Material sobre el Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio dirigido a estudiantes de la carrera Urbanismo en la UCLA estado Lara Venezuela

1. UCLA. DECANATO DE INGENIERÍA CIVIL Y URBANISMO
PROF. FRANK ARANGUREN G.
TEOREMA DE ROLLE Y TEOREMA DEL VALOR MEDIO
DIFERENCIABILIDAD
Se dice que una función f es diferenciable en x1, si existe la derivada en x1, en otras palabras, la función f es
diferenciable en x1 si f´(x1) existe.
En relación a este concepto se cumple que:
• Una función f es diferenciable en un intervalo abierto (a, b) si es diferenciable en todo número perteneciente al
intervalo (a, b).
• Si una función f es diferenciable en x1, entonces f es continua en x1.
• Si una función f es diferenciable en un intervalo I, entonces f es continua en el intervalo I.
• Una función polinómica es continua y diferenciable en todo R.
EL TEOREMA DE ROLLE
Sea ݂ una función tal que:
i) Sea continua en el intervalo cerrado [a, b].
ii) Sea diferenciable en el intervalo abierto (a, b).
iii) f(a) = f(b).
Entonces, existe un número c en el intervalo abierto (a, b) tal que f´(c) = 0. En la siguiente figura se observa lo que
alude este teorema.
Es posible que exista más de un número c en el intervalo abierto (a, b) para el cual f´(c)=0.
Material elaborado por Ing. Frank Aranguren G.

2. EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO
Sea f una función tal que:
i) Sea continua en el intervalo cerrado [a, b].
ii) Sea diferenciable en el intervalo abierto (a, b).
Entonces existe un número c en el intervalo abierto (a, b) tal que f ′ (c ) =
f(b) - f(a)
b - a
En la siguiente figura se observa lo que alude este teorema.
Es posible que exista más de un número c en el intervalo abierto (a, b) para el cual f ′ (c ) =
f(b) - f(a)
.
b - a
EJERCICIOS RESUELTOS:
a) Verifique que la función dada satisface las condiciones del Teorema de Rolle en el intervalo indicado. Halle todos
los puntos c que satisfagan la conclusión del teorema.
2
f(x) = x – 4x + 3; [1 3]
,
Solución:
Derivando la expresión se obtiene f´(x) = 2x – 4.
f(x) es una función polinómica, por lo que f´(x) existe para todos los valores de x. Luego f es diferenciable en
(-∞, +∞) y, por tanto, continua en (-∞, +∞). Las condiciones i) y ii) del Teorema de Rolle se cumplen en cualquier
intervalo.
Material elaborado por Ing. Frank Aranguren G.

3. 2
2
Por otro lado, f(1) = 1 – 4.1 + 3 = 0 y f(3) = 3 – 4.3 + 3 = 0. Se cumple la condición iii) del Teorema de Rolle.
Para hallar el valor de c al cual alude la conclusión del teorema hacemos f´(c) = 0 y se obtiene
f´(c) = 2c – 4 = 0, y de aquí c = 2.
b) Verifique que la función dada satisface las condiciones del Teorema del Valor Medio en el intervalo indicado. Halle
todos los puntos c que satisfagan la conclusión del teorema.
f(x) = x2 + 2x - 1; [0 , 1]
Solución:
Derivando la expresión se obtiene f´(x) = 2x + 2.
f(x) es una función polinómica, por lo que f´(x) existe para todos los valores de x. Luego f es diferenciable en
(-∞, +∞) y, por tanto, continua en (-∞, +∞). Las condiciones i) y ii) del Teorema del Valor Medio se cumplen en
cualquier intervalo.
Por otro lado, f(0) = 02 + 2.0 – 1 = -1 y f(1) = 12 + 2.1 – 1 = 2.
Entonces, f (1) − f (0) = 2 − ( −1) = 3
1− 0
1
Para hallar el valor de c al cual alude la conclusión del teorema hacemos f´(c) = 3 y se obtiene
f´(c) = 2c + 2 = 3, y de aquí c = 1/2.
EJERCICIOS PROPUESTOS:
a) Verifique que la función dada satisface las condiciones del Teorema de Rolle en el intervalo indicado. Halle todos
los puntos c que satisfagan la conclusión del teorema.
f(x) = x3 – 2x2 – x + 2; [1, 2]
b) Verifique que la función dada satisface las condiciones del Teorema del Valor Medio en el intervalo indicado. Halle
todos los puntos c que satisfagan la conclusión del teorema.
f(x) = x3 + x2 - x; [− 2 , 1]
Material elaborado por Ing. Frank Aranguren G.