Este documento contiene la prueba de ensayo de Estadística I del segundo bimestre. Incluye tres problemas resueltos del capítulo 5 sobre distribuciones normales estándar y dos problemas resueltos del capítulo 6 sobre correlación. Calcula valores z, porcentajes y correlaciones de Pearson para diferentes conjuntos de datos.
1. UTPL SEDE AMBATO
PSICOLOGIA II CICLO
SEGUNDO BIMESTRE MAURICIO SANCHEZ CALDERON
ESTADISTICA I
PRUEBA DE ENSAYO
1. Del Capitulo 5 páginas 100 – 102, resuelva los problemas 13, 19 y 24.
PROBLEMA 13.
Para cada uno de los siguientes incisos, determine el puntaje z que divida la
distribución, de tal manera que el porcentaje de puntajes dado se encuentre por
encima del puntaje z (redondee a dos cifras decimales):
a. 50% según a la tabla A z = 0.00
b. 2.50% según a la tabla A z = 1.96
c. 5% según a la tabla A z = 1.64
d. 30% según a la tabla A z = 0.52
e. 80% según a la tabla A (20%) z = -0.84
a. 90% según a la tabla A (10%) z = -1.28
PROBLEMA 19.
Utilizando los mismos parámetros poblacionales del ejercicio 17, ¿Qué
porcentaje de los datos se encuentra entre los siguientes valores?:
a. 6.8 y 10.2
Dados: µ = 8.2; σ = 2.4; X 1 = 6.8; X 2 = 6.8
X1 − µ X2 − µ
z1 = z2 =
σ σ
6.8 − 8.2 10.2 − 8.2
z1 = z2 =
2.4 2.4
z1 = − 0.58 z 2 = 0.83
%1 = − 21.90% % 2 = 29.67%
% datos = % 2 − %1
1
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% datos = 29.67% − (− 21.90%)
% datos = 51.57%
b. 5.4 y 8.0
Dados: µ = 8.2; σ = 2.4; X 1 = 5.4; X 2 = 8.0
X1 − µ X2 − µ
z1 = z2 =
σ σ
5.4 − 8.2 8.0 − 8.2
z1 = z2 =
2.4 2.4
z1 = − 1.17 z 2 = − 0.08
%1 = − 37.9% % 2 = − 3.19%
% datos = % 2 − %1
% datos = − 3.19% − (− 37.90%)
% datos = 34.71%
a. 8.8 y 10.5
Dados: µ = 8.2; σ = 2.4; X 1 = 8.8; X 2 = 10.5
X1 − µ X2 − µ
z1 = z2 =
σ σ
8.8 − 8.2 10.5 − 8.2
z1 = z2 =
2.4 2.4
z1 = 0.25 z 2 = 0.96
%1 = 9.87% % 2 = 33.15%
% datos = % 2 − %1
% datos = 33.15% − (9.87%)
% datos = 23.28%
PROBLEMA 24.
2
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Un psicólogo interesado en la inteligencia de los niños ha desarrollado una
prueba estandarizada para seleccionar a los niños más “talentoso”. Los
puntajes de la prueba muestran una distribución normal, con µ = 75 y σ = 8.
Supongamos que a un niño talentoso se lo define como aquel que califica entre
1% superior de la distribución. ¿Cuál es el puntaje mínimo necesario para que
se considere que un niño es talentoso?:
Dados: µ = 75; σ = 8; % = 1%
% datos = 1%
1% = 0.01
z = 2.23
X− µ
z=
σ
X= zσ + µ
X = (2.33)(8) + (75)
X = 93.64
2. Del Capitulo 6 páginas 129 – 131, resuelva los problemas 14 y 17.
PROBLEMA 14.
Dados los siguientes conjuntos de parejas de datos muestrales:
A B C
X Y X Y X Y
1 1 4 2 1 5
4 2 5 4 4 4
7 3 8 5 7 3
10 4 9 1 10 2
13 5 10 4 13 1
a. Utilice la siguiente ecuación
r=∑ x y
z z
N−1
para calcular el valor de la r de Pearson que corresponde a cada conjunto.
Observe que en el conjunto B, en el cual la correlación es menor, algunos de
los valores z x z y son positivos y otros son negativos. Estos valores tienden a
cancelarse entre si, lo cual hace que r tenga una menor magnitud. En cambio,
en los conjuntos A y C todos los productos tienen el mismo signo, lo cual hace
que la magnitud de r aumente. Cuando las parejas de datos ocupan las mismas
posiciones o posiciones opuestas dentro de sus propias distribuciones, los
3
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productos z x z y tienen el mismo signo, a causa de lo cual las magnitudes
correspondientes a r son mayores.
Para A, calculamos los valores de X2 y Y2, y las sumatorias respectivas:
A
X Y X2 Y2
1 1 1 1
4 2 16 4
7 3 49 9
10 4 100 16
13 5 169 25
∑ 35 15 335 55
Calculamos la desviación estándar a partir de la suma de cuadrados para este
grupo de datos tanto para X como para Y
SC X = ∑ X 2 ( X)
- ∑
2
SCY = ∑ Y 2 ( Y)
- ∑
2
N N
SC X = 335 -
( 35) 2
SCY = 55 -
(15) 2
5 5
SC X = 90 SCY = 10
SC X SCY
sX = sY =
N−1 N−1
90 10
sX = sY =
4 4
s X = 4.74 sY = 1.58
A partir de s y de la media de X y Y, podemos determinar los valores para zx y
zY para cada dato muestral ( X =7; Y =3); y su producto:
X− X Y−Y
zX = zY =
sX sY
X− 7 Y−3
zX = zY =
4.74 1.58
A
X Y zx zy zxzy
1 1 -1,27 -1,27 1,61
4 2 -0,63 -0,63 0,40
7 3 0,00 0,00 0,00
10 4 0,63 0,63 0,40
13 5 1,27 1,27 1,61
∑ 35 15 4,02
Determinamos entonces la r de Pearson:
4
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r=∑ x y
z z
N−1
4.02
r=
4.00
r= 1
Para B, calculamos los valores de X2 y Y2, y las sumatorias respectivas:
B
X Y X2 Y2
4 2 16 4
5 4 25 16
8 5 64 25
9 1 81 1
10 4 100 16
∑ 36 16 286 62
Calculamos la desviación estándar a partir de la suma de cuadrados para este
grupo de datos tanto para X como para Y
∑ X 2 - (∑ X ) ∑ Y 2 - (∑ Y )
2 2
SC X = SCY =
N N
SC X = 286 -
( 36) 2
SCY = 62 -
(16) 2
5 5
SC X = 26.80 SCY = 10.8
SC X SCY
sX = sY =
N−1 N−1
26.80 10.8
sX = sY =
4 4
s X = 2.59 sY = 1.64
A partir de s y de la media de X y Y, podemos determinar los valores para zx y
zY para cada dato muestral ( X =7.2; Y =3.2); y su producto:
X− X Y−Y
zX = zY =
sX sY
X − 7 .2 Y − 3.2
zX = zY =
2.59 1.64
B
X Y zx zy zxzy
4 2 -1,24 -0,73 0,91
5 4 -0,85 0,49 -0,42
8 5 0,31 1,10 0,34
5
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9 1 0,69 -1,34 -0,92
10 4 1,08 0,49 0,53
∑ 36 16 0,44
Determinamos entonces la r de Pearson:
r=∑ x y
z z
N−1
0.44
r=
4.00
r = 0.11
Para C, calculamos los valores de X2 y Y2, y las sumatorias respectivas:
C
X Y X2 Y2
1 5 1 25
4 4 16 16
7 3 49 9
10 2 100 4
13 1 169 1
∑ 35 15 335 55
Calculamos la desviación estándar a partir de la suma de cuadrados para este
grupo de datos tanto para X como para Y
SC X = ∑ X 2 ( X)
- ∑
2
SCY = ∑ Y 2 ( Y)
- ∑
2
N N
SC X = 335 -
( 35) 2
SCY = 55 -
(15) 2
5 5
SC X = 90 SCY = 10
SC X SCY
sX = sY =
N−1 N−1
90 10
sX = sY =
4 4
s X = 4.74 sY = 1.58
A partir de s y de la media de X y Y, podemos determinar los valores para zx y
zY para cada dato muestral ( X =7; Y =3); y su producto:
X− X Y−Y
zX = zY =
sX sY
X− 7 Y−3
zX = zY =
4.74 1.58
6
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C
X Y zx zy zxzy
1 5 -1,27 1,27 -1,61
4 4 -0,63 0,63 -0,40
7 3 0,00 0,00 0,00
10 2 0,63 -0,63 -0,40
13 1 1,27 -1,27 -1,61
∑ 35 15 -4,02
Determinamos entonces la r de Pearson:
r=∑ x y
z z
N−1
− 4.02
r=
4.00
r = -1
b. Calcule r para el conjunto B, utilizando la ecuación para los datos en bruto.
¿Qué prefiere, utilizar la ecuación de los datos en bruto o la de los puntajes z?
Hallamos los valores de los cuadrados y el producto de XY según la siguiente
tabla:
B
X Y X2 Y2 XY
1 1 1 1 1
4 2 16 4 8
7 3 49 9 21
10 4 100 16 40
13 5 169 25 65
∑ 35 15 335 55 135
Utilizamos la ecuación de datos en bruto para hallar r:
( ∑ X )( ∑ Y )
∑ XY - N
r=
∑ X −
( ∑ X ) 2 ( ∑ Y ) 2
2
2
N
∑Y − N
135 −
( 35)(15)
5
r=
335 −
( 35) 55 − (15) 2
2
5 5
r= 1
7
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La ecuación de los datos en bruto es mucho más fácil de aplicar además de
que simplifica los cálculos así que es la que prefiero más
c. Sume la constante 5 a los datos X en el conjunto A y calcule r de nuevo
mediante la ecuación de los datos en bruto. ¿Se ha modificado?
Dados los datos:
A
X Y X2 Y2 XY
(1+5)=6 1 36 1 6
(4+5)=9 2 81 4 18
(7+5)=12 3 144 9 36
(10+5)=15 4 225 16 60
(13+5)=18 5 324 25 90
∑ 60 15 810 55 210
Calculamos r:
( ∑ X )( ∑ Y )
∑ XY -
N
r=
∑ X 2 −
(∑ X ) 2
∑ Y − 2
( ∑ Y ) 2
N N
210 −
( 60)(15)
5
r=
810 −
( 60) 2 55 − (15) 2
5 5
r= 1
El valor de r no ha sido modificado por la suma de un valor n.
d. Multiplique los datos X del conjunto A por 5 y calcule r de ¿Ha cambiado el
valor?
A
X Y X2 Y2 XY
(1x5)=5 1 25 1 5
(4x5)=20 2 400 4 40
(7x5)=35 3 1225 9 105
(10x5)=50 4 2500 16 200
(13x5)=65 5 4225 25 325
∑ 175 15 8375 55 675
Calculamos r:
8
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( ∑ X )( ∑ Y )
∑ XY -
N
r=
∑ X 2 −
(∑ X ) 2
∑ Y −
2
( ∑ Y ) 2
N N
675 −
(175)(15)
5
r=
(175) 55 − (15) 2
2
8375 −
5 5
r= 1
El valor de r no ha sido modificado por la multiplicación de un valor n.
e. Generalice los resultados obtenidos en las partes c y d, para restar y hacer
la división de los datos entre una constante. ¿Qué le indica esto acerca de r?
• Si al valor de los datos en X de pares (X, Y) se le suma una constante n, el
valor de la r de Pearson no se modifica.
• Si al valor de los datos en X de pares (X, Y) se le multiplica por una
constante n, el valor de la r de Pearson no se modifica.
Generalizando para la resta y la división:
• Si al valor de los datos en X de pares (X, Y) se le resta una constante n, el
valor de la r de Pearson no se modifica.
• Si al valor de los datos en X de pares (X, Y) se le divide por una constante n,
el valor de la r de Pearson no se modifica.
* Lo anterior indica que el coeficiente de correlación r de Pearson es un dato de
una alta confiabilidad y fiabilidad.
PROBLEMA 17.
Un investigador realiza un estudio para averiguar la relación entre el consumo
de cigarrillos y las enfermedades. El número de cigarrillos fumados diariamente
y el número de días de ausencia al trabajo a causa de enfermedad durante el
último año son calculados en el caso de 12 empleados de la compañía donde
trabaja el investigador. Los datos se presentan en la tabla anexa.
Cigarrillos
Sujeto consumidos Días de ausencia
1 0 1
2 0 3
3 0 8
4 10 10
9
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5 13 4
6 20 14
7 27 5
8 35 6
9 35 12
10 44 16
11 53 10
12 60 16
:
a. Haga una gráfica de dispersión para estos datos. ¿Le parece que la relación
es lineal?
GRAFICA PROBLEMA 17
18
16
14
12
Dias de ausencia
10
8
6
4
2
0
0 10 20 30 40 50 60 70
Cigarrillos consumidos
SI es una relación lineal.
b. Determine el valor de la r de Pearson
Dados los datos:
PROBLEMA 17 b
Cigarrillos
consumidos X Días de ausencia Y X2 Y2 XY
0 1 0 1 0
0 3 0 9 0
0 8 0 64 0
10 10 100 100 100
13 4 169 16 52
20 14 400 196 280
27 5 729 25 135
10
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35 6 1225 36 210
35 12 1225 144 420
44 16 1936 256 704
53 10 2809 100 530
60 16 3600 256 960
297 105 12193 1203 3391
Determinamos r:
( ∑ X )( ∑ Y )
∑ XY -
N
r=
∑ X 2 −
(∑ X ) 2
∑ Y −
2
( ∑ Y ) 2
N N
3391 −
( 297 )(105)
12
r=
( 297 ) 1203 − (105) 2
2
12193 −
12 12
r = 0.68
c. Elimine los datos de los sujetos 1, 2,3, 10, 11, y 12. Esto reduce el rango de
ambas variables. Vuelva a calcular r para los sujetos restantes. ¿Qué efecto
tiene la disminución del rango sobre r?
Dados los datos:
PROBLEMA 17 c
Cigarrillos consumidos Días de ausencia
X Y X2 Y2 XY
10 10 100 100 100
13 4 169 16 52
20 14 400 196 280
27 5 729 25 135
35 6 1225 36 210
35 12 1225 144 420
140 51 3848 517 1197
Determinamos r:
( ∑ X )( ∑ Y )
∑ XY -
N
r=
∑ X 2 −
(∑ X ) 2
∑ Y2 −
(∑ Y ) 2
N N
11
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1197 −
(140)( 51)
6
r=
3848 −
(140) 2 517 − ( 51) 2
6 6
r = 0.032
*El valor de la correlación ha disminuido al reducir el número de datos.
d. Al utilizar todo el conjunto de datos, ¿Qué porcentaje de la variabilidad en el
numero de días de ausencia es explicado por la cantidad de cigarrillos fumados
diariamente?¿Para que sirve ese valor?
Si r = 0.68
La variabilidad explicada es:
Coeficiente de determinación = r2 = (0.68)2 = 0.4624 ≈ 46.24%
*Esto significa que 46.24% de la variabilidad en el numero de días de ausencia
puede ser explicado por la cantidad de cigarrillos fumados diariamente. En
otras palabras la cantidad de cigarrillos fumados por dia explica 46.24% de la
ausencia en el trabajo para este caso, y que el 53.76% restante debe ser
explicados por otros factores.
2. Del Capitulo 7 páginas 156 – 157, resuelva los problemas 10, 13 Y 14.
PROBLEMA 10.
Un psicólogo clínico se interesa en estudiar la relación entre el nivel de
testosterona de los hombres casados y la calidad de su relación marital.
Entonces se realiza un estudio en el cual se miden los niveles de testosterona
de 8 hombres casados. Los 8 hombres responden tambien un cuestionario por
escrito y estandarizado que permite evaluar la calidad de su relación marital. La
escala del cuestionario es de 0 a 25, correspondiendo las cifras más altas a las
mejores relaciones. Los datos acerca de la testosterona están expresados en
nanomoles por litro de suero. Los datos se representan a continuación:
Numero del sujeto 1 2 3 4 5 6 7 8
Puntaje de la
relación 24 15 15 10 19 11 20 19
Nivel de
testosterona 12 13 19 25 9 16 15 21
a. En una hoja de papel para graficar (“milimétrico”), elabore una grafica de
dispersión de los datos. Use el nivel de testosterona como variable X.
12
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13
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b. Describa la relación que se aprecia en la gráfica.
*La relación es imperfecta, negativa y lineal
c. Calcule el valor de la r de Pearson.
Dados los datos
PROBLEMA 10
Puntaje de la
Nivel de testosterona X relación Y X2 Y2 XY
12 24 144 576 288
13 15 169 225 195
19 15 361 225 285
25 10 625 100 250
9 19 81 361 171
16 11 256 121 176
15 20 225 400 300
21 19 441 361 399
130 133 2302 2369 2064
Determinamos r:
( ∑ X )( ∑ Y )
∑ XY -
N
r=
∑ X 2 −
(∑ X )
2
∑ Y −
2
( ∑ Y ) 2
N N
2064 −
(130)(133)
8
r=
2302 −
(130) 2369 − (133) 2
2
8 8
r = -0.56
d. Determine la recta de regresión por mínimos cuadrados para predecir el
puntaje de la relación a partir del nivel de testosterona. ¿Cree usted que b y
debe ser positivo o negativo? ¿Por qué?
* b y debe ser negativo pues representa a la pendiente de la recta que tiene
sentido negativo.
Y ′ = by X + a y
Donde:
14
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( ∑ X )( ∑ Y )
∑ XY −
N
by =
(∑ X ) 2
∑ X2 −
N
2064 −
(130)(133)
by = 8
2302 −
(130) 2
8
b y = − 0.513
Puesto que X = 16.25; y Y = 16.625:
a y = Y − by X
a y = 16.625 − (− 0.513)(16.25)
a y = 24.964
Reemplazando valores obtenemos:
Y ′ = − 0.513 X + 24.964
e. Dibuje la recta de regresión por mínimos cuadrados obtenida en d sobre la
grafica de dispersión obtenida en a.
Dados los datos
X Y
0 24,96
5 23,40
10 19,83
15 17,27
20 14,70
25 12,13
f. Tomando como base los datos de los 8 hombres, ¿Qué puntaje podría usted
predecir para la relación de un hombre cuyo nivel de testosterona es de 23
nanomoles por litro de suero?
Y ′ = − 0.513 X + 24.964
Si X = 23: Y ′ = − 0.513( 23) + 24.964
Y ′ = 13.16 (puntaje de satisfacción predicho)
PROBLEMA 13.
El gerente de ventas de una gran tienda de artículos deportivos ha iniciado una
campaña de publicidad a nivel nacional. Además, ha llevado un registro de los
15
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costos mensuales de la publicidad y las ganancias mensuales, los cuales se
presentan aquí. Los datos están en miles de dólares.
Mes Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul.
Costo men.
de la 10,0 14,0 11,4 15,6 16,8 11,2 13,2
publicidad
Ganancia 125 200 160 150 210 110 125
mensual
a. Suponiendo que exista una relación lineal, obtenga la recta de regresión por
mínimos cuadrados para predecir las ganancias mensuales a partir de los
costos mensuales de publicidad.
Dados los datos
PROBLEMA 13
Costo publicidad Ganancia
X mensual Y X2 XY
10,0 125 100,00 1250
14,0 200 196,00 2800
11,4 160 129,96 1824
15,6 150 243,36 2340
16,8 210 282,24 3528
11,2 110 125,44 1232
13,2 125 174,24 1650
92,2 1080 1251,24 14624
Obtenemos:
( ∑ X )( ∑ Y )
∑ XY −
N
by =
(∑ X ) 2
∑ X2 −
N
14624 −
( 92.2)(1080)
by = 7
1251.24 −
( 92.2) 2
7
b y = 10.83
Puesto que X = 13.17; y Y = 154.29:
a y = Y − by X
a y = 154.29 − (10.83)(13.17)
a y = 11.66
Reemplazando valores obtenemos:
Y ′ = 10.83 X + 11.66
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b. En Agosto, el gerente planea invertir $ 17.000 en publicidad, con base en
estos datos, ¿Cuál es la ganancia esperada ese mes (redondeada a miles de
dólares)?
Y ′ = 10.83 X + 11.66
Si X = 17.0: Y ′ = 10.83(17.0) + 11.66
Y ′ = 195.77 ≈ 196.00
Y ′ = 196.000 (ganancia esperada)
c. Dada la relación que presentan las parejas de datos, ¿Podría pensar en
alguna razon por la cual el gerente no quisiera gastar mucho dinero en
publicidad?
*Tiene una relación que puede predecir dentro de ciertos parámetros y solo
dentro de estos, si invirtiera mas dinero en publicidad la relación que se lograría
con la recta de regresión que tiene al momento, podría no ser la misma y por lo
tanto no retribuir ganancias e incluso podrían producirse perdidas.
PROBLEMA 14.
En un articulo reciente de un periódico se informo que “entre los entrenadores
de la NBA existe una fuerte correlación entre la continuidad y el éxito”. El
artículo se baso en los siguientes datos:
Antigüedad
como Record 1996-
entrenador del 1997 (% de
mismo equipo juegos
Entrenador, equipo (años) ganados)
Jerry Sloan, Utah 9 79
Phill Jackson,
Chicago 8 84
Rudy Tomjanovich,
Houston 6 70
George Karl, Seattle 6 70
Lenny Wilkens,
Atlanta 4 68
Mike Fratello,
Cleveland 4 51
Larry Brown, Indiana 4 48
a. ¿Es verdad lo que dice el articulo acerca de la fuerte correlación que existe
entre la continuidad y el éxito en el caso de los entrenadores de la NBA?
Determinamos la r de Pearson para hallar la correlación:
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Dados:
Antigüedad
como Record
entrenador 1996-1997
del mismo (% de
equipo juegos
(años) ganados)
X Y X2 Y2 XY
9 79 81 6241 711
8 84 64 7056 672
6 70 36 4900 420
6 70 36 4900 420
4 68 16 4624 272
4 51 16 2601 204
4 48 16 2304 192
41 470 265 32626 2891
Calculamos:
( ∑ X )( ∑ Y )
∑ XY -
N
r=
∑ X 2 −
(∑ X )
2
∑ Y −
2
( ∑ Y ) 2
N N
2891 −
( 41)( 470)
7
r=
265 −
( 41) 32626 − ( 470) 2
2
7 7
r = 0.85
*Existe una alta correlacion entre la continuidad de un entrenador y los partidos
ganados como lo muestra el coeficiente de correlación.
b. Obtenga la recta de regresión por mínimos cuadrados para predecir el éxito
(% de juegos ganados) a partir de la antigüedad.
Determinamos:
( ∑ X )( ∑ Y )
∑ XY −
N
by =
(∑ X ) 2
∑ X2 −
N
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2891 −
( 41)( 470)
by = 7
275 −
( 41) 2
7
b y = 5.56
Puesto que X = 5.86; y Y = 67.14:
a y = Y − by X
a y = 67.14 − (5.56)(5.86)
a y = 34.56
Reemplazando valores obtenemos:
Y ′ = 5.56 X + 34.56
c. Tomando como base su respuesta obtenida en b, ¿Qué “% de juegos
ganados” podría usted predecir para un entrenador de la NBA que tiene 7 años
de “antigüedad” con el mismo equipo?
Dado Y ′ = 5.56 X + 34.56
Si X = 7 Y ′ = 5.56(7) + 34.56
Y ′ = 73.48% (juegos ganados predichos)
BIBLIOGRAFIA:
PAGANO, ROBERT R.; “Estadística, Para las ciencias del comportamiento”;
Internacional Thomson Editores S.A. de C.V., Litograf Nueva Época; 7ª.
Edición; México; 2006.
GUAJALA MACAS, MIRIAM ALEXANDRA; “Estadística I, Guía Didáctica”; Ed.
UTPL; Loja, Ecuador; 2009.
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