En este slide les presentamos lo que respecta al Teorema de Bayes, que corresponde al Capitulo 5, espero les sea de mucha ayuda en su formaciòn como estudiantes.
Saludos...
2. INTRODUCCION En este capitulo estudiaremos otra faceta de la estadística que se orienta al estudio de las probabilidades, este tipo de estadística se denomina Estadística Inferencial. Una característica de este tipo de estadística es que las conclusiones obtenidas pertenecen a una muestra obtenida de una población. En el siglo XVII el reverendo Thomas Bayes, ministro presbiteriano inglés, interesado en las ciencias matemáticas intento desarrollar una formula para llegar a probar la probabilidad de que Dios Exista. Laplace, afino dicho trabajo y le dio el nombre de “Teorema de Bayes”.
3. TEOREMA DE BAYES P(A1 | B )= P( A1 )P(B| A1 ) P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) Donde: A 1 y A 2 = son eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un evento se denominan "probabilidades a priori“. Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un evento, las probabilidades del suceso (A) cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori" .
4. Ejemplo La textilera “Ecotexa”, compra un cargamento de telas de tres casas proveedoras. Un 30% de las telas se adquieren en “Casa Ochoa”, 20% a “Casa Textiles del Sur”, y el 50% sobrante a “Tituanatex”. Ecotexa posee información de las tres casas y sabe que 3% de la mercadería de “Casa Ochoa” son defectuosas,5% de telas de “Casa Textiles del Sur” no son aceptables, y que 4% de telas de “Tituanatex” tienen algún tipo de defecto. Al llegar a bodega no son seleccionados y se toma un paquete de telas que resultan ser defectuosas. Cual es la probabilidad de que esta mercadería sea de “Casa Ochoa”?.
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6. Probabilidades condicionales: P(B|A1) = (3/100)= 0.03 mercadería de “Casa Ochoa ”, sea defectuosa . P(B|A2) = (5/100)= 0.05 mercadería de “Textiles de Sur ”, sea defectuosa . P(B|A3) = (4/100)= 0.04 mercadería de “Tituanatex ”, sea defectuosa . La información se la pude resumir en la siguiente tabla: Evento A i Probabilidad a Priori, P(A i ) Probabilidad condicional, P(B 1 |A i ) Probabilidad conjunta, P(A i |B 1 ) Probabilidad posteriori, P(A i |B 1 ) “ Casa Ochoa” 0.30 0.03 0.009 0.009/0.039=0.2308 “ Textiles de Sur” 0.20 0.02 0.010 0.010/0.039=0.2564 “ Tituanatex” 0.50 0.05 0.020 0.020/0.039=0.5128 0.39
7. La probabilidad de que un paquete de telas que resultan ser defectuosas sea de “Casa Ochoa”, lo podemos encontrar aplicando el Teorema de Bayes. Se desea calcular P(A 1 |B 1 ) , donde A 1 se refiere a Casa Ochoa, y B 1 de que la mercadería resulte defectuosa. P(A1 | B1 )= P( A1 )P( B 1 | A1 ) P(A1)P(B 1 |A1) + P(A2) P(B 1 |A2) + P(A3) P(B 1 |A3) = ( 0.30)(0.03) (0.30)(0.03)(0.20)(0.02)(0.50)(0.05) = 0.009 = 0.2308 0.039 Nos podemos dar cuenta que nos proporciona el mismo resultado obtenido en la tabla anterior.
8. Evento A i Probabilidad a Priori, P(A i ) Probabilidad condicional, P(B 1 |A i ) Probabilidad conjunta, P(A i |B 1 ) Probabilidad posteriori, P(A i |B 1 ) “ Casa Ochoa” 0.30 0.03 0.009 0.009/0.039=0.2308 “ Textiles de Sur” 0.20 0.02 0.010 0.010/0.039=0.2564 “ Tituanatex” 0.50 0.05 0.020 0.020/0.039=0.5128 0.39
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10. FORMULA DE LA MULTIPLICACION Si hay m formas de hacer una cosa, y n formas de hacer otra, existirían m*n formas de hacer ambas. FÓRMULA : número total de arreglos =(m)(n) NOTA: se puede extender dependiendo del numero de eventos que se obtenga(a)(b)...(n).
11. Ejemplo: Una inmobiliaria ofrece por $35.000,00 una casa de dos pisos, o simple. Además puede elegir el tipo de pago Crédito o Contado. Cuantos arreglos diferentes de departamentos y formas de pago puede hacer?. SOLUCIÓN: Contado Crédito Contado Crédito Podemos utilizar la formula de la multiplicación para verificar, donde m es el número de modelos y n el tipo de pago. Total de arreglos posibles=(m)(n)=(2)(2)=4
12. FORMULA DE LA PERMUTACIÓN A diferencia de la formula de la multiplicación, se la utiliza para determinar el numero de posibles arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos. Permutación: un arreglos o posición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a,b,c y b,a,c son permutaciones diferentes, la formula que se utiliza para contar el numero total de permutaciones distintas es: FÓRMULA : n P r = n! (n - r)!
13. Ejemplo: Como se puede designar los cuatro primeros lugares de un concurso, donde existen 15 participantes? Aplicando la formula de la permutación tenemos: n P r = n! (n - r)! = 15! = 15*14*13*12 *11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 (15-4)! 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 32760 Donde: n= número total de objetos r= número de objetos seleccionados != factorial, producto de los números naturales entre 1 y n. NOTA: se puede cancelar números cuando se tiene las mismas cifras en numerador y denominador.
14. FORMULA DE LA COMBINACIÓN Cuando el orden de los objetos seleccionados no importa se llama combinación, la formula para contar el numero de combinaciones de r objetos de un conjunto de n objetos es: FÓRMULA : n C r = n! r!(n - r)!
15. Ejemplo: La Empresa “El Cafetal”, tiene vacantes cinco puestos de gerentes, y hay diez Ing. Agropecuarios listos para ocupar estas vacantes. De cuantos modos se pueden distribuir las cinco vacantes? Solución: FÓRMULA : n C r = n! r!(n - r)! = 10! 5!(10-5)! = 1o! = 10*9*8*7*6 *5*4*3*2*1 5!(10-5!) 5*4*3*2*1( 5*4*3*2*1) = 30240 = 252 120 Donde: n= número total de objetos. r= número de objetos seleccionados.
16. GLOSARIO Probabilidad: valor que va desde cero hasta uno, inclusive que describe la posibilidad relativa de que ocurra un evento. Evento: conjunto de uno o mas resultados de un experimento. Mutuamente Excluyente: la ocurrencia de que un evento implica que ninguno de los otros eventos puede ocurrir al mismo tiempo. Probabilidades a priori: l as probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un evento. Probabilidades a posteriori: u na vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un evento, las probabilidades del suceso (A) cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B).
