Explicacion de un ejemplo para encontrar la solucion general con coeficientes indeterminados

1. COEFICIENTES INDETERMINADOS, METODO DE LA SUPERPOSICIÓN PARA RESOLVER UNA ECUACION DIFERENCIAL LINEAL NO HOMOGENEA DEBEMOS PASAR DOS ETAPAS: DETERMINAR LA FUNCIÓN COMPLEMENTARIA, yc ESTABLECER CUALQUIER SOLUCIÓN PARTICULAR, yp, DE LA ECUACION NO HOMOGENEA

2. EJEMPLO

3. Solución Paso 1.- Primero resolveremos la ecuación homogénea asociada. Al aplicar la formula cuadrática tenemos que las raices de la ecuacion auxiliar son y . Entonces, la función complementaria es:

4. Paso 2.- Como la función g(x) es un polinomio cuadrático, supondremos una solución particular que también tenga la forma de un polinomio cuadrático: Tratamos de determinar coeficientes A, B y C específicos para los que sea una solución de (2). Sustituimos y las derivadas y En la ecuación diferencial dada, la ecuación (2), y obtenemos Como se supone que esta ecuación es una identidad, los coeficientes de potencias de x de igual grado deben ser iguales:

5. Esto es: Al resolver este sistema de ecuaciones se obtienen , , , así una solución particular es: Paso 3.- La solución general de la ecuación dada es: