Dokumen tersebut membahas sistem persamaan linear dengan bilangan tidak diketahui dan penyelesaiannya menggunakan aturan Cramer. Aturan Cramer menyatakan bahwa bilangan tidak diketahui dapat ditentukan dengan mengganti elemen kolom koefisien dengan bilangan diketahui, lalu membagi hasil determinan terhadap determinan asli. Metode ini berlaku untuk sistem dua sampai empat persamaan atau lebih.

1. Sistem Persamaan Linear dengan N Bilangan yang Tidak Diketahui
A. Sistem persamaan Linear
Penyelesaian n persamaan linear dan n bilangan yang tidak diketahui
1. Dua persamaan liniear dengan dua bilangan yang tidak diketahui.
a) ................. a1 x + b1 y = k1 ...........(I)
b) ................. a2 x + b2 y = k2 ...........(II)
a1 dan b1 masing – masing adalah koefisien dari x dan y, k1 = konstanta
(I) × 𝑎2 ≫ 𝑎1 𝑎2 𝑥 + 𝑎2 𝑏2 𝑦 = 𝑎2 𝑘1
(II)
×𝑎1≫𝑎1 𝑎2 𝑥+ 𝑎1 𝑏2 𝑦= 𝑎1 𝑘2
( 𝑎1 𝑏2−𝑎2 𝑏1) 𝑦 = ( 𝑎1 𝑘2−𝑎2 𝑘1)
−
Atau
Asalkan a1 b2 – a2 b1 ≠ 0
Bila
( 𝐼) 𝑥 𝑏
( 𝐼𝐼) 𝑥 𝑏
} maka juga diperoleh
Asalkan a1 b2 – a2 b1 ≠ 0
Bentuk (III) dan (IV) dapat ditulis dalam bentuk determinan sebagai berikut:
Asalkan
2. Tiga persamaan linear dengan tiga bilangan yang tidak diketahui:
a) a1 x + b1y + c1z= k1 ...........(I)
b) a2 x + b2 y + c2z= k2 ...........(II)
c) a3 x + b3 y + c3 z = k3 ...........(III)

2. a1, b1, dan c1 masing masing adalah koefisien dari x, y,dan z, dan k1 = konstanta
(I) 𝑥 𝑐2 ≫ 𝑎1 𝑐2 𝑥 + 𝑏1 𝑐2 𝑦 + 𝑐1 𝑐2 𝑧 = 𝑘1 𝑐22
(II)
𝑥 𝑐1 ≫ 𝑎2 𝑐1 𝑥 + 𝑏2 𝑐11 𝑦 + 𝑐1 𝑐2 𝑧 = 𝑘2 𝑐1
( 𝑎1 𝑐2 – 𝑎2 𝑐1) 𝑥 + ( 𝑏1 𝑐2 – 𝑏2 𝑐1) 𝑦 = 𝑘1 𝑐2 – 𝑘2 𝑐1
−
(a1c2 – a2c1)x + (b1c2 – b2c1)y = k1c2 – k2c1 .........(IV)
(III) 𝑥 𝑐3 ≫ 𝑎2 𝑐3 𝑥 + 𝑏2 𝑐3 𝑦 + 𝑐2 𝑐3 𝑧 = 𝑘2 𝑐3
(IV)
𝑥 𝑐2 ≫ 𝑎3 𝑐2 𝑥 + 𝑏3 𝑐2 𝑦 + 𝑐3 𝑐2 𝑧 = 𝑘3 𝑐2
( 𝑎2 𝑐3 – 𝑎3 𝑐2) 𝑥 + (𝑏2 𝑐3 – 𝑏3 𝑐2)𝑦 = 𝑘2 𝑐3 – 𝑘3 𝑐2
−
(a2c3 – a3c2)x + (b2c3 – b3c2)y = k2c3 – k3c2 .........(V)
Dari [(IV) x (b2c3 – b3c2) – (V) x (b1c2 – b2c1)] diperoleh suatu kesamaan dengan ruas kiri
[(a1c2 – a2c1)(b2c3 – b3c2) – (a2c3 – a3c2)(b1c2 – b2c1)] x dan ruas kanan yaitu:
(k1c2 – k2c1)(b2c3 – b3c2) – (k2c3 – k3c2)(b1c2 – b2c1)
Pada ruas kiri , koefisien dari x adalah
(a1b2c2c3 – a2b2c1c3 – a1b3c2 + a2b3c1c2) – (a2b1c2c3 + a3b1c2 – a2b2c1c3 + a3b2c1c2)
= a1b2c2c3 - a1b3c2 + a2b3c1c2 – a2b1c2c3 + a3b1c2 – a3b2c1c2
=c2(a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 – a3b2c1 – a2b1c3 – a1b3c2)
Sedang ruas kanan menjadi:
(k1b2c2c3 – k2b2c1c3 – k1b3c2 + k2b3c1c2) – (k1b1c2c3 – k3b1c2 – k2b2c1c3 + k3b2c1c2)
= k1b2c2c3 – k1b3c2 + k2b3c1c2 – k2b1c2c3 + k3b1c2 – k3b2c1c2
= c2(k1b2c3 + k2b3c1 + k3b1c2 – k3b2c1 – k2b1c3 – k1b3c2)
Jadi harga x adalah
Asalkan koefisien dari x tidak sama dengan nol

3. Dengan cara perhitungan yang sama, juga diperoleh:
Asalkan penyebut tidak sama dengan nol.
Dengan demikian maka harga x, y, z yang ditulis dalam bentuk (IV), (VII) dan (VIII) dapat
disajikan dalam bentuk determinan.
𝑥 =
|
𝑘1 𝑏1 𝑐1
𝑘2 𝑏2 𝑐2
𝑘3 𝑏3 𝑐3
|
|
𝑎1 𝑏1 𝑐1
𝑎2 𝑏2 𝑐2
𝑎3 𝑏3 𝑐3
|
𝑦 =
|
𝑎1 𝑘1 𝑐1
𝑎2 𝑘2 𝑐2
𝑎3 𝑘3 𝑐3
|
|
𝑎1 𝑏1 𝑐1
𝑎2 𝑏2 𝑐2
𝑎3 𝑏3 𝑐3
|
; 𝑧 =
|
𝑎1 𝑏1 𝑘1
𝑎2 𝑏2 𝑘2
𝑎3 𝑏3 𝑘3
|
|
𝑎1 𝑏1 𝑐1
𝑎2 𝑏2 𝑐2
𝑎3 𝑏3 𝑐3
|
𝑎𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 |
𝑎1 𝑏1 𝑐1
𝑎2 𝑏2 𝑐2
𝑎3 𝑏3 𝑐3
| ≠ 0
Selanjutnya bila dinamakan:
𝐷 = |
𝑎1 𝑏1 𝑐1
𝑎2 𝑏2 𝑐2
𝑎3 𝑏3 𝑐3
| ; 𝐷 𝑥 = |
𝑘1 𝑏1 𝑐1
𝑘2 𝑏2 𝑐2
𝑘3 𝑏3 𝑐3
| ; 𝐷 𝑦 = |
𝑎1 𝑘1 𝑐1
𝑎2 𝑘2 𝑐2
𝑎3 𝑘3 𝑐3
| ; 𝐷 𝑧 = |
𝑎1 𝑏1 𝑘1
𝑎2 𝑏2 𝑘2
𝑎3 𝑏3 𝑘3
|
maka
D disebut determinan pokok yaitu determinan yang elemen elemennya terdiri dari koefisien
koefisien parameter yang akan ditentukan besarannya
Dx adalah determinan yang diperoleh dari determinan D dimana kolom pertama (yaitu elemen
elemen yang diambil dari koefisien kolom pertama (yaitu elemen elemen yang diambil dari
koefisien koefisien x atau ai) diganti dengan suku suku yang diketahui
Dy diperoleh dari determinan D dimana kolom kedua (koefisien koefisien dari y atau bi)
diganti dengan suku suku yang diketahui (yaitu ki)
Dz diperoleh dari determinan D dimana kolom ketiga (koefisien koefisien dari z atau ci)
diganti dengan suku suku yang diketahui (yaitu ki). Jadi x, y dan z dapat disajikan sebagai
berikut:
𝑥 =
𝐷 𝑥
𝐷
, 𝑦 =
𝐷 𝑦
𝐷
𝑑𝑎𝑛 𝑍 =
𝐷 𝑧
𝐷
𝑎𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝐷 ≠ 0

4. 3. Empat persamaan linier dengan empat bilangan-bilangan yang tidak diketahui
A1x + b1y + c1z + d1w = k1
A2x + b2y + c2z + d2w = k2
A3x + b3y + c3z + d3w = k3
A4x + b4y + c4z + d4w = k4
Dengan cara yang sama maka diperoleh
𝑥 =
𝐷 𝑥
𝐷
, 𝑦 =
𝐷 𝑦
𝐷
, 𝑧 =
𝐷 𝑧
𝐷
𝑑𝑎𝑛 𝑤 =
𝐷 𝑤
𝐷
Asalkan D ≠ 0
𝐷 = |
𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1
𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2
𝑎3 𝑏3 𝑐3 𝑑3
𝑎4 𝑏4 𝑐4 𝑑4
| ; 𝐷 𝑥 = |
𝑘1 𝑏1 𝑐1 𝑑1
𝑘2 𝑏2 𝑐2 𝑑2
𝑘3 𝑏3 𝑐3 𝑑3
𝑘4 𝑏4 𝑐4 𝑑4
|
𝐷 𝑦 = |
𝑎1 𝑘1 𝑐1 𝑑1
𝑎2 𝑘2 𝑐2 𝑑2
𝑎3 𝑘3 𝑐3 𝑑3
𝑎4 𝑘4 𝑐4 𝑑4
| ; 𝐷 𝑧 = |
𝑎1 𝑏1 𝑘1 𝑑1
𝑎2 𝑏2 𝑘2 𝑑2
𝑎3 𝑏3 𝑘3 𝑑3
𝑎4 𝑏4 𝑘4 𝑑4
| ; 𝐷 𝑤 = |
𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑘1
𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑘2
𝑎3 𝑏3 𝑐3 𝑘3
𝑎4 𝑏4 𝑐4 𝑘4
|
Metode diatas dikenal dengan nama aturan cramer, metode tersebut juga berlaku untuk n
persamaan linier atau linear dengan n bilangan yang tidak diketahui
Penjelasannya sebagai berikut:
Bila determinan pokok D ≠ 0 maka bilangan yang tidak diketahui (parameter dari n
persamaan linier tersebut, dapat ditentukan dengan cara mengganti element-elemen suatu
kolom dari D yang merupakan koefisien-koefisien parameter (yang akan ditentukan
besarannya) dengan suku-suku yang diketahui sehingga diperoleh harga parameter tersebut
sama dengan harga determinan setelah suatu kolom dari D yang merupakan koefisien-
koefisien parameter tersebut diganti dengan suku-suku yang diketahui dibagi dengan harga
determinan pokok D.