1. Nama: FAJAR MIFTAKHURROHMAN
NPM: 13310287
Kelas: 3J
Blog: fajarcoeg.blogspot.com
DO YOU KNOW????????
Nama Asli dari al-Khawarizmi ialah Muhammad
Ibn Musa al-khawarizmi. Selain itu beliau
dikenali sebagai Abu Abdullah Muhammad bin
Ahmad bin Yusoff. Al-Khawarizmi dikenal di
Barat sebagai al- Khawarizmi, al-Cowarizmi, al-
Ahawizmi, al-Karismi, al-Goritmi, al-Gorismi dan beberapa cara ejaan lagi. Beliau
dilahirkan di Bukhara.Tahun 780-850M adalah zaman kegemilangan al-Khawarizmi. al-
Khawarizmi telah wafat antara tahun 220 dan 230M. Ada yang mengatakan al-Khawarizmi
hidup sekitar awal pertengahan abad ke-9M. Sumber lain menegaskan beliau hidup di
Khawarism, Usbekistan pada tahun 194H/780M dan meninggal tahun 266H/850M di
Baghdad. Dalam pendidikan telah dibuktikan bahawa al- Khawarizmi adalah seorang tokoh
Islam yang berpengetahuan luas. Pengetahuan dan keahliannya bukan hanya dalam bidang
syariat tapi di dalam bidang falsafah, logika, aritmatika, geometri, musik, ilmu hitung,
sejarah Islam dan kimia. AL KHAWARIZMI SEBAGAI GURU BESAR ALJABAR DI
EROPA Beliau telah menciptakan pemakaian Secans dan Tangen dalam penyelidikan
trigonometri dan astronomi. Dalam usia muda beliau bekerja di bawah pemerintahan
Khalifah al-Maโmun, bekerja di Bayt al-Hikmah di Baghdad. Beliau bekerja dalam sebuah
observatory yaitu tempat belajar matematika dan astronomi. Al-Khawarizmi juga dipercaya
untuk memimpin perpustakaan khalifah. Beliau pernah memperkenalkan angka-angka India
dan cara-cara perhitungan India pada dunia Islam. Beliau juga merupakan seorang penulis
Ensiklopedia dalam berbagai disiplin. Al-Khawarizmi adalah seorang tokoh yang pertama
kali memperkenalkan aljabar dan hisab. Banyak lagi ilmu pengetahuan yang beliau pelajari
dalam bidang matematika dan menghasilkan konsep-konsep matematika yang begitu
populer yang masih digunakan sampai sekarang.
2.
3. A. PERSAMAAN KUADRAT
a) Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Masih ingatkah kalian tentang bentuk Persamaan Linear Satu variabel (PLSV)?
PLSV adalah suatu persamaan yang variabelnya memiliki pangkat tertinggi 1, contoh a :
2x + 3 = 0, 2q โ 11 = 0, 3x + 21 = 0
Nah sekarang coba perhatikan contoh b berikut:
a. ๐ฅ2
+ 3๐ฅ = 7
b. 2๐ฅ2
+ 9๐ฅ = 11
c. ๐ฅ2
+ 3๐ฅ = 3
AYO BERFIKIR !
Dari yang kalian amati, apa perbedaan dari contoh a dan b yang terlihat?
Jelas terlihat bahwa perbedaannya terletak pada pangkat dari variabel. Pada contoh a
pangkat tertinggi dari variabel adalah 1, sedangkan pada contoh b pangkat tertinggi dari
variabel adalah 2.
Lalu apa yang dapat kita simpulkan dari kedua contoh tersebut?
PERSAMAAN KUADRAT adalah suatu persamaan yang memiliki pangkat
tertinggi 2 seperti pada contoh 1.2. secara umum persamaan kuadrat dituliskan sebagai
berikut :
๐๐ ๐
+ ๐๐ + ๐ = ๐, ๐ โ ๐ ๐ ๐๐ ๐, ๐, ๐ โ โ
konstanta
Konstantaadalahsymbol yangmenunjukan
bilangantertentu.Konstantayangterletakdi
depanvariabel jugabiasdisebut koefisien.
4. Contoh 1a :
Ubahlah persamaan berikut ke dalam bentuk umum persamaan kuadrat :
2๐ฅ2
+ 23๐ฅ โ 9 = ๐ฅ2
โ 7๐ฅ + 3
Penyelesaian :
2๐ฅ2
+ 23๐ฅ โ 9 = ๐ฅ2
โ 7๐ฅ + 3
โ 2๐ฅ2
+ 23๐ฅ โ 11 = ๐ฅ2
โ 7๐ฅ
โ 2๐ฅ2
+ 30๐ฅ โ 11 = ๐ฅ2
โ ๐ฅ2
+ 30๐ฅ โ 11 = 0
Jadi bentuk umum persamaan kuadrat 2๐ฅ2
+ 23๐ฅ โ 9 = ๐ฅ2
โ 7๐ฅ + 3 adalah ๐ฅ2
+ 30๐ฅ โ
11 = 0.
b) Menentukan Akar Persamaan Kuadrat
Cara menentukan akar persamaan kuadrat ada tiga cara yaitu :
1. Memfaktorkan
2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna
3. Rumus ABC
1) Memfaktorkan
REMIND ME
Masih ingatkah kalian dengan perkalian bentuk aljabar?
Mari kita perhatikan contoh berikut ini.
5. Perkalian bentuk aljabar
๐ฅ( ๐ฅ + 9) = ๐ฅ2
+ 9๐ฅ ( ๐ฅ + 2)( ๐ฅ โ 5) = ๐ฅ2
โ 5๐ฅ + 2๐ฅ โ 10
( ๐ฅ + 2)( ๐ฅ โ 5) = ๐ฅ2
โ 3๐ฅ โ 10
Bagaimana jika sebaliknya ????
๐ฅ2
+ 9๐ฅ = ๐ฅ( ๐ฅ + 9) ๐ฅ2
โ 3๐ฅ โ 10 = ( ๐ฅ + 2)( ๐ฅ โ 5)
Nah bentuk diatas yang disebut memfaktorkan.
AYO KITA AMATI
๏ Berikut adalah langkah untuk memfaktorkan persamaan kuadrat jika ๐ = ๐.
Jika kita mempunyai persamaan kuadrat ๐๐ ๐
+ ๐๐ + ๐ = ๐, dan p,q adalah bilangan bulat
maka hasil pemfaktorannya adalah ( ๐ฅ + ๐)( ๐ฅ + ๐).
( ๐ฅ + ๐)( ๐ฅ + ๐) = ๐ฅ2
+ ๐๐ฅ + ๐๐ฅ + ๐๐
= ๐ฅ2
+ ( ๐ + ๐) ๐ฅ + ๐๐
Sehingga persamaan kuadrat ๐๐ฅ2
+ ๐๐ฅ + ๐ = 0 ekivalen dengan ๐ฅ2
+ ( ๐ + ๐) ๐ฅ + ๐๐.
Jadi dapat kita simpulkan bahwa ๐ + ๐ = ๐ ๐๐๐ ๐. ๐ = ๐.
Contoh 1.b :
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat dari ๐ฅ2
+ 6๐ฅ + 8 = 0.
Penyelesaian :
Mencari dua bilangan yang merupakan faktor dari 8 dan jika kedua bilangan dijumlahkan
menghasilkan 6. Jika bilangan itu p dan q maka ๐. ๐ = 8 ๐๐๐ ๐ + ๐ = 6.
Jadi kita peroleh ๐ = 2 ๐๐๐ ๐ = 4
Sehingga persamaan kuadrat ๐ฅ2
+ 6๐ฅ + 8 = 0
dapat difaktorkan sebagai berikut :
๐ฅ2
+ 6๐ฅ + 8 = 0
๐ฅ2
+ 6๐ฅ + 8 = 0
P Q ๐ + ๐ ๐. ๐
1 8 9 8
2 4 6 8
-1 -8 -9 8
-2 -4 -6 8
6. ( ๐ฅ + 2)( ๐ฅ + 4) = 0
๐ฅ = โ2 ๐๐ก๐๐ข ๐ฅ = โ4
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {โ4, โ2}.
Contoh 2.b :
Selesaikan x2 โ 4 x + 3 = 0
Jawab: x2 โ 4 x + 3 = 0
(x โ 3) (x โ 1) = 0
x โ 3 = 0 atau x โ 1 = 0
x = 3 atau x = 1
Jadi, penyelesaian dari x2 โ 4 x + 3 = 0
adalah 3 dan 1.
Contoh 3.b :
Tentukan himpunan penyelesaian dari (x โ
2)2 = x โ 2.
Jawab: (x โ 2)2 = x โ 2
x2 โ 4 x + 4 = x โ 2
x2 โ 5 x + 6 = 0
(x โ 3) (x โ 2) = 0
x โ 3 = 0 atau x โ 2 = 0
x = 3 atau x = 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3
, 2}.
Contoh 4.b :
Tentukan penyelesaian dari 2 x2 + 7 x + 6
= 0.
Jawab: 2 x2 + 7 x + 6 = 0
2 x2 + 4 x + 3 x + 6 = 0
2 x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0
(x + 2) (2 x + 3) = 0
x +2 = 0 atau 2 x + 3 = 0
x = โ2 atau x = โ 1
Jadi, penyelesaiannya adalah โ2 dan โ1.
๏ Cara memfaktorkan persamaan kuadrat jika ๐ โ ๐.
Untuk mengetahui bagaimana caranya mencari akar-akar persamaan kuadrat jika ๐ฅ2
+ ๐๐ฅ +
๐ = 0, ๐ โ 1. Perhatikan contoh berikut.
Contoh 5.b :
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat dari 2๐ฅ2
+ ๐ฅ โ 3 = 0 !
Penyelesaian :
Kita mencari dua bilangan jika dikalikan hasilnya ๐. ๐ dan jika dijumlahkan hasilnya b.
Didalam soal ๐. ๐ = 2. (โ3) = โ6 ๐๐๐ ๐ = 1.
Kita peroleh kedua bilangan tersebut adalah โ2 ๐๐๐ 3.
7. 2๐ฅ2
+ ๐ฅ โ 3 = 2๐ฅ2
+ โฏโ 3
= 2๐ฅ2
โ 2๐ฅ + 3๐ฅ โ 3 jabarkan x menjadi โ๐๐ + ๐๐
= (2๐ฅ2
โ 2๐ฅ) + (3๐ฅ โ 3) beri tanda kurung
= 2๐ฅ(๐ฅ โ 1) + 3(๐ฅ โ 1) faktokan bentuk aljabar didalam kurung
= (2๐ฅ + 3)(๐ฅ โ 1) gunakan sifat distributif
Sehingga dapat diselesaikan sebagai berikut :
2๐ฅ2
+ ๐ฅ โ 3 = 0
(2๐ฅ + 3)( ๐ฅ โ 1) = 0
๐ฅ = โ
3
2
๐๐ก๐๐ข ๐ฅ = 1
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {โ
3
2
, 1}.
2) Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi
Ada beberapa langkah, yaitu :
1. Koefisien x2 harus 1
2. Konstanta pindah ke ruas kanan x2 + mx = n
3. Diubah ke bentuk kuadrat sempurna (x + p)2 = q
Contoh 6.b :
Tentukan himpunan penyelesaian dari ๐ฅ2
+ 8๐ฅ + 12 = 0!
(x + p)2
= q
8. Penyelesaian :
๐ฅ2
+ 8๐ฅ + 12 = 0
๐ฅ2
+ 8๐ฅ = โ12
๐ฅ2
+ 8๐ฅ + (
1
2
. 8)
2
= โ12 + (
1
2
. 8)
2
๐ฅ2
+ 8๐ฅ + 16 = โ12 + 16
( ๐ฅ + 4)2
= 4
( ๐ฅ + 4) = ยฑโ4
( ๐ฅ + 4) = ยฑ2
๐ฅ = 2 โ 4 = โ2 ๐๐ก๐๐ข ๐ฅ = โ2 โ 4 = โ6
Jadi himpunan penyelesaiannya {โ6,โ2}
Contoh 7.b :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 โ 6 x + 5 = 0.
Jawab: x2 โ 6 x + 5 = 0
x2 โ 6 x + 9 โ 4 = 0
x2 โ 6 x + 9 = 4
(x โ 3)2 = 4
x โ 3 = 2 atau x โ 3 = โ2
x = 5 atau x = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.
3) Menggunakan Rumus Kuadratik
Selain menggunakan pemfaktoran, mencari akar-akar persamaan kuadrat ๐๐ ๐
+ ๐๐ +
๐ = ๐ adalah dengan menggunakan rumus kuadratik atau biasa disebut rumus abc. Rumus
kuadrat dapat diturunkan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna sebagai berikut :
๐๐ฅ2
+ ๐๐ฅ + ๐
kedua ruas ditambah โc, maka menjadi :
๐๐ฅ2
+ ๐๐ฅ + ๐
12. Latihan 1
1. Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini:
a. x2 โ 3x + 2 = 0
b. 3x2 โ 9x = 0
c. 6x2 โ 13x + 6 = 0
d. 5p2 + 3p + 2 = 0
e. 9x2 โ 3x + 25 = 0
2. Nyatakan persamaan-persamaan kuadrat berikut dalam bentuk umum, kemudian
tentukanlah akar-akarnya!
a. 2x โ x(x + 3) = 0
b. (x โ 3) (x + 2) โ 2x2 + 12 = 0
c. (x โ 3)2 + 2(x โ 3) โ 3 = 0
3. Salah satu akar x2 โ mx + 12 = 0 adalah 3. Hitunglah nilai m dan akar yang lain!
4. Jika x = 1 memenuhi persamaan (a โ 1)x2 + (3a โ 1)x = 3a, hitunglah a dan akar yang
lain!
5. Untuk percetakan kartu nama, diperlukan kertas yang berbentuk persegi panjang
dengan panjang dan lebar berselisih 4 cm, sedangkan luasnya 45 cm2. Hitunglah
panjang dan lebar kartu nama itu!
13. c) Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat
Dari rumus kuadratik tampak bahwa akar-akar persamaan kuadrat sangat ditentukan oleh
nilai ๐ ๐
โ ๐๐๐. Bentuk ๐ ๐
โ ๐๐๐ disebut diskriminan (pembeda) dari persamaan kuadrat
๐๐ฅ2
+ ๐๐ฅ + ๐ = 0 dan dilamangkan dengan huruf D, sehingga ๐ท = ๐ ๐
โ ๐๐๐.
Pemberian nama/istilah diskriminan ๐ท = ๐ ๐
โ ๐๐๐, dikarenakan nilai ๐ท = ๐ ๐
โ ๐๐๐ ini
yang mendiskriminasikan (membedakan) jenis-jenis akar persamaan kuadrat. Jadi kegunaan
diskriminan adalah untuk menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat sebagai berikut :
Contoh 1.c :
Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat x2
+ 5 x + 2 = 0
Penyelesaian :
x2 + 5 x + 2 = 0
a = 1 , b = 5 , c = 2
D = b2 โ 4ac = 52 โ 4 . 1 . 2 = 25 โ 8 = 17
Ternyata D > 0. Jadi, persamaan x2 + 5 x + 2 = 0 mempunyai dua akar real berlainan
Contoh 2.c :
Tentukan nilai k agar persamaan kuadrat kx2 + 3x + k = 0 mempunyai 2 akar sama/kembar
1) ๐ท > 0 maka D merupakan bilangan real positif, sehingga persamaan kuadrat
mempunyai dua akar real berlainan.
2) ๐ท = 0 maka nilai D sama dengan nol, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua
akar real yang sama (akar kembar).
3) ๐ท < 0 maka D merupakan bilangan yang tak real (imajiner),maka persamaan kuadrat
tidak mempunyai akar real atau persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real
(imajiner).
14. Penyelesaian :
Syarat akar kembar D = 0, maka
๐2
โ 4๐๐ = 32
โ 4๐๐
0 = 9 โ 4๐2
4๐2
= 9
๐ = ยฑโ
9
4
๐ = ยฑ
3
2
Jadi agar persamaan kuadrat mempunyai akar kembar ๐ = ยฑ
3
2
Contoh 3.c :
Tentukan m agar persamaan kuadrat berikut x2
โ 2x + (m + 1) = 0 Tidak mempunyai
akar nyata.
Penyelesaian :
Syarat tidak mempunyai akar nyata D < 0, maka
b2
โ 4ac < 0
22
โ 4.1. (m + 1) < 0
4 โ 4๐ โ 4 < 0
โ4๐ < 0
๐ < 0
jadi agar persamaan kuadrat tidak mempunyai akar nyata ๐ < 0.
15. Latihan 2
1. Tanpa menyelesaikan persamaannya, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat
berikut ini:
a. x2 + 6x + 6 = 0
b. x2 + 2x + 1 = 0
c. 2x2 + 5x + 5 = 0
d. โ2x2 โ 2x โ 1 = 0
e. 6t2 โ 5t + 1 = 0
f. 4c2 โ 4c + 3 = 0
2. Tentukan nilai p agar persamaan kuadrat berikut mempunyai akar yang sama
(kembar)!
a. 4x2 + 8px + 1 = 0
b. 4x2 โ 4px + (4p โ 3) = 0
c. px2 โ 3px + (2p + 1) = 0
3. Persamaan x2 โ 4px โ (p โ 1) = 0 akar kembar, tentukan persamaan kuadrat tersebut!
4. Buktikan bahwa persamaan x2 โ px โ (p + 1) = 0 mempunyai dua akar real berlainan!
5. Buktikan bahwa mempunyai dua akar real berlainan!
19. e) Menyusun Persamaan Kuadrat Baru
1. Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor
Pada bahasan terdahulu, persamaan kuadrat x2 + p x + q = 0 dapat dinyatakan sebagai (x
โ x1) (x โ x2) = 0 sehingga diperoleh akar-akar persamaan itu x1 dan x2. Dengan demikian jika
akar-akar persamaan kuadrat x1 dan x2 maka persamaannya adalah (x โ x1) (x โ x2) = 0.
Contoh 1.e :
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -2.
Penyelesaian :
(x โ x1) (x โ x2) = 0
(x โ 3) (x โ (-2)) = 0
(x โ 3) (x + 2) = 0
x2 โ 3 x + 2 x โ 6 = 0
x2 โ x โ 6 = 0.
Jadi persamaan kuadrat yag terbentuk adalah x2 โ x โ 6 = 0.
Contoh 2.e :
Susunlah Persamaan kuadrat baru (PKB) yang akar-akarnya adalah
a. 2 dan 7 => PKB = (x - 2) (x -7)
= x2
- 9x +14
b. -3 dan -4 => PKB = {x-(-3)} {x-(-4)}
= (x+3) (x+4)
= x2
+ 7x + 12
c. -7 dan 2 => PKB = {x-(-7)} (x-2)
= (x+7) (x-2)
= x2
+ 5x โ 14
20. 2. Menyusun persamaan kuadrat baru dengan menggunakan jumlah dan hasil kali
akar-akar persamaan kuadrat
Dengan menggunakan ๐ฅ1 + ๐ฅ2 =
โ๐
๐
dan ๐ฅ1 . ๐ฅ2 =
๐
๐
maka akan diperoleh persamaan sebagai
berikut :
Contoh 3.e :
Susunlah persamaan kuadrat baru yang akarnya 2 kali akar persamaan 2x2 โ 3x + 1 = 0.
Penyelesaian :
๐ = 2 , ๐ = โ3 , ๐ = 1
๐ฅ1 + ๐ฅ2 =
โ๐
๐
=
โ(โ3)
2
=
3
2
๐ฅ1 . ๐ฅ2 =
๐
๐
=
1
2
โข Misalkan akar-akar persamaan 2x2 โ 3x + 1 = 0 adalah x1 dan x2 serta persamaan
kuadrat baru adalah a dan b, maka a = 2x1 dan b = 2x2
a + b = 2(x1 + x2) = 2.
3
2
= 3
a. b = 2x1 . 2x2 = 4x1 x2 = 4 .
1
2
= 2
Persamaan kuadrat yang akarnya a dan b adalah:
x2 โ (a + b)x + ab = 0.
Persamaan kuadrat baru adalah x2 โ 3x + 2 = 0.
๐ ๐
โ ( ๐ ๐ + ๐ ๐) ๐ + ๐ ๐ . ๐ ๐ = ๐
22. LATIHAN 3
1. Akar-akar x2 โ 3x + 4 = 0 adalah x1 dan x2. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan
tersebut, hitunglah nilai:
a. x1 + x2
b. x1.x2
c. x1
2 + x2
2
d. x1
3 + x2
3
2. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya โ2 dan โ3.
3. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar
persamaan x2 โ 2x + 3 = 0.
4. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akarnya 2 kali akar persamaan 2x2 โ 3x + 1 =
0 .
23. B. FUNGSI PERSAMAAN KUADRAT
Domain (Daerah Asal), Kodomain (Daerah Kawan) , dan Range (Daerah Hasil)
a) Pengertian Domain, Kodomian, Range
Misalkan fungsi f memetakan setiap anggota himpunan A ke himpunan B.
a. Himpunan A disebut dengan daerah asal atau domain atau prapeta fungsi f
b. Himpunan B disebut dengan daerah kawan atau kodomain fungsi f
c. Himpunan yang beranggotakan himpunan B yang dipasangkan dengan anggota
himpunan A disebut dengan daerah hasil atau range atau peta fungsi f.
Contoh 1:
Tentukan domain (daerah asal) fungsi-fungsi berikut.
a. F(x) = 4x+1
b. F(x) =โ ๐ฅ โ 16
c. F(x) =
5
5โ๐ฅ
Jawab :
a. Untuk sembarang x bilangan real , f(x) = 4x+1 akan bernilai real atau terdefinisi.
Jadi domainnya adalah x โฌ R atau DF = { X | X โฌ R }
b. Fungsi f(x) = โ ๐ฅ โ 16 akan terdefinisi jika bilangan di dalam tanda akar tidak bernila
negatif
x-16 โฅ 0 x โฅ 16
dengan demikian , domain dari f adalah Df = {x | x โฅ 16}
c. Fungsi pecahan akan terdefinisi jika penyebutnya tidak sama dengan nol. Oleh karena
itu,
24. 5 โ x โ 0 atau x โ 5
Jadi domainnya {x |x โฌ R, x โ 5}
b) Pengertian Fungsi Kuadrat
Fungsi f pada himpunan bilangan real R yang ditentukan oleh rumus ๐( ๐ฅ) = ๐๐ฅ2
+
๐๐ฅ + ๐, dengan ๐, ๐, ๐ โ ๐ ๐๐๐ ๐ โ 0 dinamakan fungsi kuadrat dengan peubah x. Jika f(x) =
0 maka diperoleh persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Nilai-nilai x yang memenuhi
persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f.
Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap2 + bp + c.
c) Bentuk Umum Fungsi Kuadrat
Contoh 2:
Ditentukan: f(x) = x2 โ 6x โ 7
Ditanyakan:
1. nilai pembuat nol fungsi f
2. nilai f untuk x = 0 , x = โ2
3. Jawab:
Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0
x2 โ 6 x โ 7 = 0
(x โ 7) (x + 1) = 0
Bentukumumfungsi kuadrat:
๐( ๐ฅ) = ๐๐ฅ2
+ ๐๐ฅ + ๐, ๐๐๐๐๐๐ ๐, ๐, ๐ โ ๐๐๐ ๐ โ 0
25. x = 7 atau x = โ1
Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7 dan โ1
Untuk x = 0 maka f(0) = โ7
x = โ2 maka f(โ2) = (โ2)2 โ 6 (โ2) โ 7 = 9
d) Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat adalah sebagai berikut:
i. titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y.
ii. titik balik atau titik puncak parabola.
iii. Persamaan sumbu simetri.
Berikut ini adalah penjelasan dari langkah-langkah di atas :
i. Titik potong Grafik dengan Sumbu X dan Sumbu y
a) Titik Potong Grafik dengan Sumbu X
Titik potong grafik dengan sumbu x diperoleh jika y= 0, sehingga ๐๐ฅ2
+ ๐๐ฅ + ๐ = 0
merupakan kuadrat dalam x.
Akar-akar persamaan kuadrat itu merupakan absis titik-titik potongnya dengan sumbu
x. Nilai diskriminan persamaan kuadrat ๐๐ฅ2
+ ๐๐ฅ + ๐ = 0 ,yaitu ๐ท = ๐2
โ 4๐๐ menentukan
banyak titik potong grafik dengan sumbu x.
b) Titik Potong Grafik dengan Sumbu y
Titik potong grafik dengan sumbu y diperoleh jika ๐ฅ = 0, sehingga
1. Jika D > 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu x di dua titik yang berlainan.
2. Jika D = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu x di dua titik yang berimpit.
Dalam hal ini, grafik fungsi f dikatakan menyinggung sumbu x.
3. Jika D < 0, maka grafik fungsi f tidak memotong maupun menyinggung sumbu
x.
26. ๐ฆ = ๐(0)2
+ ๐(0) + ๐ โ ๐ฆ = ๐
Jadi titik potong grafik dengan sumbu y adalah (0, ๐).
c) Titik balik atau titik puncak dan persamaan sumbu simetri
Cara 1 :
๏ Mencari nilai ๐ฅ ๐ menggunakan ๐ฅ ๐ =
โ๐
2๐
๏ Untuk mencari ๐ฆ ๐, substitusikan nilai ๐ฅ ๐ =
โ๐
2๐
ke ๐ฆ = ๐( ๐ฅ) = ๐๐ฅ2
๐๐ฅ + ๐
Cara 2 :
๏ Menggunakan rumus untuk menentukan titik (๐ฅ ๐, ๐ฆ ๐) = (
โ๐
2๐
,
๐2
โ4๐๐
โ4๐
) atau (๐ฅ ๐, ๐ฆ ๐) =
(
โ๐
2๐
,
๐ท
โ4๐
)
Cara 3 : menggunakan turunan (titik puncak = titik stationer)
d) Pilih beberapa nilai x kemudian carilah nilai y nya dengan menstubstitusikan nilai x
pada fungsi
e) Buat daftar nilai f dalam table seperti dibawah ini :
x
y
(x,y)
f) Gambarlah titik-titik (x,y) pada bidang koordinat.
Dengan memperlihatkan nilai D dari suatu fungs kuadrat ๐ฆ = ๐( ๐ฅ) = ๐๐ฅ2
+ ๐๐ฅ + ๐, ada 6
kemungkinan kedudukan grafik fungsi kuadrat terhadap sumbu x, yaitu sebagai berikut :
27. Contoh :
Gambarlah sketsa grafik โ๐ฅ2
+ 2๐ฅ โ 1 !
Penyelesaian :
Grafik fungsi kuadrat ๐ฆ = ๐( ๐ฅ) = โ๐ฅ2
+ 2๐ฅ โ 1 adalah sebuah parabola.
๐ = โ1 , ๐ = 2 , ๐ = โ1
Titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y
a) Titik potong grafik jika ๐ฆ = 0
โ๐ฅ2
+ 2๐ฅ โ 1 = 0
Kedua ruas dikalikan dengan โ1, menjadi :
โ๐ฅ2
โ 2๐ฅ + 1 = 0
( ๐ฅ โ 1)( ๐ฅ โ 1) = 0
๐ฅ = 1
Jadi diperoleh titik potong (1,0) atau grafiknya menyinggung sumbu x di (1,0)
b) Titik potong grafik jika ๐ฅ = 0
Ini berarti ๐ฆ = โ(0)2
+ 2(0) โ 1 = โ1
Jadi diperoleh titik potong (0, โ1)
c) Koordinat titik balik
๐ฅ ๐ =
โ๐
2๐
=
โ2
2(โ1)
= 1
Oleh karena ๐ = โ1 < 0, maka p merupakan titik balik maksimum, sehingga
parabolanya terbuka ke bawah.
d) Persamaan sumbu simetri adalah ๐ฆ ๐
๐2
โ4๐๐
โ4๐
=
22
โ4 (โ1)(โ1)
โ4(โ1)
= 0
e) ๐ฆ = ๐( ๐ฅ) = โ๐ฅ2
+ 2๐ฅ โ 1
x 0 1 2
y -1 0 -1
(x,y) (0,โ1) (1,0) (2,โ1)