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Volmen de control
- 1. Análisis de Volumen de Control Tres técnicas de análisis de flujo Análisis integral o de volumen de control Análisis diferencial Análisis experimental o dimensional Sistema cerrado : cantidad de masa de identidad fija Volumen de control: región del espacio específica Mecánica de Fluidos Volumen de Control sistema t+δ t r z v t volumen de y control x Mecánica de Fluidos 1
- 2. Tipos de Volumen de Control Fijo En movimiento acelerado o no Rígido Deformable Mecánica de Fluidos ¿Qué leyes usamos? Conservación de masa o continuidad dmsist m sist = const =0 dt Conservación de momento lineal o rcantidad de movimiento r r r d (mv )sist ∑F = m sobre el sist sist a sist ∑F = sobre el sist dt Conservación de momento angular dH sist r r ∑M sobre el sist o = dt H sist = ∑ (r × v )i mi sist Mecánica de Fluidos 2
- 3. ¿Qué leyes usamos? Conservación de energía dEsist δQ ingresa al sist − δW entrega el sist = dE sist & Q −W& = entra realiza dt Ecuaciones complementarias: • Ecuación de estado • Condiciones de contorno • Condición inicial (si es no estacionario) 1. Ecuaciones planteadas para un sistema • m r • mv 2. En todos los casos derivamos alguna • H propiedad del sistema: • E Mecánica de Fluidos ¿Cómo relacionamos la derivada temporal de una propiedad, B, del sistema con la derivada temporal de de Transporte de Reynolds Teorema B dentro de un VC? dBsist dBVC dB ? Bsist = ∫ b dm = ∫ ρ b dV y b= dt dt sist Vsist dm sistema IIIt+δt dBsist dBVC & & = + Bout − Bin IIt+δt dt dt IIt t+ δ t It+δt velocidad de cambio de B del sistema que z t volumen de ocupa el VC en el instante t control: velocidad de acumulación de B en el VC y • Fijo flujo neto que atraviesa la SC • No deformable x Mecánica de Fluidos 3
- 4. Términos de flujo & d & ¿cuánto vale el diferencial de caudal másico B = ∫= ? m que arrastra la propiedad b? & B b dm Superficie Quieta ¿Superficie en movimiento? ( dm = ρ (v . n )dA & ( B& in/ out = &B / out = in ∫∫bbρρ((vv . n ) dA AAinooAAout r in out ( • Flujo entrante ⇒ (vr . n ) < 0 ( • Flujo saliente ⇒ (vr . n ) > 0 Mecánica de Fluidos Teorema de Reynolds ( ( = = ∫ ρ b dV∫+ ρ (vρ.(v)dA)dA dBdBsist d dBVC sist + b ∫ b r n r .n dt dt dt VCdt SC SC Simplificaciones • VC es fijo ⇒ vVC = 0 ⇒ vr = v fluido ∂ ∫ ρ bdV =VC ∂t (ρ b) dV d • VC es rígido dt VC ⇒ ∫ ∂ ∂ ∫ ∂t (ρ b )dV = ρ VC ∂t (b )dV ∫ • Flujo incompresible ⇒ VC ( ( ∫ ρ b(vr .n ) dA = ρ ∫ b(vr .n ) dA SC SC Mecánica de Fluidos 4
- 5. Selección del VC Mecánica de Fluidos Conservación de masa dmsist m sist = const =0 dB dt B=m⇒b= =1 dm ( ∫ ρ dV + SC ρ (vr .n )dA = 0 dmsist d dt = dt VC ∫ Simplificaciones ∂ρ ( • VC fijo y no deformable ∫ ∂t dV + ∫ ρ (v . n ) dA = 0 VC SC ( ( ( • Flujo incompresible ρ ∫ (v . n ) dA = 0 ⇒ ρ ∫ (v . n ) dA = ρ ∫ (v . n ) dA SC Ain Aout Mecánica de Fluidos 5
- 6. Conservación de masa ejemplos • VC fijo y no deformable min = mout & & • Flujo incompresible • Velocidad uniforme en las entradas y salidas min = & ∑ρv entradas n − ent Aent = ∑ρv salidas n − sal Asal = mout & Si las velocidades entrantes y salientes son perpendiculares a las áreas min = ∑ ρ vm −ent Aent = ∑ ρ vm − sal Asal = mout & & entradas salidas Si la densidad no cambia Qin = ∑ vm −ent Aent = ∑v m − sal Asal = Qout entradas salidas Mecánica de Fluidos Conservación de cantidad de movimiento d (mv )sist ∑F = m sist a sist ∑F = sobre el sist sobre el sist dt Sistema de referencia inercial dB B = mv ⇒ b = =v ¿qué velocidad? dm d (mv )sist d ( dt = ∫ (ρ v )dV + SC ρ v (vr .n )dA = sobre VC dt VC ∫ ∑F ∑ F fuerzas sobre el VC material, considerado como cuerpo libre sobre VC Mecánica de Fluidos 6
- 7. Conservación de cantidad de movimiento Tres ecuaciones, una en cada dirección ( i) ( ∫ (ρ u )dV + SC ρ u(vr .n )dA d ∑F sobre VC x = dt VC ∫ ( j) ( ∫ (ρ v )dV + SC ρ v(vr .n )dA d ∑F sobre VC y = dt VC ∫ ( k ) ∑F z = d ∫ dt VC ( (ρ w)dV + ∫ ρ w(vr .n )dA sobre VC SC Mecánica de Fluidos Conservación de cantidad de movimiento Análisis de cada término: flujo estacionario • Acumulación de cantidad de movimiento ∂v ∂ (ρ v ) ρ∫ ∂v =0 ∫ (ρ v )dV = d dt VC ∫ ∂t dV = VC VC ∂t dV ∂t VC rígido flujo incompresible • Flujo de cantidad de movimiento > 0 flujo saliente (vr .n )⎧ ( ∫ ρ v (v .n ) dA & M SC = ( r ⎨ SC ⎩< 0 flujo entrante Si velocidad uniforme en el área & M SC = ∑ (m v ) & salidas salidas − ∑ (m v ) & entradas entradas Mecánica de Fluidos 7
- 8. Conservación de cantidad de movimiento • Fuerzas sobre el Volumen de Control ∑F = ∑F sobre el VC VOLUMETRICAS + ∑ FSUPERFICIALES + ∑ FINTERFACIALES • Fuerza de gravedad Fg = ∫ ρ g dV VC • Fuerza de presión ( Fp = ∫ ( − p ) n dA SC • Fuerza viscosa (de corte) ∫ (τ . n )dA = ∫ τ ( ejemplos Fv = n dA ij i SC SC Mecánica de Fluidos Volumen de control acelerado Sistema de referencia ¿Cuánto vale no inercial la aceleración absoluta vrel de la partícula? Ω y r a absoluta = a rel + a arr x y z R S part = r + R x dr dR v part = vrel + varr = + + Ω×r Sistema de referencia dt dt z inercial Mecánica de Fluidos 8
- 9. Volumen de control acelerado dvrel d 2 R d Ω a part = + 2 + × r + 2 Ω × vrel + Ω × (Ω × r ) dt dt444444 24444444 1 dt 4 3 a arr d (mvrel )sist d ( ∑F − ∫ρa sobre VC VC arr dV = dt = ∫ (ρ vrel )dV + SC ρ vrel (vr .n )dA dt VC ∫ Mecánica de Fluidos Conservación de energía & & dEsist Q −W = entra realiza dt dB B=E⇒b= = e energía específica dm ( ∫ ρ e dV + SC ρ e(vr . n ) dA dQ dW dEsist d − dt entra dt realiza = dt = dt VC ∫ ¿Qué tipos de energía incluye e? • Cambios de composición química e = einterna + ecinética + epotencial + eotras • Reacciones nucleares • Energía 1 e = u + v2 + g z ˆ 2 (z + ↑) ~0 elestrostática • Energía electromagnética Mecánica de Fluidos 9
- 10. Conservación de energía: Trabajo & & & & W = Wmotor + Wpresión + Wesf.viscosos & & & & W = Wm + Wp + Wv & Wm : lo vemos con turbomáquinas & W : trabajo de las fuerzas de presión p & Wv : trabajo de deformación debido a las fuerzas viscosas Mecánica de Fluidos Trabajo del presión ( & definición : W = F .v n vr ( Fp = ∫ p (− n ) dA SC vVC & x convención : W p = − Fp .v ( W p = ∫ p (v . n ) dA & trabajo de trabajo SC deformación de flujo ( ( ( & Wp = ∫ p ((v SC VC + vr ). n ) dA = ∫ p (v SC VC . n ) dA + ∫ p (v . n ) dA SC r Mecánica de Fluidos 10
- 11. Trabajo de fuerzas viscosas & Wv ≈ 0 casi siempre, excepto : Wv = ∫ τ SC . v dA & - en el interior de una onda de choque SC - en una superficie de corriente libre Casos particulares - en una superficie de corriente en el flujo • Superficie sólida, impermeable y quieta & v = 0 ⇒ Wv = 0 • Superficie sólida, impermeable y móvil & lo incluyo en Wm • Entradas o salidas ( en general elijo n v ⎫ & ⎬ ⇒ Wv ≈ 0 τ ii ≈ 0 ⎭ Mecánica de Fluidos Conservación de energía ( ∫ ρ edV + SC ρ e(vr . n ) dA dE d & & & & Q − Wm − Wv − W p = = dt dt VC ∫ para VC fijo o moviendose a velocidad constante ( ( ( ∫ p(v . n ) dA − ∫ p(v . n ) dA = dt ∫ ρ edV + ∫ ρ e(v . n ) dA & & & d Q − Wm − Wv − VC r r SC SC VC SC ( ⎛ p⎞ ( ∫ p(v . n ) dA = ∫ ρ edV + SC ρ ⎜ e + ρ ⎟(vr . n ) dA d & & & Q − Wm − Wv − SC VC dt VC ∫ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ( ⎛ v2 ⎞ ⎛ ˆ v2 ⎞ ( p (vVC . n ) dA = ρ ⎜ u + + gz ⎟dV + ∫ ρ ⎜ h + + gz ⎟(vr . n ) dA d & & & Q − Wm − Wv − ∫ SC ∫ ⎜ 2 ⎟ SC ⎜ 2 ⎟ dt VC ⎝ ˆ ⎠ ⎝ ⎠ Mecánica de Fluidos 11
- 12. Conservación de energía Casos particulares • VC rígido y fijo vVC = 0 y vr = v ⎡ ⎛ v2 ⎞⎤ ∂ ⎢ ρ ⎜ u + + gz ⎟⎥ ⎜ ˆ ⎟ ⎝ 2 ⎠⎦ ⎛ ˆ v2 ⎞ ( Q − Wm − Wv = ∫ ⎣ & & & dV + ∫ ρ ⎜ h + + gz ⎟(v . n ) dA ⎜ ⎟ VC ∂t SC ⎝ 2 ⎠ • Flujo estacionario ⎛ v2 ⎞ ( & & & Q − Wm − Wv = ∫ ρ⎜ h + ⎜ ˆ + gz ⎟(v . n ) dA ⎟ ⎝ SC 2 ⎠ • Entradas y salidas uniformes ⎛ ˆ v2 ⎞ ⎛ ˆ v2 ⎞ & & & Q − Wm − Wv = ∑ msalidas ⎜ h + + gz ⎟ & ⎜ ⎟ − ∑ mentradas ⎜ h + + gz ⎟ & ⎜ ⎟ salidas ⎝ 2 ⎠ salidas entradas ⎝ 2 ⎠ entradas Mecánica de Fluidos Conservación de energía en una línea de corriente Tomo un VC fijo, rígido y coincide con un tubo de corriente en un flujo estacionario ⎛ v2 ⎞ ( & & & Q − Wm − Wv = ∫ ρ⎜ h + ⎜ ˆ + gz ⎟(v . n ) dA ⎟ SC ⎝ 2 ⎠ ⎛ v2 ⎞ ⎛ v2 ⎞ & Q dQ & & & Q − Wm − Wv = m2 ⎜ h + + gz ⎟ − m1 ⎜ h + + gz ⎟ & ⎜ˆ & ⎜ˆ q= = ⎟ ⎟ & m dm ⎝ 2 ⎠2 ⎝ 2 ⎠1 W & dWm conservación de masa ⇒ m1 = m2 = m & & & wm = m = m& dm ⎛ ˆ v2 ⎞ ⎛ ˆ v2 ⎞ & ⎜ h + + gz ⎟ = ⎜ h + + gz ⎟ − q + wm + wv ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ W wv = v = dWv ⎝ 2 ⎠1 ⎝ 2 ⎠2 & m dm Mecánica de Fluidos 12
- 13. Línea de nivel energético 1 definición H ≡ h + v 2 + gz : entalpía de remanso 2 q H1 = H 2 − q + wm + wv hq = g p1 u1 v12 ˆ p uˆ v2 w + + + z1 = 2 + 2 + 2 + z 2 − hq + hm + hv hm = m ρ g g 2g ρ g g 2g g w p v2 hv = v definición h0 ≡ + +z: g ρ g 2g Altura total o línea de nivel energético, LNE u 2 − u1 − q ˆ ˆ h01 = h02 + hm + hv + g Mecánica de Fluidos Ecuación de Bernoullí u 2 − u1 − q ˆ ˆ h01 = h02 + hm + hv + g Por lo tanto si: flujo estacionario, Incompresible, no hay transferencia de calor, no se entrega, ni extrae trabajo motor, no hay trabajo de fuerzas viscosas. p1 v12 p v2 + + z1 = 2 + 2 + z 2 ρ g 2g ρ g 2g No estacionario 1 2 ∂v 2 ( dp v2 − v12 2 ) + (z 2 − z1 ) = 0 g ∫ 1 ∂t .ds + ∫ 1 ρg + 2g Mecánica de Fluidos 13
- 14. Ejemplos Mecánica de Fluidos Línea de altura motriz p v2 Línea de Altura Motriz (LAM) : z + = LNE − ρg 2g LNE p v2 LNE = + +z ρ g 2g LAM Mecánica de Fluidos 14
- 15. Conservación de momento angular r r H sist = m (r × v ) : masa puntual dH sist r r ∑M sobre el sist o = dt H sist = ∑ mi (r × v )i : sistema de masas puntuales ∫ (r × v ) dm : para un contínuo i H sist = sist Aplicando el Teorema de Reynolds = (r × v ) dB B =H ⇒b = dm para un VC acelerado y deformable: ∑ (r × F ) − ∫ ρ (r × a )dV = sobre el sist o arr VC ( ∫ ρ ( r × vrel )dV + SC ρ ( r × vrel )(vr .n )dA d dt VC ∫ Mecánica de Fluidos Conservación de momento angular : simplificaciones • VC fijo y rígido ∂[ρ ( r × v )] ∑ (r × F ) ( = ∫ dV + ∫ ρ ( r × v )(v .n )dA ∂t o sobre el sist VC SC • Entradas y salidas uniformes ∂[ρ ( r × v )] ∑ (r × F ) sobre el sist o = ∫ ∂t dV + ∑ msal ( r × v )sal − ∑ ment ( r × v )ent sal & ent & VC • Flujo estacionario ∑ (r × F ) = ∑ m ( r × v ) sobre el sist & o sal sal sal − ∑ ment ( r × v )ent & ent Mecánica de Fluidos 15
- 16. Turbomáquinas Máquinas hidráulicas rotativas Dispositivos utilizados para entregar o extraer energía del fluido Clasificación: Bombas (entregan energía al fluido) Líquidos → bomba Gases → ventilador, soplante o compresor (psal) Turbinas (extraen energía del fluido) Mecánica de Fluidos Turbomáquinas Bombas desplazamiento positivo (cambios de volumen) dinámicas o de intercambio de momento (paletas o álabes móviles) Según el flujo axial radial mixto Mecánica de Fluidos 16
- 17. Bombas de desplazamiento positivo Mecánica de Fluidos Turbomáquinas típicas Nos concentramos en las centrífugas: Mecánica de Fluidos 17
- 18. Bomba centrífuga Carcasa Rotor Difusor Álabes Mecánica de Fluidos Conservación de energía Asumiendo: VC fijo y rígido coincidente con el rotor Flujo estacionario Incompresible Entradas y salidas uniformes No hay transferencia de calor No hay trabajo de esfuerzos viscosos ⎛ p v2 ⎞ ⎛ p v2 ⎞ ⎜ + ⎜ ρ g 2g + z⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ρ g 2 g + z ⎟ + hm + h f + ⎟ ⎝ ⎠ ent ⎝ ⎠ sal Mecánica de Fluidos 18
- 19. Parámetros básicos Altura de carga de la bomba : H ≡ h0 sal − h0ent = hm − h f ∆p Generalmente v1 ≈ v2 y z1 ≈ z 2 ⇒ H ≈ ρg Potencia útil : Pw = ρ g Q H Potencia entregada al fluido Potencia requerida para mover Potencia al freno : Pf = ωT el rotor Pw ρ g Q H Rendimiento de la bomba :η b = = Pf ωT Pf ωT Eficiencia de la turbina :η t = = Pw ρ g Q H Mecánica de Fluidos Teoría elemental de bombas r u2 = ω r2 v2 v w1 v1 z n2 α2 vt 2 α1 b β1 vn1 vt1 u1 = ω r1 w2 r1 β2 velocidad del r2 v =u +w fluido relativa ω al álabe velocidad del fluido velocidad del álabe Mecánica de Fluidos 19
- 20. Teoría elemental de bombas r 1. b es chico ⇒ flujo radial VC fijo y rígido z 2. 3. Es flujo periódico b 4. Tomo promedio en el tiempo y considero estacionario 5. Flujo incompresible 6. Velocidad uniforme y perpendicular a la entrada y la salida Mecánica de Fluidos Teoría elemental de bombas Tomo conservación de momento angular: ∑ (r × F ) ( ∫ ρ ( r × v )dV + SC ρ ( r × v )(v .n )dA d sobre la bomba o = dt VC ∫ 0 ¿Qué fuerzas hacen momento? ¿presión? ¿peso? ¿fuerzas viscosas? Torque del motor Mecánica de Fluidos 20
- 21. Teoría elemental de bombas Conservación de momento angular: To = ( r2 × v2 ) m2 − ( r1 × v1 ) m1 & & Conservación de masa: Q1 = vn1 A1 m2 = m1 = m = ρ Q & & & Q2 = vn2 A2 Reemplazando To = ρ Q(r2 vt 2 − r1vt1 ) Mecánica de Fluidos Ecuaciones de Euler para turbomáquinas ω To = ρ Q(ω r2 vt 2 − ω r1vt1 ) Pw = ρ Q(u 2 vt 2 − u1vt1 ) Pw H= Pw = η Pf ρ gQ ¿cómo es H vs Q? Mecánica de Fluidos 21
- 22. Curva de la bomba H Q Mecánica de Fluidos 22