 + 8 + 10 + 12 + 14 + 14
4 4 6 6 8 8 10 12 14 14 ⇒ W (10) = = 8,6
10

Obsérvase que estes valores difiren bastante da media aritmética:
_
x=
∑x ⋅ f
i i
=
1 + 4 + 6 ⋅ 2 + 8 ⋅ 2 + 10 + 12 + 14 + 30
= 9,9 debido a que hai un valor atípico:
30 N 10

1. Parámetros de Centralización. Media aritmética.

Exemplo variable discreta
Nunha poboación de 25 familias observouse a variable número de coches
que ten a familia, e obtivéronse os seguintes datos:
0123101114322112211121321

Xi fi xi⋅fi
0 2 0
1 12 12
2 7 14
_
x=
∑x ⋅ f i i
=
39
= 1,56
3 3 9 N 25
4 1 4
N=25 39



Vexamos un exemplo gráfico de variable discreta obtido da páxina
do ITE.



Exemplo variable continua

Unha estación meteorolóxica
rexistrou 88 días de choiva
o pasado ano, segundo se mostra
na seguinte táboa:

Litros/m2 [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35)

Nº de días 3 7 19 23 18 12 6

Completemos a táboa:



Litros/m2 Marcas (xi) fi xi⋅fi
[0,5) 2,5 3 7,5
[5,10) 7,5 7 52,5
[10,15) 12,5 19 237,5
[15,20) 17,5 23 402,5
[20,25) 22,5 18 405
[25,30) 27,5 12 330
[30,35) 32,5 6 195
N=88 1630
_
x=
∑x ⋅ f
i i
=
1630
= 18,52 litros / m 2
N 88


1.-Parámetros de centralización: Mediana.

A mediana Me dunha variable estatística é o valor de
dita variable tal que o número de valores menores ca el
é igual ó número de valores maiores ca el. Ou dito
doutro xeito, é o valor tal que, ordenados os valores en
orde crecente ou decrecente ocupa a posición central.


1. Parámetros de Centralización. Mediana.

• Cálculo da mediana nas variables discretas:
• Se N é impar e os datos son simples a Mediana é o valor que
ocupa o lugar (N+1)/2.
Exemplo: 1,4,6,7,8,10,13,16,20, 24,25,27,30 N=13
ocupa a posición central ⇒ Me=13

• Se N é par e os datos son simples hai dous valores centrais e a
mediana será a media aritmética dos valores que ocupan os
postos N/2 e N/2 + 1.
Exemplo: 1,4,6,7,8,10,13,16,20,24,25,27 N=12
 ocupan as posicións centrais
10 + 13
Me = = 11,5
2



• Cálculo da mediana nas variables discretas:

Se os datos están tabulados nunha táboa de
frecuencias, a mediana é o primeiro valor da variable
estatística no que a frecuencia absoluta acumulada
supere a metade dos datos.

Se a metade dos datos coincide con algunha frecuencia
absoluta acumulada , a mediana sería a media
aritmética dese valor e o seguinte na táboa.


1. Parámetros de Centralización. Mediana

• Cálculo da mediana nas variables continuas (ou
para datos agrupados):

Intervalo mediano ou clase mediana [Li-1,Li]: O
primeiro no que a frecuencia absoluta acumulada
supere a metade dos datos
N
Mediana: − Fi −1
Me = Li − 1 + 2 ⋅ ei
fi

Li-1=límite inferior da clase mediana
Fi-1=frecuencia absoluta acumulada da clase anterior a mediana.
fi=frecuencia absoluta da clase mediana
N=nº de datos
ei=lonxitude das clases ou intervalos



xi fi Fi

Voltamos ao exemplo de nº de coches por 0 2 2
familia:
1 12 14
-Completamos a táboa calculando as Fi
2 7 21
N=25 impar ⇒ (N+1)/2 = 26/2= 13 3 3 24
- Observamos cal é a primeira frecuencia
absoluta acumulada que supera este valor 4 1 25
e correspóndese co xi = 1. 25 25

Por tanto, mediana=1


Exemplo variable continua Litros/m Marca fi Fi
Voltando ao exemplo da 2
s (xi)
estación meterolóxica:
[0,5) 2,5 3 3
[5,10) 7,5 7 10
O intervalo mediano é [15,20)
[10,15) 12,5 19 29
A mediana calcúlase:
Li-1=15 [15,20) 17,5 23 52

Fi-1=29 [20,25) 22,5 18 70

fi=23 [25,30) 27,5 12 82

ei=5 [30,35) 32,5 6 88

N 88 N=88
− Fi −1 − 29
Me = Li − 1 + 2 ⋅ ei = 15 + 2 ⋅ 5 = 18,26 litros / m 2
fi 23

1.-Parámetros de centralización. Moda

A moda dunha variable estatística, Mo , é o valor (ou
valores) de dita variable que ten maior frecuencia
absoluta.

• Cálculo da moda nas variables discretas:
O valor , ou valores, da variable estatística no que a
frecuencia absoluta sexa maior.


1. Parámetros de Centralización. Moda

• Cálculo da moda nas Variables continuas (ou para datos
agrupados):

– Intervalo modal ou clase modal [Li-1,Li]: O intervalo no que a
frecuencia absoluta sexa maior.

– Moda:
f i − f i −1 D1
M o = Li −1 + ⋅ ei = Li − 1 + ⋅ ei
2 ⋅ f i − f i −1 − f i + 1 D1 + D 2

 Li-1=límite inferior da clase modal
 fi,fi-1,fi+1=frecuencia absoluta da clase modal,anterior e posterior
 D1 =fi -fi-1 D2 = fi –fi+1
 ei=lonxitude das clases ou intervalos


1. Parámetros de Centralización. Moda.

Exemplo 1 (variable discreta):
xi fi Fi
Voltamos ao exemplo de nº de coches por 0 2 2
familia:
1 12 14
O valor da variable estatística no que a 2 7 21
frecuencia absoluta é maior
correspóndese co xi = 1. 3 3 24

4 1 25
Por tanto, moda=1
25


1. Parámetros de Centralización. Moda.

Exemplo 2 (variable continua): Litros/m2 Marcas fi
(xi)
Voltando ao exemplo da estación [0,5) 2,5 3
meterolóxica: [5,10) 7,5 7
[10,15) 12,5 19
O intervalo modal é [15,20)
A mediana calcúlase: [15,20) 17,5 23
Li-1=15 [20,25) 22,5 18
D1=fi-fi-1=23-19=4 [25,30) 27,5 12
D2=fi-fi+1=23-18=5 [30,35) 32,5 6
ei=5
N=88

f i − f i −1 D1 4
M o = Li −1 + ⋅ ei = Li − 1 + ⋅ ei = 15 + ⋅ 5 = 17,2 litros / m 2
2 ⋅ f i − f i −1 − f i +1 D1 + D 2 4+5


2. Parámetros de dispersión:

A parte das medidas de centralización, é necesario
coñecer en que medida os datos numéricos están ou non
agrupados ó redor dos valores centrais. A isto é o que
chaman dispersión e os parámetros que miden estas
desviacións respecto da media chámanse parámetros
de dispersión.
Os máis importantes son:
• Rango
• Desviación media
• Varianza
• Desviación Típica


2. Parámetros de dispersión

Rango
O percorrido ou rango dunha distribución é a diferenza entre o
maior e o menor valor da variable estatística.

Desviación media
A desviación media dunha variable estatística é a media aritmética
dos valores absolutos das desviacións respecto á media.
_

∑ x −x⋅ f
i i
Dm = i

N
xi= Valor da variable ou marca de clase fi=Frecuencia absoluta
_

N=Nº de datos x = Media aritmética



Varianza
A varianza dunha variable estatística é a media aritmética dos
cadrados das desviacións respecto á media.
2
  _

∑  xi − x  ⋅ f i

∑ xi ⋅ f i
2
_2
s2 = i = i
−x
N N
xi= Valor da variable ou marca de clase fi=Frecuencia absoluta
_
N=Nº de datos x = Media aritmética

Desviación Típica

A desviación típica é a raíz cadrada positiva da varianza. s = s2



Exemplo 1 v. discreta

Voltamos ao exemplo de nº de coches por familia e completamos a
táboa:
xi fi Fi xifi xi2 fi xi − x xi − x ⋅ f i

0 2 2 0 0 1,56 3,12
1 12 14 12 12 0,56 6,72
2 7 21 14 28 0,44 3,08
3 3 24 9 27 1,44 4,32
4 1 25 4 16 2,44 2,44
25 39 83 19,68



Rango = 4-0 = 4
_

∑x i −x ⋅ f i
19,68
Desviación media Dm = i
= =0,79
N 25

∑x
2
i ⋅ fi _2
83
Varianza s =
2 i
−x = −1,56 2 = 0,89
N 25

Desviación típica s = s 2 = 0,89 = 0,94



Exemplo 2 (variable continua)
Retomamos o exemplo da estación meterolóxica e completamos a táboa.
Litros/ Marca fi xi⋅fi xi2⋅fi xi − x xi − x ⋅ f i
m2 s (xi)
[0,5) 2,5 3 7,5 18,75 16,02 48,06
[5,10) 7,5 7 52,5 393,75 11,02 77,14
[10,15) 12,5 19 237,5 2968,75 6,02 114,38
[15,20) 17,5 23 402,5 7043,75 1,02 23,46
[20,25) 22,5 18 405 9112,50 3,98 71,64
[25,30) 27,5 12 330 9075,00 8,98 107,76
[30,35) 32,5 6 195 6337,50 13,98 83,88
N=88 1630 34950 526,32



_

∑ x −x⋅ f
Desviación media
i i
526,32
Dm = i
= = 5,98
N 88

∑ xi ⋅ f i
2
_2

Varianza
34950
s2 = i
−x = − 18,52 2 = 54,17
N 88

Desviación típica s = s 2 = 54,17 = 3,75


3. Utilización conxunta de media e desviación típica.

En distribucións cunha soa moda e bastante simétricas
verifícase:

1. No intervalo ( x − s, x + s ) atópase o 68% dos datos.

2. No intervalo ( x − 2s, x + 2s ) atópase o 95% dos datos.

3. No intervalo ( x − 3s, x + 3s ) atópase o 99% dos datos.


3. Utilización conxunta da media e a desviación
típica.

Exemplo
Comparación media e desviación típica:
coa mesma media, cal interesa ou é máis
rendible?

Ver Exemplo


4. Medidas de posición non central:

As medidas de posición non central permiten coñecer outros
puntos característicos da distribución que non son os valores
centrais. Entre as medidas de posición non central máis
importantes están os cuantís que son aqueles valores da variable,
que ordenados de menor a maior, dividen a distribución en partes,
de tal xeito que cada unha delas contén o mesmo número de
frecuencias.

Os tipos máis importantes de cuantís son:

– Os cuartís, que dividen a distribución en catro
partes;
– Os decís, que dividen a distribución en dez partes;

– Os percentís, que dividen a distribución en cen
partes.

4.- Medidas de posición non centrais: Cuartís.

Ordenados os datos en orde crecente, os cuartís Q1,
Q2, Q3 son os valores da variable estatística tales que a
cuarta parte dos datos teñen valores inferiores a Q1, a
metade dos datos teñen valores inferiores a Q2, e as
tres cuartas partes teñen valores inferiores a Q3.
A mediana coincide con Q2.


4. Medidas de posición. Cuartís

Cálculo dos cuartis nas variables discretas:
Q1 calcúlase buscando o primeiro valor da
variable no que a frecuencia absoluta
acumulada supere a cuarta parte dos datos.

Q3 calcúlase buscando o primeiro valor da
variable no que a frecuencia absoluta
acumulada supere as tres cuartas partes dos
datos.


4. Medidas de posición. Cuartís

Cálculo dos cuartís nas variables continuas (ou datos
agrupados):
Primeiro localízanse os intervalos que conteñen os cuartís,[Li-1,Li], da
mesma maneira que na variable discreta, e depois aplícase a fórmula:

N
⋅ k − Fi −1
Qk = Li −1 + 4 ⋅ ei
fi

Li-1 = límite inferior da clase que contén o cuartil
N = Nº de datos
fi = Frecuencia absoluta da clase que contén o cuartil
Fi-1 =frecuencia absoluta acumulada da clase anterior a que contén o
cuartil.
ei = lonxitude do intervalo que contén cuartil


4.- Medidas de posición non centrais:Deciles

Son 9 valores da variable tales que, ordenados
de maneira crecente, dividen a distribución
estatística en 10 partes. Cada unha de elas
contén a décima parte das observacións.

Represéntanse por D1, D2,…,D9.
D5 =Me


4. Medidas de posición. Deciles.

Cálculo dos deciles Variable continua
(ou datos agrupados):
Variable discreta: Calcúlase o intervalo
Se son datos simples, correspondente polo
calcúlanse as frecuencias procedemento anterior,
absolutas acumuladas e o decil [Li-1,Li], e aplícase a fórmula:
Dk será o primeiro valor da
N
variable cuxa frecuencia ⋅ k − Fi − 1
absoluta acumulada exceda a Dk = Li − 1 + 10 ⋅ ei
K.N/10 K=1,…,9. fi

K=1,2,…,9


4.- Medidas de posición non centrais: Percentís:

Son 99 valores da variable tales que, ordenados de maneira
crecente, dividen a distribución estatística en 100 partes. Cada
unha delas contén a centésima parte das observacións.

Representanse coa letra P.

É o percentil i-ésimo, onde a i toma valores do 1 ó 99. O i% da
mostra son valores menores ca el e o 100-i% restante son maiores.

P50=Q2=Me

P25=Q1

P75=Q3


4. Medidas de posición. Percentís.

Cálculo dos percentís:
Variable continua
Variable discreta: (ou datos agrupados):

Calcúlase o intervalo
Se son datos simples, correspondente polo
calcúlanse as frecuencias procedemento anterior,
absolutas acumuladas e o [Li-1,Li], e aplícase a fórmula:
percentil Pk será o primeiro
valor da variable cuxa N
⋅ k − Fi − 1
frecuencia absoluta acumulada Pk = Li − 1 + 100 ⋅ ei
exceda a K.N/100 K=1,…,99. fi

K=1,2,…,99


4. Medidas de posición. Cuantís.


Táboa dunha serie de datos referidos ó talle dun grupo
de alumnos:
Ver exemplo

Neste exemplo só veñen calculados os cuartís:
Q1= 1,22 cm (primeiro valor cuxa frecuencia absoluta supera o 25%)



Do mesmo modo calcúlanse os decís: D1 será o primeiro valor cuxa
frecuencia absoluta acumulada supere o 10% dos datos, o D2 será
o correspondente ao primeiro que supere o 20%,…
Por exemplo:
D1=1,22 D5=1,26 D7= 1,28

Do mesmo xeito calculariamos os percentís: Pi será o primeiro
valor cuxa frecuencia absoluta acumulada supere o i% dos datos,
así, se queremos coñecer o valor do P35, observamos as frecuencias
absolutas acumuladas, e o primeiro que supera este valor é: P35=
1,23
Outros:
P71= 1,28
P13= 1,21



Exemplo variable continua

Ver exemplo

E clica no punto 4: “Exemplos de cálculo”



Calcular cuartís gráficamente.

Nota: exemplo tomado do banco de imaxes do ITE.


2.medidasdecentralizacióneposición

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais de German Mendez

Mais de German Mendez (14)

2.medidasdecentralizacióneposición

Notas do Editor