Los O.D Corresponden a una estrategia que generalmente utilizamos para activar y explorar conocimientos previos; dichos conocimientos son los que adoptamos como componentes fundamentales para articular el diseño, desarrollo y evaluación de unidades didácticas y que sirven como herramientas para fundamentar los conocimientos significativos. La modelización matemática es un proceso que contribuye a optimizar la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, y representa una opción que permite a los profesores en formación el manejo y uso de conceptos y procedimientos matemáticos para abordar el estudio de situaciones problema recurriendo a una estrategia dinámica de enseñanza y aprendizaje. En general, la modelización en la formación inicial de los profesores de matemáticas enfatiza en una filosofía de las matemáticas que supera barreras tales como considerar que existe sólo una respuesta correcta a un problema matemático y que sólo hay una manera de encontrar esa respuesta. La modelización ayuda al profesor a conectar el contexto de la vida diaria de los alumnos con las matemáticas, así como a desarrollar en ellos diversas habilidades y destrezas. Se hace cada día más relevante y pertinente la incorporación de la modelización como un proceso complejo en la formación inicial de profesores de matemáticas.

1. Ing. Fernando Romero

2. ORGANIZADORES
DIDÁCTICOS
Corresponden a una estrategia que generalmente utilizamos para
activar y explorar conocimientos previos; dichos conocimientos
son los que adoptamos como componentes fundamentales
para articular el diseño, desarrollo y evaluación de unidades
didácticas y que sirven como herramientas para fundamentar
los conocimientos significativos.

3. ORGANIZADORES
DIDÁCTICOS
Dicha teoría considera que el conocimiento
didáctico de los tópicos matemáticos debe
fundamentarse en los siguientes sistemas
de representación
El eje central de esta presentación es el estudio del
conocimiento didáctico que integra, el uso de los
organizadores y materiales organizativos, en la
formación inicial de profesores de matemáticas de
secundaria.

4. Los materiales
y
Recursos
La
modelización
Sistemas de
representaciones
Los Errores y
Dificultades

5. MODELIZACIÓN
Este primer proceso se conoce como
modelización horizontal, el cual se
sustenta sobre actividades como las
siguientes: identificar las matemáticas que
pueden ser relevantes respecto al
problema; comprender la relación entre
los lenguajes natural, simbólico y formal;
reconocer isomorfismos con otros
problemas ya conocidos; traducir el
problema a un modelo matemático; y
utilizar herramientas y recursos
adecuados. Una vez traducido el problema
a una expresión matemática el proceso
puede continuar.

6. MODELIZACIÓN
El estudiante puede plantear a continuación
cuestiones en las que utiliza conceptos y
destrezas matemáticos. Esta parte del
proceso se denomina modelización vertical
la cual incluye: utilizar diferentes
representaciones; usar el lenguaje
simbólico, formal y técnico y sus
operaciones; refinar y ajustar los modelos
matemáticos; combinar e integrar modelos;
argumentar; y generalizar.

7. MODELIZACIÓN
Modelos concretos. Representan una idea matemática mediante un
objeto o material físico. Por ejemplo, el geoplano es un modelo discreto
del plano geométrico; los bloques multibase son modelos que simulan
los diferentes sistemas de numeración posicionales.

8. MODELIZACIÓN
Modelos pictóricos. Representan ideas matemáticas mediante diagramas o
ilustraciones. Por ejemplo, los diagramas de Ven para la representación de
conjuntos de elementos o las relaciones entre conjuntos establecidas por
una función; la línea numérica sobre la que se puede representar la suma
de dos números

9. Modelos Matemáticos o simbólicos : Son aquellos en las que se utiliza un
conjunto de símbolos (letras, números y otros) en lugar de una entidad física
para representar a la realidad.
Para construir un modelo matemático inicialmente. Formamos un modelo
abstracto en nuestra mente y luego se registran como modelo simbólico.
Un tipo de modelo matemático o simbólico que se utiliza comúnmente es una
ecuación. Ya que esta es precisa y concisa y fácil de comprender.
MODELIZACIÓN
9V= IxR1+IxR2+IxR3
9V= V1 + V2 + V3

10. LOS MATERIALES
Y
RECURSOS
Los materiales, medios y recursos son
parte imprescindible de una
concepción del aprendizaje donde el
alumno construye su propio
conocimiento.
Socialización cultural y
aprendizaje con medios y
tecnologías en contextos
educativos.

12. ¿Por qué Utilizarlos?
El uso de materiales, medios y recursos didácticos adecuados permiten:
- Mejorar la actitud de los alumnos ante las matemáticas.
- Desarrollar la creatividad, acostumbrarlos a enfrentarse a problemas que
no tienen una solución determinada de antemano.
- Desarrollar estrategias para resolver problemas
- Hacer unas matemáticas que se adapten a las posibilidades individuales
de cada alumno.
Los materiales permiten a profesores y alumnos “conversar” sobre
algo concreto.
LOS MATERIALES
Y
RECURSOS

13. LOS MATERIALES
Y
RECURSOS
Los materiales que utilizamos son sólo un medio para conseguir algo, no son
un fin en si mismos, por lo que debemos darles su justo valor y tiempo de
uso.
Tenemos que propiciar el aprendizaje de las matemáticas no de los
materiales.

14. La Resolución de
problemas
En el campo educativo se ha reconocido ampliamente su importancia. y en
muchas Universidades el desarrollo de la creatividad y de la habilidad para
resolver problemas es una parte integral del curriculum. Pero lamentablemente
todavía es muy común que se expongan ante el alumno los productos y
resultados de la resolución de problemas, pero no el proceso mismo.
Si el estudiante tiene la suerte de tener un profesor que entienda y valore el
proceso de resolver problemas entonces las actividades de aula suplirán las
deficiencias del texto. Pero si no es así y el profesor sigue al libro al pie de la
letra, al enfrentarse al primer fracaso el estudiante terminaría frustrado, perdería
la confianza en sí mismo y creería que la resolución de problemas es una
actividad incomprensible, accesible solamente a unos pocos superdotados.
José Heber Nieto Said
Talleres de Formación Matemática Maracaibo, 26 al 31 de julio de 2004

15. La Resolución de
problemas
La espiral de la creatividad es un proceso desarrollado por Mitchel Resnick, profesor
de investigación del aprendizaje

16. La Resolución de
problemas
Imaginar: se puede plantear como las posibles soluciones del estudiante
frente a un problema o situación dado por el docente. Es así como los
estudiantes empiezan a imaginar todas las posibles soluciones o alternativas,
ya sea por medio de una lluvia de ideas, una exploración inicial o
preconceptos que tenga sobre el tema.
Crear: Cuando el estudiante a imaginado todas las posibles soluciones y las
socializa con el grupo, recibiendo retroalimentación y orientación por parte
de sus compañeros y docente, pasaría a crear o construir su solución
Jugar: Este paso no es jugar por jugar, se interpreta como la interacción o
comprobación del estudiante o los estudiantes, con las propuestas o
soluciones planteadas al problema que el docente había formulado.

17. La Resolución de
problemas
Compartir: El compartir es el espacio adecuado para que los estudiantes
socialicen, expongan y muestren la solución que dieron al problema. Es aquí
cuando cada estudiante no solo podrá enriquecer más su propuesta original,
sino que también podrá ayudar a otros a mejorar su propuesta.
Reflexionar: Después de mejorar y conocer las propuestas o soluciones de
los estudiantes al problema que planteado el docente, se debe abrir el
espacio de reflexión, el cual brinda tanto para el docente como para el
estudiante, la explicación y el cierre de todo el proceso de aprendizaje que
se realizó al recorrer una o varias temáticas de clase con la espiral de la
creatividad.

18. Wyndhamn ha propuesto un esquema, donde las etapas B y E
sirven de puente entre las situaciones problémicas y la
actividad matemática. En efecto, ante una situación
problémica el estudiante debe, por medio de la abstracción,
simplificar la información y determinar lo esencial (lo dado y lo
buscado), a fin de formular el problema con suficiente rigor (1).
A continuación se procede a matematizar la información,
traduciéndola al lenguaje simbólico, para luego obtener el
modelo matemático del problema (2). Por medio de
operaciones, transformaciones, haciendo uso de técnicas y
teorías, se llega a la solución (3), la cual debe ser analizada y
comprendida con el objetivo de interpretarla (4). La primera
interpretación es intramatemática, en ella el individuo
traduce sus resultados, chequea la solución, elabora
predicciones, generalizaciones y conclusiones (5); la segunda es
extramatemática, pues se compara lo obtenido a fin de analizar
la validez del resultado (6). Cruz, M. (2006): La enseñanza de la Matemática a través de la Resolución de
Problemas. Tomo 1
La Habana: Educación Cubana.
La Resolución de
problemas

19. FENOMENOLOGÍA
Una visión funcional de las
matemáticas requiere que los
profesores propongan tareas en
contextos diversos que
permitan poner en juego el
conocimiento matemático de
los escolares. El diseño, análisis
y selección de estas tareas
implican el establecimiento de
diferentes contextos en los que
un tema matemático concreto
tenga sentido. Este es uno de
los propósitos de la
fenomenología como
organizador del currículo.
Análisis fenomenológico, resolución de
problemas y modelización

20. IDENTIFICACIÓN DE CONTEXTOS: EL
CASO DE LOS NÚMEROS NATURALES
Luis Rico y sus colaboradores han venido usando la idea de contexto como
herramienta para abordar el análisis fenomenológico de un tema de las
matemáticas escolares. En su ejemplo sobre los números naturales (Rico et ál.,
2008) muestran cómo, al trabajar con los números naturales y pensar para qué se
utiliza esta estructura matemática, es posible identificar una variedad de fenómenos
asociados a ella.

21. IDENTIFICACIÓN DE SUBESTRUCTURAS:
EL CASO DE LA SIMETRÍA
La segunda forma en la que el profesor puede aproximarse al análisis fenomenológico de
un tema consiste en la identificación de subestructuras.
Uno de los aspectos del análisis conceptual de la simetría es la identificación de
diferentes tipos de simetrías (e. g., de traslación, de reflexión, de rotación y deslizantes).
Cada tipo de simetría puede considerarse una subestructura. Por
ejemplo, El campo de fútbol es un ejemplo del grupo de fenómenos relativos a deportes o
juegos en los que hay dos equipos o personas, en los que la delimitación del terreno debe
ser tal que las condiciones sean las mismas para los dos contrincantes. En este sentido, la
simetría axial es una característica estructural que comparte ese conjunto de juegos y
deportes.

22. La implementación de la historia en la enseñanza de la matemática logrará
incentivar a los estudiantes, no tanto a volverse matemáticos sino a interesarse un
poco más de donde vienen las cosas y como ha sido el proceso de ese resultado que
manejamos a diario. Es muy común escuchar por parte de los estudiantes, ¿Pero de
donde viene esto?, ¿eso por que es así?¿para que nos sirve? La solución a estos
antiguos interrogantes se encuentra en la historia, en el proceso evolutivo que ha
llevado la matemática a obtener estos maravillosos resultados que permiten
construir desde casas y puentes, hasta las cosas más extrañas creadas por el
pensamiento humano.
Asimismo a partir de la historia el hombre se va interesando (y siempre lo ha
hecho) por el porque de las cosas, el sentido de todo lo que vivimos, y como ya se
dijo anteriormente, la herramienta histórica que nos brindan las matemáticas.
Rompe con la clase rutinaria, teórica y abstracta, ya que lleva al estudiante a
experimentar por sus propios medio el proceso vivido logrando así no solo un simple
aprendizaje sino un aprendizaje significativo.
EL PAPEL DE LA HISTORIA DE LA
ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS

23. En la enseñanza de las matemáticas pueden ser diferentes las formas de uso de la
historia. Destacamos algunas: a) Mencionando anécdotas matemáticas del
pasado.
b) Presentando una introducción histórica de los conceptos nuevos para los
alumnos.
c) Fomentando en los alumnos la comprensión de los problemas históricos
cuya solución ha dado lugar a los conceptos.
d) Ideando ejercicios utilizando para ello textos matemáticos del pasado.
e) Fomentando la creación de carteles, exposiciones u otros proyectos con
temas históricos.
f) Realizando proyectos en torno a una actividad matemática local del pasado.
g) Usando ejemplos del pasado para ayudar a comprender y resolver las
dificultades del aprendizaje
EL PAPEL DE LA HISTORIA DE LA
ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS

24. Son un elemento
importante en la
organización del currículo
que debe dirigirse al
diseño de enseñanzas que
los eviten.
LOS ERRORES
Y
DIFICULTADES

25. SISTEMAS DE REPRESENTACIONES
Son las notaciones simbólicas
o gráficas, específicas para
cada noción, mediante las que
se expresan los conceptos y
procedimientos matemáticos
así como sus características y
propiedades más relevantes

26. SISTEMAS DE REPRESENTACIONES
GRAFICO: CONTINUO, DISCRETO Y LA
RECTA NUMÉRICA
FRACCIONES
SIMBÓLICO: A/B, PORCENTAJES,
NÚMERO DECIMAL
VERBAL ESCRITO: UN MEDIO, LA
MITAD, LA MITAD DE LA UNIDAD