Migadfikoi arithmoi karaferis

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
• Θεωρία
• Άλυτες Ασκήσεις
• Θέματα εξετάσεων

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 1

Α. ΜΕΡΟΣ :ΘΕΩΡΙΑ
ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ
Γνωρίζουμε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση με αρνητική
διακρίνουσα δεν έχει λύση στο σύνολο ℜ των πραγματικών
αριθμών. Ειδικότερα η εξίσωση x 2 = −1 δεν έχει λύση στο σύνολο
ℜ των πραγματικών αριθμών, αφού το τετράγωνο κάθε
πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικός αριθμός. Για να
ξεπεράσουμε την “αδυναμία” αυτή, διευρύνουμε το σύνολο ℜ σε
ένα σύνολο C, το οποίο να έχει τις ίδιες πράξεις με το ℜ , τις ίδιες
ιδιότητες των πράξεων αυτών και στο οποίο να υπάρχει μία
τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης x 2 = −1 , δηλαδή ένα στοιχείο i ,
τέτοιο, ώστε i 2 = −1 . Σύμφωνα με τις παραδοχές αυτές το
διευρυμένο σύνολο C θα έχει ως στοιχεία:
• Όλους τους πραγματικούς αριθμούς
• Όλα τα στοιχεία της μορφής β i , που είναι γινόμενα των
στοιχείων του ℜ με το i , δηλαδή τους φανταστικούς αριθμούς , το
σύνολο των οποίων θα συμβολίζουμε με Ι, δηλ. Ι={βi/β∈ℜ}, και
• Όλα τα αθροίσματα της μορφής α + β i , με α και β ,
πραγματικούς αριθμούς.
Τα στοιχεία του C λέγονται μιγαδικοί αριθμοί και το C σύνολο
των μιγαδικών αριθμών. Επομένως:

Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του
συνόλου ℜ των πραγματικών αριθμών, στο οποίο:
• Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του
πολλαπλασιασμού έτσι, ώστε να έχουν τις ίδιες ιδιότητες όπως
και στο ℜ , με το μηδέν (0) να είναι το ουδέτερο στοιχείο της
πρόσθεσης και το ένα (1) το ουδέτερο στοιχείο του
πολλαπλασιασμού,
2
• Υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο, ώστε i = −1 ,
• Κάθε στοιχείο z του C γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη
μορφή z α + β i , όπου α , β ∈ ℜ .
=

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ
 Κάθε αριθμός της μορφής α + β i,α , β ∈ℜ λέγεται μιγαδικός
αριθμός.
 Η μορφή α+βi ενός μιγαδικού αριθμού z λέγεται κανονική
μορφή του z.

Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 


 Κάθε μιγαδικός αριθμός z=α+βi είναι άθροισμα δυο αριθμόν
του πραγματικού α και του φανταστικού βi.
 Ο α λέγεται πραγματικό μέρος του z και σημειώνεται Re( z ) ,
ενώ ο β (και όχι ο βi) λέγεται φανταστικό μέρος του z και
σημειώνεται Im( z ) .
 Κάθε πραγματικός αριθμός α γράφεται σε κανονική μορφή
ως α+0i.
 Κάθε φανταστικός αριθμός βi γράφεται σε κανονική μορφή
ως 0+βi.
 Ένας μιγαδικός αριθμός z=α+βi, με α,β≠0 λέγεται καθαρά
μιγαδικός αριθμός.
 Ο αριθμός 0 είναι και φανταστικός αφού 0=0i αλλά και
μιγαδικός με κανονική μορφή 0+0i.
 Στη συνέχεια, όταν λέμε ο μιγαδικός z=α+βi, εννοούμε ότι οι
α και β είναι πραγματικοί αριθμοί και το γεγονός αυτό δε θα
τονίζεται ιδιαίτερα.
 Ένας μιγαδικός αριθμός z ∈ℜ⇔ Im(z)=0
 Ένας μιγαδικός αριθμός z ∈ I⇔ Re(z)=0

Προσοχή!!!! Οι δύο παραπάνω
ισοδυναμίες είναι πάρα πολύ χρήσιμες
για τις ασκήσεις!!!!

ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
 Επειδή κάθε μιγαδικός αριθμός z γράφεται με μοναδικό
τρόπο στη μορφή α+βi, δύο μιγαδικοί αριθμοί α + β i και
γ + δ i είναι ίσοι, αν και μόνο αν α = γ και β = δ . Δηλαδή
ισχύει:
α + β i =γ + δ i ⇔ α = γ και β = δ .
 Επομένως, επειδή 0= 0 + 0i , έχουμε
α + β i = ⇔ α = 0 και β = 0 .
0
 Στην επέκταση, όμως, από το ℜ στο C ενώ οι πράξεις και οι
ιδιότητες αυτών που ισχύουν στο ℜ εξακολουθούν να
ισχύουν και στο C , εν τούτοις η διάταξη και οι ιδιότητές
της δε μεταφέρονται.



ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ
 Κάθε μιγαδικό αριθμό z= α + β i μπορούμε να y
τον αντιστοιχίσουμε στο σημείο M (α , β )
1

ενός καρτεσιανού επιπέδου. M(α,β) ή Μ(z)
 Αλλά και αντιστρόφως, κάθε σημείο M (α , β ) β

του καρτεσιανού αυτού επιπέδου μπορούμε
να το αντιστοιχίσουμε στο μιγαδικό α + β i .
Ο
 Το σημείο M (α , β ) λέγεται εικόνα του
a x

μιγαδικού z= α + β i , και το συμβολίζουμε με
M ( z) .
 Ένα καρτεσιανό επίπεδο του οποίου τα σημεία είναι εικόνες
μιγαδικών αριθμών θα αναφέρεται ως μιγαδικό επίπεδο.
 Ο άξονας x′x λέγεται πραγματικός άξονας, αφού ανήκουν σε
αυτόν τα σημεία M (α ,0) που είναι εικόνες των πραγματικών
αριθμών α= α + 0i .
 Ο άξονας y′y λέγεται φανταστικός άξονας, αφού ανήκουν σε
αυτόν τα σημεία M (0, β ) που είναι εικόνες των φανταστικών
β i= 0 + β i .
 Ένας μιγαδικός z α + β i παριστάνεται επίσης και με τη
=

διανυσματική ακτίνα, OM , του σημείου M (α , β ) .

ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ(+,-,⋅,÷)
Σύμφωνα με τον ορισμό του C η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός
δύο μιγαδικών αριθμών γίνονται όπως ακριβώς και οι αντίστοιχες
πράξεις με διώνυμα α + β x στο ℜόπου βέβαια αντί για x έχουμε i .
Έτσι:
 Για την πρόσθεση δύο μιγαδικών αριθμών α + β i και
γ + δ i έχουμε: (α + β i ) + (γ + δ i ) = (α + γ ) + ( β + δ )i .
 Για την αφαίρεση του μιγαδικού αριθμού γ + δ i από τον
α + β i , επειδή ο αντίθετος του μιγαδικού γ + δ i είναι ο
μιγαδικός −γ − δ i , έχουμε:
(α + β i ) − (γ + δ i ) = (α + β i ) + (−γ − δ i ) = (α − γ ) + ( β − δ )i .
Δηλαδή: (α + β i ) − (γ + δ i ) = (α − γ ) + ( β − δ )i .

Δηλαδή: z+w=Re(z+w)+Im(z+w)i
με: Re(z+w)=Re(z)+Re(w) και : Im(z+w)=Im(z)+Im(w)
Και: z-w=Re(z-w)+Im(z-w)i
με: Re(z-w)=Re(z)-Re(w) και : Im(z-w)=Im(z)-Im(w)



Γραφική παράσταση πρόσθεσης:
Αν M 1 (α , β ) και M 2 (γ , δ ) είναι οι εικόνες των y
2

α + β i και γ + δ i αντιστοίχως στο μιγαδικό M(α+ γ, β+ δ)
M2(γ,δ)
επίπεδο, τότε το άθροισμα
(α + β i ) + (γ + δ i ) = (α + γ ) + ( β + δ )i
M1(α,β)
παριστάνεται με το σημείο M (α + γ , β + δ ) .
  
  Ο x
Επομένως, OM OM 1 + OM 2 , δηλαδή:
=
“Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α + β i
και γ + δ i είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους”.
y
Μ2(γ,δ) 3
Γραφική παράσταση διαφοράς:
Επίσης, η διαφορά
(α + β i ) − (γ + δ i ) = (α − γ ) + ( β − δ )i Μ1(α,β)

παριστάνεται με το σημείο N (α − γ , β − δ ) . Ο x
   
Επομένως, = OM 1 − OM 2 , δηλαδή:
ON
Ν( α−γ, β−δ )

Μ3(−γ, −δ )
“Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των
μιγαδικών α + β i και γ + δ i είναι η διαφορά των διανυσματικών
ακτίνων τους”.

 Για τον πολλαπλασιασμό δύο μιγαδικών α + β i και γ + δ i
έχουμε:
(α + β i )(γ + δ i ) = α (γ + δ i ) + β i (γ + δ i ) = αγ + αδ i + βγ i + ( β i )(δ i ) =
=αγ + αδ i + βγ i + βδ i 2 =αγ + αδ i + βγ i − βδ =(αγ − βδ ) + (αδ + βγ )i
Δηλαδή: (α + β i )(γ + δ i ) = (αγ − βδ ) + (αδ + βγ )i .
 Ειδικότερα, έχουμε: (α + β i )(α − β i ) =α 2 + β 2 . Ο αριθμός
α − β i λέγεται συζυγής του α + β i και συμβολίζεται με
α + βi .
Δηλαδή: α + β i = − β i . α
Επειδή είναι και α − β i =α + β i , οι α + β i , α − β i λέγονται
συζυγείς μιγαδικοί.
α + βi
 Τέλος, για να εκφράσουμε το πηλίκο , όπου γ + δ i ≠ 0 ,
γ + δi
στη μορφή κ + λi , πολλαπλασιάζουμε τους όρους του
κλάσματος με το συζυγή του παρονομαστή και
έχουμε:



α + β i (α + β i )(γ − δ i ) (αγ + βδ ) + ( βγ − αδ )i αγ + βδ βγ − αδ
= = = + i
γ + δ i (γ + δ i )(γ − δ i ) γ 2 +δ2 γ 2 +δ2 γ 2 +δ2
α + β i αγ + βδ βγ − αδ
Δηλαδή, = + i.
γ +δi γ 2 +δ 2 γ 2 +δ 2
ΔΥΝΑΜΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
Οι δυνάμεις ενός μιγαδικού z με εκθέτη ακέραιο ορίζονται όπως
ακριβώς οι δυνάμεις των πραγματικών.
Δηλαδή:
 z 0 1, µε z ≠ 0
=
 z1 = z
 z 2= z ⋅ z ,

 zν =z z
z ⋅ ⋅
 ......
ν −φορ ές

1
 z −ν = ν
, όπου ν Ν* ,z≠0.
z
Παρότι οι δυνάμεις με ακέραιο εκθέτη στους μιγαδικούς αριθμούς
ορίζονται όπως ακριβώς ορίζονται και στους πραγματικούς , η
αλήθεια είναι ότι με την κανονική μορφή ενός μιγαδικού πολύ λίγες
περιπτώσεις μιγαδικών υψωμένων σε δύναμη μπορούμε να
υπολογίσουμε (χρειάζεται να ξέρουμε την τριγωνομετρική μορφή
μιγαδικού που όμως είναι εκτός ύλης για τις εξετάσεις).
Για τον λόγο που αναφέραμε παραπάνω θα δώσουμε θεωρητικά
μερικές περιπτώσεις μιγαδικών που μπορούμε να βρούμε τη δύναμή
τους.
 Για τις δυνάμεις του i έχουμε: i 0 = 1 , i 1 = i , i 2 = −1 ,
i 3 = i 2i = −i . Στη συνέχεια, παρατηρούμε ότι είναι:
i 4 = i 2i 2 = 1, i 5 = i 4i = 1 ⋅ i = i, i 6 = i 4i 2 = 1 ⋅ i 2 = −1, i 7 = i 4i 3 = 1 ⋅ i 3 = −i
δηλαδή, μετά το i 4 οι τιμές του iν επαναλαμβάνονται.
Άρα, για να υπολογίσουμε συγκεκριμένη δύναμη του i ,
γράφουμε τον εκθέτη ν στη μορφή = 4 ρ + υ , όπου ρ το ν
πηλίκο και υ το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του ν με
το 4, οπότε έχουμε:



 1 αν, 0υ =
 iυ ,αν 1=

iν= i 4 ρ +υ i 4 ρ iυ (i 4 ) ρ iυ 1ρ iυ iυ 
= = = = =
 -1 αν
, υ
2 =

−i ,αν υ3=
 Για κάθε φανταστικό αριθμό z=βi μπορούμε να βρούμε
οποιαδήποτε δύναμή του αφού ( β ⋅ i ) = β κ ⋅ iκ .
κ

 Για τις δυνάμεις z 2 , z 3 , z 4 , z 6 ,μπορούμε να τις υπολογίσουμε
(θεωρητικά εύκολα αλλά πρακτικά με πολλές πράξεις) για κάθε
μιγαδικό αριθμό z=α+βi, χρησιμοποιώντας τις ταυτότητες :
( x ± y ) =x 2 ± 2 xy + y 2 , ( x ± y ) =x3 ± 3x 2 y + 3xy 2 − y 3 , και την
2 3

παρατήρηση ότι : x 4 = ( x 2 ) και x 6 = ( x 2 ) .
2 3

 Μπορούμε να υπολογίσουμε δυνάμεις μιγαδικών που είναι
υψωμένοι σε άρτιο εκθέτη και ισχύει Re(z)=±Im(z).
Για παράδειγμα : (α + α i )
2ν
αφού (α + α i ) = (α + α i )
2ν
( )=
2 ν

( α 2 + 2α ⋅ α i + (α i ) ) = (α
2 ν 2
+ 2α 2i − α 2 ) = ( 2α 2i ) = ( 2α 2 ) ⋅ iν .
ν ν ν

ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
Επειδή οι συζυγείς μιγαδικοί, όπως θα δούμε στις επόμενες
παραγράφους, μας διευκολύνουν στη μελέτη των μιγαδικών
αριθμών, θα αναφερθούμε ιδιαιτέρως σε αυτούς.
ΟΡΙΣΜΟΣ
Για έναν μιγαδικό αριθμό z=α+βi ορίζουμε ως συζυγή του αριθμού
z τον μιγαδικό z= α − β i .
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ y
 Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες M (α , β ) και
4
M(z)

M ′(α , − β ) δύο συζυγών μιγαδικών z α + β i
=
και z= α − β i είναι σημεία συμμετρικά ως
Ο
προς τον πραγματικό άξονα. x

M ′(z )

 Ισχύει: ( z ) = z (αφού (α − β i ) = + β i με εφαρμογή του
α
ορισμού)



 Για δύο συζυγείς μιγαδικούς αριθμούς z α + β i και
=
2α
z= α − β i ισχύει : z + z =
2β
z− z = i.

Συνήθως στις ασκήσεις οι δυο πιο πάνω
ιδιότητες θα χρησιμοποιούνται με τη μορφή:
z + z =Re ( z ) , z − z 2 Im ( z ) ⋅ i ,
2 =
και πιο σπάνια στη μορφή
z+z z−z
Re ( z ) = , Im ( z ) =
2 2⋅i

 Αν z1= α + β i και z2= γ + δ i είναι δυο μιγαδικοί αριθμοί, τότε:

1. z1 + z2 = z1 + z2
2. z1 − z2 = z1 − z2
3. z1 ⋅ z2 =z1 ⋅ z2
 z1  z1
4.  = .
 z2  z2

Οι ιδιότητες αυτές μπορούν να αποδειχτούν με εκτέλεση των
πράξεων. Για παράδειγμα έχουμε:
Απόδειξη της 1: z1 + z2 = (α + β i ) + (γ + δ i ) = (α + γ ) + ( β + δ )i
= (α + γ ) − ( β + δ )i = (α − β i ) + (γ − δ i ) = z1 + z2 .

5. z1 + z2 +  + zν = z1 + z2 +  + zν (Γενίκευση της 1)

6. z1 ⋅ z2 ⋅ ... ⋅ zν = z1 ⋅ z2 ⋅ ...⋅ zν . (Γενίκευση της 3)

7. ( zν ) = ( z )ν (αν είναι z1 z2 ... zν= z , και εφαρμόσουμε
= = =
την ιδιότητα 6)
ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ: α z 2 + β z + γ =με α,β,γ∈ℜ , α≠0.
0
Επειδή i 2 = −1 και (−i ) 2 == ,εύκολα, μπορούμε να
i 2 −1
διαπιστώσουμε ότι και κάθε εξίσωση δεύτερου βαθμού με
πραγματικούς συντελεστές έχει πάντα λύση στο σύνολο C.
Πράγματι, έστω η εξίσωση α z 2 + β z + γ =, με α , β , γ ∈ℜ και α ≠ 0 .
0



Εργαζόμαστε όπως στην αντίστοιχη περίπτωση στο ℜ και τη
μετασχηματίζουμε, με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνων, στη
β  ∆
2

μορφή:  z +  =όπου ∆ β − 4αγ η διακρίνουσα της
, = 2
 2α  4α 2

εξίσωσης. Έτσι, έχουμε τις εξής περιπτώσεις:
• ∆ > 0 . Tότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές λύσεις:
−β ± ∆
z1,2 =
2α
−β
• ∆ =0 . Tότε έχει μια διπλή πραγματική λύση: z =
2α
2
∆ (−1)(−∆) i 2 ( −∆ ) 2  i −∆ 
• ∆ < 0 . Tότε, επειδή
= = =   ,
4α 2 4α 2 (2α ) 2  2α 
2
β   i −∆ 
2

η εξίσωση γράφεται:  z +  =  .

 2α   2α 
− β ± i −∆
Άρα οι λύσεις της είναι: z1,2 = , οι οποίες είναι
2α
συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί.

 Παρατηρούμε ότι και εδώ ισχύουν οι σχέσεις:
−β γ
z1 + z2 = και z1 ⋅ z2 = Τύποι του Vieta.
α α

Χρησιμοποιούνται συνήθως όταν σε μια 2ου βαθμού
εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές ξέρουμε μια
μιγαδική λύση και έχουμε άγνωστο συντελεστή στην
εξίσωση!

 Προσοχή!!!! Αν σε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού έχουμε
μιγαδικούς συντελεστές (έστω κι έναν) ή το συζυγή του
άγνωστου μιγαδικού δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε
ούτε τη διακρίνουσα ούτε τους τύπους του Vieta. Τότε
καταφεύγουμε στην παλιά καλή συνταγή της αντικατάστασης
του άγνωστου μιγαδικού με x+yi.



ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
y
5
Έστω M ( x, y ) η εικόνα του μιγαδικού z= x + yi
στο μιγαδικό επίπεδο. Ορίζουμε ως μέτρο του z β M(x,y)
την απόσταση του M από την αρχή O , δηλαδή |z|


= | OM |
|z| = x2 + y 2
Ο a x

Όταν ο μιγαδικός z είναι της πραγματικός,
δηλαδή της μορφής z = x + 0i = x ∈ℜ , τότε | z |= x 2 + 02 = | x | , που
είναι η γνωστή μας απόλυτη τιμή του πραγματικού αριθμού x.
Αν z= x + yi , τότε z= x − yi , − z = x − yi και − z = x + yi , και άρα
− −
z =− z =z =− z , και z = x 2 + y 2 επίσης z ⋅ z = x 2 + y 2 άρα z = zz .
2 2

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
 Δύο προφανείς ιδιότητες από τα παραπάνω είναι:
• | z | = z | =− z |=− z |
| | |
• | z |= z ⋅ z
2

Δύο πολύ σημαντικές ιδιότητες για τις ασκήσεις
παρακάτω, ειδικά για δύσκολα θέματα!!!!!

 Οι επόμενες ιδιότητες αναφέρονται στις σχέσεις που
συνδέουν το γινόμενο και το πηλίκο μιγαδικών με τα μέτρα
τους και είναι ίδιες με τις αντίστοιχες ιδιότητες των
απόλυτων τιμών πραγματικών αριθμών.
Αν z1 , z2 είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε

• | z1 ⋅ z2 | = | z1 | ⋅ | z2 |
z1 z1
• =
z2 z2

Απόδειξη:
Πράγματι, έχουμε: | z1 ⋅ z2 | = | z1 | ⋅ | z2 | ⇔ | z1 ⋅ z2 |2 = | z1 |2 ⋅ | z2 |2
⇔ ( z1 ⋅ z2 )( z1 ⋅ z2 ) = z1 ⋅ z1 ⋅ z2 ⋅ z2 ⇔ z1 ⋅ z2 ⋅ z1 ⋅ z2 = z1 ⋅ z1 ⋅ z2 ⋅ z2



και, επειδή η τελευταία ισότητα ισχύει, θα ισχύει και η
ισοδύναμη αρχική.
Ανάλογα αποδεικνύεται και η δεύτερη ιδιότητα.
Γενικά, αποδεικνύεται ότι :
• z1 z2 ...zν = z1 z2 ... zν και
ν ν
• z = z
 Από τη γνωστή μας τριγωνική ανισότητα και y M(z1+z2) 6
από τη γεωμετρική ερμηνεία του M2(z2)

αθροίσματος z1 + z2 και της διαφοράς z1 − z2
δύο μιγαδικών προκύπτει ότι: M1(z1)

| | z1 | − | z2 || ≤ | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | Ο x
αλλά και ότι
| | z1 | − | z2 || ≤ | z1 − z2 | ≤ | z1 | + | z2 | N(z1 −z2 )

M3(−z2)
 Επίσης, είναι 
φανερό ότι το μέτρο του
διανύσματος ON είναι ίσο με το μέτρο του διανύσματος


M 2 M 1 . Επομένως:
“Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο με την
απόσταση των εικόνων τους”. Δηλαδή: ( M 1M 2= | z1 − z2 |
)
y
7

ρ,
 Η εξίσωση z − z0 = με ρ>0 και z= x0 + y0i
0

παριστάνει τον κύκλο με κέντρο το σημείο Κ ( z0 )
K(x0,y0)
και ακτίνα ρ.
 Ειδικά η εξίσωση z = ρ , με ρ>0 παριστάνει Ο x

κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0)
και ακτίνα ρ.
y
 Η εξίσωση z − z1 = z − z2 , όπου z= x1 + y1i ,
8
1
B(x2,y2)
z= x2 + y2i , παριστάνει τη μεσοκάθετο του
2

τμήματος με άκρα τα σημεία Α ( z1 ) και Β ( z2 ) . A(x1,y1)

Ο x



ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
 z ∈ℜ ⇔ Im ( z ) = 0 , z ∈ I ⇔ Re ( z ) =0
Απόδειξη: z= z ⇔ α + β i= α − β i ⇔ 2β i= 0 ⇔ β = 0 ⇔ z ∈ℜ
 z ∈ℜ ⇔ z = z , z ∈ I ⇔ z = z −
Απόδειξη:
z = ⇔ α + β i = + β i ⇔ 2a = a = z ∈ Ι
−z −α 0⇔ 0⇔
(τις δυο παραπάνω σχέσεις όταν τις χρησιμοποιούμε πρέπει να
αποδεικνύονται)
ρ2
 z = ρ > 0 ⇔ zz = ρ 2 ⇔ z =
z
 Αν z 1 , z 2 ∈C και ισχύει f ( z1 , z2 ) =( z1 , z2 ) =
0⇔ f 0,
 Αν z 1 , z 2 ∈C και ισχύει f ( z1 , z2 ) = f ( z1 , z2 )

f ( z ) =g ( z ) ⇔ f ( z ) =g ( z ) ⇔ f ( z ) f ( z ) = ( z ) g ( z )
2 2
 g

 z = z0 ⇔ z = z0 ⇔ z =
v v v z0

ΒΑΣΙΚΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ
Γενικά όταν θέλουμε να βρούμε έναν γεωμετρικό τόπο ενός μιγαδικού z,
τότε θέτουμε z=x+yi και προσπαθούμε μέσα από την σχέση που μας
δίνουν να βρούμε την σχέση που συνδέει τα x,y.
Όμως υπάρχουν και μερικές σχέσεις οι όποιες μας φανερώνουν αμέσως
τον γεωμετρικό τόπο.
Αυτές οι σχέσεις είναι:
 |z|=ρ , ρ>0
Ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος
Κ(0,0) και ακτίνα ρ.



 |z-z 0 |=ρ , ρ>0
Ο γεωμετρικός τόπος είναι
κύκλος κέντρου Κ(z 0 ) και
ακτίνας ρ.

 |z-z 0 |≤ρ
Ο γεωμετρικός τόπος είναι ο
κυκλικός δίσκος Κ(z 0 ) και
ακτίνας ρ.

 |z-z 0 |>ρ
Ο γεωμετρικός τόπος είναι όλα τα
εξωτερικά σημεία του κύκλου Κ(z 0 )
και ακτίνας ρ.



 |z-z 1 |=|z-z 2 |
Ο γεωμετρικός τόπος είναι η μεσοκάθετος
του τμήματος ΑΒ με Α( ) και Β( ).

 |z-z 1 |+|z-z 2 |=2α , με α>0
έλλειψη με εστίες Ε 1 ( ) ,E( )
και σταθερό άθροισμα 2α.

 ||z-z 1 |-|z-z 2 ||=2α ,α>0
υπερβολή με εστίες Ε 1 ( ) , E( )
και σταθερή διαφορά 2α.



ΜΕΓΙΣΤΟ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΤΟΥ |z| ΚΑΙ ΤΟΥ |z 1 –z 2 |
Έστω Μ , Μ 1 , Μ 2 οι εικόνες των μιγαδικών z 1 , z 2 , z 3 στο μιγαδικό
επίπεδο. Για να βρούμε το μέγιστο και το ελάχιστο του μέτρου του z και
της διαφοράς του μέτρου z 1 - z 2 πρέπει να γνωρίζουμε τους γεωμετρικούς
τόπους πάνω στους οποίους βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών.
Συγκεκριμένα :
 Αν το Μ βρίσκεται σε ευθεία ε τότε:
min|z| =d(Ο,ε)

 Αν το Μ βρίσκεται σε κύκλο (Κ ,ρ) τότε:
min|z|=(ΟΑ)=|(ΟΚ)-ρ|
max|z|=(ΟΒ)=(ΟΚ)+ρ

 Aν το Μ βρίσκεται στην έλλειψη C:
x2 y 2
+ 2 = =α – γ τότε:
1 ,β
2 2 2
α 2
β
min|z|=(OB)=(OΒ΄)=β
max|z|=(OA)=(OΑ΄)=α



 Αν οι εικόνες των μιγαδικών z 1 και z 2
βρίσκονται αντίστοιχα στους κύκλους
(Κ 1 ,ρ 1 ) και (Κ 2, ρ 2 ) με Κ 1 Κ 2 > ρ 1 +ρ 2
τότε :
min|z 1 -z 2 |=( Κ 1 Κ 2 )-ρ 1 -ρ 2
max|z 1 -z 2 |=( Κ 1 Κ 2 )+ρ 1 +ρ 2

 Αν οι εικόνες των μιγαδικών z 1 και z 2
βρίσκονται αντίστοιχα στον κύκλο (Κ,
ρ) και στην ευθεία ε τότε:
min|z 1 -z 2 |=|d(K,ε)-ρ|



Β. ΜΕΡΟΣ: ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α. ΟΜΑΔΑ : ΟΡΙΣΜΟΙ-ΠΡΑΞΕΙΣ -ΣΥΖΥΓΕΙΣ
ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ (Πρόσθεση- Αφαίρεση-Πολ/σμος –
Διαίρεση)
1) ✍ Να γράψετε τους παρακάτω μιγαδικούς στην κανονική τους μορφή:
α) z1 = ( 4 − 3i ) + ( 3 − 2i ) β) z2 = ( −3 + 2i ) + ( −5 − i )
γ) z3 = (2 − i ) − (−3 + 2i ) δ) z4 = ( −1 − i ) − ( −3 + 2i )
ε) z5 = ( 2 + i ) ⋅ ( 4 − 2i ) στ) z6 = ( −2 − 3i ) ⋅ ( 5 − i )
ζ) z7 = 2 − 3i ⋅ (1 − 2i ) + 3i η) z8 =4 ⋅ ( 2 − i ) − 3i + i ⋅ ( 2 − 3i )
θ) z9 = ( 2 − 3i )( 4 − 5i ) + 7i − 1 ι) z10 = 2i ⋅ (1 − i ) ⋅ ( 2 − 3i )
α) z1 = − i )(1 + i )
(1 β) z2 =+ 2i )( 3 − 2i )
(3
γ) z3 =− 3i )( 5 + 3i )
(5 ( )( 2 + i )
δ) z4 = 2 − i

( )(
ε) z5 = 3 − 2i ⋅ 3 + 2i ) στ) z6 = ( −2 + 2 3i ) ⋅ ( −2 − 2 3i )
ζ) z7 = ( ( x − 2 ) + 2 yi ) ( ( x − 2 ) − 2 yi )
η) z8 = ( x − ( y − 3) i ) ( x + ( y − 3) i )

2 + 3i 3+i 1− i
α) z1 = β) z2 = γ) z3 =
4 2i −i + 1
2 + 3i 5 − 2i 2 +i
δ) z3 = ε) z5 = στ) z6 =
3−i 1 − 2i 2 − 3i
1 − xi 2
ζ) z7 = η) z8 =
x+i ηµθ + iσυνθ
1 συνθ + iηµθ
θ) z9 = ι) z10 =
2συνθ − 2iηµθ συνθ − ηµθ i
ια) z11 =
( 2 + 3i )( −i + 1) ιβ) z 1 − 2i ⋅ 2i + 1
=
1 − 2i i + 3 3i + 1
12

12 + 8i 2i + 1
ιγ) z13
= +
2 − 3i 3i + 1



ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ( Χωρίς χρήση της
τριγωνομετρικής μορφής μιγαδικού)
(1 + 2i ) ( 3 − 2i ) ( )
2
α) z1
= β) z= γ) z3
= 1 − 2 3i
2 2
2
2
i −1 2 1− i 
2
1 2 
δ)=
z4 − ε) z5 =   στ) =  +
z6 i
(1 − i )  i +1
2
i  2 2 
ζ) z7
= (1 − i ) η) z= (2 − i)
3 3
8

5) ✍ Να υπολογιστούν τα αθροίσματα :
1 2 3 4
α) 1 + 2i 2 + 4i 4 + 5i 6 β) + + +
i i 2 i3 i 4
γ) i 22 + i 2009 + i12 + i 2011 δ) i1955 + i1956 + i1957 + i1958
1 1 1 1 1 1 1
ε) 7 + 21 + 72 στ) 1975 + 1976 + 1977 + 1978
i i i i i i i
6) ✍ Να υπολογιστούν τα παρακάτω αθροίσματα και γινόμενα :
α) i + i 2 + i 3 + ... + i102
β) i − i 2 + i 3 − i 4 + i 5 − ......... + i 2ν +1 , v ∈ N *
γ) i + i 2 + i 3 + i 4 + ......... + i 4ν , v ∈ N *
δ) i + i 2 + i 3 + i 4 + ......... + i 4ν +1 , v ∈ N *
ε) i + i 2 + i 3 + i 4 + ......... + i 4ν +3 , v ∈ N *
στ) i ⋅ i 2 ⋅ i 3 ⋅ i 4 ⋅ .....i100
ζ) i ⋅ i 3 ⋅ i 5 ⋅ i 7 ⋅ .....i 51
η) i ⋅ i 3 ⋅ i 5 ⋅ i 7 ⋅ .....i 2012
θ) i ⋅ i 3 ⋅ i 5 ⋅ i 7 ⋅ .....i 2013
7) ✍ Να υπολογιστούν οι παρατάσεις :
α) (1 + i ) β) (1 + i ) ( ) δ) ( 2 − i ) ( 2 + i )
6
γ) 2 −i
20 21 5 5

( x + i) ( x + i)
5 7

ε) ( 2 − i ) ( 2 + i ) ( ) (1 + 3i )
5 6
στ) 1 − 3i ζ) η)
5 6

(1 − xi ) (1 − xi )
5 8

8) ✍ Να υπολογιστούν οι παρατάσεις :
α) (1 + i ) − (1 − i ) β) (1 + i ) − (1 − i )
20 20 10 10

γ) ( 2 + 2i ) + ( 2 − 2i ) δ) ( 2 + 2i ) + ( 2 − 2i )
20 20 10 10

ε) (1 + i ) − (1 − i ) στ) (1 + i ) + (1 − i )
2010 2010 2008 2008



ζ) (α + α i )ά + (α − α i ) , κ ∈ Ν & κ = ρτιος
2κ 2κ

η) (α + α i )ό + (α − α i ) , κ ∈ Ν & κ =περιττ ς
2κ 2κ

9) ✍ Να αποδείξετε ότι : (α + β i ) + ( β − α i ) =όπου α ,β ∈ℜ.
0,
20 20

10) ✍ Να αποδείξετε ότι : ( 2 + 3i ) + ( 3 − 2i ) = όπου α ,β ∈ℜ.
0,
1002 1002

11) ✍ Αν ν∈Ν και f ( v = iν + i −ν , να αποδείξετε ότι :
)
f ( 4κ ) + f ( 4κ + 1) + f ( 4κ + 2 ) + f ( 4κ + 3) =
0.
4ν 4ν
λ +i   i−λ 
12) ✍ Αν λ∈ℜ και ν∈Ν*, να αποδείξετε ότι : 
  +  =
2.
 1 − λi   1 + λi 
13) ✍ Αν ν∈Ν*, z∈C και f ( z ) iν ⋅ z , να αποδείξετε ότι :
=
f ( 4κ ) + f ( 4κ + 1) + f ( 4κ + 2 ) + f ( 4κ + 3) =
0.
14) ✍ Αν για το μιγαδικό αριθμό z ισχύει z 2 − z + 1 = να αποδείξετε
0
ότι: α) z 3 = −1 και β) z 62 − z121 + 1 =0
0
1
ότι: α) z 3 = −1 β) z 40 + z 20 + 1 = γ) z 70 +
0 =
−1
z 70
0
ότι: α) z 3 = −1 β) z 6κ + 2 = 0, που
ό + z 6 λ +1 + 1 κ,λ ∈ℜ
17) ✍ Αν για το μιγαδικό αριθμό z ισχύει z 2 + z + 1 = να αποδείξετε
0
1
ότι: α) z 3 = 1 β) z 2012 + z 2011 + 1 = γ) z 70 +
0 =
−1
z 70
1
18) ✍ Αν για το μιγαδικό αριθμό z ισχύει z + =1 να αποδείξετε ότι:
−
z
α) z 3 = 1 β) z 200 + z100 + 1 =0
19) ✍ Έστω z, w δύο μιγαδικοί αριθμοί .
α) Να εξετάσετε πότε ισχύει z 2 + w2 =0.
β) Να αποδείξετε ότι: z + w =
2010 2010
0



ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ –z∈ℜ, z∈I
20) ✍ Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, ώστε ο
z = ( λ + 3i ) ⋅ ( 2 − i ) να είναι:
α) πραγματικός αριθμός
β) φανταστικός αριθμός.
21) ✍ Να βρεθεί ο x∈ℜ αν ο αριθμός
z= (x 2
− 5 x + 4 ) + ( x 2 + x − 2 ) i είναι διάφορος του μηδενός και
επιπλέον είναι :
α) πραγματικός αριθμός
β) φανταστικός αριθμός
22) ✍ Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z = x 2 − x − 9i και w= 2 − y 2i ,
x,y∈ℜ.
α) Να βρείτε τους x,y ώστε z=w.
β) Να βρείτε τον z.
23) ✍ Δίνεται ο μιγαδικός z = 6i − ( 3 − 4i ) x − 3 yi − ( 3i − 2 ) x + ( 4 − 2 yi )
x,y∈ℜ.
α) Να γράψετε τον z στη μορφή α+βi.
β) Να λύσετε τις εξισώσεις : i)Re(z)=0, ii)Im(z)=0 iii)Re(z)=Im(z)
iv) z=0
24) ✍ Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z=(2+i)x+(y-1)i-5, x,y∈ℜ.
α) Να γράψετε τον z στη μορφή α+βi.
β) Να γράψετε τον z συναρτήσει του x, αν Im(z)=0.
γ) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα x και y αν Re(z)=Im(z).
25) ✍ Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό x όταν:
x 2 + 5 + ( x 2 − 5 x + 1) i = 6 + 7i

26) ✍ Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x και y ώστε να ισχύουν οι
ισότητες:
α) x − 2 + 2 yi = 2i + 2 − yi
−
β) y + 2i =3 − ( 2 + i ) x
γ) 4 y − 3 yi − 2 x = − 5 xi + 9i
2
δ) ( x 2 + 1) i + 2 x = x 2 − 2 xi − 3
ε) 2 x − 3 + 4 yi = 3 + ( 2 y − 8 ) i
στ) 4 x + 3 y + 2 + ( 5 x + y + 2 ) i = x + y − 1 + ( 3 x + 2 y + 7 ) i



27) ✍ Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x και y ώστε να ισχύουν οι
ισότητες:
α) ( x + y ) + ( x − y ) i = − i
3
β) 3 x 2 + x − 6 + ( x 2 − 3) i = 2 + i
γ) 9 − 27i = ( 3 x + 2 y ) − yi
δ) ( 3 − 2i ) − ( x + yi ) =x − yi
2

ε) ( 3 − 2i ) + ( 2 x − yi= 2 ( 2 x − yi ) + 2i − 1
)
στ) (1 − 2i ) + ( x − yi ) =(1 − i ) − xi
2

2 + 3i 
2

ζ) 
1
  − =i
2−3
 3 − 2i  x − yi
28) ✍ Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί x,y ώστε να ισχύει
x y 5 + 6i
+ =.
1 + 2i 3 + 2i 8i − 1
12 + 5i
29) ✍ Να βρεθούν τα α, β ∈ℜ, ώστε (α + β i ) = .
2

i
1 + 7i
30) ✍ Να βρεθούν τα α, β ∈ℜ, ώστε (α + β i ) =.
2

1− i
31) ✍ Αν x + yi = ( 3 − 2i ) , x,y∈ℜ , να δείξετε ότι:
13

α) x − yi = ( 3 + 2i ) β) x 2 + y 2 = .
13
1313
32) ✍ Αν x + yi =(1 − 2i ) , x,y∈ℜ και ν∈Ν*, να δείξετε ότι
2v

25ν
x2 + y 2 = .
33) ✍ Να βρεθούν τα x,y∈ℜ, ώστε οι μιγαδικοί z1 = + 2 y − i και
x
z2 = − ( 4 x − y ) i να είναι συζυγείς.
11



ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕ
ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ (Με αντικατάσταση)
34) ✍ Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς που επαληθεύουν την ισότητα
z − (1 − i )(1 + i ) = i ( z − 2 ) .
z
z+ =i ) .
(1 +
3

(1 − i )
z (1 − i ) − 1 = .
iz
z −1
= i −1.
2z − i
zz + 2i ( z + z ) = 20 + 8i .
zz + ( z − z ) = + 2i .
3
z 2 − z + 2 =.
0
41) ✍ Να βρείτε τους μιγαδικούς z=x+yi, x,y∈ℜ για τους οποίους
ισχύει: z 2 + 2 z + 1 = .
0
zz + 2iz − 2i =
0.
z2 + 2z + 9 = z − z .
z = z2 .
z = z3 .
z 3 = 3z .



ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕ
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ (Με παραγοντοποίηση -
διακρίνουσα – σχήμα Horner )
47) ✍ Να λυθεί στο σύνολον των μιγαδικών η εξίσωση : z 2 − z + 2 =.
0
48) ✍ Να λυθεί στο σύνολον των μιγαδικών η εξίσωση : z 2 − 2 z + 4 =.
0
49) ✍ Να λυθεί στο σύνολον των μιγαδικών η εξίσωση : 2 z 2 − 4 z + 7 =0
50) ✍ Να λυθεί στο σύνολον των μιγαδικών η εξίσωση : z 2 − 6 z + 25 =
0.
51) ✍ Να λυθεί στο σύνολον των μιγαδικών η εξίσωση : z 2 + 1 = .
0
52) ✍ Να λυθεί στο σύνολον των μιγαδικών η εξίσωση : z 4 = 1 .
53) ✍ Να λυθεί στο σύνολον των μιγαδικών η εξίσωση : z 2 + 4 =.
0
54) ✍ Να λυθεί στο σύνολον των μιγαδικών η εξίσωση : z 4 − 16 =
0.
55) ✍ Να λυθεί στο σύνολον των μιγαδικών η εξίσωση : z 3 + 1 = .
0
56) ✍ Να λυθεί στο σύνολον των μιγαδικών η εξίσωση : z 3 − 1 = .
0
57) ✍ Να λυθεί στο σύνολον των μιγαδικών η εξίσωση : z 3 + z 2 − 2 =.
0
58) ✍ Να λυθεί στο C η εξίσωση : z 3 + 3z 2 + 3z + 2 =.
0
59) ✍ Να λυθεί στο C η εξίσωση : z 3 − 3z 2 + z + 2 =.
0
60) ✍ Να λυθεί στο C η εξίσωση : z 3 − 10 z − 12 =
0.
61) ✍ Να λυθεί στο C η εξίσωση : z 3 + 2 z 2 + 7 z + 6 =.
0
62) ✍ Να λυθεί στο C η εξίσωση : z 3 − 3z 2 + 2 =.
0
63) ✍ Η εξίσωση z 2 + α z + β = α,β∈ℜ έχει ρίζα τον μιγαδικό 2-i.
0,
α) Να βρείτε την άλλη ρίζα της εξίσωσης
β) Να βρείτε τα α και β.
64) ✍ Η εξίσωση 2 z 2 + κ z + λ = όπου κ, λ∈ℜ ,έχει ρίζα τον μιγαδικό
0,
αριθμό 3+2i.
β) Να βρείτε τα κ και λ.
65) ✍ Η εξίσωση 3 z 2 + κ z + λ =, κ, λ∈ℜ, έχει ρίζα τον μιγαδικό 2-3i.
0
β) Να βρείτε τα κ και λ.



ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΝΑ ΑΠΟΔΕΙΞΕΤΕ ΟΤΙ: (Ν.α.ο
πραγματικός ή ν.α.ο. φανταστικός ή με συζυγείς )
66) ✍ Να δείξετε ότι κάθε πραγματικός αριθμός είναι ίσος με το συζυγή
του και αντιστρόφως δηλαδή : z= z ⇔ z ∈ℜ .
67) ✍ Να δείξετε ότι κάθε φανταστικός αριθμός είναι αντίθετος από το
συζυγή του και αντιστρόφως δηλαδή : z = z ⇔ z ∈ I .
−
68) ✍ Αν z φανταστικός αριθμός με z≠-i, να αποδείξετε ότι ο αριθμός
z3 − i
w= είναι πραγματικός αριθμός.
z +i
z
69) ✍ Να δείξετε ότι αν w = και ο w είναι πραγματικός τότε ο z
z+i
είναι φανταστικός αριθμός.
70) α) Το άθροισμα δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών είναι πραγματικός
αριθμός.
β) Ο αριθμός u = ( 3 − 2i ) + ( 3 + 2i ) είναι πραγματικός.
2012 2012

71) ✍ Να αποδείξετε ότι:
α) Η διαφορά δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών είναι φανταστικός
αριθμός.
( ) ( )
v v
β) Ο αριθμός u = 4 − 3i − 4 + 3i , v ∈ N * είναι φανταστικός.

α) Το άθροισμα δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών είναι πραγματικός
αριθμός.
β) Ο αριθμός u = ( z − w ) + ( z − w ) είναι πραγματικός.
15 15

αριθμός.
β) Ο αριθμός u = ( z − w ) − ( z − w ) είναι φανταστικός.
15 15

α) Το άθροισμα δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών είναι πραγματικός
αριθμός.
β) Ο αριθμός u=
5
(
( z 50 − i ) + i + ( z ) )
50 5
είναι πραγματικός.




αριθμός.
β) Ο αριθμός u=
5
(
( z 50 − i ) − i + ( z ) )
50 5
είναι φανταστικός.

76) ✍ Αν z ,w είναι μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι οι μιγαδικοί
= ( zw + zw ) και v
= ( zw − zw ) είναι πραγματικοί και ειδικότερα u≥0
2 2
u
και v≤0.
z z
77) ✍ Να αποδείξετε ότι ο αριθμός + είναι πραγματικός.
z z
z z
78) ✍ Να αποδείξετε ότι ο αριθμός − είναι φανταστικός.
z z
79) ✍ Αν z ,w είναι μιγαδικοί αριθμοί με z≠1, και ισχύει w = w και
w − zw
zz = 1 , να αποδείξετε ότι ο αριθμός u = είναι πραγματικός.
1− z
80) Έστω οι μιγαδικοί z και w για τους οποίους γνωρίζουμε ότι zz = 1
και ww = 1 ενώ zw ≠ −1. Να αποδείξετε ότι :
z+w
α) ο αριθμός u = είναι πραγματικός.
1 + zw
z−w
β) ο αριθμός u = είναι φανταστικός.
1 + zw
z z
81) ✍ Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός αριθμός u = είναι
w w
φανταστικός αριθμός για κάθε z, w μιγαδικούς αριθμούς.
z z
82) ✍ Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός αριθμός u = είναι
−w w
πραγματικός αριθμός για κάθε z, w μιγαδικούς αριθμούς.
α + βi  
83) ✍ Αν z = , με α, β, γ, δ ∈ℜ και u = (α , β ) , v = ( γ , δ ) , να
γ + δi
 
δείξετε ότι: z ∈ℜ ⇔ u // v
1 1
84) ✍ Αν z∈C* και w= z − ,να δείξετε ότι : w ∈ Iή ⇔ z ∈ I z =.
z z
z +z
85) ✍ Αν z1 , z2 ∈ C * και z1 ⋅ z2 ∈ℜ , και w = 1 2 να δείξετε ότι : w∈ℜ .
z1 − z2
z3 − z 3
86) ✍ Αν z∈C και w = ,να δείξετε ότι : w ∈ I .
1 + zz
z − iz
87) ✍ Αν z∈C και w = ,να δείξετε ότι : w∈ℜ .
z − iz
z − iz
88) ✍ Αν z∈C* και w = να δείξετε ότι : w ∈ I .
z + iz



z1 + z2
89) ✍ Αν z1 , z2 ∈ C , z1 z1 z= 4 , και w =
= 2 z2 να δείξετε ότι : w ∈ I .
z1 − z2
z
90) ✍ Έστω z∈C και f ( z= z 2 + ,να δείξετε ότι :
)
i
Im ( f ( z ) ) = z ) ⋅  2Im ( z ) + 1 .
− Re (  
91) ✍ Αν x, y∈ℜ & ν∈Ν* να αποδείξετε ότι ο αριθμός
u = ( x + yi ) + ( y + xi ) είναι πραγματικός.
4v 4v

92) ✍ Έστω z1 , z2 ∈ C με z12013 = 1 + 2i και z2 = 2 + i . Να αποδείξετε ότι
2013

z1
ο αριθμός w = δεν είναι πραγματικός.
z2
1+ z   1
93) ✍ Να αποδείξετε ότι   −  z +  =− z .
1
 z   z
94) ✍ Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z1 , z2 και z3 ισχύουν
z1 + z2 + z3 =και z12 + z2 + z3 =να αποδείξετε ότι: z= z= z3
0 2 2
0 3
1
3
2
3



ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ: (Χωρίς μέτρο )
95) ✍ Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z που
ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις:
α) z − z = 6i β) z + z = 4 γ) z 2 = z 2
δ) z 2 = − z 2 ε) z 3 = z 3 στ) z 3 = − z 3
96) ✍ Αν η εικόνα του μιγαδικού z =λ + (λ − 1)i στο μιγαδικό επίπεδο
βρίσκεται στην ευθεία y=4x+1, να βρεθεί ο λ∈ℜ.
97) ✍ Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z = ( λ − 2 ) + 2λi , όπου λ∈ℜ.
Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z.
98) Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z=(2λ+1)+(2λ−1)i , λ∈ℜ.
Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι
εικόνες των μιγαδικών αριθμών z, για τις διάφορες τιμές του λ∈ℜ .
99) ✍ Έστω ένας μιγαδικός z=x+yi, x,y∈ℜ για τον οποίο ισχύει η σχέση
zz + 3 z − 5 z = z ) . Να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ(x,y)
8i Im(
βρίσκονται σε κύκλο και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του.
100) ✍ Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών
αριθμών z για τους οποίους ισχύει: ( z + z ) + ( z − z ) = 15 + zz .
2 2

101) ✍ Δίνεται η συνάρτηση f με f ( z= z 2 + z , z∈C. Να βρείτε το
)
γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z για τους
οποίους ισχύει: α) f ( z ) = f ( z ) β) Re ( f ( z ) ) = 1 + Re ( z ) .

102) ✍ Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z=x+yi, x,y∈ℜ.
z + 8i
α) Να γράψετε στη μορφή α+βi τον μιγαδικό w = .
z+6
β) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα x και y αν Im(w)=0
γ) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα x και y αν Re(w)=0
δ) Να δείξετε ότι η προηγούμενη σχέση (γ) είναι εξίσωση κύκλου και
να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του.
ε) Να δείξετε ότι ο προηγούμενος κύκλος διέρχεται από την αρχή των
αξόνων.
z+2
103) ✍ Έστω ο μιγαδικός z=x+yi, x,y∈ℜ και ο αριθμός w = με
z −i
z≠i.Να αποδείξετε ότι:
α) Αν ο w είναι πραγματικός, τα σημεία Μ(x,y) βρίσκονται σε ευθεία
γραμμή.
β) Αν ο w είναι φανταστικός, τα σημεία Μ(x,y) βρίσκονται σε κύκλο.



z +1
104) ✍ Έστω ο μιγαδικός z=x+yi, x,y∈ℜ και ο αριθμός w = με
2z − i
z≠i/2. Να αποδείξετε ότι αν ο w είναι πραγματικός αριθμός , τα
σημεία Μ(x,y) βρίσκονται σε ευθεία γραμμή.
2z − 1
105) ✍ Έστω ο μιγαδικός z=x+yi, x,y∈ℜ και ο αριθμός w = με z≠i.
iz + 1
Αν ο w είναι πραγματικός αριθμός , να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος
των εικόνων του μιγαδικού z.
z + 2z
106) ✍ Έστω ο μιγαδικός z=x+yi, x,y∈ℜ και ο αριθμός w = 2 με
z
z≠0. Αν ο w είναι φανταστικός αριθμός , να βρεθεί ο γεωμετρικός
τόπος των εικόνων του μιγαδικού z.
iz + 1
107) ✍ Έστω ο μιγαδικός z=x+yi, x,y∈ℜ και ο αριθμός w = με z≠i.
z −i
Να αποδείξετε ότι αν ο w είναι πραγματικός αριθμός , τα σημεία
Μ(x,y) βρίσκονται σε ευθείες γραμμές.
108) ✍ Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z για
τους οποίους ισχύει :
1 1
α) Re( z + ) = z ) β) Im( z + ) =
5Re( −3Im( z )
z z
τους οποίους ισχύει :
1 1
α) Re( z − ) = −3Re( z ) β) Im( z − = 2Re(i ⋅ z )
)
z z
110) ✍ Έστω ο μιγαδικός z=x+yi, x,y∈ℜ και y≠0 για τον οποίο ισχύει
Re( zz ) = Im( z ) . Να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ(x,y) βρίσκονται σε
κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.
111) ✍ Έστω ο μιγαδικός z=x+yi, x,y∈ℜ και z≠0 για τον οποίο ισχύει
i
Re( z + )= Re( z + 1) . Να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ(x,y)
z
βρίσκονται σε κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.
112) ✍ Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(χ, y) του επιπέδου
για τα οποία ο μιγαδικός αριθμός = 3 z − ( z ) είναι αρνητικός
2
u
πραγματικός, όπου z ο μιγαδικός αριθμός z=x+yi .
113) ✍ Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x, y) για τα οποία
1
έχουμε z + ∈ℜ όπου z=x+yi .
z



114) ✍ Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x, y) για τα οποία
1
έχουμε z + ∈ Ι όπου z=x+yi .
z
115) ✍Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x, y) για τα οποία
z −i
έχουμε ∈ℜ όπου z=x+yi .
z −1
116) ✍Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x, y) για τα οποία
z −i
έχουμε ∈ Ι όπου z=x+yi .
z −1
117) ✍ Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού z όταν
ξέρουμε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών i, z, iz είναι
συνευθειακά σημεία.
118) ✍ Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού z όταν
ξέρουμε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών 1, z+i, iz+1 είναι
συνευθειακά σημεία.
119) ✍ Αν η εικόνα του μιγαδικού z βρίσκεται στην ευθεία ε: y=2x-1, να
βρείτε που βρίσκεται η εικόνα του μιγαδικού w = iz − (1 − i ) z − i 2013 .



Β. ΟΜΑΔΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ
ΝΑ ΒΡΕΘΕΙ ΤΟ ΜΕΤΡΟ
120) ✍ Να βρείτε το μέτρο τον παρακάτω μιγαδικών αριθμών:
α) z1 = 1 + i β) z2 = 1 − i γ) z3= 3 − 4i δ) z4= 6 + 8i
α) z1 = 5 β) z2 = −4 γ) z3 = −4i δ) z4 = 8i
1+ i
α) z1 = β) z2 =− i ) (1 + i )
(1
2 4

1− i
3+i
γ) z3 = 2 − i )(1 + 2i )
( δ) z4 =
4 − 3i
2013
1+ i 
4
 2 2 
α) z1 =   β) z2 
= − i
1− i   2 2 
(1 − 2i )
7
 3+i 
2012

γ) z3 =   δ) z4 =
 1 − 3i  ( 2 + i ) ( 3 − 4i )
3

v
1 3
2
 λ + µi 
ε) z5=  + i  ( −5 + 12i )( 8= 
− 6i ) στ) z6  , λ , µ ∈ℜ
6

 2 2   λ − µi 
124) ✍ Αν z= 3 − 4i και w =−1 − i 3 να βρείτε το μέτρο των παρακάτω
z2
μιγαδικών: α) z β) w −3
γ) 3 δ) i ( w )
3 5

w



ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΕ ΜΕΤΡΟ
125) ✍ Να λυθεί στο σύνολο C η εξίσωση: z 2 = − z 2 .

126) ✍ Να λυθεί στο σύνολο C η εξίσωση: z + i = .
iz
127) ✍ Να λυθεί στο σύνολο C η εξίσωση: z − i =z .
2
128) ✍ Να λυθεί στο σύνολο C η εξίσωση: z 2 + z =
0.
129) ✍ Να λυθεί στο σύνολο C η εξίσωση: z 2 − 4 z + 3 =.
0
130) ✍ Να λυθεί στο σύνολο C η εξίσωση: z + z + 1 + i = .
0
131) ✍ Να λυθεί στο σύνολο C η εξίσωση: z + z = 2 + i .
1
132) ✍ Να βρείτε το μιγαδικό z για τον οποί ισχύει : z = = 1− z .
z
133) ✍ Να βρείτε το μιγαδικό z για τον οποί ισχύει : z = z 2 = 1 − z .
1+ i 3
134) ✍ Να βρείτε το μιγαδικό z για τον οποί ισχύει : z= = 2− z .
iz

135) ✍ Να βρείτε το μιγαδικό z για τον οποί ισχύει : z = z − 1 + i ( z − 8 ) .



ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ (να βρεθεί και γραφική παράσταση)
136) ✍ Να βρεθεί και παρασταθεί γραφικά ο γεωμετρικός τόπος τον
εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: z 2 = z 2 .

εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: z − 1 =.
z
εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: z + i =z .
2
εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: z − i =
1.
εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: z + 1 + 2i = .
3
εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: z ≥ 2 .
εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: 2 < z < 4 .
εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: z + 1 = z − 2i .
εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: z − i > z + 1 .
εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: 2 z + 1 < z + i .
εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: z − 1 =1 + Re ( z ) .



ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ (Ευθεία –Κύκλος)
147) ✍ Έστω οι μιγαδικοί z1 , z2 για τους οποίους ισχύει z1= 2 z2 + 1 . Να
z2
δειχθεί ότι, όταν η εικόνα του z1 κινείται σε κύκλο με κέντρο Κ(1,0)
και ακτίνας ρ=1, τότε η εικόνα του z2 κινείται πάνω σε μια ευθεία.
148) ✍ Θεωρούμε τους μιγαδικούς z=λ+2+(3λ-3)i, λ∈ℜ.
α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού z.
β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού w για
τον οποίο ισχύει : w=z+(1+i).
γ) Να βρείτε το μιγαδικό z πού έχει την πλησιέστερη εικόνα στην
αρχή των αξόνων.
149) ✍ Έστω ο μιγαδικός z=α+βi, με α,β∈ℜ ώστε α+β=4. Να αποδείξετε
ότι οι εικόνες των μιγαδικών w=(1+i)z-3i, βρίσκονται σε μια ευθεία
της οποίας να βρείτε την εξίσωση.
150) ✍ Έστω ο μιγαδικός z=α+βi, με α,β∈ℜ, με α,β≠0 για τον οποίο
1
ισχύει z − 1 = .Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών w =
1
z
κινούνται σε μια ευθεία και να βρεθεί η εξίσωσή της.
151) ✍ Έστω Μ και Ν οι εικόνες των μιγαδικών z και w, για τους οποίους
i
ισχύει w iz − και για το Μ ισχύει z = 1 (δηλαδή κινείτε σε
=
z
μοναδιαίο κύκλο), να δείξετε ότι το σημείο Ν κινείται σε ευθύγραμμο
τμήμα .
1
ισχύει w= z + και για το Μ ισχύει z = 1 (δηλαδή κινείτε σε
z
μοναδιαίο κύκλο), να δείξετε ότι το σημείο Ν κινείται σε ευθύγραμμο
τμήμα .
153) ✍ Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z1 = 2 + 3i και z2= 2 − 3i , και
−
z=x+yi, x,y∈ℜ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των
μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει z + z1 = z + z2 , και να βρεθεί
ποιος απ αυτούς έχει το μικρότερο μέτρο.
τους οποίους ισχύει z − 4i = z + 2 . Ποιος απ’ αυτούς τους μιγαδικούς
έχει το μικρότερο μέτρο;



τους οποίους ισχύει z + 1 = z + 4i . Ποιος απ’ αυτούς τους μιγαδικούς
έχει το μικρότερο μέτρο;
156) ✍ Δίνεται η εξίσωση z − 1 = z − 3i , με z μιγαδικό αριθμό.
α) Να δειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο
μιγαδικό επίπεδο είναι η μεσοκάθετος (ε) του ευθυγράμμου τμήματος
ΑΒ με άκρα Α(1,0) και Β(0,3).
β) Να δειχθεί ότι η εξίσωση της (ε) είναι x-3y+4=0.
γ) Να γίνει η γραφική παράσταση της (ε).
δ) Να βρεθεί η εικόνα του z για τον οποίο το z είναι ελάχιστο.
157) ✍ Έστω ε η ευθεία που ορίζουν οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών
z1 , z2 στο μιγαδικό επίπεδο για τους οποίους ισχύει z1 + z2 = − 2i και
1
z1 − z2 = − 4i . Να βρείτε τον μιγαδικό αριθμό w που η εικόνα του
3
βρίσκεται στην ευθεία ε και έχει το μικρότερο δυνατό μέτρο.
158) ✍ Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των
μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει (1 − z ) =ν∈Ν* είναι η
zv ,
v

1
ευθεία x = .
2
159) ✍ Έστω z = ( 2 x − 3) + ( 2 y − 1) i με x,y∈ℜ. Να αποδείξετε ότι στο
μιγαδικό επίπεδο ο γεωμετρικός τόπος των σημείων (x,y) που είναι
τέτοια ώστε 2 z − 1 + 3i = είναι κύκλος, του οποίου να βρείτε το
3
κέντρο και την ακτίνα του.
160) ✍ Έστω z = x + ( 2 y − 1) i με x,y∈ℜ. Να αποδείξετε ότι στο μιγαδικό
2
επίπεδο ο γεωμετρικός τόπος των σημείων (x,y) που είναι τέτοια ώστε
z − 1 − i = 5 είναι κύκλος, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την
2
ακτίνα του.
161) ✍ Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z με την ιδιότητα z − 4i =
2.
α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας Μ του z.
β) Ποίος απ’ τους παραπάνω μιγαδικούς έχει το μεγαλύτερο και ποίος
το μικρότερο μέτρο;
162) ✍ Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z με την ιδιότητα z − 2 − 2i = 2 .
3
α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας Μ του z.
β) Ποίος απ’ τους παραπάνω μιγαδικούς έχει το μεγαλύτερο και ποίος
το μικρότερο μέτρο;



2
ισχύει w z − και για το Μ ισχύει z = 1 (δηλαδή κινείτε σε
=
z
μοναδιαίο κύκλο), να βρείτε την εξίσωση στην οποία κινείται το
σημείο Ν.
164) ✍ Έστω ο μιγαδικός z=α+βi, με z = 2 και ο μιγαδικός w ώστε
w=iz+1. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών w βρίσκονται σε
κύκλο και να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του.
165) ✍ Αν για τους μιγαδικούς z ισχύει |z|=1, να βρείτε το γεωμετρικό
τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w για τους οποίους ισχύει
w=2z+1.
166) ✍ Αν για τους μιγαδικούς z ισχύει |u|=4, να βρείτε το γεωμετρικό
τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z για τους οποίους ισχύει
u=2iz+1+i.
167) ✍ Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, w για τους οποίους ισχύει zw=2z+w.
Αν η εικόνα του z διαγράφει κύκλο κέντρου Κ(1,0) και ακτίνας ρ=2,
να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w.
168) ✍ Έστω ο μιγαδικός z=α+βi, με α,β∈ℜ, με z − i + 2 = και ο
1
μιγαδικός w για τον οποίο ισχύει w=2z+i-2. Να αποδείξετε ότι οι
εικόνες του μιγαδικού w βρίσκονται σε κύκλο και να βρεθεί το κέντρο
και η ακτίνα του.
169) ✍ Να δείξετε ότι οι εικόνες του μιγαδικού αριθμού z στο επίπεδο, για
τον οποίο ισχύει ( 2 z ) − ( z + 1) = βρίσκονται σε κύκλο του
0,
2013 2013

οποίου να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα.
1 + xi
170) ✍ Αν x∈ℜ, να αποδείξετε ότι η εικόνα του μιγαδικού z =
x+i
ανήκει σε κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ=1.
2 + ai
171) ✍ Να αποδείξετε ότι η εικόνα του μιγαδικού z = ανήκει σε
a + 2i
κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ=1.
λ − 2i
172) ✍ Να αποδείξετε ότι η εικόνα του μιγαδικού z
= , λ ∈ℜ ανήκει
λ + 2i
σε κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ=1.


Migadfikoi arithmoi karaferis

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Semelhante a Migadfikoi arithmoi karaferis

Semelhante a Migadfikoi arithmoi karaferis (20)

Último

Último (20)

Migadfikoi arithmoi karaferis