Cap4 dinámica de un sistema de partículas

Cuaderno de Actividades: Física I
4) Dinámica de un sistema de
partículas
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 99

4) Dinámica de un sistema de partículas
4,1) Cantidad de movimiento p
r
de un sistema de partículas
1 2sp np p p p p≡ ≡ + + +
r r r r r
K
i
i
p≡ ∑
r
1
i n
i i
i
p m v
≡
≡
≡ ∑
r r
[ ]
m
u p kg
s
≡
r
4,2) Impulso de una fuerza, F
I
rr
Definición: Es una CFV que considera el efecto integral de la fuerza en el
tiempo.
1 2
f
i
t
F
t t t
I Fdt→ ≡ ∫
rr r
Caso particular: F cte≡
uurr
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
n partículas
im
iv
r
F
r
m
100

1 2 2 1,F
t tI F t t t t→ ≡ ∆ ∆ ≡ −
rr r
u I Ns  ≡ 
r
4,3) ( ),RF
R R I p≡
rr r
El impulso de la fuerza resultante se relaciona con los cambios de la
cantidad de movimiento lineal de tal forma que tendríamos otra forma
alternativa de expresar la segunda ley de Newton, en este caso, para fuerzas
que dependen del tiempo.
RF
R
dp
I F dt dt p
dt
 
≡ ≡ ≡ ∆ ÷
 
∫ ∫
r rr r
F
I p≡ ∆
rr r
Este resultado que puede entenderse para una partícula puede extenderse
para un SP, veamos, la fuerza resultante sobre cada partícula podría
considerarse constituida por una fracción interna y externa, la parte interna de
estas fuerzas, es decir, entre las partículas del SP, se cancelarían en estricto
cumplimiento de la Tercera Ley de Newton, quedando solo la fuerza resultante
externa actuando sobre el SP, por lo tanto,
RF F≡
r
F
I
rr
1 partícula p
r
101

,R EXTF
I p≡ ∆
rr r
Según la última ecuación para que el SPp p cte≡ ≡
uurr r
el ,R EXTF
I o≡
rr r ,
SPp p cte≡ ≡
uurr r ,R EXTF
I o¬ ≡
rr r
Esto quiere decir que para un SP donde no exista ,R EXT
F
r
o el efecto integral de
ella se cancele, el SPp
r
deberá de conservarse.
4,4) Centro de masa de un SP, CM
Sea un sistema de partículas de “n” partículas,
1 1
1
i i n n
cm
i n
m r m r m r
r
m m m
+ + + +
≡
+ + +
r r r
K Kr
K
1
cm i i
i
r m r
M
≡ ∑
r r 1
dvr
M
ρ≡ ∫
r
1
cm i i
i
v m v
M
≡ ∑
r r 1
dvv
M
ρ≡ ∫
r
1
cm i i
i
a m a
M
≡ ∑
r r 1
dva
M
ρ≡ ∫
r
SP
RF
I
rr
p
r
,R R EXTF F≡
r r
102

¿Como se vincula el CM con el SP?
En el contexto cinemático,
sp i i
i
p p m v CM≡ ≡ ⇔∑
r r r
{ }
1
cmv p
M
≡ →
r s
cmp M v≡
r r
Y en el dinámico,
, ( )R R ext CM cm
d d
F F p mv M a
dt dt
≡ ≡ ≡ ≡ →
r r r r r
,R ext cmF M a≡
r r
De estos resultados se puede inferir rápidamente que le SP puede
reemplazarse por una partícula con la masa del SP, M, moviéndose según cmr
r
,
RF
r
p mv≡
r r
im
,R CMF
r
CMv
r
≡
M CM
103

Observaciones:
i) Ahora, si i → ∞: SP continuo ≡ cuerpo (CR): Σ→∫
En las sumas discretas las im son reemplazadas por dvρ , donde
ρ : densidad volumétrica de masa
dv: elemento de volumen
ii) En muchos casos es recomendable hacer la descripción del fenómeno
desde el sistema CM, debido a que las ecuaciones pueden simplificarse
sustancialmente ,por ejemplo, la CMv
r
siempre es cero, esto es, ' 0CMv ≡
rr
.
¿? Como describo el CM en base a simetrías del SP (cuerpo)
¿? El CM da información acerca de como esta distribuida la masa del SP
¿? Se puede calcular el CM de manera sencilla
¿? Como interviene el CM en el movimiento de los cuerpos
¿? Como utilizamos el CM en nuestra vida cotidiana
¿? Intervendrá en CM en otros campos de la Física
¿? Se usara CM tecnológicamente
4,5) Energía para un sistema de partículas
i) Energía Cinética, Ek
2
, ,
1
2
k k sp k i i i
i i
E E E m v≡ ≡ ≡∑ ∑

Relación entre Ek,0 y Ek,cm
2
, ,
1
2
k o cm k cmE Mv E≡ +
ii) Energía Potencial, Ep
, ,p sp p p i
i
E E E≡ ≡ ∑
Si la ,p iE fuese ,pg iE , entonces, ,pg pg i CM
i
E E Mgz≡ ≡∑
iii) Energía Mecánica, EM
, ,M sp M M i
i
E E E≡ ≡ ∑
4,6) Momento Angular, L
L
r
→ descripción rotacional de los movimientos
→F
r
rotaciones… ,R extFF
τ τ≡
rr
r
i) L para una partícula

rxrmpxrL 
≡≡0
LAB ≡ FIJO
ii) L para un SP
sp i i i i i i
i i i
L L L r xp m r xr≡ ≡ ≡ ≡∑ ∑ ∑
      
Relación entre o cmL y L
 
o CM CM CML Mr xr L≡ +
  
m
v

r

0
≡ CM
0
106

4,7) Torque para un sistema de partículas,τ
i) n =1
0 rxFτ =
 
ii) n partículas
Relación entre y Lτ

Lp

→ : rotacional, están vinculados por p
dt
d
FR

=
F
F τ→
 
: rotacional, están vinculados por ¿?
m
•
r

0 F

m1 ° mi
0 ir

iF

107
0
1 1
n n
i i i
i i
r xFτ τ
= =
= =∑ ∑
  

R = R ( ,L τ
 
)
R
d
L
dt
τ = →

,R ext
o
dL
dt
τ =


Esta ecuación simple que vincula a y Lτ

es valida cuando,
i) O: fijo en el espacio
ii) O: el CM, 0 = 0’ =CM
iii) O:v0 // vcm ; ‘0’ se mueve // al cm
Ahora, de ii) { } { },R ext
d d
F p mv m a
dt dt
= = =
   
cmaM

= , esto es, ,R ext cmF Ma=
 
,
esta ecuación también debe de cumplirse para mostrar la simetría
completa entre lo trasnacional y lo rotacional.
Para ciertas direcciones especiales se cumple,
L Iw=
 
ejes principales de inercia
I: momento de inercia
,R ext Iτ α=

Los momentos de inercia son, por lo tanto, equivalentes a las masas,
dan información acerca de la oposición que muestra un SP (cuerpo) a
las rotaciones en ciertas direcciones, también están fuertemente ligados
a la simetría del SP (cuerpo) así como a la distribución de las masas, por
supuesto.
El I para un SP en cierta dirección dada por el eje ξ, se determina de la
siguiente forma,
ξ
ri mi
2
i i
i
I m rξ
≡ ∑

S4P22) La figura muestra un sistema de dos partículas en el instante inicial ( t
= 0 s), donde ( )1
ˆˆ ˆ4 3 2r i j k= + +

m, ( )2 1 2
ˆ ˆ5 12 , 2 1r i j m m m kg= + = =

y las
velocidades en función del tiempo son 1
ˆv tk=

m/s y ( )2
ˆˆ ˆ5 6v ti j k= − +

m/s. Halle para t = 1 s,
a) El centro de masa
b) La fuerza sobre el sistema
c) El momentum angular respecto de O
d) El momentum angular del centro de masa
e) El momento de inercia respecto del eje z.
f) La energía cinética respecto del centro de masa
g) La energía cinética respecto de O
h) Interprete la diferencia entre c y d, también entre f y g.
SOLUCION:
r1 (0) ≡√
r2 (0) ≡√
m1 ≡ 1
m2 ≡ 0,5
v1 ≡ tk

2v

m2
2r

m1
1r

1v

109

( )2
ˆˆ ˆ5 6v ti j k≡ − +

a) ? 1CMr t s≡ ≡

( ) ( ){ }1 1 2 2
1
( )CMr t m r t m r t
M
≡ +
  
b) 1 2?,F F f f≡ ≡ +
  
c) 0LL

≡
1/2221121 ≡+≡+≡ tvxrmvxrmLLL i

d) 0'CML L L′≡ ≡
  
1/
21
2211
≡
+
+
≡≡ t
mm
vmvm
rv CMCM


e) I = ¿?
f) Ek del sistema de partículas / o’ ≡ CM
Ek ≡ Ek,CM
2 2
, 1 1 2 2
1 1
' '
2 2
k cmE m v m v≡ +
cm ≡ móvil:
1 1, 1' cm cmv v v v≡ ≡ −
   
1 0 /0 1'v v v′≡ +
  

2 2' cmv v v≡ −
  
2
,
1
2
k cm k CME E Mv≡ −
2 2
1 1 2 2
1 1
2 2
kE m v m v≡ +
=√√ , t ≡ 1
g) Ek
h) c) – d): I - Icm≡ M cmcm rxr 
f) – g): Ek – Ekicm ≡
2
1
m
2
cmv
4,8) Aplicación importante de sistema de partículas: Choques o
colisiones.
El fenómeno es muy importante puesto que nos permite acceder a
conocimiento valioso acerca de,
→ Estructura de la materia:
Experimento de E Rutherford
Modelo planetario
Aceleradores de partículas: AL de Stanford, anillo del CERN (Teoría M)
α
111

→ Caracterización de materiales:
e = √
θ i = √
θ r = √
µ : se puede conocer!
→ Eventos de extinción masiva, EEM
Extinción de saurios.
Desaparición de la especie humana: colisión con asteroide masivo para
2027.
Este fenómeno es producido por fuerzas impulsivas IF

, las cuales se
caracterizan por:
- Ser muy intensas 103-4
- ∆t: tiempo de actuación de los I
F

del orden ∼ 10-3
a 10-4
P P: INF n
1012
eV
µ
Y
-FI FI
X
Línea de colisión o impacto: x
112

En la aproximación de los IF
r
se considera la conservación del p

para todo
choque.
p

≡ cte
p

≡ 'p

Los choques pueden clasificarse espacialmente de la siguiente manera,
i) Choques frontales o unidimensionales:
Cuando las velocidades antes y después de la colisión se encuentran en una L.
Esta línea L es la línea de colisión o impacto, Lc.
ii) Choques oblicuos o bidimensionales:
Las v
r
de las partículas en un plano, este plano es determinado por la L de
colisión y cualquier otra L ⊥ a ella.
v1 v2 x
x: Línea de colisión o impacto
113

iii) Choques Espaciales o Tridimensionales
sv
r
en el R3
.
Los choques también pueden describirse en función de las Ek
involucradas,
i) Choques elásticos
Ek = cte → Eki ≡ Ekf
ii) Choques inelásticos
Ek ≠ cte → Eki = Ekf + Q; Q: forma de energía no cinética, por ejemplo
energía potencial de deformación.
Es frecuente introducir el coeficiente de restitución del choque, e, cantidad
definida por Newton que valora las velocidades relativas antes y después de la
colisión,
12 1 12 1 22 ,' vv vev v≡ −= −
Donde: e: coeficiente de restitución
1
1v
r
y 'p
r 1
2v
r
x
1v
r
p
r
2v
r
114

v12: velocidad de 1 respecto de 2 antes de la colisión, v12 = v1-v2
12' :v velocidad de 1 respecto de 2 después de la colisión, v’12 = v’1-v’2
2 1
1 2
' 'v v
e
v v
−
=
−
Esta ecuación valida para el choque frontal puede ser aplicada en el caso
bidimensional respecto de la L de colisión o impacto,
2 12 1
1 2 1 2
' '' ' x x
x xx
v vv v
e
v v v v
−−
= =
− −
En los choques por lo general se miden las sv
r
o en ciertos casos las masas,
→vs =?
1 2' , ' ?v v =
1) ' 'p p p p= → =
r r
1 1 2 2 1 1 2 2' 'm v m v m v m v+ = +→
r r r r
2) Es e
1'v
r
y 'p
r
2'v
r
1' xv
r
2' xv
r
x
1v
r
p
r
2v
r
xv1
r
xv2
r
115

Ek = Ek’ o e = 1 o
Ek = Ek’+Q 0 ≤ e < 1
2 2 1 2
1 2 1 1 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
kE mv mv m v m v= + = +
2 12 1
1 2 1 2
' '' ' x x
x xx
v vv v
e
v v v v
−−
= =
− −
S4P12) Dos discos circulares A y B se están moviendo sobre una superficie
horizontal lisa cuando chocan según un impacto central oblicuo, como se
indica en la figura. El disco A pesa 10 kg y el disco B 6 kg . Antes del
choque la velocidad de A fue smj5+i5=V A /
rrr
y la velocidad
de B fue smj5+i12-=V B /
rrr
.
Si el coeficiente de restitución para estos dos discos es 0,7, determine
las velocidades de los discos después del choque y el porcentaje total de
energía cinética perdida.
SOLUCION:
mA = 10
mB = 6
vA = (5 iˆ + 5 jˆ ) m/s
vB = -12 iˆ +5 jˆ
e= 0,7
Y
AV
r
BV
r
A B X
Y
AV
r
BV
r
A B X
116

a) x : Lc , se analizaran los cambios del p solo en x ,
1°) ' '/xp p p p≡ → =
r r r r
' 'A A B B A A B Bm v m v m v m v+ = +
r r r r
{ } { } { } { }ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ10 5 5 6 12 5 10 ' 6 'Ax Ay Bx Byi j i j v i v j v i v j+ + − + = + + +
50 72 2: 10 ' 6 ' 2Ax Bxv vx − = + ≡ −
2°)
' '
2 1
1 2
1
0,7 :
2
x x
x x
Av v
e
Bv v
=−
= =
=−
' '
0,7 Bx Ax
Ax Bx
v v
v v
−
=
−
{ } { }
' '
5 12
Bx Axv v−
=
− −
' '
17 0,7 11,9Bx Axv v− ≡ × ≡→
'
'
?
?
Bx
Ax
v
v
≡
≡
' ' ˆ ˆ5A Axv v i j→ = +
r
∧ ' ' ˆ ˆ5B Bxv v i j= +
b)
'
k k
k
E E
E
−
x 100%
{ } { }2 2 2 21 1
2 2
k A Ax Ay B Bx ByE m v v m v v= + + + { } { }2 2 2 21 1
' ' ' ' '
2 2
k A Ax Ay B Bx ByE m v v m v v= + + +
S4P2) El sistema que se muestra esta formado por dos cuerpos A y B, unidos
por una cuerda y un resorte comprimido tal como se muestra en la
figura. Todo el sistema se mueve con velocidad constante V0 = 6 m/s
sobre una superficie horizontal sin fricción y la energía potencial del
sistema es 27,12 J. Si se rompe la cuerda, determine la velocidad que

tiene cada cuerpo inmediatamente después de que esto sucede.
Considere mA = 0,90 kg y mB = 1,36 kg.
SOLUCION:
Y ' V 'A
A
60°
'
X’
B
V '
B
A
60°
V0
B
118

Piso horizontal liso
V0 = 6
Epe = 27,12 '
Av =?
mA = 0,9
mB = 1,36 '
Bv =?
:p cte p p′≡ ≡
uurr r r
' '
'A A B B A A B Bp m v m v m v m v p≡ + ≡ + ≡
r r r r r r
EM = cte ← wFNC
≡ 0 ← FNC = N
r
EM = E’M
2 2 2 '21 1 1 1
'
2 2 2 2
M A A B B pe A A B BE m v m v E m v m v≡ + + = +
Desde el CM:
' '
, :A Bv v→ Epe →Ek
→ ':p p
r r
desde el CM
'
' 0 ' ' 0' 0CMp p Mv p m≡ ¬ ≡ → = ≡
r r rr r r r
''
BBAA vmvm ≡ (l)
cteEM ≡→
'2 '21 1
0 '
2 2
M pe A A B B ME E m v m v E≡ + ≡ + ≡ (ll)
' '
?, ?A Bv v≡ ≡
Calculando velocidades desde O

'
ACMA vvv

+≡
'
B CM Bv v v+ +
  
?, ?A Bv v≡ ≡
 

S4P4) Un niño de m kg de masa se encuentra
inicialmente parado sobre un tablón de M
kg de masa y L m de longitud, como
muestra la figura. Si el niño empieza a
moverse con una ivv ˆ0−≡

m/s (respecto
de O) y la superficie X es lisa, determine:
a)La velocidad del tablón (respecto de O.
b) La posición del niño (desde O) cuando llegue al extremo A del tablón.
c)La posición del tablón (punto medio del tablón) cuando el niño este en
A.
d) ¿Qué ocurre con el CM del sistema niño-tablón?
SOLUCION:
a)
0 ≡ MV + m(-v0) → 0
m
V v
M
 
≡  ÷
 
b)
-(v0 + V)
( )
( )/ 0
0 0
0 0
n t
L L ML
v v V t
mv V v M mv v
M
≡ − + → ≡ ≡ ≡
+ ++
A B
X
O L
V -v0
M m
o X
m o’
O xA X
121

t: tiempo para que el niño se desplace desde B hasta A, o sea, tiempo para que
el niño se encuentre en la posición xA. Calculamos dicha posición usando al
tablón,
A
m
x V t
M
→ ≡ × ≡ 0v
 
 ÷
 
M
×
0
L
v ( )M m
→
+ ( )A
mL
x
M m
≡
+
c) De b)
( ) ( )
{ }' 3
2 2
o
mL L L
x M m
M m M m
≡ + ≡ +
+ +
d) 0cmv ≡
S4P7) Un sistema consiste de cuatro partículas de igual masa “m” que están
unidas por medio de barras rígidas de igual longitud “l” y de masa
despreciable. El sistema está inicialmente en reposo sobre una
superficie horizontal lisa. Se aplica un impulso

I , como se indica en la
figura,

I = I i , para t = 0. Determine:
a) La velocidad del CM,
rcm .
b)La velocidad angular del sistema,

w .
SOLUCION:
Y
m
l
X

I
122

ˆI Ii≡
a) ?cmv ≡

,R EXTF
I I P≡ ≡ ∆
  
{ }( ) (0) 4 0cmP P t P P m v∆ ≡ − → ≡ −
    
{ }4 cmP m v I∆ ≡ ≡ →
 
4
cm
I
v
m
≡


b) ?w ≡

CM: ,R ext
dL w
I I
dt t
τ α
∆
≡ ≡ ≡
∆
 

0t∆ → , ) )ˆ( (R ext F k It It l l wτ ∆ ≡ ≡∆ ≡ ∆
  
(Problema escalar)
( ) ( )F tF Il lt l∆ ≡ ≡∆ 2
4ml≡ { }{ }0w− →
4
≡
I
w
ml
y
m
0 x
l cm
I

123

S4P11) Una bala de masa m y velocidad v pasa a través de la esfera de un
péndulo de masa M saliendo con una velocidad v/2. La esfera pendular
cuelga del extremo de la cuerda de longitud l. ¿Cuál es el menor valor
de v para el cual la esfera complete una circunferencia?
SOLUCION:
Por conservación del

L debido a que el , 0τ ≡

R ext ,
≡
uu
L cte
'
2
≡ ≡ ≡ +
v
L mlv L MlV ml
Asumiendo que la esfera adquiere una velocidad V inmediatamente después.
: ,
2
:
 
≡ ≡ + 
 
uu v
ojo IDEp cte mv M MV m
Por conservación de la Energía. Igualando KA pgBE E≡ ,
B
l
V
A
M
21
(2 )
2
KA pgBE mv E mg l≡ ≡ ≡ → 4v lg≡
0
l
v
2
v
124

Con lo cual para que la esfera pueda completar la vuelta se requerirá, 2>V gl
, y conjugando esta condición con la ecuación que se desprende de ≡
uu
L cte ,
2 2
≡ → ≡
m mv
v MV V
M
2
2
→ > →
mv
gl
M
4
>
M
v gl
m
S4P10) Una granada de masa M está cayendo con una velocidad v0, y se
halla a una altura h, cuando explota en dos fragmentos iguales que
inicialmente se mueven horizontalmente en el sistema-CM. La
explosión tiene un valor Q igual a 2
0Mv . Determine los puntos donde
los fragmentos chocarán con el suelo con relación al punto
directamente debajo de la granada en el momento de la explosión.
SOLUCION:
CM: 1 2 1 2' 0:0 ' ' ' ' '
2 2
   
≡ ≡ − → ≡ ≡ ÷  ÷
   
 M M
p v v v v v
≡Q M 2
0
1
2
≡
M
v 2 1
( ')
2 2
 
+ ÷
 
M
v 2
( ')
2
 
≡ ÷
 
M
v 2
( ')
2
→v 0' 2≡v v
Ahora, el tiempo de movimiento de los fragmentos, t,
y
h M
v0
x0 x
M/2 M/2
-v’ v’
CM
R x0 P
125

en el eje y el CM realiza MRUV
( )
( )
( )
( ) ( ) 2
0
2
0
2
0
0 0 (0) 5
0 0 5
0 5 0
≡ − ≡ + −

≡ ≡ − −
≡ → + − ≡
y yv v y t y v t t
y t h v t t
y h t v t h
2
0 0
1,2
20
10
− ± +
≡
v v h
t
2
0 020
10
v h v
t
+ −
≡
Con lo que,
2
0 0
0 0 0 0
20
2 2
10
R R
v h v
x x v t x x v
 + − 
≡ − → ≡ −  
  
y
2
0 0
0 0 0 0
20
2 2
10
R R
v h v
x x v t x x v
 + − 
≡ + → ≡ +  
  
¿? Como seria si se analizara desde O
1 0
2 0
ˆ ˆ: '
ˆ ˆ'
≡ −
≡ − −


O v v i v j
v v i v j
Por conservación de la energía,
{ } { }2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
1 1 1
' '
2 2 2 2 2 2 2
   
+ + ≡ + + + + +      
M M M M
Mv Mv Mgh v v gh v v gh
3
2
M 2
0 ≡
M
v
2
{ }2 2 2 2
0 0 0' 2 ' ' 2+ → ≡ → ≡v v v v v v
…

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