Este documento describe las distribuciones de probabilidad marginal y condicional para variables discretas. Explica que una distribución de probabilidad indica los posibles resultados de un experimento y que está determinada por una variable aleatoria. Luego define las funciones de probabilidad y distribución para variables discretas y cómo se usan para calcular probabilidades marginales y condicionales. Finalmente, ilustra estas nociones con ejemplos de tablas de contingencia y diagramas de Venn.

1. Distribución de Probabilidad
Marginal y Condicional para
variables Discretas

2. Distribución de Probabilidad
• Definición 1: Una distribución de probabilidad
indica toda la gama de valores que pueden
representarse como resultado de un
experimento si éste se llevase a cabo. Es decir,
describe la probabilidad de que un evento se
realice en el futuro, constituye una herramienta
fundamental para la prospectiva, puesto que se
puede diseñar un escenario de acontecimientos
futuros considerando las tendencias actuales de
diversos fenómenos naturales.

3. Variable Aleatoria
• Definición 2:Toda distribución de probabilidad
es generada por una variable (porque puede
tomar diferentes valores) aleatoria x (porque el
valor tomado es totalmente al azar), en este
particular la Variable aleatoria discreta (x).Porque
solo puede tomar valores enteros y un número
finito de ellos. Por ejemplo: x→ Variable que nos
define el número de alumnos
aprobados en la materia de probabilidad en un
grupo de 40 alumnos (1, 2 ,3…ó los 40).

4. Funciones de Probabilidad
• Consideremos una Variable Aleatoria. discreta X, que toma
los valores x1, x2, ..., xn y supongamos que conocemos la
probabilidad de que la variable X tome dichos valores, es
decir, se conoce que P(X=x1)=P1, P(X=x2)=P2, P(X=x3)=P3,...,
P(X=xn)=Pn y en general, P(X=xi)=Pi. La función de
probabilidad f(x) de la Variable Aleatoria X es la función que
asigna a cada valor xi de la variable su correspondiente
probabilidad Pi.
• Cuando la variable X es discreta, esto es, cuando solo toma
valores en un conjunto numerable de valores, (xi), finito o
infinito, entonces la relación es
F( x ) = ∑ f(x )
x j ≤ xi
i

5. Función de Distribución
• En muchas ocasiones no nos interesa tanto
conocer la probabilidad de que la Variable
Aleatoria X tome exactamente un determinado
valor xi, cuanto la probabilidad de que tome
valores menores o iguales que un cierto valor xi.
En tales casos es necesario acumular los
distintos valores de la función de probabilidad
hasta el valor deseado. Se trata de una nueva
aplicación llamada función de distribución.

6. Función de Distribución
Sea X una Variable Aleatoria discreta, cuyos
valores se suponen ordenados de menor a
mayor. Es decir, asocia a cada valor de la
Variable Aleatoria discreta la probabilidad
acumulada hasta ese valor (la probabilidad de
que la Variable Aleatoria tome valores menores
o iguales a xi). Se deben cumplir las siguientes
condiciones:

7. Función de Distribución
• Teorema 2: Los valores, F(x), de la función de
distribución de una variable aleatoria discreta x cumplen
las condiciones
• F(-F) = 0;
• F(F) = 1;
• Si a < b, entonces F(a) S F(b) para dos números reales
cualesquiera a y b
• Teorema 3: Si el intervalo d una variable aleatoria x
consta de los valores x1 < x2 x3 < .. < xn, entonces f(x1) =
F (x1) y
f (xi) = F(xi) – F(xi-1), para i = 2, 3, …, n

8. Distribución Marginal
• Cuando se estudian más de una de una variable
aleatoria en forma conjunta, puede ser de interés
conocer la distribución de probabilidad de las
variables aleatorias individualmente. Estas
funciones se denominan distribuciones
marginales.

9. Distribución Marginal
• Definición 3: Si x y y son variables aleatorias
discretas y f(x,y) es el valor de la distribución de
probabilidad conjunta en (x,y), la función dada
por
g(x) = gyf(x,y)
para cada x contenida en el intervalo de x, se
denomina distribución marginal de x. En forma
respectiva, la función dada por
h(y) = hxf(x,y)
para cada y contenida en el intervalo de y, recibe
el nombre de distribución marginal de y

10. Distribuciones Marginales

11. Distribución Condicional
• Cuando se estudian más de una de una variable
aleatoria en forma conjunta, puede ser de interés
conocer la distribución de probabilidad de cada
variable aleatoria dado que la otra variable toma
un valor especifico. Estas funciones se
denominan distribuciones condicionales.

12. Distribución Condicional
• Definición 4: Si f(x,y) es el valor de la distribución de probabilidad
conjunta de las variables aleatorias discretas x y y en (x,y) y h(y)
es el valor de distribución marginal de y en y, la función dada por
f ( x, y ) h(y) h 0
f ( x y) =
h( y )
para cada x contenida en el rango de x, se denomina distribución
condicional de x dada y = y. En forma respectiva, si g(x) es el
valor de la distribución marginal de x en x, la función dada por
f ( x, y ) g(x) g 0
w( y x) =
g ( x)
para cada y contenida en el rango de y, se denomina distribución
condicional de y dada x = x.

13. Distribución Condicional

14. Distribución Condicional y
Marginal (Características)
• Las distribuciones marginales g(x), h(y) son
funciones de probabilidad de las variables
aleatorias X, Y separadamente. Estas funciones
deben cumplir las propiedades de una función de
probabilidad y pueden ser usadas para calcular
probabilidad para cada variable.
• 1) g(x)≥0, h(y)>0, x,y € R
• 2) Σg(x) = 1, Σh(y)=1
• x y
• 3) P(X=x) = g(x)
• P(Y=y) = h(y)

15. Tabulación (Tablas de
contingencias)
• Los resultados electorales de 1988 para el
Senado y Cámara de Representantes en Puerto
Rico fueron publicados rápidamente por El Nuevo
Día. La composición preliminar del Senado y la
Cámara de Representantes por partido:

16. Distribución Condicional y
Marginal (Características)
• Escogeremos al azar un miembro de cualquiera
de los dos cuerpos representativos. Ya que hay
un total de 78 legisladores, la probabilidad de
escoger cualquier miembro particular es 1/ 78 de
manera similar, se puede calcular la probabilidad
marginal que un miembro seleccionado al azar
pertenece al PIP, por ejemplo, comparando el
número total de legisladores de ese partido por el
total de legisladores, es decir, dividimos la suma
de la columna apropiada por 78. Así la
probabilidad de que un legislador cualquiera,
seleccionado al azar de entre estos 78 sea
miembro del PIP es 2/78.
•

17. Distribución Condicional y
Marginal (Características)
• Igualmente la probabilidad marginal que una
persona seleccionada al azar sea miembro de un
cuerpo particular se puede hallar dividiendo la
suma de la fila apropiada por 78. Tenemos
entonces la distribución marginal de los
partidos, P(PPD)= 54/ 78, P(PNP)= 22/ 78,
P(PIP)= 2/ 78. La distribución marginal de los
cuerpos legislativos, se obtiene con un
argumento similar: P(Senado)= 27/ 78, P(Cámara
de Representante) = 51/ 78. Estas probabilidades
se llaman marginales, ya que para calcularlas
examinamos los márgenes de la tabla.

18. Visión Grafica
• Otra forma de representar la distribución de probabilidad
condicional se puede ver en el siguiente ejemplo.
• Supongamos que tomamos una muestra al azar de 100
estudiantes y obtenemos los siguientes resultados:
• 15 mujeres reciben ayuda económica y trabajan
• 45 mujeres reciben ayuda económica
• 20 mujeres trabajan
• 55 de los estudiantes son mujeres
• 25 estudiantes reciben ayuda económica y trabajan
• 60 estudiantes reciben ayuda económica
• 40 estudiantes trabajan

19. Visión Grafica
• Se puede traducir estos datos en proporciones o
porcentajes y representar en un diagrama de Venn tal como
se muestra.
•

20. Visión Grafica
• El conjunto W representa todas las mujeres en la muestra,
F el conjunto representa los estudiantes que reciben ayuda
económica y J el conjunto de estudiantes en la muestra que
trabajan.
• De este diagrama de Venn podemos contestar rápidamente
muchas preguntas que a primera vista parecen ser muy
complicados, tal como, ¿qué proporción de estudiantes son
mujeres que no trabajan y reciben ayuda económica? Esta
pregunta es equivalente a encontrar P (W y F y no J). La
solución, .30 se encuentra en la intersección de los tres
conjuntos W, no J, F.
•

21. Visión Grafica
• La idea de probabilidad condicional se puede usar de
forma muy natural para examinar situaciones como las
presentan en muchas ocasiones los medios noticiosos. Por
ejemplo, en una encuesta efectuada en 1989 se entrevisto
a 1.005 adultos y a 500 adolescentes. Se les hizo la
siguiente pregunta: ¿Cuál es el problema principal de los
Estados Unidos. Los resultados fueron como sigue:
•

22. Gracias por su atención