En este documento se explica de forma sencilla las tautologías fundamentales de Lógica Matemática.

1. Universidad Católica Redemptoris Maters
UNICA
I año Sabatino
Lógica y Teoría de Conjuntos
Catedrático: Lic. Francisco S. Hernández Mendoza. Carrera: Matemática.
Tautologías
Definición de Tautología: Una tautología es una proposición lógica que es verdadera en
todos los casos de su tabla de verdad.
Para probar que una proposición dada es una tautología deberemos construir su
correspondiente tabla de verdad y observar que en su última columna (en donde se
representa a dicha proposición) solamente contenga valores de verdad que sean verdaderos.
En el caso que aparezca aunque sea solo un valor de verdad falso (y el resto de valores
verdaderos), o aparezcan en la tabla valores de verdad verdaderos y falsos, diremos que la
proposición lógica es una Contingencia. En cambio, si todos los valores de verdad de la
última columna son falsos, se dice que la proposición dada es una Contradicción.
Ejemplo #1: Demuestre mediante una tabla de verdad que p ↔ ( p ∨ p ) es una tautología.
Solución: Construimos la tabla de verdad correspondiente:
p p∨ p p ↔ ( p ∨ p)
V V V
F F V
Y Observamos los valores de verdad que se obtuvieron en la última columna de la tabla,
resultó que todos los valores de verdad son verdaderos, entonces, decimos que la
proposición p ↔ ( p ∨ p ) es una tautología.
Leyes Fundamentales de la Lógica
Principios Lógicos: La lógica simbólica al igual que otras ramas de la matemática consta
de principios y leyes que la rigen, a saber:
Principio de Contradicción: Una proposición y su negación correspondiente no pueden
ser a la vez verdaderas, es decir:
¬( p ∧ ¬ p)
La comprobación de que este principio lógico es una tautología se deja al estudiante.
Ejemplo #2: No es posible que a la vez un número natural sea múltiplo de dos o no lo sea.
Es decir: ¬ [ ( x = 2n ) ∧ ( x ≠ 2n ) ]

2. Principio de Exclusión de Tercero: Una proposición lógica, únicamente puede ser
verdadera o falsa, no ambas cosas a la vez, o sea:
p∨¬ p
La demostración de que esta proposición lógica es una tautología se deja como ejercicio al
estudiante.
Ejemplo #3: Un número natural es par o no es par.
Principio de Identidad: Es un principio elemental, que dice: Toda proposición lógica es
equivalente a si misma.
p↔ p
Esta es una tautología que se considera trivial, y su demostración también se le deja como
ejercicio al estudiante.
Leyes Lógicas Importantes para las Matemáticas
Todas y cada una de estas leyes lógicas se demuestran fácilmente mediante la construcción
de sus respectivas tablas de verdad, las cuales no se harán debido a que no representan el
objetivo central que se pretende alcanzar al estudiar este tema. El objetivo que se persigue
al estudiar las leyes fundamentales de la lógica es él de familiarizar a los educandos con las
dichas leyes.
Ley Conmutativa: ( p ∧ q) ↔ ( q ∧ p)
( p ∨ q) ↔ ( q ∨ p)
Ley de Idempotencia: ( p ∧ p ) ↔ p
Ley de la Absorción: [ p ∧ ( p ∨ q)] ↔ p
[ p ∨ ( p ∧ q)] ↔ p
Ley Asociativa: [ p ∧ ( q ∧ r )] ↔ [( p ∧ q) ∧ r]
[ p ∨ ( q ∨ r )] ↔ [( p ∨ q) ∨ r]
Ley Distributiva: [ p ∧ ( q ∨ r )] ↔ [( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r )]
[ p ∨ ( q ∧ r )] ↔ [( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r )]
Ley Transitiva: [( p → q) ∧ ( q → r ) ] ↔ ( p → r )
Ley de Contraposición de la Implicación o Transposición: ( p → q ) ↔ ( ¬ q → ¬ p )
Esta ley tiene una gran aplicación en matemáticas, porque en muchos casos será más fácil
demostrar ( ¬ q → ¬ p ) que demostrar ( p → q ) .

3. Ejemplo #4: Es más fácil probar que “si un número es impar entonces no es múltiplo de
dos”, que probar que “si un número es múltiplo de dos entonces es par”.
Demostración Indirecta: [ ( ¬ p → q ) ∧ ¬ q] → p
Esta ley se expresa en la forma siguiente: “si no diera una circunstancia, tendría que darse
un determinado efecto; es así que ese efecto no se da, luego es que se da la circunstancia”.
Otras Leyes Lógicas Importantes
Otras leyes lógicas que merecen nuestra atención, dado la relevancia que estas tienen en el
estudio de las matemáticas, son las siguientes:
Ley de la Transposición: ( p → q ) ↔ ( ¬ p ∨ q )
Esta ley se le conoce también con el nombre de Definición de Implicación Material, la cual
nos dice como se transforma una implicación de proposiciones en una disyunción de
proposiciones con el antecedente modificado o negado.
Leyes de Morgan: 1ª. ¬ ( p ∨ q ) ↔ ( ¬ p ∧ ¬ q )
2ª. ¬ ( p ∧ q ) ↔ ( ¬ p ∨ ¬ q )
3ª. ( p ∨ q ) ↔ ¬ ( ¬ p ∧ ¬ q )
4ª. ( p ∧ q ) ↔ ¬ ( ¬ p ∨ ¬ q )
Razonamiento Directo o Modus Ponendo Ponens: [ ( p → q ) ∧ p ] → q
Esta ley lógica también se le conoce con los nombre de Modus Ponens, Ley de la
Separación, o Razonamiento de Suposición del antecedente.
En general esta ley afirma que, si se da una implicación y su antecedente, se dará también
el consecuente. Dicho de otra manera, si se acepta una condicional y se constata que su
antecedente es verdadero, se concluye o deduce que el consecuente es también verdadero.
Ejemplo #5: “Si dos círculos tienen un mismo centro, entonces los círculos son
concéntricos. Y tienen el mismo centro. Luego, los círculos dados son concéntricos”.
Razonamiento Indirecto o Modus Tollendo Tollens: [ ( p → q ) ∧ ¬ q ] → ¬ p
Esta ley también se le llama Modus Tollens o Razonamiento de Negación del consecuente.
En general esta ley nos dice que, si se da una condicional y la negación de su consecuente,
se puede concluir la negación de su antecedente. En otras palabras, si se acepta una
condicional y se comprueba que su consecuente es falso, se infiere que su antecedente
también es falso.

4. Ejemplo #6: “Si dos rectas coplanares son paralelas, entonces no tienen un punto en
común. Y las rectas coplanares tienen un punto en común. Luego se concluye que las rectas
coplanares no son paralelas”.
Una variante que presenta la ley del razonamiento indirecto, es: [ ( p ∨ q ) ∧ ¬ q ] → p
Note que, si se da una disyunción y la negación de una de sus proposiciones componentes,
entonces se puede afirmar que se cumple la proposición que no ha sido modificada. A esta
variante de la ley modus tollendo tollens se le llama en filosofía Silogismo Disyuntivo.
Modus Ponendo Tollens: [( p q ) ∧ p ] → ¬ q
Observe que esta ley lógica incluye el operador o conectivo “Raya de Sheffer”, y dado que
no estamos muy familiarizados con este functor, conviene estudiar su significado y
construir su tabla de verdad, para que luego probemos la veracidad de la ley modus
ponendo tollens mediante su respectiva tabla de verdad.
La Raya de Sheffer es el functor de la exclusión, y se le llama Exclusor, se simboliza
mediante que se lee “excluye”. Su sentido es: “a lo más una; no las dos”.
Dado que el conectivo exclusor es la negación de la conjunción, entonces solo será falsa en
que el caso de que ambas proposiciones componentes sean verdaderas, es decir:
p q p q
V V F
V F V
F V V
F F V
Así la tabla de verdad que corresponde a ley lógica modus ponendo tollens
[( p q ) ∧ p ] → ¬ q , es:
p q ¬q p q ( p q)∧ p [( p q ) ∧ p ] → ¬ q
V V F F F V
V F V V V V
F V F V F V
F F V V F V

5. Inferencias Fundamentales más Usadas
Modus Ponendo Ponens: [ ( p → q ) ∧ p ] → q
Modus Tollendo Tollens: [ ( p → q ) ∧ ¬ q ] → ¬ p
Doble Negación: p ↔ ¬ ( ¬ p )
Tautología: p ↔ ( p ∨ p )
Simplificación: ( p ∧ q ) → p
( p ∧ q) → q
Adición o Alargamiento Disyuntivo: p → ( p ∨ q)
Definición de Implicación Material: ( p → q ) ↔ ( ¬ p ∨ q )
Definición de Equivalencia Material: ( p ↔ q ) ↔ [ ( p → q ) ∧ ( q → p ) ]
( p ↔ q) ↔ [( p ∧ q) ∨ ( ¬ p ∧ ¬ q)]
Silogismo Hipotético: [ ( p → q ) ∧ ( q → r ) ] ↔ ( p → r )
Silogismo Disyuntivo: [ ( p ∨ q ) ∧ ¬ q ] → p
Ley Conmutativa: ( p ∧ q ) ↔ ( q ∧ p )
( p ∨ q) ↔ ( q ∨ p)
Ley Asociativa: [ p ∧ ( q ∧ r ) ] ↔ [ ( p ∧ q ) ∧ r ]
[ p ∨ ( q ∨ r )] ↔ [( p ∨ q) ∨ r]
Ley Distributiva: [ p ∧ ( q ∨ r ) ] ↔ [ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) ]
[ p ∨ ( q ∧ r )] ↔ [( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r )]
Leyes de Morgan: ¬ ( p ∨ q) ↔ ( ¬ p ∧ ¬ q)
¬ ( p ∧ q) ↔ ( ¬ p ∨ ¬ q)
Dilema Constructivo: { [ ( p → q) ∧ ( r → s) ] ∧ ( p ∨ r )} → ( q ∨ s)
[( p → r ) ∧ ( q → r ) ] → [( p ∨ q) → r]
[( p → r) ∧ ( ¬ p → r)] → r

6. Dilema Destructivo: { [ ( p → q) ∧ ( r → s) ] ∧ ( ¬ q ∨ ¬ s)} → ( ¬ p ∨ ¬ r )
( ¬ q ∧ ¬ r ) → { [ p → ( q ∨ r ) ] → ¬ p}
{[ p → ( q ∧ r ) ] ∧ ( ¬ q ∧ ¬ r )} → ¬ p
Ley de Transposición o Contrarrecíproco: ( p → q ) ↔ ( ¬ q → ¬ p )
Ley de Exportación: [ ( p ∧ q) → r ] ↔ [ p → ( q → r ) ]
Ley de la Reducción: [ p ∨ ( p ∧ q ) ] ↔ p
[ p ∧ ( p ∨ q)] ↔ p
Ley de Reducción al Absurdo: ( p → ¬ p ) → ¬ p
( p ∧ ¬ p) → ¬ p
Ejemplo #7: Hagamos entonces la prueba mediante reducción al absurdo de que “si un
número es impar entonces no es múltiplo de dos”:
Si “ m ” es un número impar, entonces se puede escribir de la siguiente manera: m = 2n + 1
, donde n ∈ Z , n ≥0. Es decir todo número impar se obtiene de la suma de un múltiplo de
dos aumentado en uno (o disminuido en uno).
Supongamos que “ m ” es múltiplo de dos, entonces dos lo divide exactamente, es decir
m = 2n + 1 = n + 1 , inmediatamente se observa que la división no es exacta, por lo
2 2 2 2
que caemos en una contradicción, por lo que concluimos que un número impar no es
múltiplo de dos.
Nota: Observe que cuando se emplea la ley lógica reducción al absurdo para la
demostración de una proposición matemática, se asume como verdadera la negación de la
conclusión, y esto nos conduce a una contradicción, así la demostración concluye usando la
ley de la doble negación, es decir, volvemos a negar lo supuesto.
Ejercicios relacionados a las Leyes Lógicas
Ejercicios #1.
Los estudiantes pasan álgebra porque han estudiado álgebra.
Los estudiantes aplicados nunca faltan a clases de álgebra.
Los estudiantes desaplicados no estudian.
Si Jaime faltó a clase de álgebra este año,¿pasará el examen de álgebra?

7. Solución:
Sean las proposiciones:
p: Estudiantes que estudian álgebra.
q: Estudiantes que pasan el examen de álgebra.
R: Estudiantes aplicados.
s: Estudiantes que faltan a clases.
Dado que:
p→ q
r → ¬s
¬r → ¬p
Ahora veamos la situación de Jaime, empleando algunas leyes de la lógica:
s → ¬ r ; Por la ley del contrarrecíproco.
¬ r → ¬ p ; Hipótesis
s → ¬ p ; Por la ley de transitiva
¬ p → ¬ q ; Inversa de una condicional
Conclusión: s → ¬ q (Ley transitiva). Por lo tanto: Si Jaime es un estudiante que falta a la
clase de álgebra, entonces no pasará el examen de álgebra.
Ejercicio #2: Dos trabajadores, uno viejo y otro joven, viven en el mismo edificio y
trabajan en la misma empresa. El joven va desde el edificio a la empresa en 20 minutos; el
viejo en 30 minutos. ¿En cuántos minutos alcanzará el joven al viejo si éste sale del edificio
5 minutos antes que el joven?
Solución: Resolvamos la situación planteada mediante razonamiento deductivo:
Dado que:
El joven emplea 20 minutos en trasladarse del edificio a la empresa, significa que cada 1/4
de su recorrido lo hace en 5 minutos.
Como el viejo emplea 30 minutos en trasladarse del edificio a la empresa, significa que
cada 1/6 de su recorrido lo hace en 5 minutos.
Ahora veamos que pasa a continuación:
Si el viejo sale 5 minutos antes de que el joven salga, entonces el viejo lleva recorrido 1/6
de su trayecto a la empresa, mientras que el joven se encuentra aún el edificio.
Si transcurren otros 5 minutos el viejo lleva recorrido 2/6 de su trayecto a la empresa,
mientras que el joven lleva recorrido 1/4 de su trayecto.
Si transcurren otros 5 minutos el viejo lleva recorrido 3/6 = 1/2 de su trayecto, y el joven
llevará 2/4 = 1/2 de su camino a la empresa, por lo que se concluye que el joven alcanza al

8. viejo los 10 minutos que de haber salido del edificio, o los 15 minutos después de que salió
el viejo del edificio.
Nota: Trate de resolver este ejercicio de otra manera, razonando de forma lógica cada paso
que emplee en su estrategia de resolución.
Ejercicio #3: Demuestre mediante reducción al absurdo que:
“La suma de dos números enteros pares es par”.
Solución:
Sean x = 2k , y = 2m , dos números enteros pares, con k , m ∈Z .
Supongamos que x + y = 2n + 1 = 2k + 2m = 2(k + m)
El resultado de la suma nos conduce a una contradicción, pues afirma que el número x + y ,
es al mismo tiempo par e impar. Por lo que queda demostrado que la suma de dos números
pares siempre será par.
Ejercicio #4: Usando la ley de la transitividad o cadena de implicaciones demuestre que: si
22
-5 < -2, entonces 2 <1.
5
Solución:
Supongamos que:
Si -5 < -2, entonces 2 2 < 5 2
22
Si 2 2 < 5 2 , entonces 2 <1
5
22
Conclusión: Si -5 < -2, entonces <1
52
Ejercicios Propuestos
Ejercicio #1:
Los estudiantes que tienen el texto de álgebra estudian bastante.
Los estudiantes que sacan buenas notas nunca pierden álgebra.
Los estudiantes que no sacan buenas notas no estudian.
Paola pierde álgebra. ¿Paola tendrá el texto de álgebra? Sol: Paola no tiene el texto.
Ejercicio #2: A un aficionado a la lógica matemática le preguntaron cuántos años tenía. La
contestación que dio fue bastante compleja:
“Tomad tres veces los años que tendré dentro de tres años, restadles tres veces las años que
tenía hace tres años y resultará exactamente los años que tengo ahora”
¿Cuántos años tiene el aficionado a la lógica matemática? Sol: 18 años.
Ejercicio #3:

9. Carlos, Elizabeth y Sofía son o alumnos de noveno o de décimo.
Carlos y Elizabeth están en el mismo curso. Carlos y Sofía están en distinto curso.
Si Sofía es alumna de décimo, Elizabeth también lo es.
¿En qué curso se encuentran Carlos, Elizabeth y Sofía?
Sol: Carlos y Elizabeth son alumnos de décimo, Sofía de noveno.
Ejercicio #4: Nos dan las siguientes proposiciones:
Los perros que tienen las orejas largas tienen la cola corta.
A los perros que persiguen a los conejos nunca les da rabia.
Los perros que no persiguen a los conejos tienen la cola larga.
Tarzán es un perro.
Si Tarzán murió de rabia, ¿Cómo tenía las orejas? Sol: Tarzán tenía las orejas cortas.
Ejercicio #5: Demuestre mediante reducción al absurdo las siguientes proposiciones
matemáticas:
a. Sean a ∈Z y b ∈Z , si a es par y b es impar, entonces a.b es par.
b. “La raíz cuadrada de un número real negativo no existe”.
c. Si a = 1 , entonces a −1 = 1
d. “El cero no tiene inverso multiplicativo”.
Ejercicio #6: Una bacteria es introducida en un recipiente de vidrio a la 1:00 p.m. y se
observa que por cada segundo que pasa el número de bacterias se duplica; si el recipiente se
llena a las 2:00 p.m., ¿A qué hora estaba lleno hasta la mitad?
Ejercicios #7: Suponga que una escalera tiene 100 escalones, y que cada uno mide un
centímetro de ancho y un centímetro de altura. Si una hormiga empieza desde abajo del
primer escalón y sube la escalera. ¿Qué distancia habrá recorrido la hormiga al llegar a la
parte más alta del último escalón?
Nota: Los ejercicios propuestos en el folleto de Lógica que corresponden al capitulo #5,
paginas # 40 y # 41, tienen como finalidad que los estudiantes expliquen con sus propias
palabras el significado de cada ley, así como la elaboración de las tablas de verdad que
corresponden a algunas de ellas, pero principalmente que sepan identificarlas.
Bibliografía Consultada:
Introducción a la Lógica; Karl J. Smith; Grupo Editorial Iberoamericana.
Iniciación al Lógica Formal Simbólica; D. Gutiérrez Ramos; Editorial C.E.C.S.A.
Matemáticas con Tecnología Aplicada #9; Benjamín P. Rodríguez, Mónica S. Dimaté, Luis
P. Beltrán; Editorial Prentice Hall.

10. Carlos, Elizabeth y Sofía son o alumnos de noveno o de décimo.
Carlos y Elizabeth están en el mismo curso. Carlos y Sofía están en distinto curso.
Si Sofía es alumna de décimo, Elizabeth también lo es.
¿En qué curso se encuentran Carlos, Elizabeth y Sofía?
Sol: Carlos y Elizabeth son alumnos de décimo, Sofía de noveno.
Ejercicio #4: Nos dan las siguientes proposiciones:
Los perros que tienen las orejas largas tienen la cola corta.
A los perros que persiguen a los conejos nunca les da rabia.
Los perros que no persiguen a los conejos tienen la cola larga.
Tarzán es un perro.
Si Tarzán murió de rabia, ¿Cómo tenía las orejas? Sol: Tarzán tenía las orejas cortas.
Ejercicio #5: Demuestre mediante reducción al absurdo las siguientes proposiciones
matemáticas:
a. Sean a ∈Z y b ∈Z , si a es par y b es impar, entonces a.b es par.
b. “La raíz cuadrada de un número real negativo no existe”.
c. Si a = 1 , entonces a −1 = 1
d. “El cero no tiene inverso multiplicativo”.
Ejercicio #6: Una bacteria es introducida en un recipiente de vidrio a la 1:00 p.m. y se
observa que por cada segundo que pasa el número de bacterias se duplica; si el recipiente se
llena a las 2:00 p.m., ¿A qué hora estaba lleno hasta la mitad?
Ejercicios #7: Suponga que una escalera tiene 100 escalones, y que cada uno mide un
centímetro de ancho y un centímetro de altura. Si una hormiga empieza desde abajo del
primer escalón y sube la escalera. ¿Qué distancia habrá recorrido la hormiga al llegar a la
parte más alta del último escalón?
Nota: Los ejercicios propuestos en el folleto de Lógica que corresponden al capitulo #5,
paginas # 40 y # 41, tienen como finalidad que los estudiantes expliquen con sus propias
palabras el significado de cada ley, así como la elaboración de las tablas de verdad que
corresponden a algunas de ellas, pero principalmente que sepan identificarlas.
Bibliografía Consultada:
Introducción a la Lógica; Karl J. Smith; Grupo Editorial Iberoamericana.
Iniciación al Lógica Formal Simbólica; D. Gutiérrez Ramos; Editorial C.E.C.S.A.
Matemáticas con Tecnología Aplicada #9; Benjamín P. Rodríguez, Mónica S. Dimaté, Luis
P. Beltrán; Editorial Prentice Hall.