áreas, triángulos, circulo, trapacio,

1. ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES Y
CUADRANGULARES

2. Área de un triángulo
El área de la región triangular
es igual al semiproducto de la
longitud de la altura y la base
de dicho triángulo.
h
b
A = b x h
2
Ejemplo:
Calcula el área de la región
triangular mostrada.
18 m
15 m
Solución:
A = 18 x 15→ A = 135 𝒎 𝟐
2

3. a
c
A = a x c
2
El área de un triángulo
rectángulo es igual al
semiproducto de la longitud
de sus catetos.
a y c: catetos
Calcula el área de la región
triangular mostrada.
24 m
15 m
Solución:
A = 24 x 17→ A = 204 𝒎 𝟐
2
Ejemplo:
17 m
Área de un triángulo rectángulo

4. El área de un triángulo
equilátero de lado “l “está
dado por la expresión:
Área de un triángulo equilátero
l
A = l 𝟑
4
2
Calcula el área de la región
triangular mostrada.
Solución:
A = 12. 𝟑→ A = 36 𝟑𝐦 𝟐
4
Ejemplo:
12 m
2

5. Área de un triángulo (Fórmula trigonométrica)
b
A = a .b senθ
2
θ
Calcula el área de la región
triangular mostrada.
Solución:
A =15.20 sen37° → A = 90 𝐦 𝟐
2
Ejemplo:
20 m
37°

6. Área de un triángulo (Fórmula de Herón)
b
A = 𝒑(𝒑 − 𝒂)(𝒑 − 𝒃)(𝒑 − 𝒄)
Semiperímetro (p):
𝒑 = 𝒂+𝒃+𝒄
𝟐
Calcula el área de la región triangular
mostrada.
Ejemplo:
2
A =

7. Áreas de regiones cuadrangulares

8. Ejercicios
1. Calcula el área del triángulo
mostrado, si su altura mide 16 cm.
Solución:
h
b=5h/4
2
A
2

9. 3. El perímetro de rectángulo
mostrado es 80 cm, calcula su área.
Solución:
3a
5a
2
4. Si el área de un cuadrado es igual a
144 cm , determina su perímetro.
Solución:
2
L
L
L
L
2

10. 5. Calcula el área del trapecio
mostrado.
Solución:
h = 12 cm
b = 2h/3
a = 5h/2
2
6. Calcula el área del rombo mostrado.
Solución:
16 cm
20 cm
x
2

12. Es el conjunto de todos los puntos que se encuentran en un mismo
plano y equidistan de un mismo punto fijo denominado centro. A la
distancia constante de estos puntos al centro se denomina RADIO de la
circunferencia.
P
Q
T
S
R
R
R
O: Centro
OP=OQ=… Radio
CIRCUNFERENCIA
Donde:
R: Radio

13. A B
N
Recta
tangente
Recta
secante
Flecha o
sagita
Diámetro
AB( )
Centro

T

Punto de tangencia
Q

P
Radio
Arco BQ
Cuerda PQ
ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA

14. 
1. MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL: Es igual a la
medida del arco que se opone.
A
B
C
r
r
 = mAB


15. 
A
C
B
D
2. MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR: Es igual a la
semisuma de las medidas de los arcos opuestos
2
mAB mCD




16. 
A
B
C
3. MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO: Es igual a la mitad de la
medida del arco opuesto.
2
mAB
 

17. 
4. MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO: Es igual a la medida
del arco opuesto.
A
B
C
mAB
2
 

18. 
A
BC
5. MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO: Es igual a la mitad de la
medida del arco ABC.
mABC
2
 

19. 
A
B
C O
6. ÁNGULOS EXTERIORES:
a. Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes. Es igual a
la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.
 + mAB = 180°
mACB - mAB
2
 

20. 
A
B
C
O
b. Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra
secante. Es igual a la semidiferencia de las medidas de los
arcos opuestos.
mAB - mBC
2
 

21. 
A
B
C
O
D
c. Ángulo formado por dos rectas secantes. Es igual a la
semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.
mAB-mCD
2
 

22. TEOREMA DE PONCELET: En todo triángulo rectángulo, la
suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la
hipotenusa mas el doble del inradio.
a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r )
a
b
c
r
R R
Inradio
Circunradio

23. TEOREMA DE PITOT: En todo cuadrilátero circunscrito a una
circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados
opuestos son iguales.
a + c = b + d
d
a
b
c
Cuadrilátero circunscrito

24. ÁREA DE UN CÍRCULO
El área de la región circular o
círculo es igual al producto
del número 𝝅( 𝝅 ≈ 𝟑, 𝟏𝟒𝟏𝟔)
por el cuadrado de la
longitud del radio.
𝑨 𝒄í𝒓𝒄𝒖𝒍𝒐 = 𝝅𝑹 𝟐
R
ÁREA DE UNA CORONA
CIRCULAR
El área de una corona
circular es igual al producto
del número 𝝅y la diferencia
de cuadrados de los radios de
las circunferencias que la
limitan.
𝑨 𝒄𝒄 = 𝝅(𝑹 𝟐 − 𝒓 𝟐)
r
R

25. ÁREA DE UN SECTOR
CIRCULAR
El área de un sector circular
es igual al producto del área
del círculo correspondiente y
la razón entre las medidas
del ángulo central y 360 °.
𝑨 𝑺𝑪 = 𝝅𝑹 𝟐
𝜽
𝟑𝟔𝟎°
ÁREA DE UN TRAPECIO
CIRCULAR
El área de un trapecio
circular es igual al área de la
corona circular
correspondiente por la razón
entre las medidas del ángulo
central y 360 °.
𝑨 𝑻𝑪 = 𝝅(𝑹 𝟐 − 𝒓 𝟐)
𝜽
𝟑𝟔𝟎°
R
θ θ
r
R

26. ÁREA DE UN
SEGMENTO CIRCULAR
El área de un segmento circular
es igual a la diferencia de áreas
entre el sector circular
correspondiente y la región
triangular cuyos vértices son el
centro y los extremos de la
cuerda correspondiente al
segmento.
𝑨 𝑺𝒆𝒈𝑪 = 𝝅𝑹 𝟐
𝜽
𝟑𝟔𝟎°
−
𝑹 𝟐
𝟐
𝒔𝒆𝒏𝜽
LÚNULAS DE
HIPÓCRATES
O, D y E son centros.
A1, A2 y A3 son las áreas de las
regiones sombreadas.
Se cumple que:
𝑨 𝟏 + 𝑨 𝟐 = 𝑨 𝟑
θ
R

27. EJERCICIOS
1.Calcula el área del círculo
mostrado, si AT = 6 cm, TB = 9 cm,
además «T» es punto de tangencia.
O
r
A B
Solución:
Por relaciones métricas en un
triángulo rectángulo:
𝒓 𝟐
= 𝟔. 𝟗 → 𝒓 𝟐
= 𝟓𝟒
Luego, el área del círculo es:
𝑨 𝒄 = 𝝅𝒓 𝟐 → 𝑨 𝒄 = 𝟓𝟒𝝅 𝒄𝒎 𝟐
T6 9
2.Calcula el área de la corona
circular mostrada, si R + r = 16 cm, R
- r = 4 cm.
O
r
Solución:
De los datos:
R + r = 16
R – r = 4
Luego, el área del la corona circular
es:
𝑨 𝑪𝑪 = 𝝅(𝟏𝟎 𝟐−𝟔 𝟐) →
𝑨 = 𝟔𝟒𝝅 𝒄𝒎 𝟐
r
R
R = 10 y r = 6

28. 3.Calcula el área del círculo
mostrado, si AB = 4 cm, BC = 6 cm,
además «T» es punto de tangencia.
Solución:
Por propiedad:
OT ⊥ TA y OH ⊥BC
CH=HB=3
Tenemos que: R = 3 + 4 = 7
Luego, el área del círculo es:
𝑨 𝒄 = 𝝅. 𝟕 𝟐 → 𝑨 𝒄 = 𝟒𝟗𝝅 𝒄𝒎 𝟐
AT
B
C
R
R
3
3
6
4
HO
4.En la figura mostrada, calcula el
área del círculo inscrito, si AB = 9
cm, BC = 12 cm.
Solución:
Por el teorema de Pitágoras:
𝑨𝑪 𝟐
= 𝟗 𝟐
+ 𝟏𝟐 𝟐
→ 𝑨𝑪 = 𝟏𝟓
Por el teorema de Poncelet:
9 + 12 = 15 + 2R →R = 3
Luego, el área del círculo es:
𝑨 𝒄 = 𝝅. 𝟑 𝟐 → 𝑨 𝒄 = 𝟗𝝅 𝒄𝒎 𝟐
A
B
C
R

29. 5.En la figura mostrada, calcula el
área de la región sombreada si BC =
3 cm y AD = 10 cm, además «T» es
punto de tangencia y «O» es centro.
Solución:
CO y DO son bisectrices , entonces:
m∢COD = 90°
Por relaciones métricas en el
COD:
𝑹 𝟐
= 𝟑. 𝟏𝟎 → 𝑹 𝟐
= 𝟑𝟎
Luego, el área del semicírculo es:
𝑨 𝑹𝑺 =
𝝅. 𝟑𝟎
𝟐
→ 𝑨 𝑹𝑺 = 𝟏𝟓𝝅 𝒄𝒎 𝟐
A
B C
D
T
R
O
R
3
3
10
10
R
β
β
θ
θ
6.Calcula el área de la región
sombreada. (sen 80° = 0,98 ; 𝝅=
3,14)
Solución:
El área del segmento circular es:
𝑨 𝑺𝒆𝒈𝑪 = 𝝅. 𝟏𝟖 𝟐
𝟖𝟎°
𝟑𝟔𝟎°
−
𝟏𝟖 𝟐
𝟐
. 𝒔𝒆𝒏𝟖𝟎°
𝑨 𝑺𝒆𝒈𝑪 = 𝟐𝟐𝟔, 𝟎𝟖 − 𝟏𝟓𝟖, 𝟕𝟔
𝑨 𝑺𝒆𝒈𝑪 = 𝟔𝟕, 𝟑𝟐 𝒄𝒎 𝟐
80°

30. 7.En la figura mostrada, calcula la
diferencia de áreas entre las
regiones sombreada si AC = 16 cm y
BD = 12 cm.
Solución:
Si AC = 16 entonces: R1 = 8
Si BD =12 entonces: R2 =6
Del gráfico:
A1 + A2 =
𝝅.𝟖 𝟐
𝟐
= 𝟑𝟐𝝅… (I)
A2 + A3 =
𝝅.𝟔 𝟐
𝟐
= 𝟏𝟖𝝅… (I)
De (I) - (II):
A1 – A3= 𝟏𝟒𝝅 𝒄𝒎 𝟐
A B C D
R2R1
A1 A2 A3
8.En la figura mostrada, P, Q y T son
puntos de tangencia. Si AP = 5 cm;
BQ = 4 cm y TC = 6 cm, calcula el área
del triángulo ABC.
Solución:
Si P, Q y T son puntos de tangencia,
entonces: AP = AT = 5; BP = BQ = 4;
QC =CT = 6.
Tenemos: 𝐩 =
𝟗+𝟏𝟎+𝟏𝟏
𝟐
= 𝟏𝟓
Aplicamos el teorema de Herón:
𝑨 𝑨𝑩𝑪 = 𝟏𝟓(𝟏𝟓 − 𝟗)(𝟏𝟓 − 𝟏𝟎)(𝟏𝟓 − 𝟏𝟏)
𝑨 𝑨𝑩𝑪 = 𝟑𝟎 𝟐 𝒄𝒎 𝟐
A
B
C
P
Q
T
5
5
44
6
6