Formulas Integracion

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADISTICA
DIAGNOSTICO MATEMÁTICAS II

1. Realizar las operaciones indicadas y escribir el resultado sin exponentes negativos o nulos:
2
  2/3 6
1/ 3 
 2 / 3  x


  
a.  x 
  x1 / 4  

   

3 2
 z k x −3 x k   2 x −3 
b.   ÷ 
 x k y −2 z k   2 z −2 y k 
   
3 2
 2 x3 x k   z k x −3 
c.  ÷  ÷ 
 2z 2 yk z k   xk y−2 
   

2. Dados los puntos: A(3, -2), B(-1, -4), C(2, 1) y D (4, 5). Calcular:
a. El perímetro del cuadrilátero descrito por los puntos dados.
b. El perímetro del cuadrilátero descrito por los puntos medios de los lados del
cuadrilátero primitivo.
c. ¿Que figura es este nuevo cuadrilátero? Justificar la respuesta.
d. Determine el área del triángulo formado por los puntos A B C.

3. Determinar a que sección cónica corresponde cada una de las siguientes ecuaciones.
a. (x - 2)2 + (y - 2)2 = 4
b. x2 + 3 – 8y + y2 = 0
c. x2 + 12y = 0
d. 9y2 = 36 + 4y2
e. 12x2 + 18y2 – 12x -12y - 5 = 0

x2 − 2
4. Dada la función Sea f ( x) = . Determine:
x +1
a. El dominio y rango de f(x)
b. Las asíntotas que posee la función f(x).
c. Los intervalos de monotonía de la función f(x)
d. El tipo de concavidad en cada uno de los intervalos de la función f(x).
e. Los extremos existentes y el tipo.
5. Halle la derivada de la función:

a.

b.

c.

SONIA MARITZA MENDOZA
MATEMATICAS II


PROGRESIONES ARITMETICAS Y GEOMÉTRICAS GUIA #1
En las transacciones financieras como Si a este primer término le llamamos a y d es la
préstamos, depreciaciones, imposiciones, diferencia común de una PA , los términos
anualidades, ajustes por corrección monetaria, sucesivos de la PA son:
entre otros, se usa el interés simple y el interés a, a+d, a+2d, a+3d
compuesto en los cual las cantidades Para encontrar el n—ésimo término, lo
resultantes al final de cada período siguen una encontramos aplicando la fórmula:
regla. Tn= a + ( n-1) .d
COMPETENCIAS: También resulta conveniente obtener una
 Identificar progresiones aritméticas y fórmula para la suma de los primeros n términos
geométricas como sucesiones en las cuales de una progresión aritmética.
la diferencia o el cociente entre términos Sea Sn la suma de los primeros n términos de una
consecutivos es constante. n
 Aplicar las sucesiones aritméticas y progresión aritmética. S n = (a1 + an )
geométricas en la solución de problemas de
2
Actividad 1.
interés simple, compuesto o cualquier otra
1. Prueba esta fórmula, haciendo n=1,2,y 3
situación que lo requiera.
¿Que encuentras?
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 2. Dada la sucesión 1,5,9,13.... Calcule:
PROGRESIONES ARITMÉTICA. a. El décimo quinto término-
Tomemos el ejemplo siguiente: b. El n—ésimo término
Un cliente especial pide al banco la cantidad 3. (DEPRECIACIÓN) Una empresa instala una
de 5000 dólares a un interés del 1% mensual. El máquina con un costo de 1700 dólares. El
está de acuerdo en pagar 200 dólares al valor de la máquina se deprecia
capital cada mes, más el interés en el balance. anualmente en 150 dólares. Determine una
Al final del primer mes, paga 200 más el interés expresión para el valor de la máquina
de 5000 al 1% mensual, que son 50 dólares. En después de n años. Si el valor de desecho es
consecuencia, el primer pago es de 250 y sólo de 200 dólares. ¿Cuál es el tiempo de vida
le queda debiendo 4800 al banco. El término útil de la máquina?
del segundo mes, paga 200 al capital más los 4. Calcule la suma de los primeros 20 términos
intereses sobre 4800, los cuales son de 48 dólares de la progresión.
al 1% mensual. Por tanto, su segundo pago es 5. Los pagos mensuales que una dienta
de 248 dólares. Continuando en esta forma, sus efectúa al banco por un préstamo forman
pagos sucesivos en dólares son: 250,248, una PA, Si sus pagos sexto y décimo son de
246,244.... ,202. 345 y 333 dólares, respectivamente. ¿De
Esta sucesión es un ejemplo de Progresión cuánto será su décimo quinto pago al
aritmética. banco?
DEFINICIÓN: Una sucesión se dice que es una
progresión aritmética (PA), cuya diferencia INTERES SIMPLE
entre cualquier término y el anterior es la Sea P una cantidad de dinero invertida a una
misma a lo largo de toda la sucesión. La tasa de interés anual del R por ciento. En un
diferencia algebraica entre cada término y el año la cantidad de interés ganada está dada
anterior se denomina, diferencia común y se por I=P.(R/100)
denota por d. Si la inversión es a interés simple, entonces en
años sucesivos el interés sólo se paga sobre el
En el ejemplo anterior la sucesión de los pagos capital P y no sobre los montos de interés
es una (PA) porque la diferencia entre cualquier generados. Así que, se agrega una cantidad
término y el anterior es —2. Esta PA tiene a 250 constante I a la inversión al final de cada año.
como su primer término y a —2 como su Después de 1 año el valor total es P + I, después
diferencia común. de 2 años es P + 2I, y así sucesivamente. La
De manera similar: 2,5,8,11,14... es una PA cuyo sucesión de valores anuales de la inversión,
primer término es 2 y diferencia común 3.
MATEMATICAS II

P, P+I, P+2I, P+3I, . . . 1100 + 10% de 1100= 1100(1 + 0.1) =1100(1.1) =
forman de esta manera una progresión 1000(1.1)2
aritmética cuyo primer término es P y con Definición: Una sucesión de términos se dice
diferencia común 1. Después de 1 años el valor que están en una progresión geométrica (PG)
está dado por P + tI. si la razón de cada término al término anterior
es siempre la misma. Esta razón constante se
denomina razón común de la PG. Puede
expresarse como Tn = a . rn-1, en donde a es el
Ej. (Interés simple) Se invierte una suma de primer término de la progresión y r es el
$2000 con interés simple a una tasa de interés cociente constante o razón de la progresión.
anual del 12%. Encuentre una expresión para el Para hallar la suma de los primeros n términos de
valor de la inversión t años después de que se
a (1 − r )
realizó. Calcule el valor después de 6 años. la progresión geométrica. s n = ;r≠1
Solución Aquí P = 2000 y R = 12. Por tanto, la 1− r
cantidad de interés anual es : Ej. Para determinar los términos quinto y n-ésimo
de la sucesión 2, 6, l 54, Se analiza que tipo de
progresión corresponde, de tal forma que en
consecuencia, los términos sucesivos tienen una
Después de t años el interés total agregado es razón constante de 3; esto es r=3. Asimismo,
tI= 240t, de modo que el valor de la inversión es: a=2. Por tanto, T5 =ar4 = 2(34) = 162 y
P + tI = 2000 + 240t Tn =arn-1 = 2(3n-1)
Después de 6 años, este valor es: 2000 + 6(240) =
3440 dólares. INTERES COMPUESTO
El caso general de una inversión que crece a un
Actividad 2. interés compuesto es: Si una suma P se invierte a
1. (Pago de préstamo) Considere el préstamo una tasa de interés del R por ciento anual, el
del banco al señor Muñoz por $5000 a un valor de la inversión al término del n-ésimo año
interés mensual del 1%. Cada mes paga está dada por la fórmula
$200 al capital mas el interés mensual del
balance pendiente. ¿Cuánto deberá pagar
en total en el tiempo que esté pagando el Estos valores para n= 1,2,3 forman una PG. La
préstamo? razón común es r = 1+i y el primer término es
2. (Pago de préstamos) Un individuo está de a=T1= P(1+i)
acuerdo en pagar una deuda libre de
interés de $5800 en cierto número de pagos, Actividad 3.
cada uno de ellos (empezando por el 1. Calcule la suma de los 10 primeros términos
segundo) debiendo exceder al anterior por de la sucesión 2-4, 8-10,.
$20. Si el primer pago es de $100, calcule 2. (Planes de ahorro) Cada año una persona
cuántos pagos deberá efectuar con objeto invierte 500.000 en un plan de ahorros del
de finiquitar la deuda. cual recibe intereses a una tasa fija del 8%
anual, Cuál es el valor de este plan de
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS. ahorros al décimo aniversario de la primera
Suponga que se depositan $1000 en un banco inversión?(incluya el pago actual).
que ofrece una tasa de interés del 10% 3. Suponga que $4000 se invierten a plazo fijo
capitalizable anualmente. El valor de esta anual tasa de interés nominal anual del 6%
inversión (en dólares) al cabo de 1 año es igual con capitalizaciones mensuales. Calcule su
a: 1000 + l0% de 1000 = 1000(1 + 0,1) = 1100. valor después de 1 año y después de 4
años.
Si la inversión es a interés compuesto, entonces 4. En una sucesión geométrica el primer
durante el segundo año el interés se paga por término es 32 y el quinto es 2; si hay tres
la suma total de $1100. Por tanto, el valor de la términos entre ellos, ¿cuáles son?
inversión (en dólares) al término de 2 años es:

MATEMATICAS II

A. DERIVAR CON LAS REGLAS BASICAS (TEOREMAS):
En los ejercicios 1 a 12 halle la derivada de la función dada aplicando los teoremas:

B. DERIVADAS DE ORDEN SUPEIOR E IMPLICITAS:
En los ejercicios 1 a 5, obtenga la primera y la segunda derivadas de las funciones.

C. APLICACIÓN DE MAXIMOS Y MINIMOS

6. Un alambre de 100 cm. de longitud, se corta en dos partes formando con una de ellas un círculo y
con la otra un cuadrado. Cómo debe ser cortado el alambre para que:
a. La suma de las áreas de las dos figuras sea máxima.
b. La suma de las áreas de las dos figuras sea mínima.
PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L
CALCULO INTEGRAL

7. Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa recortando
cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. ¿Cuál debe ser la longitud del lado del
cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea máximo? ¿Cuál es el volumen de la
caja?

x2 + 1
D. Sea f ( x) = . Determine:
x2 − 4
1. Las asíntotas que posee la función f(x).
2. Los intervalos en los que la función f(x) es creciente y en los que decrece.
3. El tipo de concavidad en todos los intervalos de la función f(x).
4. Los extremos existentes y el tipo.
5. La gráfica de la función f(x).

E. Analice la continuidad para la función f(x). Si es discontinua, aclare de que tipo. Argumente.
1/ x2 si x ≠0
f(x)=
1 si x = 0

F. Realice:
Lim 2 + x − 2
1.
x→2 7+ x −3
2. La ecuación de la pendiente de la recta que es tangente a la gráfica de la función x2y3 – 6 = 5y3 + x
3. La derivada de f(x). Siendo f(x) = (g o h) (x) Donde: g(u) = u3 – 3u2 + 1 y h(x) = x2 + 2.

G. Un ingeniero debe construir un puente colgante y, para ello requiere que todo el peso del puente esté bien
distribuido a lo largo de los cables de los cuales debe colgar el puente. Las observaciones que ha hecho
son las siguientes:

Distancia del puente
100 metros 82.9 metros 10 metros 24.4 metros 100 metros
al cable (y)
Largo del puente (x) 1 metro 2 metros 4.85 metros 6.75 metros 9 metros

1. Represente la gráfica de esta situación en el plano cartesiano.
2. Construya la ecuación correspondiente.
3. Identifique si es una función y si lo es analice su simetría (par, impar o ninguna).

PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L
CALCULO INTEGRAL

ANTIDERIVADA
INTRODUCCIÓN La operación de encontrar todas las soluciones de esta ecuación se
Un físico que conoce la velocidad de una partícula podría desear denomina integración, y se denota por el símbolo ∫. La solución a la
conocer su posición en un instante dado. Un ingeniero que puede ecuación dy= f(x) dx se denota por y = ∫f(x)dx = F(x) + C de donde f(x)
medir la razón variable a la cual se fuga el agua de un tanque quiere es el integrando, dx indica la variable de integración y C es una
conocer la cantidad que se ha fugado durante cierto periodo. Un constante. Llamamos a la ∫f(x)dx la integral indefinida de f respecto
biólogo que conoce la razón a la que crece una población de de x. (2) Realice un esquema donde señale los elementos que
bacterias puede interesarse en deducir el tamaño de la población en conforman la integración.
algún momento futuro. En cada caso, el problema es hallar una Definición. La notación ∫f(x)dx = F(x) + C donde C es una constante
función cuya derivada sea una función conocida. Si existe tal función arbitraria, significa que es una primitiva de f. Esto es, F′(x) = f(x) para
F, se le denomina una antiderivada de f. todo x en el dominio de f.
COMPETENCIAS
 Encuentra mediante el proceso de derivación, antiderivadas F(x) + C representa una familia de funciones (para cada uno de los
generales para una función específica. valores de C se tiene una función de esta familia); dicha familia de
 Resuelve problemas de valor inicial. antiderivadas es llamada la integral indefinida de la función f (x) y se
 Aplica la noción de antiderivada en la solución de situaciones denota con el símbolo ∫ f (x)dx, o sea ∫ f (x)dx = F(x) + C donde F '(x) =
problemas. f(x)
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE:  Reglas básicas de integración
La pregunta aquí es: ¿cómo encontrar F(x) a partir de f(x)? Por La naturaleza inversa de la integración y la derivación se refleja en el
ejemplo; suponga que se le pide hallar una función F que tiene la hecho de que mediante la sustitución de F′(x) por f(x) en esta
siguiente derivada: F ´(x) = 4 x 3 . A partir del conocimiento de las definición obtenemos:
∫F´(x)dx = F(x) + C La integración es la “inversa” de la derivación
derivadas, probablemente se diría que F ( x) = x 4 , ya que
d 4 Además si, ∫f(x)dx = F(x) + C entonces:
( x ) = 4 x 3 . Llamamos a la función F una antiderivada de F´. Otras
d
dx
[ f ( x)dx] = f ( x) La derivación es la “inversa” de la integración
antiderivadas de F ´(x) = 4 x 3 son: G ( x) = x 4 + 5 y H ( x) = x 4 − 36 . Como dx
se puede observar que si F(x) es una antiderivada de f(x), cualquier Estas dos ecuaciones permiten obtener directamente fórmulas de
otra antiderivada es de la forma F(x) + C. Esta función se llama integración a partir de fórmulas de derivación, como se muestra en el
antiderivada general (cada valor de C nos da una antiderivada). siguiente resumen:
(1)¿En que consiste el proceso de antiderivación?
Teorema. Si F es una antiderivada o primitiva de f en un intervalo I,
entonces G es una antiderivada de f en el intervalo I si y solo si es de
la forma: G(x)= F(x) +C, para todo x en I donde C es una constante
arbitraria.
 Notación para antiderivadas o primitivas
Si y = F(x) es una antiderivada de f, entonces se dice que F(x) es una
dy
solución de la ecuación diferencial de la forma = f (x) . Cuando se
dx
resuelve una ecuación de este tipo, es conveniente escribir en la
forma diferencial correspondiente dy= f(x) dx.

PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L CALCULO INTEGRAL

El orden de una ecuación diferencial lo determina el orden de la más
alta derivada presente en ella. Una ED primer orden; es aquella que
solo contiene primeras derivadas y las de orden superior cuando
contienen derivadas de orden superior a 1.
Una ED es lineal si presenta la siguiente forma:

Observaciones sobre las ED lineales:
1. La variable dependiente y todas sus derivadas sólo pueden tener
exponente igual a 1.
2. Los coeficientes sólo involucran la variable independiente x.

Ejemplo 1. Calcular
Solución: Para hallar la integral de esta expresión, se debe (reescribir)

transformar la expresión dada en una equivalente
(integrar) aplicando la fórmula (5), se tiene que la antiderivada
general (simplificada):

Ejemplo 2.. Un auto se mueve con velocidad constante de 40 m/s.
¿Cuál es la posición s(t) para un tiempo t, si en t=1 segundo el auto se
hallaba en s= 10m?
Solución. Se debe encontrar una ecuación para s(t) a partir del
ds ds
 Ecuación diferencial (ED). hecho d que v(t) =40; como v(t ) = , tenemos: = 40
dt dt
Es una ecuación que contiene las derivadas o diferenciales de una o
Si se sabe que la derivada de s(t) es 40, ¿cuál será entonces s(t)? A
más variables dependientes con respecto a una o más variables
partir de la derivada se aplica la fórmula (2) para obtener que la
independientes. También definida como una ecuación que contiene
antiderivada general es s(t) = 40t + C (la cual se puede verificar
una función desconocida y una o más de sus derivadas.
derivando s(t) deducir que s(t)´= 40)¿Cómo se sabe el valor de c? La
Clasificación de las ED.
información adicional s(1) = 10 significa que en el tiempo 1 segundo la
Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar según tres
posición era 10 m, es decir: 10 = 40(1) + C, de donde c= -30. Por lo
características: tipo, orden y linealidad.
tanto s(t) = 40t – 30
Según el tipo una ED puede ser ordinaria (EDO) o parcial (EDP). Una
Siempre que se tiene una condición inicial como el ejemplo anterior,
EDO es aquella que sólo contiene derivadas ordinarias (derivadas de
es posible determinar una antiderivada particular.
una o varias funciones de una sola variable independiente). Una EDP,
en cambio, contiene derivadas parciales (derivadas de una o varias
funciones de dos o más variables independientes).


dy
La ecuación = f (x) con y0 = f(x0), se llama problema de valor
dx
inicial y consiste en encontrar y = f(x) que satisfaga las condiciones
dadas.
Ejemplo 3. La aceleración de dv / dt de cierto automóvil deportivo es
proporcional a la diferencia entre 250 km/h y la velocidad del
dv
automóvil. Solución. = k .(250 − v)
dt
TALLER
1. Escriba una ecuación diferencial que sea un modelo matemático
de la situación descrita.
a. La tasa de cambio de una población P con respecto al
tiempo t es proporcional a la raíz cuadrada de P.
b. La tasa de cambio con respeto al tiempo de la velocidad de
un bote costero de motor es proporcional al cuadrado de v.
c. En una ciudad que tiene una población fija de P personas, la 4. Una moneda se deja caer desde un edificio y toca el suelo en 6
tasa de cambio con respecto al tiempo del número N de segundos. ¿Cuál es la altura del edificio?
personas que han oído un cierto rumor es proporcional al
1 x+a
número de las que todavía no lo han oído. 5. Compruebo que f ( x) = ln es una antiderivada de
d. En una ciudad que tiene una población fija de P personas, la 2a x − a
tasa de cambio con respecto al tiempo del número N de 1
f ( x) =
personas que han contraído cierta enfermedad es a2 − x2
proporcional al producto del número de personas enfermas y 6. La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f(x)
el número de las que no lo están. está dada por 2x – 1. Si f(0)=1 halle la función f(x).
2. En cada caso encuentre la antiderivada general para la función 7. Un objeto, en caída libre, se mueve con aceleración -9.8 m/s2.
dada. a. Encuentre una ecuación para la velocidad suponiendo que
v(0)=0.
b. A partir de la ecuación para v(t) encuentre la ecuación de
a. f(x)= b. f(x)= c. f(x)= s(t), suponiendo que el objeto cae desde una altura de 10 m
(s(0)=10).
8. Determinar si el enunciado es falso o verdadero. Si es falso,
d. f(x) = e. f(x)= f. explicar por qué o proporcionar un ejemplo que lo demuestre.
3. Completar la siguiente tabla a. Cada antiderivada o primitiva de una función polinómica de n
Integral original Reescribir Integrar Simplificar grado es una función polinómica de grado (n+1)
b. La antiderivada o primitiva de f(x) es única.
c. Si f´(x) = g(x) entonces ∫g(x) dx = f(x) + c.


FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION

CAPITULO 1:
ANTIDERIVACIÓN: INTEGRAL INDEFINIDA

EJERCICIOS:

1. Encuentre la antiderivada más general de la
función dada:

4. Evaluar la integral trigonométrica y comprobar el
resultado por derivación:

2. Completar la siguiente tabla
Integral original Reescribir Integrar Simplificar

No hay que confundir nunca el
conocimiento con la sabiduría.
El primero nos sirve para
ganarnos la vida; la sabiduría
nos ayuda a vivir.
Sorcha Carey

3. Evaluar las siguientes integrales indefinidas y
comprobar el resultado por derivación

CAPITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES (ED)
Definición
 Es una ecuación que contiene las derivadas o
diferenciales de una o más variables dependientes Solución 6
con respecto a una o más variables independientes. Ecuación diferencia Ordinaria (sólo aparece una
 Es una ecuación que incluye a x y a y a las variable independiente), de tercer orden (la derivada
mayor es de orden tres); lineal (los coeficientes sólo
derivadas de y.
dependen de la variable independiente x y la variable
 Es una ecuación que contiene una función dependiente y sus derivadas son de primer grado).
desconocida y una o más de sus derivadas.
(Edwards y Penney).
Clasificación de las ED.
B. En los problemas 7 a 11, escriba una ecuación
Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar diferencial que sea un modelo matemático de la
según tres características: tipo, orden y linealidad. situación descrita.
Según el tipo una ED puede ser ordinaria (EDO) o 6. La tasa de cambio de una población P con respecto
parcial (EDP). Una EDO es aquella que sólo contiene al tiempo t es proporcional a la raíz cuadrada de P.
derivadas ordinarias (derivadas de una o varias 7. La tasa de cambio con respeto al tiempo de la
funciones de una sola variable independiente). Una velocidad de un bote costero de motor es
EDP, en cambio, contiene derivadas parciales proporcional al cuadrado de v.
(derivadas de una o varias funciones de dos o más 8. La aceleración de dv / dt de cierto automóvil
variables independientes). deportivo es proporcional a la diferencia entre 250
El orden de una ecuación diferencial lo determina el km/h y la velocidad del automóvil.
orden de la más alta derivada presente en ella. Una ED 9. En una ciudad que tiene una población fija de P
primer orden; es aquella que solo contiene primeras personas, la tasa de cambio con respecto al tiempo
derivadas y las de orden superior cuando contienen del número N de personas que han oído un cierto
derivadas de orden superior a 1. rumor es proporcional al número de las que todavía
no lo han oído.
Una ED es lineal si presenta la siguiente forma: 10. En una ciudad que tiene una población fija de P
personas, la tasa de cambio con respecto al tiempo
del número N de personas que han contraído cierta
enfermedad es proporcional al producto del número
de personas enfermas y el número de las que no lo
Observaciones sobre las ED lineales: están.
3. La variable dependiente y todas sus derivadas sólo Solución 9.
pueden tener exponente igual a 1. dv
4. Los coeficientes sólo involucran la variable = k .(250 − v)
independiente x. dt

ACTIVIDAD C. Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad
A. En cada uno de los problemas 1 a 6, determine el inicial de 64 pies por segundo a partir de una altura
orden de la ecuación diferencial dada; diga también inicial de 80 pies.
si la ecuación es lineal o no lineal.  Encontrar la función de posición que expresa
la altura s en una función del tiempo t.
 ¿Cuándo llegará la pelota al suelo?
D. Se arroja hacia arriba una pelota, con velocidad de
48 pies/s desde el borde de un acantilado a 432
pies sobre el fondo. Calcule su altura sobre el
fondo a los t segundos después. ¿Cuándo alcanza
su altura máxima? ¿Cuándo llega al fondo?
E. Una partícula, o punto material, se mueve en línea
recta y su aceleración está expresada por
a(t) = 6.t + 4. Su velocidad inicial es v(0) = -6cm/s y
su desplazamiento inicial s(0) = 9cm. Determine su
función de posición, s(t).
EL ÉXITO NUNCA ESTÁ ANTES QUE EL
ESFUERZO, NI SIQUIERA EN EL
ECUACIONES DIFERENCIALES • Una ecuación diferencial involucra una o más
derivadas de la función.

• Se debe tener en cuenta el concepto de cierto componente de una fotocopiadora está dado
antiderivada. por 30 – 0.02x. Si el costo de producir una unidad
• Una solución de una ecuación diferencial es es de US $35 dólares. ¿Cuál será el costo de
hallar cualquier función que satisfaga la producir 100 unidades?
ecuación.
5. Un proyectil se dispara verticalmente hacia
Ejemplos: arriba desde el suelo con una velocidad de 1600
dy pies/seg. en t = 0. Despreciando la resistencia del
La velocidad se expresa como =v para aire, calcule su altura o distancia desde el suelo.
dt
calcular a y se aplica la antiderivada: 6. Se lanza una piedra directamente hacia abajo
dy = v.dt entonces ∫ dy = ∫ v.dt luego : desde una altura de 96 pies con una velocidad
inicial de 16 pies/seg.
y= ∫ v.dt a) Encontrar la máxima altura que alcanza el
objeto sobre el suelo.
La aceleración en pies/seg2 se expresa como: b) Hallar el tiempo necesario para alcanzar su
a = 32 y la velocidad es la antiderivada de la altura máxima.
dv c) Hallar la velocidad al llegar al suelo.
aceleración, luego =a si despejamos a dv
d) Hallar el tiempo total transcurrido hasta que
dt
llegue a tierra.
podemos obtener la velocidad: ∫ dv = ∫ a.dt esto
7. Se dispara una bala verticalmente hacia arriba
es: v = ∫ a.dt con una velocidad de 500 m/s. ¿Cuánto tiempo
estuvo la bala en el aire?
EJERCICIOS DE APLICACIÓN:
1. Un balón se lanza verticalmente hacia arriba 8. Un hombre parado desde el techo de un edificio
con una velocidad de 64 pies por segundo, desde tira una bola verticalmente hacia arriba con una
una cima ubicada a 96 pies de altura. velocidad inicial de 40 pies/seg. La bola llega al
a) ¿A qué altura se encuentra el balón a los t suelo a 4.25 segundos más tarde.
segundos? a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la
b) ¿En qué instante alcanza su altura máxima? bola?
c) ¿A qué altura del suelo sube el balón? b) ¿Qué altura tiene el edificio?
d) ¿En qué instante toca el balón el suelo? c) ¿Con qué velocidad llegará la bola al suelo?

2. Una lancha de motor se aleja del muelle a lo 8. Desde lo alto de una cúpula de 300 m de altura
largo de una línea recta con una aceleración al se lanza verticalmente hacia arriba una pelota con
tiempo t dada por a(t) = 12t – 4 pies/seg2. una velocidad de 98 m/seg.
En el tiempo t = 0 la lancha tenía una velocidad de a) A qué altura se encuentra la pelota a los t
8 pies/s y se encontraba a 15 pies del muelle. segundos?
Calcular la distancia S(t) al embarcadero al cabo b) En qué instante alcanza su altura máxima?
de t segundos. c) A qué altura del suelo sube el balón?
d) En qué instante toca el balón el suelo?
3. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba
desde una altura de 144 pies sobre el suelo con
una velocidad inicial de 96 pies/seg, Despreciando
la resistencia del aire. Hallar Cuando le apuntamos a lo
a) Su altura desde el suelo a los t segundos. alto, estamos más cerca de
b) Durante qué intervalo de tiempo la piedra
nuestros sueños que si nos
sube?
c) En qué momento y con qué velocidad choca la conformamos con pequeños
piedra contra el suelo a descender? objetivos

4. Un fabricante sabe que el costo marginal
correspondiente a la producción de x unidades de

SUMAS Y NOTACIONES SIGMA
Comúnmente se usa esta notación para escribir las 100
sumas con muchos términos. Ejemplo: 2 2 2 2 2
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . . . + 100 2
= ∑i
i =1
2
y

n ACTIVIDAD
a1 + a2 + a3 + a4 +. . . .+ an = ∑i =1
ai 1. Demuestre el teorema de linealidad.
2. Existen otras formas de escribir la siguiente
expresión? ¿cuáles?
El símbolo utilizado para el índice no importa. Así:

todos 3. Escriba la suma que se indica en la notación
corresponden a a1 + a2 + a3 + a4 +. . . .+ an. sigma
Por esta razón, con frecuencia el índice se le llama
índice mudo.
Donde ∑ (sigma mayúscula griega), corresponde
a la S de nuestro alfabeto, indica que se están
sumando todos los números de la forma indicada
cuando el índice i corresponde a todos los enteros
positivos, iniciando con el entero que aparece
debajo de ∑ y finalizando con el entero ubicado
arriba de ∑.
PROPIEDADES DE ∑ .
1. Si todas las ci en la sumatoria tienen el mismo
n
valor, digamos c, entonces ∑ c = n.c
i =1
i 4. Encuentre los valores para la suma indicada:

2. ∑ es considerado como un operador, ∑ opera
sobre sucesiones, y lo hace de una manera
lineal.

5. Encontrar una fórmula para la suma de n
términos. Con esa fórmula calcular el limite
cuando n tiende a infinito:
n n n
16i  2i  2   i  2 
a. ∑n
i =1
2 b ∑   
i =1  n  n 
c. ∑ 1 + n

i =1
 
 n 
n

FORMULAS PARA ALGUNAS SUMAS ESPECIALES 6. Dado por conocido el valor de ∑i
i =1
y
Hay fórmulas útiles cuando se necesita sumar los
primeros n enteros positivos, así como las sumas de utilizando las propiedades de la sumatoria,
cuadrados, cubos, entre otros. encontrar:
n n a. La suma de los primeros n impares.
n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1)
∑i = 2 ∑i 2
=
6
b. 2 + 8 + 14 + . . . + (6n -4)
i =1 i =1 c. La suma de los n primeros números de la
n 2 n
n(n + 1)(6n 3 + 9n 2 + n − 1) sucesión 3, 8, 13, . . .
 n(n + 1) 
∑ i3 = 
 2 
 ∑i
i =1
4
=
30 INVESTIGUE: ¿Como se determina si una
i =1
función es positiva?

SUMATORIA

7. Defina con sus palabras sumatoria. 13. Utilice las fórmulas para las sumas especiales
para encontrar cada una de las sumas:
8. ¿Cuales son las características del subíndice?

9. Liste las propiedades de la sumatoria y realice
un ejemplo de cada una de estas. a. b.

10. Existen otras formas de escribir la siguiente
expresión? ¿cuáles? c. d.

e. f.

11. Escriba la suma que se indica en la notación 14. Encontrar una fórmula para la suma de n
sigma términos. Con esa fórmula calcular el limite
cuando n tiende a infinito:
n n n
16i  2i  2   i  2 
a. ∑n
i =1
2 b ∑ n

i =1
 
 n 
c. ∑ 1 + n

i =1
 
 n 

15. Deducir una formula para hallar el valor de:

12. Existen algunas formulas de calculo o sumas
especiales, como por ejemplo:

16. ,
Consulte las otras.

INVESTIGUE Y DESARROLLE:
1. ¿Cómo se determina un área bajo la curva, por medio de rectángulos? Ejemplifique cada
uno de los procesos.
2. ¿Como se determina si una función es positiva?
Comúnmente se usa esta notación para escribir las sumas con muchos términos. Ejemplo:
100 n
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + . . . . + 1002 = ∑
i =1
i2 y a1 + a2 + a3 + a4 +. . . .+ an = ∑a
i =1
i

El símbolo utilizado para el índice no importa.
Donde ∑ (sigma mayúscula griega), corresponde a la S de
nuestro alfabeto, indica que se están sumando todos los
números de la forma indicada cuando el índice i corresponde Así: todos
a todos los enteros positivos, iniciando con el entero que
corresponden a a1 + a2 + a3 + a4 +. . . .+ an.
aparece debajo de ∑ y finalizando con el entero ubicado
Por esta razón, con frecuencia el índice se le
arriba de ∑.
llama índice mudo.

∑ es considerado como un operador, ∑ opera sobre sucesiones, y lo hace de una
manera lineal.
1. Demuestre el teorema de linealidad de ∑
2. Demuestre las sumas telescópicas
n n n n
3. Liste las fórmulas para algunas sumas especiales: ∑i , ∑i
i =1 i =1
2
, ∑i ,∑i
i =1
3

i =1
4

4. Complete:

5. Encuentre los valores para la suma indicada: 7. Encuentre el valor de cada una de las sumas

telescópicas:
8. Utilice las fórmulas para las sumas especiales para
encontrar cada una de las sumas:
6. E
s
criba la suma que se indica en la notación sigma: a. b.

c. d.

e. f.
9. Encontrar una fórmula para la suma de n términos.
Con esa fórmula calcular el limite cuando n tiende a
infinito:
n n n
16i  2i  2   i  2 
a. ∑n
i =1
2 b. ∑   
i =1  n  n 
c. ∑ 1 + n

i =1
 
 n 
Comúnmente se usa esta notación para escribir las sumas con muchos términos. Ejemplo:
100 n
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + . . . . + 1002 = ∑
i =1
i2 y a1 + a2 + a3 + a4 +. . . .+ an = ∑a
i =1
i

Donde ∑ (sigma mayúscula griega), corresponde a la S de nuestro alfabeto, indica
que se están sumando todos los números de la forma indicada cuando el índice i
corresponde a todos los enteros positivos, iniciando con el entero que aparece
debajo de ∑ y finalizando con el entero ubicado arriba de ∑.

El símbolo utilizado para el índice no importa. Así: todos corresponden a a1 + a2 + a3 +
a4 +. . . .+ an. Por esta razón, con frecuencia el índice se le llama índice mudo.

∑ es considerado como un operador, ∑ opera sobre
sucesiones, y lo hace de una manera lineal.
1. Demuestre el teorema de linealidad de ∑
2.
Demuestre
las sumas

telescópicas:

n n n n
3. Liste las fórmulas para algunas sumas especiales: ∑i , ∑i
i =1 i =1
2
, ∑i
i =1
3
, ∑i
i =1
4
.

4. Complete:

3. ¿Cuál es la más aproximada para determinar el área bajo la curva por el método de
Simpson y Trapecio? En que consiste el error. Ejemplos,

INTEGRALES DEFINIDAS

Una de las muchas aplicaciones del límite es usarlo integral definida se había utilizado mucho antes de que
para definir el área de una región en el plano. La

el matemático alemán Georg Friedrich Bernhard
Riemann la generalizara.

Definición de una suma de Riemann
Si f es una función continua y no negativa definida para
a ≤ x ≤ b, dividimos el intervalo [a,b] en n subintervalos
de igual ancho ∆x = (b − a) . Denotamos con xo (=
n
a), x1, x2, x3, . . . xn (=b) los puntos extremos de estos
subintervalos y elegimos los puntos de muestra x1*, x2*,
x3*, . . . , xn* en [xi-1, xi]. Entonces la suma de f, desde a
n

Lim ∑ f ( x )∆x
*
hasta b, es: i
n →∞ i =1

INTEGRALES DEFINIDAS Y SUS PROPIEDADES

Definición: Si f está definida en el intervalo cerrado
n
[ a, b] y existe el límite Lim ∑ f ( x )∆x .
*
i
Entonces f
n→∞ i =1
Cómo la integral es negativa, no representa el área de
es integrable en [ a, b] y el límite se denota por la región de la figura. Una integral definida puede ser
n b positiva, negativa o cero. Para que pueda ser
Lim ∑ x ∫ f ( x).dx
*
f( ) ∆x = interpretada como un área (tal como se ha definido); la
n →∞ i =1
i
a función f debe ser continua y no negativa en a, b , [ ]
Ese límite se llama la integral definida de f entre a y b. como establece el próximo teorema.
El número a se llama límite inferior de integración y el
b límite superior de integración. Teorema 2: LA INTEGRAL DEFINIDA COMO ÁREA DE
UNA REGIÓN
Concluimos que la integral definida y la integral Si f es continua y no negativa en el intervalo cerrado
indefinida son entes distintos; porque la integral definida
es un número, mientras que la integral indefinida es
[ ]
a, b , el área de la región limitada por la gráfica de f, el
una familia de funciones. eje x y las rectas verticales x = a y x = b viene dada por:
b

Teorema 1:CONTINUIDAD IMPLICA INTEGRABILIDAD Área = ∫ f ( x).dx
Si una función f es continua en el intervalo cerrado a

[ ]
a, b , entonces f es integrable en a, b . Ejemplo 1: [ ] PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS:
b
Calcular la siguiente integral indefinida como límite:
1 1. Si f está definida en x = a, entonces ∫ f ( x).dx = 0 ;
∫ 2 x.dx
a
es el área de una región de altura finita y de
−2
3
Solución: La función f(x) = 2x es integrable en el
[ ]
intervalo − 2,1 , por ser continua. Además, la
anchura cero. Ejemplo: ∫ x.dx = (3 − 3) = 0
3
definición de integrabilidad afirma que podemos utilizar
cualquier partición con norma tendiendo a infinito para 2. Si f es integrable en [ a, b] , entonces
calcular el límite. b b

Luego ∆x =
b−a 3
= y Xi = a + i. ∆x = – 2 +
3i
por
∫ f ( x).dx = −∫ f ( x).dx ;
a a
es la definición de una
n n n integral definida cuando a >b. Ejemplo:
lo tanto la integral definida está dada por: 0 0
− 21
∫ ( x + 2).dx = −∫ ( x + 2).dx =
3 3
2
Teorema 3: PROPIEDAD ADITIVA DE INTERVALOS
Si f es integrable en los tres intervalos cerrados
delimitados por a, b y c entonces:
b c b

∫ f ( x).dx = ∫ f ( x).dx + ∫ f ( x).dx
a a c

Teorema 4: PROPIEDAD DE LAS INTEGRALES Ejemplo: Calcular la siguiente integral definida
DEFINIDIAS
[ ]
Si f y g son integrables en a, b y k es una constantes,
las funciones kf y f + g son integrables en [ a, b] .
Además:
b b

1. ∫ kf ( x).dx = k ∫ f ( x).dx (1) Calcular el área de la región acotada por la gráfica
a a de y = 2x2 – 3x + 2, el eje x y las rectas verticales x = 0
b b b y x = 2. Graficar.
2. ∫ [ f ( x) ± g ( x)].dx = ∫ f ( x).dx ± ∫ g ( x)
a a a
Teorema
El teorema del valor medio para integrales: Se ha
5. PROPIEDADES DE ORDEN DE LA INTEGRAL comprobado que el área de una región bajo una curva
Si f(x) ≥ 0 para a ≤ x ≤ b, entonces es mayor que el área de un rectángulo inscrito y mayor
que la de uno circunscrito. El teorema del valor medio
para integrales afirma que existe, “entre” el inscrito y el
circunscrito, un rectángulo cuya área es precisamente la
. misma que la de la región.
Si f(x) ≤ g(x) para todo x en [a, b], entonces
[
Si f es continua en el intervalo cerrado a, b , existe un ]
b

número c en [ a, b] tal que: ∫ f ( x).dx = f (c).(b − a )
a

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Definición del valor medio de una función en un
intervalo: Si f es integrable en el intervalo cerrado a, b [ ]
Informalmente, el teorema afirma que la derivación y la b
1
[ a, b]
b−a∫
integración (definida) son operaciones mutuamente , el valor medio de f en es: f ( x).dx
inversas. Para ver cómo Newton y Leibniz se dieron
a
cuenta de ello, consideremos las aproximaciones que
(2) Determinar el valor medio de f(x) = 3x2 – 2x en el
muestra la Figura. Cuando definimos la pendiente de la
intervalo [1,4].
recta tangente, utilizamos el cociente ∆y/∆x (pendiente
de la recta secante). Análogamente, al definir el área de
Segundo Teorema Fundamental del Cálculo:
una región bajo una curva, usamos el producto ∆y.∆x
(área de un rectángulo). Así pues, en su primer paso
derivación e integración son operaciones inversas. El
teorema fundamental del Cálculo establece que el
proceso de límite usado para definir ambas operaciones
preserva esa relación inicial de inversas.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO: Si f(x) es
[
continua en el intervalo cerrado a, b y F es una ]
primitiva de f en [ a, b] , entonces:
b

∫ f ( x).dx = F (b) − F (a)
a

Si f es continua en un intervalo abierto I que contiene el
d  
x
punto a, entonces para todo x de este intervalo.  ∫ f (t ).dt  = f ( x )
dx  a 

U.F.P.S. MATEMATICAS II
LAS INTEGRALES DEFINIDAS

b

Cuando se define la integral ∫ f ( x).d ( x) , implícitamente se supone que a < b. Pero la definición
a
como límite de sumas de Riemann tiene sentido aún si a > b . Observemos que si invertimos el
a b

orden de a y b, entonces ∆x cambia de (b- a)/ n a (a – b)/ n. Por tanto ∫ f ( x).d ( x) = −∫ f ( x).d ( x)
b a

a

Si a = b, entones ∆x = 0 luego ∫ f ( x).d ( x)
a
=0

PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS
TEOREMA. PROPIEDAD ADITIVA DE INTERVALOS:
Si f es integrable en los tres intervalos cerrados delimitados por a, b y c, entonces:
b c b

1. ∫
a
f ( x ).d ( x) = ∫ f ( x ).d ( x) + ∫ f ( x).d ( x)
a c

TEOREMA. PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS:
Si f y g son integrables en [a. b] y k es una constante, se tiene:
b b b b b

2. ∫ k. f ( x).d ( x) = k ∫ f ( x).d ( x)
a a
4. ∫ [ f ( x) − g ( x)].d ( x) = ∫ f ( x).d ( x) − ∫ g ( x).d ( x)
a a a
b b b

3. ∫ [ f ( x) + g ( x)].d ( x) = ∫ f ( x).d ( x) + ∫ g ( x).d ( x)
a a a

TEOREMA. PROPIEDADES DE ORDEN DE LA INTEGRAL

5. Si f(x) ≥ 0 para a ≤ x ≤ b, entonces .

6. Si f(x) ≤ g(x) para todo x en [a, b], entonces
EJEMPLO 1. Supóngase

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL

Informalmente, el teorema afirma que la derivación y la integración (definida) son operaciones
mutuamente inversas. Para ver cómo Newton y Leibniz se dieron cuenta de ello, consideremos las
aproximaciones que muestra la Figura. Cuando definimos la pendiente de la recta tangente,
utilizamos el cociente ∆y/∆x (pendiente de la recta secante). Análogamente, al definir el área de
una región bajo una curva, usamos el producto ∆y.∆x (área de un rectángulo). Así pues, en su
primer paso derivación e integración son operaciones inversas. El teorema fundamental del
Cálculo establece que el proceso de límite usado para definir ambas operaciones preserva esa
relación inicial de inversas.

LA PRIMERA PARTE DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

x

Si f es continua en [a. b], la función g definida por g ( x) = ∫ f (t ).dt
a
donde: a ≤ x ≤ b

es continua en [ a, b] y derivable en (a, b), y g´(x) = f(x).

EJEMPLO 2.
Solución: Nótese que f(t) = t 2 + 1 es continua en toda la recta real. Aplicando, por tanto, la
primera parte del teorema fundamental del Cálculo se obtiene

EJEMPLO 3.

En este caso se debe emplear la regla de la cadena junto con la primera parte del teorema
fundamental del cálculo. Sea u = x4. Entonces:

(Según la regla de la cadena)

(Según TFC1)

LA SEGUNDA PARTE DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] y F es una primitiva de f en [a, b], entonces

Demostración:
La clave reside en escribir la diferencia F(b) — F(a) de forma adecuada. Sea ∆ la siguiente
partición de [a, b].
a = X0 <X1 <X2 < ... <Xn-1 <Xn = b
Restando y sumando términos análogos se obtiene

Por el teorema del valor medio sabemos que existe un número e1 en el i-ésimo subintervalo tal
que

Esta importante ecuación nos dice que, aplicando el teorema del valor medio, siempre
podemos encontrar una colección de ci tales que la constante F(b) →F(a) sea una suma de
Riemann de f en [a, b]. Tomando el límite para ||∆|| → 0 resulta

EJEMPLO 4.
Hállese el área total acotada por la curva y = x3 — 4 x y el eje x.

ACTIVIDAD
a. Haga un esquema del área representada por g(x). A continuación, encuentre g´(x) de dos
maneras: (a) aplicando la parte 1 del teorema fundamental y (b) evaluando la integral con la
x x

∫ ∫
2
aplicación de la parte 2 y, después, derivando. g ( x) = t .dt g ( x) = (2 + oost ).dt
1 Π1
b. Determinar la integral y usar la gráfica para determinar si la integral definida es positiva,
negativa o cero.

c. En los problemas 1 y 2, calcule la suma de Riemann que se sugiere para cada figura.

y= f(x) = - x2+ 4x
y= f(x) = x2- 4x + 3

d. Consultar en que consisten las reglas para
aproximar integrales definidas (aproximación trapecial, regla de Simpson) y desarrollar dos
ejercicios aplicando ambos métodos para cada integral.

INTEGRACIÓN APROXIMADA
Hay dos situaciones en que es imposible calcular el b

valor “exacto” de una integral definida. La primera es ∫ f ( x).dx ≈
a
b

consecuencia de que para evaluar ∫ f ( x).dx con
a
el Tn =
∆x
2
[ f ( x0 ) + 2 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) + ... + 2 f ( xn −1 ) + f ( xn )]
teorema fundamental del cálculo, necesitamos conocer donde ∆x = ( b − a ) / n y xi = a + i∆x
una antiderivada de f; sin embargo, a veces es difícil, o
hasta imposible, encontrarla. La causa del nombre de la regla del trapecio se puede
Ejemplo: Es imposible evaluar con exactitud las ver en la siguiente figura, que muestra el caso cuando
integrales siguientes: f ( x) ≥ 0 .
1 1

∫ e .dx ∫
2
x
1 + x 3 dx
0 −1
La segunda situación se presenta cuando la función se
determina con un experimento científico utilizando las
indicaciones de instrumentos. Puede no haber fórmula
para la función.

En ambos casos necesitamos calcular valores El área del trapecio sobre el i-ésimo subintervalo es:
aproximados de las integrales definidas.  f ( xi −1 ) + f ( xi )  ∆x
REGLA DEL TRAPECIO ∆x = [ f ( xn −1 ) + f ( xi )]
 2  2

y si sumamos las áreas, de esos trapecios obtenemos que los errores cometidos en la aproximación de las
el lado derecho de la regla del trapecio. reglas del trapecio y del punto medio, para n = 5, son
Ejemplo: Emplee la regla del trapecio con n = 5 para ET ≈ −0.002488 y EM ≈ 0.001239

∫ ( 1 x ).dx
2
En general, tenemos
calcular aproximadamente, la integral b
E T = ∫ f ( x).dx − Tn y E M = ∫ f ( x).dx − M
1
Solución.Con n = 5. a = 1 y h = 2, tenemos que n
a
Δx=(2-1)/5 = 0.2, y así, la regla del trapecio da:
Límite de error: Supongamos que f '' ( x) ≤ K
cuando a ≤ x ≤ b . Si Et y EM son los errores en que se
incurre con las reglas del trapecio y del punto medio,
entonces:
K (b − a) K (b − a)
3 3
ET ≤ y EM ≤
12n 2 24n 2
Apliquemos esta estimación de error a la aproximación,
Otra forma es por medio de la regla de los puntos
medios. con la regla del trapecio del ejemplo 1. Si f ( x) = 1 / x ,
entonces f ( x)
'
= −1 / x 2 y f '' ( x) = 2 / x 3 .
Como 1<x < 2,
2 2
Tenemos 1 / x ≤ 1 , y f '' ( x) = 3
≤ 3 =2
Donde: x 1
Así, si K = 2, a = 1, b = 2 y n = 5 en la estimación del
error, vemos que:
Los puntos medios de los cinco intervalos son 1.1, 1.3,
2( 2 − 1)
3
1.5, 1.7 y 1.9, y con ellos aplicamos la regla del punto 1
ET ≤ 2
= ≈ 0.006667
medio. 12(5) 150
Al comparar esta estimación de error con el real, de
unos 0.002488, advertimos que el error real puede ser
bastante menor que el límite superior del error
expresado.
REGLA DE SIMPSON
Otra regla para aproximar resultados de integración
emplea segmentos parabólicos en lugar de segmentos
de recta. Como antes, tomaremos una partición de
[a, b ]en n subintervalos de igual longitud,
h = ∆x = ( b − a ) / n; pero esta vez supondremos que n
es un número par. Entonces, en cada par consecutivo
de intervalos, aproximamos la curva y = f ( x) ≥ 0
∆x  f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) + 4 f ( x3 ) + 
b

∫ f ( x).dx ≈ S
a
n = 
3 ... + 2 f ( xn − 2 ) + 4 f ( xn −1 ) + f ( xn ) 

En este en donde n es par y ∆x = ( b − a ) / n .
ejemplo hemos elegido deliberadamente una integral
cuyo valor pueda calcularse a fin de constatar la
exactitud de las reglas del trapecio y del punto medio.
De acuerdo con el teorema fundamental del cálculo.
−2
1
∫ x .dx = ln x]
2
1 = ln 2 = 0.693147...
1
b

∫ f ( x).dx = Aproximación + error Ejemplo: Aplique la regla de Simpson, con n = 10, para
2
1
∫ x .dx ≈ S
a
hallar, aproximadamente
El error al emplear una aproximación se define como la 10
1
cantidad que necesita a la aproximación para volverla
exacta. En los valores obtenidos en el ejemplo vemos

∆x  f (1) + 4 f (1.1) + 2 f (1.2) + 4 f (1.3) + ... Ejemplo: ¿Qué valor ha de tener n para garantizar que
=
3 + 2 f (1.18) + 4 f (1.9) + f (2)  la aproximación, mediante la regla de Simpson, de
 
∫ ( 1 x ).dx
2
1 4 2 4 2 4 2  tenga una exactitud de 0.000 1?
 + + + + + + +
0.1 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 
=   ≈ 0.693150 1
3  4 2 4 1 
 + + + 
1.7 1.8 1.9 2 
Con este ejemplo notará que la regla de Simpson da
como resultado una aproximación mucho mejor
( S10 ≈ 0.693771) o la regla del punto medio Por consiguiente, podemos hacer que K = 24 en (4).
( M 10 ≈ 0.693147...) .
Las aproximaciones con la regla Para que el error sea menor de 0.0001, debemos elegir
n de tal modo que
de Simpson son promedios ponderados de las
cantidades que se usan en la regla del trapecio y del Por lo tanto, n = 8 (n debe ser par) produce la exactitud
punto medio. deseada. (Comparemos esto con los otros métodos;
1 2 así: para n=4 por medio de trapecio y n=29 para la regla
S 2 n = Tn + M n del punto medio).
3 3
Recuerde que ET y EM tienen signos contrarios y que
EJERCICIOS
EM , es aproximadamente la mitad del valor de ET . I. Use la Regla del trapecio, la Regla del punto medio
y la Regla de Simpson para aproximar la integral
COTA PARA EL ERROR PARA LA REGLA DE con el valor especificado de n.
f ( 4 ) ( x ) ≤ K cuando
1 3
SIMPSON: Supongamos que 1
∫ e .dx ,n =10 ∫1+ y
2
−x
a. bc2. 5
.dy ,n =6
a ≤ x ≤ b . Si Es es el error cometido al aplicar la 0 0
Regla de Simpson 2 4
1 ex
b. ∫ .dx , n =10 4. ∫ .dx , n = 10
K (b − a) 1 + x3 2 x
5
0
Es ≤ II. Calcular los errores de la regla de simpson y la
180n 4 regla del trapecio

TALLER

 1 
n
Escriba una ecuación diferencial para P en el
1. Explique por qué  3 .
n  i=1
∑
i2 debe ser una instante t. Determine la población en función
1 del tiempo transcurrido. Estime el tamaño de la

∫ x .dx población después de una semana.
2
buena aproximación a para n grande.
0
Calcule la expresión 3. Demuestre que si f es un polinomio de grado 3
de la suma para n = o menor, la regla de Simpson da el valor
b
 y evalúe por
medio del teorema exacto de ∫ f ( x).dx .
a
fundamental del
calculo. Compare
resultados y 4. Estime el área bajo la gráfica f(x)=sen x
concluya. desde x=π/6 hasta x=π/2 con  rectángulos de
aproximación inscritos.
2. La
tasa de
población dP/dt de una población de 5. Demuestre que para el movimiento rectilíneo
bacterias es proporcional a la raíz cuadrada con aceleración constante a, velocidad inicial
de t, donde P es el tamaño de la población y t vo y desplazamiento inicial x o, el
es el tiempo en días (0≤ t ≤ 10). El tamaño desplazamiento, en el momento t es
inicial de la población es igual a 500. Después 1 2
de un día la población ha crecido hasta 600. x= at + vo .t + xo
2

6. Demuestre que: [v(t ) ]2 = vo2 − 19.6[ x(t ) − xo ] . x2 − 1
Cuando se arroja un objeto hacia arriba, con
b. ∫ cos(π / 2)dθ d.
∫ x3 / 2
dx
velocidad inicial vo desde un punto a xo metros
sobre el piso.

7. Usar límites para hallar el área de la región
acotada por la gráfica de la función y el eje y  = Equivale a la última cifra de su código, pero
en el intervalo que se indica. Dibujar la región. debe ser mayor o igual a 3. En caso contrario
súmele la penúltima cifra y si aún es menor que 3
a. súmele la antepenúltima cifra de su código.

b. En cada caso se debe usar un código diferente. Es
decir, para un ejercicio el código de un integrante,
8. Evaluar: para el otro ejercicio el de otro integrante. Si lo
hace individual en ambos casos usa la misma cifra
3.dx x 2 − 5x + 6
a.
∫ 4x −2
c.
∫ x−3
.dx

OBSERVACION:
 El taller se desarrolla en grupos de máximo 2 estudiantes.
 Debe estar totalmente desarrollado y con excelente presentación.
 Además del taller deben entregar individualmente la corrección del previo; anexándole el temario
correspondiente.
 Fecha de entrega: 11 de Octubre de 2006. Hora: 8:00 a.m.

SUSTITUCION TRIGONOMÉTRICA

TALLER
Crear grupos de 3 integrantes, realizar los ejercicios propuestos para la técnica de sustitución por variables
trigonométricas. Así:
Grupo 1 6.35 6.70 Grupo 5 6.53 6.63
Grupo 2 6.68 6.49 Grupo 6 6.40 6.61
Grupo 3 6.66 6.43 Grupo 7 6.59 6.42
Grupo 4 6.46 6.62 Grupo 8 6.69 6.45

APLICACIONES DE LA INTEGRACION
OBJETIVO: Utilizar las integrales para hallar el área limitada por la gráfica de dos funciones.

S

Sean f y g dos funciones continuas en el intervalo [a, b]. intervalos por encima y por debajo de la curva con n
Si, como sucede en la figura las dos gráficas están por n * *
encima del eje x y la de f por encima de la de g,
podemos interpretar el área de la región entre ellas
rectángulos definidos. ∑ xi
i =1
[f( ) − g( xi )].∆x
como el área bajo f menos el área bajo g. Para calcular el área con precisión construimos n
rectángulos que tiendan a infinito n →∞. Por lo tanto,
La anterior situación no es necesaria. Para situaciones definimos el área A de S como el valor límite de la suma
donde g(x) ≤ f(x) se desarrolla el mismo integrando de las áreas de estos rectángulos de aproximación.
[f(x) - g(x)]. Además, de igual manera como se realiza
para las áreas debajo de curvas, se divide el área S en n
franjas de igual ancho y luego, se obtiene una
aproximación de la i-ésima franja por medio de un
* *
rectángulo con base ∆x y altura f( xi ) − g ( xi ) .
Construyendo particiones en la región S con sub-

Formulas Integracion

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Semelhante a Formulas Integracion

Semelhante a Formulas Integracion (20)

Mais de Marcos Boe

Mais de Marcos Boe (6)

Último

Último (12)

Formulas Integracion