1. Instituto Nacional de Bellas Artes
Centro de Educación Artística
“David Alfaro Siqueiros”
Trabajo Final
de
Álgebra
Nombre del Alumno: Ana Gabriela Flores
Delgado.
Fecha de entrega: 15 de diciembre del
2010.
Examen Semestral.
Grupo: 1.

2. 2
Índice:
Objetivo
General………………………………..3
Trabajo de Primer
Parcial……………………….4
Introducción………………………………….
..4
Suma………………………………………….
5
Resta………………………………………....
.6
Trabajo de Segundo
Parcial……………………..8
Multiplicación………………………………..
..8
División………………………………………
11
Productos
notables…………………………….13
Trabajo de Tercer
Parcial…………………….....15

3. 3
Factorización………………………………
…15
Fracciones Algebraicas……………………..
…..18
Ecuaciones
Lineales…………………………...20
Ecuaciones
Cuadráticas………………………..28
Conclusiones
finales…………………………...32
Objetivo General:
El objetivo que persigue la realización de éste trabajo que
representará nuestra calificación semestral, es el de, de alguna
manera, practicar los ejercicios ya vistos en clase, de forma que
nos demos cuenta si en realidad aprendimos acerca de cada uno
de los temas.
De ésta forma, al seguir realizando actividades será más difícil
olvidar los procedimientos.

4. 4
Trabajo de Primer Parcial
Introducción.
A) Definir los siguientes conceptos:
*Álgebra: Generalización de la aritmética que estudia las estructuras, las
relaciones y las cantidades con que queda provisto un conjunto al definir en
ellos ciertas leyes de composición (operaciones). La palabra «álgebra» es de
origen árabe, deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad
ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Kitab al-yabr wa-l-muqabala (que significa
"Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado"), el cual
proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de
ecuaciones lineales y cuadráticas.

5. 5
*Aplicaciones:
- Permite la formulación general de leyes de aritmética (como a + b = b + a), y
esto es el primer paso para una exploración sistemática de las propiedades de
los números reales.
- Permite referirse a números "desconocidos", formular ecuaciones y el
estudio de cómo resolverlas.
- Permite la formulación de relaciones funcionales.
- Por ejemplo, es muy usada para la resolución de problemas relacionados con
la geometría.
*Términos Algebraicos: es el producto y/o división de una o más variables
(factor literal) y un coeficiente o factor numérico.
Un término algebraico consta de las siguientes partes:
- Coeficiente. En el producto de dos o más factores, cualquiera de ellos puede
llamarse coeficiente de los otros factores.
- Variable (o parte literal). Cantidad generalizada.
- Exponente. Es el número de veces que se multiplicará la cantidad
generalizada o variable, por sí misma.
*Exponentes: Número utilizado para indicar el número de veces que se utiliza
un término como factor para multiplicarse por sí mismo.
*Grado: El grado de un polinomio de una variable es el máximo exponente que
posee el monomio sobre la variable; Por ejemplo en 2x3 + 4x2 + x + 7, el
término de mayor grado es 2x3; este término tiene una potencia tres en la
variable x, y por lo tanto se define como grado 3 o de tercer grado
Suma
A) Resolver:
( 2 3
) ( ) (2 3
)
a) 5a − 2a + a + 4a + 3a + 5a − 2a + 7 = 3a + 8a + 3a + 7 Polinomio Cúbico
3 2
(4 3 ) ( 6 2 )
b) 3 x − 4 x + 2 + 1 x − 5 x + 7 = − 7 x − 7 x + 23 Trinomio Cuadrático
2 2
8 4
2
6 8
c) ( 4 z − 5 y + 3) + ( 4 z − y + 2 ) + ( 3 y − 2 z − 1) = −3 y + 6 z + 4 Trinomio Lineal
(2 5 )4
4( 3 )
d) 1 m + 3 m − 7 + ( 8 m − 5 ) + 5 m − 10 m = 1 m + 120 m − 51 Trinomio Cuadrático
2 3 3 2
5
2 317
28
e)
( ) ( ) ( )
2 pq − 3 p 2 q + 4 pq 2 + pq − 5 pq 2 − 7 p 2 q + − 4 pq 2 + 3 pq − p 2 q = −11 p 2 q − 5 pq 2 + 6 pq
Trinomio cúbico
B) Ejemplo de suma algebraica (perímetro)

6. 6
Necesito saber cuál es el perímetro de una recámara irregular, pero no tengo
una regla, sé que mide 40 cuadros de cerámica y 5 centímetros de un lado, 55
cuadros de cerámica y 7 centímetros de otro, 20 pasos míos de otro lado, y 24
pasos míos menos 8 centímetros del otro, sé que cada cuadro de cerámica mide
36 centímetros, y que cada uno de mis pasos mide 55 centímetros ¿Cuál es el
perímetro de la recámara?
(40x + 5) + (55 x + 7) + (20y) + (24y - 8)
95x + 44y +4 = trinomio lineal
X= 36
Y= 55
Perímetro de la recámara: 8, 276, 404 cm. = 82, 764.04 m.
Resta
A) Ejemplifica una aplicación de la resta algebraica (Describe el
problema agrega imagen o esquema y resuelve).
Necesito saber cuál es la medida del perímetro de una recámara, pero
restándole la medida de una parte que mide 10 cuadros de cerámica de largo
más 10 centímetros, y 8 cuadros de ancho… la recámara en general mide 47
cuadros de cerámica de largo y 32 de ancho menos 2 centímetros, ¿cuál es la
medida?
Cada cuadro de cerámica mide 44 centímetros.
(47x) + (47x) – (10x+10) + (32x-2) + (32x-2) – (8x)=
140x+6= 6166 cm= 61.66 metros.

7. 7
B) Resuelve las siguientes operaciones:
a) ( 5m + 4n − 7 ) − ( 8n − 7 ) + ( 4m − 3n + 5) − ( − 6m + 4n − 3) = 15m − 11n + 8
Trinomio lineal.
( 2 3
) (
b) 4m − 3m + 6m + 5m − 4 − 6m − 8m − 3m + 1 = 4m − 9m + 14m + 8m − 5
4 3 2 4 3 2
)
Polinomio de cuarto grado.
( ) (
5 3 2 5 3
)
c) 6 x + 3 x − 7 x + 2 − 10 x + 6 x − 5 x − 2 x + 4 = −4 x − 6 x + 8 x − 5 x − 2
5 2 2
Polinomio de quinto grado.
(3 2 4
) ( 3 2
) (
d) − xy − 7 y + xy + − 2 xy + 5 y − 2 − − 6 y + xy + 5 = −3 xy − y + 5 y − 7
4 4 3
)
Polinomio de quinto grado.
e) ( 1 x + 8 y − 5) − ( 8 y − 5 ) + ( 3 x + ) = 5 x − 55 y − 127
3 2
6 3 4 2 9 3 24 36
Trinomio lineal
C) Diseñar otra resta con fracciones (mínimo trinomio)
( 3
5 4 2 ) (
x 2 − 5 xy + 4 x + 6 + 5
3 4 ) (
x2 − 2 x − 6
7
2
)
xy + 8 x 2 − 5 = 121 x 2 − 59 xy + 3 x + 32
2
60 28 2 5
Polinomio cúbico

8. 8
Trabajo de Segundo Parcial
Multiplicación
A) Indica la Ley de los signos en la multiplicación.
La multiplicación de expresiones con signos iguales dan como resultado un
valor positivo y la multiplicación de expresiones con signos contrarios dan como
resultado un valor negativo.
(+) por (+) da (+)
(+) por (-) da (-)

9. 9
(-) por (+) da (-)
(-) por (-) da (+)
B) Explica la propiedad distributiva de la multiplicación (Utiliza un
ejemplo).
La suma de dos números por un tercero es igual a la suma de cada sumando por
el tercer número.
Por ejemplo: x (x + 3) = (x) (x) + (x) (3)
C) Indica la Ley de los exponentes, en la multiplicación, división,
radical y potencia.
De la Ley de los Exponentes de la multiplicación deducimos que para multiplicar
dos o más potencias de la misma base, sumamos sus exponentes. Por ejemplo:
( x) 2 ( x) 4 = x 2+ 4 = x 6
La Ley de los Exponentes para la división establece que para potencias de la
misma base el exponente del denominador se resta al del numerador. Por
y7
= y 7 −3 = y 5
ejemplo. y3
La Ley de las potencias indica que cuando tenemos un término elevado a más de
una potencia, las potencias se multiplican. Ejemplo: n 8 ( ) 5
= n 40
Y la Ley de los Radicales, habla de que toda expresión radical, se puede
expresar como un Exponente Fraccionario. Por ejemplo: n ( yz ) 8 = yz
8/n
D) Explica gráficamente los pasos de la multiplicación algebraica
(Usa un ejemplo)
( 5 x + 2 y ) (8 x 2 − 9) = 40 x 3 − 45 x + 16 x 2 y − 18 y = 40 x 3 + 16 x 2 y − 45 x − 18 y
Polinomio Cúbico.

10. 10
1. Los coeficientes se multiplican, aplicando la ley de los signos, como en el
ejemplo, en el cual, el primer término es 5x, y se multiplica, uno por uno, por
los términos del segundo paréntesis, al igual que con el segundo término que en
este caso es 2y.
2. Como en este caso no es necesario simplificar, sólo ordenamos los términos
de acuerdo a su exponente, y finalmente nombramos el término del resultado.
E) Resuelve las siguientes multiplicaciones:
( 2 2
)( 4 3 2
)
1. 2 x − x − 3 2 x − 5 x − 2 = 4 x − 12 x − 5 x + 17 x + 6 Polinomio de 4to. grado.
2
( 3 2
)
2. ( 3x − 1) 4 x − 2 x − 1 = 12 x − 10 x − x + 1 Polinomio cúbico.
( 3
2
4 2 5)
3. 4 a − 5 a − 1 ( 2 a + 3 ) = 15 a + 3 a − 83 a − 3 Polinomio de 4to. grado.
2
8 3
2
2
40 4
4. ( 9 xy − 4 x y )( 2 xy − 6 x y ) = 24 x y − 62 x y + 18 x y Trinomio de 7mo. grado.
2 2 2 2 4 3 3 3 2 3
5. ( 5m − 3m )( 4m − 2m ) = 20m −3 / 4 −1 / 4 −1 / 12
1/ 2 2/3
− 10m − 12m + 6m
5 11 / 2 17 / 3
6. ( z − z + )( z − z − 3) = z − z + z − z + Polinomio de 4to. grado.
2 2 1 4 3 2 7 6 4 54 3 11 2 5 12
5 3 9 7 2 35 35 40 9 9
7. ( 3 y − 5)( 2 y + 4 ) = 6 y + 2 y + 20 Trinomio Cuadrático.
2
( 2
)
8. 3 y − x + 7 ( 5 x + 2 ) = 15 xy − 5 x + 6 y + 33 x + 14 Polinomio cúbico.
2 2 2
( 2 3 2 2 3
)
9. ( (4ab + 3b ) 6a b − 2ab = 24a b − 8a b + 18a b − 6ab Polinomio de 5to. grado.
2 2 2 3
F) Un terreno rectangular mide 2x-4 metros de largo y 5x+3
metros de ancho. ¿Cuál es el modelo matemático que expresa su
área? (agrega una figura)
( 2 x − 4)( 5 x + 3) = 10 x 2 − 14 x − 12

11. 11
G) En una tienda se compran tres diferentes artículos; A, B y C. A
cuesta 3x por unidad y se compran 5 unidades. B cuesta 4x+2 por
unidad y se compraron 3 unidades y C cuesta 3/4x por unidad y se
compraron 7 unidades. ¿Cuál es el modelo matemático del costo
total de la compra?
( 3x )( 5) + ( 4 x + 2) (3) + ( 3 x)(7) = 139 x + 6
4 4
División
A) Definir la división algebraica.
División algebraica es la operación que consiste en obtener una expresión
llamada cociente y otra llamada residuo, conociendo otras dos llamadas
dividiendo y divisor.
B) Propiedades de la división.
q° = D° - d°
En toda división el grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el
grado del divisor.
D° ≥ d°
En toda división, el grado del dividendo es mayor o igual que el grado del
divisor :

12. 12
d° > r°
En toda división el grado del divisor es mayor que el grado del resto.
r maximo = d° - 1
En toda división el grado máximo del resto es igual al grado del divisor menos 1
En el caso de polinomios homogéneos el grado del resto es mayor que el grado
del divisor : r° > d°
En el caso de polinomios homogéneos no se cumple la propiedad 4
C) Elementos (partes) de la división.
Dividendo es el número que se va a dividir.
Divisor es el número que divide.
Cociente es el resultado de la división.
Resto es lo que ha quedado del dividendo, que no se ha podido dividir porque es
más pequeño que el divisor.
Sus términos cumplen esta relación:
Dividendo = divisor · cociente + resto
D) Resolver:
8m 9 n 2 − 10m 7 n 4 − 20m 5 n 6 + 12m 3 n 8 4m 7
1. 2 3
= − 5m 5 n − 10m 3 n 3 + 6mn 5
2m n n
20 x − 5 x − 10 x + 15 x
4 3 2
2. = −4 x 3 + x 2 + 2 x − 3
− 5x
4a − 10a − 5a 4
8 6
5a
3. 3
= 2a 5 − 5a 3 −
2a 2
2 x y + 6 xy − 8 xy + 10 x y
2 2 2 2
4. = 5 xy + x + 3 y − 4
2 xy
3x 2 + 2 x − 8
5. = 3x − 4
x+2
2x3 − 4x − 2
6. = x2 − x −1
2x + 2
2a 4 − a 3 + 7 a − 3
7. = a 3 − 2a 2 + 3a − 1
2a + 3
14 y − 71y − 33
2
8. = 2 y − 11
7y + 3
E) Si un espacio rectangular tiene un área de 6 x − 19 x + 15 y la
2
anchura es
3x-5. ¿Cuánto mide la base?

13. 13
6 x 2 − 19 x + 15
= 2x − 3
3x − 5
F) Expresar conclusiones personales acerca de la primera unidad
“Operaciones Algebraicas”
Dentro de este tema nos dimos cuenta de la importancia que tiene
cada una de las operaciones algebraicas, y que es necesario saber
realizar los procedimientos de cada una de ellas, debido a la
dependencia que llevan unas de otras.
Vemos que es importante saber hacer cada una de las operaciones
básicas que se nos fueron enseñando a lo largo de nuestra
educación para poder resolver estos problemas, y los usos que les
podemos dar para la resolución de problemas.
Productos Notables
A) Definir qué son los productos notables.
Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con
expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple
inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su
aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones
habituales.
B) Indicar las reglas para la resolución de cada uno de los
productos notables vistos en clase (5 tipos)
1. Binomio al cuadrado.
- Cuadrado del primero
- Doble producto del primero por el segundo.

14. 14
- Cuadrado del segundo.
2. Binomio cúbico.
- Cubo del primer término.
- Triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
- Triple producto del cuadrado del segundo por el primero.
- Cubo del segundo término.
3. Binomio a una potencia superior.
- Se usa el triángulo de pascal y dependiendo de la potencia que se requiera, se
verifican ahí los números por los que se multiplicará el binomio.
- Siempre el primer término del binomio va a iniciar con la potencia que se
indique, y va a terminar con la potencia 0.
- El segundo término es lo contrario, empieza desde la potencia 0 y termina con
la potencia que se indique.
4. Binomios con término común.
- Cuadrado del común.
- Suma o resta de los no comunes por el común.
- Producto de los no comunes.
5. Binomios conjugados.
- Cuadrado del primero.
- (-) menos cuadrado del segundo.
C) Resolver:
( 3a + 4) 2 = 9a 2 + 24a + 16
(2x 2
) 2
− 5 = 4 x 4 − 20 x 2 + 25
( 7m + 8n ) 2 = 49m 2 + 112mn + 64n 2
( 4a + 5) 3 = 64a 3 + 240a 2 + 300a + 125
( 2a 3
) 3
− 7 = 8a 9 − 84a 6 + 294a 3 − 343
( 5m + 4) 3 = 125m 3 + 300m 2 + 240m + 64
( 3x + 2) 4 = 81x 4 + 216 x 3 + 216 x 2 + 96 x + 16
(2x 2
) 5
− 4 = 32 x 10 − 320 x 8 + 1280 x 6 − 2560 x 4 + 2560 x 2 − 1024
(4 y 3
+ 3)
6
= 4096 y 18 + 18432 y 15 + 34560 y 12 + 34560 y 9 + 19440 y 6 + 5832 y 3 + 729
( 2 x + 3)( 2 x + 5) = 4 x 2 + 16 x + 15
( )(
x2 −1 x2 +1 = x4 −1 )
( m + 4)( m − 2) = m 2 + 2m − 8
( 3a − 7 )( 3a + 7 ) = 9a 2 − 49

15. 15
( 5a + 3b )( 5a − 2b ) = 25a 2 + 5ab − 6b 2
( 4 x + 3)( 4 x − 3) = 16 x − 9
3 3 6
( a − 1)( a − 4) = a − 5a + 4
2 2 4 2
D) Investigar la aplicación de los binomios conjugados en otras
áreas.
Los binomios conjugados son de utilidad para la obtención de áreas, en este
caso, de rectángulos principalmente.
Su aplicación simplifica el hecho de realizar la multiplicación paso por paso.
E) Expresar conclusiones personales sobre la segunda unidad
“Productos Notables”
A lo largo de este segundo tema, observamos la relación que hay
entre cada tema que hemos visto.
Los productos notables hacen más simple una multiplicación, ya que
el procedimiento es mucho más corto, pero aún así, se utiliza cada
una de las operaciones del primer tema.
Trabajo de Tercer Parcial
Factorización
A) Defina qué es factorización.
La factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número
compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más
pequeños (factores).

16. 16
B) Ilustra en un mapa conceptual los diversos métodos de
factorización.
Agrupación:
No existe factor
común. Se separa en
parejas comunes;
tienen que ser al
menos de 4
Diferencia de términos. Trinomio cuadrado
Cubos: perfecto:
No es muy usado. Los extremos tienen
Sólo se utiliza con raíz cuadrada exacta
binomios, en los y se comprueba el
que ambos términos doble producto.
tienen raíz cúbica.
Métodos
Factor común:
Diferencia de De Se usa cuando todos
Cuadrados:
Binomio con raíz Factorización los términos tienen
una variable común o
cuadrada exacta;
un coeficiente
ambos términos se
múltiplo de un mismo
restan, y se factoriza a
número.
binomios conjugados.
x2 + bx + c:
ax2 + bx + c: No es factor común,
No es TCP, ni factor no es TCP. Se
común. Se factoriza factoriza a dos
como agrupación. binomios con
término común.
C) Factoriza las siguientes expresiones.
25a 2 − 64b 2 = (5a + 8b)(5a − 8b)
8m 2 − 14m − 15 = (4m + 3)(2m − 5)
x 2 − 15 x + 54 = ( x − 6)( x − 9)
5 x 2 − 13 x + 6 = (5 x − 3)( x − 2)
27 a 9 − b 3 = (3a 3 − b)(9a 6 + 3a 3 b + b 2 )
5a 2 + 10a = 5a (a + 2)
n 2 − 14n + 49 = (n − 7) 2
x 2 − 20 x − 300 = ( x − 30)( x + 10)
9 x 6 − 1 = (3x 3 − 1)(3 x 3 + 1)

17. 17
64 x 3 + 125 = (4 x + 5)(16 x 2 − 20 x + 25)
x 2 − 144 = ( x − 12)( x + 12)
2 x 2 + 11x + 12 = (2 x + 4)( x + 3)
4 x 2 y − 12 xy 2 = 4 xy ( x − 3 y )
xw − yw + xz − yz = ( w + z )( x − y )
x 2 + 14 x + 45 = ( x + 5)( x + 9)
6 y 2 − y − 2 = (3 y − 2)(2 y + 1)
4m 2 − 49 = (2m + 7)(2m − 7)
x 2 − x − 42 = ( x + 6)( x − 7)
2m 2 + 3m − 35 = (2m − 7)(m + 5)
a 2 − 24a + 119 = (a − 17)(a − 7)
D) Aplicación de la factorización en la solución de ecuaciones
cuadráticas.
En la resolución de ecuaciones cuadráticas, existe el método de la
factorización.
Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero.
Luego expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto de
factores. Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la
variable.
E) Conclusiones personales sobre la unidad de factorización.
Dentro de esta unidad pusimos en práctica nuestras habilidades
para diferenciar un método de factorización, de los otros; lo cual
nos ha apoyado en cada uno de los temas que hemos visto
posteriormente, por ejemplo, en fracciones algebraicas seguimos
viendo varios métodos de factorización, al igual que lo haremos en
el tema de ecuaciones cuadráticas.

18. 18
Este tema ya en secundaria lo habíamos visto, pero sólo algunos de
los métodos, es por eso que al menos en lo personal, me pareció
interesante el hecho de aprenderlos y además, me sirvió de
práctica.
Fracciones Algebraicas.
A) Realiza las operaciones con fracciones algebraicas.
x 2 − 16 ( x − 4)
=
x + 8 x + 16 ( x + 4)
2
4 x 2 − 20 x 4x
=
x − 4 x − 5 ( x + 1)
2

19. 19
3a − 9b 1
=
6a − 18b 2
x 2 − 6x + 9 x 2 + 6x + 5
* 2 =
( x − 3)( x + 5)
x − 7 x + 12 3 x + 2 x − 1 ( x − 4)(3 x − 1)
2
7 x + 21 x 2 − 5 xy + 4 y 2
* =
( 7 )( x − y )
x − 16 y
2 2
4 x + 11x − 3
2
( x + 4 y )( 4 x − 1)
x 2 − 3 x − 10 2 x + 10 1
* =
x 2 − 25 6 x + 12 3
x − 4 4x + 8
* 2 =
( 4)( x + 2)
2 x + 8 x − 16 ( 2 )( x + 4 ) 2
3 x − 15 12 x + 18 (12)( x − 5)
÷ =
x+3 4 x + 12 ( 6 )( 2 x + 3)
4x 2 − 9 2x − 3
÷ = ( 2 )( 2 x + 3)
x + 3 y 2x + 6 y
x 2 − 14 x − 15 x 2 − 12 x − 45 ( x + 1)
÷ =
x 2 − 4 x − 45 x 2 − 6 x − 27 ( x + 5)
a −3 a − 4a + 9
− 2 =
a − 3a + 2 a − 4a + 3 ( a − 2 )( a − 1)( a − 3)
2
m 3m 3m 2 − 2m
+ =
m 2 − 1 m + 1 ( m + 1)( m − 1)
2a 4 2a 2 − 12a − 8
− 2 =
a 2 − a − 6 a − 7 a + 12 ( a + 2)( a − 3)( a − 4 )
2 1 1 2m 2 + 12m − 1
− 2 + 2 =
m 2 − 11m + 30 m − 36 m − 25 ( m − 5)( m + 6 )( m − 6 )( m + 5)

20. 20
x 2 3x + 4
+ =
x − 5 x − 14 x − 7 ( x + 2 )( x − 7 )
2
B) Define qué es una fracción compleja y da un ejemplo.
Una fracción compleja es una fracción en la que al menos uno de los términos
de uno o ambos miembros es una fracción. Las expresiones racionales
siguientes son fracciones complejas:
2
3
4
Ejemplo: 5
C) Conclusiones personales sobre la unidad de Fracciones Algebraicas.
A lo largo de este parcial, nos hemos dado cuenta de la importancia,
y de la dependencia de cada tema con los otros, ya que, por
ejemplo, en fracciones algebraicas seguimos utilizando diversos
métodos de factorización, que afortunadamente, son rápidos, ya
que la mayoría de las expresiones en los ejercicios usan métodos de
factorización sencillos, además de las operaciones algebraicas, que
fue el primer tema que vimos.
Ecuaciones Lineales.
A) Definir qué es una ecuación lineal, los tipos que existen y cuáles
son los principales métodos de resolución.
Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es un planteamiento de
igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no

21. 21
contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra
solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.
Ecuación general
A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible
encontrar los valores donde x e y se anulan.
Ecuación segmentaria o simétrica
E y F no deben ser cero. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y
en E y F respectivamente.
Forma paramétrica
Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultánea, cada una en la
variable t. Puede convertirse a la forma general despejando t en ambas
ecuaciones e igualando.
Casos especiales:
Un caso especial es la forma estándar donde y . El gráfico es una
línea horizontal sin intersección con el eje X
Otro caso especial de la forma general donde y . El gráfico es una
línea vertical, interceptando el eje X
En este caso, todas las variables fueron canceladas, dejando una ecuación que
es verdadera en todos los casos.
Métodos:
- Suma-Resta.
*Elegir una variable para eliminar cruzando sus coeficientes y cambiando el
signo a uno de ellos.
*Multiplicar, sumar y restar.
*Obtener el valor.
*Despejar la otra variable y sustituir el valor.
-Igualación:

22. 22
*Despejar la misma variable de ambas ecuaciones.
*Igualar los despejes.
*Hacer operaciones hasta encontrar el valor de la literal.
*Sustituir en uno de los dos despejes para obtener el segundo valor.
- Determinantes:
La regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un
sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes.
Para la resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de la
forma. Dado el sistema de ecuaciones:
Lo representamos en forma de matrices:
Entonces, los términos pueden ser encontrados con la regla de Cramer, con una
división de determinantes, de la siguiente manera:
y
B) Resolver las siguientes ecuaciones.
4( 2 x − 3) + 5( x − 1) = 7( x + 2 ) − ( 3 x + 4 )
x=3
5x − 3 2x x + 1
+ =
4 3 2
x = 17
15
3( 4 x + 3) + 2 x − 3( 2 − x ) = 2 + 3( x − 4 ) + 5 x − 2
x= −15
9

23. 23
2 x + 5 3x x + 2
− = + 3x
7 5 2
x = −20
267
2x − 3 x
5( 2 x − 3) + 4( x + 1) − 5 = +
2 3
x= 87
76
C) Graficar:
y=5x-1
Solución: (0.2, 0)
Pendiente: 5
y=2x+3
Solución: (-1.5, 0)
Pendiente: 2

24. 24
y= -1/2x+2
Solución: (4, 0)
Pendiente: -.5

25. 25
D) Una joyería vende su mercancía 50% más cara que su costo. Si
vende un anillo de diamantes en $1500, ¿Qué precio pagó al
proveedor?
$1000
E) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones.
a)
2x − 3y = 4
x − 4y = 7
x = −1
y = −2
b)
4a + b = 6
3a + 5b = 10
a= 20
17
b= 22
17
c)
m−n =3
3m + 4n = 9
m=3
n=0
d)
5 p + 2q = −3
2p − q = 3
p= 1
3
q=−7
3
e)

26. 26
x + 2y = 8
3 x + 5 y = 12
x = −16
y = 12
f)
3m + 2n = 7
m − 5n = −2
m = 17
31
n = 17
13
g)
2h − i = −5
3h − 4i = −2
h = − 18
5
i = − 11
5
F) Grafica los incisos a, c, e y g de los sistemas anteriores.
a)
2x-3y=4
x-4y=7
Solución: (-1, -2)
c)
m-n=3

27. 27
3m+4n=9
Solución: (3,0)
e)
x+2y=8
3x+5y=12
Solución: (-16,12)
g)
2h-i = -5

28. 28
3h-4i = -2
Solución: (-3.6, -2.2)
G) Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4.00 para
adultos y $1.50 para niños. Si se vendieron 1000 boletos recaudando
$3,500. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron?
x + y = 1000
4 x + 1.5 y = 3500
Adultos: 800 boletos.
Niños: 200 boletos.
H) Si se mezcla una aleación que tiene 30% de Ag con otra que
contiene 55 % del mismo metal para obtener 800 kg de aleación al
40%. ¿Qué cantidad de cada una debe emplearse?
x+y= 800
.3x+.55y= 800(.4)= 320
480 kg de Ag al 30%
320 kg de Ag al 55%

29. 29
Ecuaciones Cuadráticas.
A) Definir qué es una ecuación cuadrática.
Es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos.
Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita
y que se expresa en la forma canónica:
donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto
de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.
B) Definir qué es un número real y qué es un número imaginario.
Números Reales: Los números reales son los que pueden ser expresados por un
número entero (3, 28, 1568) o decimal (4,28; 289,6; 39985,4671). Esto quiere
decir que abarcan a los números racionales (que pueden representarse como el
cociente de dos enteros con denominador distinto a cero) y los números
irracionales (los que no pueden ser expresados como una fracción de números
enteros con denominador diferente a cero).
Números imaginarios: (I) Son aquellas cantidades que resultan cuando se
asocia la cantidad , ya que no es posible hallar una solución a está raíz en
los reales. Se asocia entonces una cantidad imaginaria a la raíz de menos uno
llamada i.
Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a el nombre de i (por
imaginario).
C) Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas.
7 x 2 + 21x = 0
x1 = 0
x 2 = −3

30. 30
4 x 2 − 16 = 0
x1 = 2
x 2 = −2
a 2 − 3a + 2 = 0
a1 = 2
a2 = 1
9m 2 + 2m − 5 = 0
m1 = .6424
m2 = −.8647
x 2 − 3x = 0
x1 = 0
x2 = 3
5 x 2 + 10 = 0
x1 = 1.4142
x 2 = −1.4142
7 y 2 − 3 y + 10 = 0
y1 = .2142 + 1.1758i
y 2 = .2142 − 1.1758i
2t 2 + t + 1 = 0
t1 = −.25 + .6614i
t 2 = −.25 − .6614i

31. 31
8x 2 − 7 x = 0
x1 = 0
x 2 = 7 = .875
8
a 2 − 25 = 0
a1 = 5
a 2 = −5
D) Graficar las siguientes funciones cuadráticas:
1)
y = x2 −1
y1 = 1
y 2 = −1

32. 32
2)
y = x 2 + 5x + 6 = 0
y1 = −2
y 2 = −3
3)
y = −x2 − 4
x1 = 2i
x 2 = −2i

33. 33
Conclusiones Finales:
Al finalizar éste semestre, tenemos como conclusión que el
hecho de haber realizado tal trabajo, al menos en lo personal,
me sirvió mucho para practicar, y reforzar los conocimientos
que había obtenido a lo largo del periodo de clases.
Además, aprendí un poco más acerca de la forma de utilizar
éste tipo de programas y espacios en Internet, porque en
secundaria, jamás utilizamos éste medio para subir nuestros
trabajos.
Debemos tener en cuenta la importancia de los temas que
vimos para los semestres siguientes, y seguirlos practicando, de
ésta forma nos será más fácil aprender los temas nuevos.