El documento describe las cuatro secciones cónicas principales (circunferencia, elipse, hipérbola y parábola), definidas como intersecciones de un cono de revolución con un plano. Explica que cada curva tiene una propiedad geométrica característica y presenta sus ecuaciones analíticas correspondientes en el plano cartesiano.

1. Geometría analítica
Secciones cónicas
Son aquéllas secciones que resultan al intersecar una superficie cónica de revolución con un plano. Según la
posición del plano secante, en la superficie pueden obtenerse una circunferencia, parábola, elipse hipérbola.
Cumpliéndose que el conjunto de puntos que forma cada cónica tienen una misma propiedad, lo cual es
característica fundamental de lo que en geometría llamamos lugar geométrico. La primera definición conocida de
sección cónica surge en la Antigua Grecia, cerca del año 1000 a.C (Menæchmus) donde las definieron como
secciones «de un cono circular recto". Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Perge .
Actualmente, las secciones cónicas pueden definirse de varias maneras; estas definiciones provienen de las
diversas ramas de la matemática: como la geometría analítica, la geometría proyectiva, etc.
Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.

2. Secciones cónicas
La circunferencia:
Una circunferencia queda determinada cuando conocemos:
Tres puntos de la misma, equidistantes del centro.
El centro y el radio.
El centro y un punto en ella.
El centro y una recta tangente a la circunferencia.
También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los puntos que
están a la misma distancia de otro punto, llamado centro.
Esta propiedad es la clave para hallar la expresión analítica de una circunferencia (la
ecuación de la circunferencia).
Entonces, entrando en el terreno de la Geometría Analítica, (dentro del Plano Cartesiano)
diremos que ─para cualquier punto, P (x, y), de una circunferencia cuyo centro es el punto
C (a, b) y con radio r─, la ecuación ordinaria es
(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

3. Hipérbola:
Una hipérbola (del griego ὑπερβολή) es una sección cónica, una curva abierta de dos
ramas obtenida cortando un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría, y con
ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.
Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto
de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia
entre los vértices, la cual es una constante positiva.
Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola con centro en el origen
de coordenadas (0, 0) , y ecuación de la hipérbola en su forma canónica.
frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1
Ecuación de una hipérbola con centro en el punto (h, k) ,
frac{(x-h)^2}{a^2} - frac{(y-k)^2}{b^2} = 1

4. Elipse:
Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo
al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que
gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor
de su eje principal genera un esferoide alargado.
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros
dos puntos fijos llamados focos es constante. La ecuación de una elipse con centro en el origen se
representa por x2/a2 + y2/b2 = 1, en donde a es la longitud del semieje mayor (la mitad del eje mayor), y b
es la longitud del semieje menor (la mitad del eje menor). El eje mayor es la mayor distancia a través de
una elipse.

5. Parábola:
una parábola es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de
inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. El plano
resultará por lo tanto paralelo a dicha recta. Se define también como el lugar geométrico de los puntos de
un plano que equidistan de una recta llamada directriz, y un punto exterior a ella llamado foco.
Hasta ahora se han descrito parábolas con sus ejes paralelos a alguno de los ejes de coordenadas. De esta
forma las fórmulas son funciones de x ó de y. Pero una parábola puede tener su eje inclinado con respecto
a un par de ejes de coordenadas ortogonales.
La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición en un plano es:
,a x^2 + b xy + c y^2 + d x + e y + f = 0
si y sólo si
, b^2 - 4ac = 0 y los coeficientes a y c no pueden ser simultáneamente nulos
Mediante traslaciones y rotaciones es posible hallar un sistema de referencia en el que la ecuación
anterior se exprese mediante una fórmula algebraica de la forma
,a x'^2 + b x' + c = 0 , donde a es distinto de cero.