2. Funciones
Una función matemática es la relación que hay entre una magnitud y otra, cuando el valor de la
primera depende de la segunda. Por ejemplo, si decimos que el valor de la temperatura del día depende
de la hora a la que la consultemos, estaremos, sin saberlo, estableciendo entre ambas cosas una función.
Ambas magnitudes son variables, pero se distinguen entre:
•Variable dependiente. Es la que depende del valor de la otra magnitud. En el caso del ejemplo, es la
temperatura.
•Variable independiente. Es la que define la variable dependiente. En el caso del ejemplo es la hora.
De esta manera, toda función matemática consiste en la relación entre un elemento de un grupo A y otro
elemento de un grupo B, siempre que se vinculen de manera única y exclusiva. Por lo tanto, dicha función
puede expresarse en términos algebraicos, empleando signos de la siguiente manera:
f: A → B
a → f(a)
En donde A representa el dominio de la función (f), el conjunto de elementos de partida, mientras que B
es el codominio de la función, o sea, el conjunto de llegada. Por f(a) se denota la relación entre un objeto
arbitrario a perteneciente al dominio A, y el único objeto de B que le corresponde (su imagen). Estas
funciones matemáticas también pueden representarse como ecuaciones, acudiendo a variables y
signos aritméticos para expresar la relación existente entre las magnitudes. Dichas ecuaciones, a su vez,
podrán resolverse, despejando sus incógnitas, o bien ser graficadas geométricamente.
3. constante
.
Una función constante es una función lineal por la cual el rango no cambia sin importar cual
miembro del dominio es usado. para cualquier x 1 y x 2 en el dominio. Con una función
constante, para cualesquiera dos puntos en el intervalo, un cambio en x resulta en un cambio en
cero en f ( x ). Una función constante de la forma: f(x) = k; tiene el siguiente dominio y rango:
Dominio: x ∈ R
Rango: y = {k}
La función constante siempre tiene la forma:
Ejemplo: Grafique la función f ( x ) = 3
La gráfica de una función constante es siempre una recta horizontal .
4. 1
Halla la función constante que pasa por el punto
(0,6).
Algebraicamente, la formula de la función
constante siempre tiene la misma forma:
f(x)=k
Y gráficamente la función constante siempre es
una línea horizontal, por tanto, las coordenadas
de una función constante siempre son iguales y
de valor k.
Como el punto por el que pasa la función tiene
como coordenada y=6, la función constante que
estamos buscando en este problema tiene que
ser:
f(x)=6
2
Representa en una misma gráfica las siguientes
funciones constantes: f(x) = 4, f(x) = 41, f(x) = -6
Para representar cada función constante
simplemente tenemos que trazar una línea recta
horizontal a la altura de cada constante:
5. lineal
La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx +
b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta
y b es el intercepto con el eje Y. Por ejemplo, son funciones lineales
f(x) = 3x + 2 g(x) = – x + 7
h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la ecuación).
Para encontrar el dominio de una función lineal, identificamos si es
que tenemos denominadores que podrían volverse cero o raíces
cuadradas que podrían contener valores negativos. Una función lineal
no está compuesta de denominadores ni raíces cuadradas, por lo que
no tenemos ninguna restricción en el dominio de la función. Eso
significa que el dominio es igual a todos los números reales. Esto
puede ser representado en notación de conjuntos como: {x|xin R}
La gráfica de una función lineal es una línea recta. Estas
funciones no tienen ninguna restricción, por lo que
crecen de “menos” infinito a “más” infinito. Eso significa
que el rango también es igual a todos los números
reales y en notación de conjuntos, tenemos: {y|yin R
6. Ejercicio 1
Calcular los puntos de corte con los ejes y
representar la función. ¿Cuál es la pendiente
de la recta?
La pendiente de la recta es m=−2m=−2.
Como es negativa, es una recta decreciente.
La recta corta al eje Y cuando x=0x=0, por
tanto, lo hace en el punto
La recta corta al eje X cuando y=0y=0.
Tenemos que resolver una ecuación:
El punto de corte es
Como tenemos dos puntos de la recta,
podemos representar su gráfica:
Ejercicio 2
Calcular y representar la función cuya gráfica es una
recta que pasa por los puntos (1,2)(1,2) y (−3,4)(−3,4).
¿Cuál es su pendiente?
La forma general de una recta es
Vamos a calcular mm y nn sustituyendo las
coordenadas de los puntos.
Primer punto:
Segundo punto:
Tenemos un sistema de ecuaciones:
Restando la primera ecuación a la segunda tenemos
Sustituyendo mm, tenemos n=5/2n=5/2.
Por tanto, se trata de la función
La pendiente de la función
es m=−1/2m=−1/2.
7. Función cuadrática
La forma general de una función cuadrática es f ( x ) = ax 2 + bx + c . La
gráfica de una función cuadrática es una parábola , un tipo de curva de
2 dimensiones.
La parábola "básica", y = x 2 , se ve así:
La función del coeficiente a en la ecuación general es de hacer la
parábola "más amplia" o "más delgada", o de darle la vuelta (si es
negativa):
Si el coeficiente de x 2 es positivo, la parábola abre hacia arriba; de otra
forma abre hacia abajo.
Como con cualquier función, el dominio de función cuadrática f ( x ) es
el conjunto de los valores de x para los cuales la función esta definida, y
el rango es el conjunto de todos los valores de salida (valores de f ).
Las funciones cuadráticas generalmente tienen la recta real de enteros
como su dominio: cualquier x es una entrada legítima. El rango esta
restringido a esos puntos mayores que o iguales a la coordenada
en y del vértice (o menores que o iguales a, dependiendo si la parábola
abre hacia arriba o hacia abajo).
8. 1
Resuelve y representa las siguientes funciones
cuadráticas
• Vértice: aplicamos la fórmula del vértice
Así, el vértice es
• Puntos de corte con el eje OX , Igualamos
la función a cero y calculamos sus
soluciones
Obtenemos las soluciones
Así, las intersecciones con el eje OX son (1,0) y
(3,0)
• Punto de corte con el eje OY
Así, las intersección con el eje OY es (0, -3)
• Con los datos anteriores, la representación
gráfica es
2
• Vértice: aplicamos la fórmula del vértice
Así, el vértice es
• Puntos de corte con el eje
OX , Igualamos la función a cero
y calculamos sus soluciones
Obtenemos las soluciones
Así, las intersecciones con el eje OX es (-1,0)
• Punto de corte con el eje OY
Así, las intersección con el eje OY es (0, 1)
• Con los datos anteriores,
la representación gráfica es
9. Función radical
Una función que tiene la variable independiente dentro de una raíz cuadrada se le conoce como función
raíz cuadrada o función radical, la función principal que se considera radical es f(x) = √x, es decir que es
una función donde el único valor que esta dentro de la raíz cuadrada es la variable “x” Para encontrar el
dominio y rango de una función radical primero se debe comprender como funciona una función radical y
que condiciona el dominio y rango de la función raíz cuadrada
Primero que nada hay que conocer la gráfica de la función, y es que si se
observa la gráfica esta comienza desde cierto punto de (x,y) y esta va a ir
creciendo cada vez más hacia alguno de los lados, esto quiere decir que tanto
el domino como el rango iniciarán en cierto punto y comenzarán a dirigirse
hacia más infinito o hacia menos infinito tanto en “x” como en “y”, por lo tanto
ni el dominio ni el rango de una función radical son los reales.
Cuando se tiene una función donde “x” esté sola ( √x) entonces se sabe que
va a ser desde x=0 hacia infinito, pero cuando la “x” está siendo multiplicada o
sumada por otros números entonces lo que se hace es tomar la ecuación
que está dentro de la raíz e igualarla a 0, y luego se despeja la variable
“x” y el resultado será el punto en “x” en el que el dominio de la función
inicia. Y para encontrar la coordenada “y” del inicio de la función radical
simplemente se evalúa la función la coordenada “x” que se encontró
anteriormente.
10. 1 2
funciones radicales de índice impar
• Como el índice radical de es impar,
entonces el dominio de son todos los
números reales
• Su gráfica es
funciones radicales de índice par
• Para calcular el dominio hacemos el radicando mayor o
igual que cero
• Notamos que para se satisface la
desigualdad.
• Los valores dividen la recta real en tres
intervalos:
y
• Verificamos cuales de los tres intervalos satisfacen la
desigualdad, los que satisfagan conformarán el dominio
El dominio de es
La gráfica de es
11. Función racional
Una función racional está definida como el cociente de polinomios en los cuales el denominador tiene un grado de por lo
menos 1. En otras palabras, debe haber una variable en el denominador. La forma general de una función racional es
donde p ( x ) y q ( x ) son polinomios y q ( x ) ≠ 0.
La función padre de una función racional es y la gráfica es una hipérbola .
El dominio y rango es el conjunto de todos los números reales excepto 0.
Valor excluido: en una función racional, un valor excluido es cualquier valor de x que hace al valor de la función y no definido.
Así, estos valores deben ser excluídos del dominio de la función.
Asíntotas: una asíntota es una recta que se acerca a la gráfica de la función, pero nunca la toca. En la función
padre , tanto los ejes x y y son asíntotas.
La gráfica de la función padre se acercará más
y más pero nunca tocará las asíntotas.
12. Ejercicio
1
• Dominio de la función: tenemos que por lo
que su dominio es
• Asíntotas: calculamos las asíntotas verticales, para lo cual
buscamos los valores que hacen el denominador cero. Así
la asíntota vertical es
Calculamos las asíntotas oblicuas, para lo cual buscamos
por lo que se trata de una asíntota horizontal, la cual es
• Cortes con los ejes coordenados
no se tienen cortes con los ejes coordenados,
ya que estos son asíntotas de la función
• Comportamiento en el infinito
Calculamos
por lo que en el infinito la función tiende a cero, esto
es, la altura de la gráfica se aproxima a cero lo cual
puede observarse de la gráfica de la función
• Continuidad
La función tiene asíntota vertical en
Luego la función no es continua en
• Singularidades: la función no tiene máximos ni
mínimos en su dominio. Para esto calculamos la
derivada
la cual no se anula en el dominio de la función, por
tanto la función no tiene máximos ni mínimos en su
dominio.
La grafica de la función
es
13. Ejercicio
2
• Dominio de la función: tenemos que la
cual nunca se anula en los números reales por lo que su
dominio es
• Asíntotas: calculamos las asíntotas verticales, para lo cual
buscamos los valores que hacen el denominador cero, tenemos
que no existen asíntotas verticales. Calculamos las asíntotas
oblicuas, para lo cual buscamos
por lo que se trata de una asíntota horizontal, la cual es
Cortes con los ejes coordenados: no se tienen cortes con el eje
coordenado OX ya que este es asíntota de la función
El corte con el eje coordenado OY
es
• Comportamiento en el infinito
Calculamos
por lo que en el infinito la función tiende a cero, esto
es, la altura de la gráfica se aproxima a cero lo cual
puede observarse de la gráfica de la función
• Continuidad: La función no tiene asíntota vertical
por lo que es continua en todo el dominio
• Singularidades:
Calculamos la derivada
Igualando la derivada a cero, obtenemos el punto
crítico
Calculamos la segunda derivada
Evaluamos el punto crítico en la segunda derivada
Luego la función posee un máximo en
La grafica de la función
es
14. Absoluto
Una función de valor absoluto es una
función que contiene una expresión
algebraica dentro de los símbolos de valor
absoluto. Se recuerda que el valor absoluto
de un número es su distancia desde 0 en
la recta numérica .
La función padre de valor absoluto, escrita
como f ( x ) = | x |, está definida como
Para graficar una función de valor absoluto,
se escogen diferentes valores de x y
encuentre algunas parejas ordenadas . Se
grafican los puntos en un plano coordenado
y se unen.
Se observa que la gráfica es de la forma V.
1El vértice de la gráfica es (0, 0).
2 El eje de simetría ( x = 0 o eje de las y ) es la
recta que divide la gráfica en dos mitades
congruentes.
3 El dominio es el conjunto de todos los números
reales.
4 El rango es el conjunto de todos los números
reales mayores que o iguales a 0.
5 La intercepción en x y la intercepción
en y ambas son 0.
15. 1 2
Representa las funciones en valor absoluto y obtén
su dominio
• Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se
calculan sus raíces.
• Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el
signo de cada intervalo
• definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la X es negativa se cambia el
signo de la función
• Representamos la función resultante
• Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se
calculan sus raíces.
• Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de
cada intervalo
• definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en
los intervalos donde la X es negativa se cambia el signo de
la función
• Representamos la función resultante
16. Función parte entera
La función parte entera de x o función suelo entero es la que
asigna a cada número real x el entero más próximo, pero que sea
menor o igual que x. Se representa por Ent(x) , por medio de ⌊x⌋ ,
o bien [x].
Dom f = R , Im f = Z
La función parte entera se puede expresar como una función
definida a trozos con infinitos tramos en los que la función es
constante.
Ent(x) = ⌊x⌋ = { n si x ∈ [n , n+1) con n ∈ Z }
f (- 1) = Ent (- 1) = - 1
f (- 0,9) = Ent (- 0,9) = - 1
f (- 0,1) = Ent (- 0,1) = - 1
f (0,1) = Ent (0,1) = 0
f (0,9) = Ent (0,9) = 0
f (1) = Ent (1) = 1
f (1,1) = Ent (1,1) = 1
17. 1 2
f(x) = E (x)
x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2
f(x) = x - E (x)
x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2
f(x) = x - E(x) 0 0.5 0.9 0 0.5 0.9 0
18. Función Ramificada
La función ramificada se define como toda aquella función que sirve para encontrar los puntos
límites de los intervalos en los cuales se divide el dominio.
Es la típica función cuyo dominio está dividido en dos o más partes, siendo dichas partes
independientes entre sí siempre y cuando se aclare bien los límites del intervalo en donde esa
«mini» función está considerada. Estas funciones pueden ser de cualquier tipo, como las ya
mencionadas antes. Un ejemplo:
La solución a este problema sería, entonces, la que se obtiene al calcular dichos límites, cuya
representación gráfica y sencilla es la siguiente:
Siendo X=1 el punto de quiebre. Como se puede ver, en la función ramificada uno puede
jugar con las formas de la función, siempre y cuando se cumplan bien los requisitos de
una función matemática.
19. 1 2
dibuja su gráfica y determina su dominio y rango.
Notemos que en el intervalo es decir, del lado derecho
del plano tenemos la función tenemos la función
Por otro lado, en el intervalo lado izquierdo del plano,
tenemos la función
Por tanto, la gráfica es como se muestra
en la siguiente figura:
Como mencionamos anteriormente,
la función está definida para y
para . Por lo tanto, el dominio es
Por otro lado, de la gráfica podemos ver que el rango es
Notemos que la función está definida para cuatro
regiones distintas. Primero, para el intervalo
tiene el valor 1. Luego, para el intervalo tiene el valor
de x y así sucesivamente
Por tanto, la gráfica es como se muestra en la siguiente
figura:
Luego, notemos que el dominio es
Por otro lado, notemos que el rango es
20. Función compuesta
Se define la función compuesta de dos
funciones f(x) y g(x) cualesquiera, y designada por g∘fx, a la
función que transforma x en g[f(x)]:
x→ffx→ggfx=g∘fx
Donde: g∘fx: Se lee f compuesta con g. Es la propia función
compuesta que permite transformar directamente x en g[f(x)]
El dominio de una función es el conjunto de valores para los
cuales está definida. En el caso de la función compuesta (g ∘
f)(x), este depende de los dominios de las funciones f y g.
El dominio de este tipo de funciones viene dado por todos los
elementos que están en el dominio de cuyas
imágenes están en el dominio de es decir:
Consideremos un Diagrama Sagital
para ilustrar la composición
de funciones.
En este Diagrama Sagital, el
dominio de la función será el
conjunto formado por
y Notemos que si el rango de la
función g está enteramente
contenido en el dominio de la
función f, entonces
21. 1 2
1 Sean las funciones:
Calcular:
a)
b)
a)
b)
1 Sean las funciones:
Calcular:
a)
b)
a)
b)
