Guia #4 de Calculo Integral

1. UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADISTICA
GUIA Nº3
ANTIDERIVADA
INTRODUCCIÓN  Notación para antiderivadas o primitivas
Un físico que conoce la velocidad de una Si y = F(x) es una antiderivada de f, entonces se
partícula podría desear conocer su posición en dice que F(x) es una solución de la ecuación
un instante dado. Un ingeniero que puede medir dy
diferencial de la forma = f (x) . Cuando se
la razón variable a la cual se fuga el agua de un dx
tanque quiere conocer la cantidad que se ha resuelve una ecuación de este tipo, es
fugado durante cierto periodo. Un biólogo que conveniente escribir en la forma diferencial
conoce la razón a la que crece una población correspondiente dy= f(x) dx.
de bacterias puede interesarse en deducir el La operación de encontrar todas las soluciones
tamaño de la población en algún momento de esta ecuación se denomina integración, y se
futuro. En cada caso, el problema es hallar una denota por el símbolo ∫. La solución a la
función cuya derivada sea una función ecuación dy= f(x) dx se denota por y = ∫f(x)dx =
conocida. Si existe tal función F, se le denomina F(x) + C de donde f(x) es el integrando, dx
una antiderivada de f. indica la variable de integración y C es una
constante. Llamamos a la ∫f(x)dx la integral
COMPETENCIAS indefinida de f respecto de x. (2) Realice un
 Encuentra mediante el proceso de esquema donde señale los elementos que
derivación, antiderivadas generales para una conforman la integración.
función específica.
 Resuelve problemas de valor inicial. Definición. La notación ∫f(x)dx = F(x) + C donde
 Aplica la noción de antiderivada en la C es una constante arbitraria, significa que es
solución de situaciones problemas. una primitiva de f. Esto es, F′(x) = f(x) para todo x
en el dominio de f.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE:
La pregunta aquí es: ¿cómo encontrar F(x) a F(x) + C representa una familia de funciones
partir de f(x)? Por ejemplo; suponga que se le (para cada uno de los valores de C se tiene una
pide hallar una función F que tiene la siguiente función de esta familia); dicha familia de
derivada: F ´(x ) = 4 x 3 . A partir del conocimiento antiderivadas es llamada la integral indefinida
de las derivadas, probablemente se diría que de la función f (x) y se denota con el símbolo ∫ f
d 4 (x)dx, o sea ∫ f (x)dx = F(x) + C donde F '(x) = f(x)
F ( x) = x 4 , ya que ( x ) = 4 x 3 . Llamamos a la  Reglas básicas de integración
dx
función F una antiderivada de F´. Otras La naturaleza inversa de la integración y la
3 4 derivación se refleja en el hecho de que
antiderivadas de F ´(x ) = 4 x son: G ( x) = x + 5 y
mediante la sustitución de F′(x) por f(x) en esta
H ( x) = x 4 − 36 . Como se puede observar que si definición obtenemos:
F(x) es una antiderivada de f(x), cualquier otra ∫F´(x)dx = F(x) + C La integración es la
antiderivada es de la forma F(x) + C. Esta “inversa” de la derivación
función se llama antiderivada general (cada
valor de C nos da una antiderivada). (1)¿En Además si, ∫f(x)dx = F(x) + C entonces:
que consiste el proceso de antiderivación? d
[ f ( x)dx] = f ( x) La derivación es la
dx
Teorema. Si F es una antiderivada o primitiva de “inversa” de la integración
f en un intervalo I, entonces G es una Estas dos ecuaciones permiten obtener
antiderivada de f en el intervalo I si y solo si es de directamente fórmulas de integración a partir
la forma: G(x)= F(x) +C, para todo x en I donde de fórmulas de derivación, como se muestra en
C es una constante arbitraria. el siguiente resumen:
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puede verificar derivando s(t) deducir que s(t)
´= 40)¿Cómo se sabe el valor de c? La
información adicional s(1) = 10 significa que en
el tiempo 1 segundo la posición era 10 m, es
decir: 10 = 40(1) + C, de donde c= -30. Por lo
tanto s(t) = 40t – 30
Siempre que se tiene una condición inicial
como el ejemplo anterior, es posible determinar
una antiderivada particular.
dy
La ecuación = f (x) con y0 = f(x0), se llama
dx
problema de valor inicial y consiste en
encontrar y = f(x) que satisfaga las condiciones
dadas.
Ejemplo 3. La aceleración de dv / dt de cierto
automóvil deportivo es proporcional a la
diferencia entre 250 km/h y la velocidad del
dv
automóvil. Solución. = k .(250 − v)
dt
ACTIVIDAD
1. Llevar a clase las formulas básicas de
integración.
Ejemplos 1. La velocidad se expresa como 2. Completar la siguiente tabla
dy Integral Reescribir Integrar Simplificar
= v para calcular a y se aplica la
dt original
antiderivada: dy = v.dt entonces ∫ dy = ∫ v.dt
luego : y = ∫ v.dt
La aceleración en pies/seg2 se expresa como: a
= 32 y la velocidad es la antiderivada de la
dv
aceleración, luego = a si despejamos a dv
dt
podemos obtener la velocidad: ∫ dv = ∫ a.dt
esto es: v = ∫ a.dt
Ejemplo 2.. Un auto se mueve con velocidad
constante de 40 m/s. ¿Cuál es la posición s(t)
para un tiempo t, si en t=1 segundo el auto se
hallaba en s= 10m?
Solución. Se debe encontrar una ecuación
para s(t) a partir del hecho d que v(t) =40; como 1 x+ a
3. Compruebo que f ( x) = ln es una
ds ds 2a x − a
v(t ) = , tenemos: = 40
dt dt 1
Si se sabe que la derivada de s(t) es 40, ¿cuál antiderivada de f ( x) =
a − x2
2
será entonces s(t)? A partir de la derivada se 4. La pendiente de la recta tangente a la
aplica la fórmula (2) para obtener que la gráfica de la función f(x) está dada por
antiderivada general es s(t) = 40t + C (la cual se 2x – 1. Si f(0)=1 halle la función f(x).
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5. Determinar si el enunciado es falso o
verdadero. Si es falso, explicar por qué o 8. EJERCICIOS DE APLICACIÓN:
proporcionar un ejemplo que lo demuestre. A. Se arroja hacia arriba una pelota, con
a. Cada antiderivada o primitiva de una velocidad de 48 pies/s desde el borde de un
función polinómica de n grado es una acantilado a 432 pies sobre el fondo.
función polinómica de grado (n+1) Calcule su altura sobre el fondo a los t
b. La antiderivada o primitiva de f(x) es única. segundos después. ¿Cuándo alcanza su
c. Si f´(x) = g(x) entonces ∫g(x) dx = f(x) + c. altura máxima? ¿Cuándo llega al fondo?
B. Una moneda se deja caer desde un edificio
6. Encuentre la antiderivada más general de la y toca el suelo en 6 segundos. ¿Cuál es la
función dada: altura del edificio?
C. Un objeto, en caída libre, se mueve con
aceleración -9.8 m/s2.
a. Encuentre una ecuación para la
velocidad suponiendo que v(0)=0.
b. A partir de la ecuación para v(t)
encuentre la ecuación de s(t),
suponiendo que el objeto cae desde
una altura de 10 m (s(0)=10).
D. Una partícula, o punto material, se mueve
en línea recta y su aceleración está
expresada por a(t) = 6.t + 4. Su
velocidad inicial es v(0) = -6cm/s y su
desplazamiento inicial s(0) = 9cm.
Determine su función de posición, s(t).
E. Un balón se lanza verticalmente hacia arriba
con una velocidad de 64 pies por segundo,
desde una cima ubicada a 96 pies de
altura.
a) ¿A qué altura se encuentra el balón a los
7. Evaluar las siguientes integrales indefinidas y t segundos?
comprobar el resultado por derivación b) ¿En qué instante alcanza su altura
máxima?
c) ¿A qué altura del suelo sube el balón?
d) ¿En qué instante toca el balón el suelo?
F. Una lancha de motor se aleja del muelle a lo
largo de una línea recta con una
aceleración al tiempo t dada por a(t) = 12t –
4 pies/seg2. En el tiempo t = 0 la lancha
tenía una velocidad de 8 pies/s y se
encontraba a 15 pies del muelle. Calcular la
distancia S(t) al embarcadero al cabo de t
segundos.
EL ÉXITO NUNCA ESTÁ ANTES
QUE EL ESFUERZO, NI
SIQUIERA EN EL DICCIONARIO.
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ECUACIONES DIFERENCIALES.
Las ecuaciones diferenciales (E.D.) son expresiones matemáticas que establecen relaciones
entre variables independientes, dependientes y las derivadas de ésta última. Las E.D. tienen
diversas clasificaciones, una de ellas indica que este tipo de ecuaciones pueden ser:
Ordinarias y Parciales
Las ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O), se caracterizan por poseer en su estructura,
derivadas ordinarias de la variable dependiente.
Diferenciales.
Si es la derivada de la función , a partir de esta podemos construir una nueva
función:
(A)
donde representa cualquier número arbitrario diferente de cero.
A esta nueva función le llamaremos función diferencial de
Ejemplos:
1. La función diferencial de es:
2. La función diferencial de es :
3. La función diferencial de es:
4. La función diferencial de es:
Pero si en esta última función diferencial sustituimos por su valor, tendremos:
de manera que (A) podría expresarse también así:
(B)
o también así: , si
por lo tanto los diferenciales de los ejemplos anotados líneas arriba quedarían finalmente así:
1. La función diferencial de es:
2. La función diferencial de es :
3. La función diferencial de es:
4. La función diferencial de es:
En general,
(C)
donde, si , entonces o también y por lo tanto (C) puede
también escribirse de la siguiente manera:
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Ejemplos:
1. Si , entonces (haciendo , con ;
y aplicando ( C ) )
2. Si , entonces (haciendo , con ,
y aplicando (C) )
3. Si , entonces (haciendo , con ; y
aplicando ( C ) )
Resolver una E.D.O., consiste en aplicar un conjunto de técnicas que permitan obtener, a
partir de una ecuación diferencial, una expresión matemática que no presente derivadas;
sino que exhiba una relación entre las variables mencionadas. Existen muchos métodos para
resolver E.D.O, entre los métodos se encuentra:
dy
= M ( x).N ( y )
dx
Ecuaciones con Variables Separables: Son ecuaciones de la forma:
Las cuales se puede resolver así:
 Separar las variables. Esto significa que los términos relativos a la variable dependiente
queden a un lado de la igualdad y en el otro los que representan a la otra variable. Por
tanto:
dy
= M ( x)dx
N ( y)
 Integrar ambos miembros de la igualdad aplicando los métodos de integración.
ACTIVIDAD:
(1). Escriba una ecuación diferencial que sea un modelo matemático de la situación
descrita.
a. La tasa de cambio de una población P con respecto al tiempo t es proporcional a la
raíz cuadrada de P.
b. La tasa de cambio con respeto al tiempo de la velocidad de un bote costero de motor
es proporcional al cuadrado de v.
c. En una ciudad que tiene una población fija de P personas, la tasa de cambio con
respecto al tiempo del número N de personas que han oído un cierto rumor es
proporcional al número de las que todavía no lo han oído.
d. En una ciudad que tiene una población fija de P personas, la tasa de cambio con
respecto al tiempo del número N de personas que han contraído cierta enfermedad es
proporcional al producto del número de personas enfermas y el número de las que no
lo están.
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Una ecuación en la que aparecen x,y, y´y´´,... y y(n) , donde y es una función de x y y (n) es la
n-esima derivada de y con respecto a x, es una ecuación diferencial ordinaria de orden n.
Los siguientes ejemplos son ecuaciones ordinarias del orden especificado:
ORDEN 1: Y´=2x
ORDEN 2: D²y / dx² + x²( dy / dx )³ - 15y= 0
ORDEN 3: ( y¨¨)4 – x²(y¨ )5 + 4xy = x ex
ORDEN 4: (d 4y /dx4 ) - 1 = x³ dy/ dx
Recordemos que una función f (o f(x) es una solución de una ecuación diferencial si al
sustituir y por f (x) se obtiene una identidad para todo x en un intervalo. Por ejemplo, la
ecuación diferencial Y´ = 6x 2 – 5 Tiene solución F (x) = 2x3 - 5x + C
Para todo real C, porque al sustituir y por f(x) se llega a la identidad 6x 2 - 5 = 6x 2 - 5. Se dice
que f(x) = 2x 3 - 5x + C es la solución general de y´= 6x 2 - 5 porque todas las soluciones son de
esta forma. Se obtiene una solución particular asignando valores específicos a C. Por
ejemplo, tomando C = 0 se obtiene la solución particular y = 2x 3 – 5x. A veces se dan
condiciones iniciales para determinar una solución particular, como se ilustra en el siguiente
ejemplo
Para la ecuación diferencial f´(x) = 2x -1, se le determina la solución general la cual es f(x) =
x2 –x +C, la cual C puede ser cualquier constante, lo que significa que tiene infinitas
soluciones, pero si se estipula que la función f(x) debe cumplir la condición f(1) = 3, o en
forma equivalente que la grafica de f debe pasar por el punto (1,3). Entonces, usando la
condición sobre la solución general f(x)=x 2–x +C, vemos que: f(1) =(1)2 –(1) +C = 3
Por lo anterior C = 3. Así la solución particular es: 2
f(x) = x –x +3
La condición f(1) = 3 es un ejemplo de condición inicial. En general, una condición inicial es
una condición impuesta sobre el valor de f en un punto x=a.
ACTIVIDAD:
a. Determinar la función f si se sabe que f´(x) = 3x2 – 4x +8 y f(1) = 9
b. La circulación actual de la revista Señales es de 3000 ejemplares por semana. Se espera
que la circulación aumente a razón de 4+5t(2/3) ejemplares por semana, t semanas a
partir de hoy, durante los próximos tres años. Con base en esta proyección, ¿cuál será la
circulación de la revista dentro de 125 semanas?
c. Un fabricante sabe que el costo marginal correspondiente a la producción de x
unidades de cierto componente de una fotocopiadora está dado por 30 – 0.02x. Si el
costo de producir una unidad es de US $35 dólares. ¿Cuál será el costo de producir 100
unidades?
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