Este documento describe los árboles y sus propiedades. Define un árbol como un grafo conexo y acíclico. Explica que los árboles se pueden usar para modelar organizaciones, sistemas de archivos y moléculas. Además, presenta varios teoremas sobre las relaciones entre el número de vértices, aristas, vértices internos y hojas en árboles m-arios completos.

1. ING. En Sistemas Computacionales
Capitulo 6.4 Árboles
Matemáticas Discretas
Profesora: María Concepción Ibarra
Expositores: García García Joel
Miranda Gil Leopoldo
Rodríguez Espejo Luis

2.  Es un tipo especial de grafo. El primero en
utilizarlo fue Gustavo Kirchhoff en sus
trabajos sobre redes eléctricas. En 1857
Arthur Cayley utilizo un tipo especial de
grafo para enumerar diversos isómeros de los
carburos saturados.

3.  Definición: Un árbol es un grafo no diriguido,
conexo y sin ciclos.
 Puesto que un árbol no puede contener
ciclos, es un grafo acíclico, tampoco puede
tener bucles o aristas múltiples. Por tanto, un
árbol es necesariamente un grafo símple.

4.  Algunos ejemplos de árboles:
a
a b
b
c d
c d
f
e
e f
G1 G2

5.  Algunos ejemplos de grafos que no son
árboles:
a b a b
bosque
c d c d
e G3 f e G4 f

6.  Todo grafo conexo y acíclico es un árbol.
¿Qué podemos decir de los grafos acíclicos,
pero no necesariamente conexos?
 Estosgrafos se llaman bosques y tienen la
propiedad de que cada una de sus
componentes conexas es un árbol.

7. Un grafo con tres componentes conexas
Ejemplo de un bosque

8. Teorema 1:
 Un grafo no diriguido es un árbol si, y sólo si, hay
un único camino entre cada pareja de vértices.
Demostración:
 Primero supongamos que T es un árbol.
Entonces, T es un grafo conexo y acíclico. Sean x
e y dos vértices de T. Puesto que T es conexo,
por el Teorema 1, hay un camino entre x e y.

9.  Además, este camino debe ser único, puesto
que si hubiera un segundo camino, entonces
el recorrido construido al combinar el primer
camino de x a y con el camino de y a x, daría
un circuito.

10. Componentes:
Raíz
Vértice intermedio
Vértice terminal u hoja
Padre
Hijo
Hermano
Ancestro
Descendientes

11. Definición 2:
 Un árbol con raíz es un árbol en el que uno de
sus vértices ha sido designado como la raíz y
todas las aristas están orientadas de modo
que se alejan de la raíz.

12. T
f g
d b
e
a
c
Un árbol y los árboles con raíz construidos al designar dos raíces.

13. Con raíz en a
T a
f g
b c d
d b
e
a f g e
¿Cuál es el padre de c? a
c ¿Cuál es el hijo de c? e
¿Cuáles son los hermanos de b?c y d
¿Cuáles son los antecesores de g?b y a
¿Cuáles son los descendientes de b? y g
f
¿Cuáles son los vértices internos? b y c
¿Cuáles son las hojas? f, g, e y d
Un árbol y los árboles con raíz construidos al designar dos raíces.

14. Con raíz en a Con raíz en c
T a c
f g
b a
c d e
b b d
d
e
a f g e f g
c
Un árbol y los árboles con raíz construidos al designar dos raíces.

15. Definición:
 Un árbol raíz se llama árbol m-ario si todos
los vértices internos tienen a lo sumo, m
hijos. El árbol se llama árbol m-ario completo
si todo vértice interno tiene exactamente m
hijos. Un árbol m-ario con m=2 se llama árbol
binario.

16. T1 T2 T3
T1 es un Arbol T2 es un Arbol Ternario T3 es un Arbol 5-ario
binario completo completo completo

17. T4
T4 no es un Arbol completo para m, ya que algunos vértices internos
tienen dos hijos, y otros tres.

18. Árboles como Modelos
 Los árboles se utilizan como modelos en
ciencias tan diversas como la informática, la
química, la geología, la botánica y la
psicología.

19.  Con la llegada de los computadores, los
arboles se emplean en el estudio de las
estructuras de datos, clasificación, teoría de
la codificación y en los problemas de
optimización.

20. Hidrocarburos Saturados y árboles.
 Los grafos pueden usarse para representar moléculas,
con los átomos representando vértices y los enlaces
entre ellos mediante aristas. El matemático inglés
Arthur Cayley descubrión los árboles en 1857 cuando
trataba de enumerar los isómeros de los compuestos.
Butano

21. Representación de Organizaciones
 La estructura de una oraganización se puede
modelar utilizando un árbol con raíz. Cada
vértice de este árbol indica un pusto en la
organización.

22. Presidente
Vicepresidente Vicepresidente
de Investigacion Mercantil Vicepresidente
Y desarrollo Servicios
Director Director Director Adjunto Adjunto
Investiga Desarrollo Desarrollo Vicepresi Vicepresidente
ción Software Hardware dente Ventas
Mercanti
l
Organigrama

23. Sistemas de ficheros de ordenadores.
 En la memoria de un ordenador, los ficheros se
organizan en directorios. Un directorio puede
contener tanto ficheros como subdirectorios. La
raíz de un directorio contien el sistema de
ficheros completo. Asi, un sistema de ficheros
puede representarse mediante un arbol con raiz,
donde la raiz representa el directorio raiz, los
vertices internos representan los subdirectorios
y las hojas representan los ficheros ordinarios o
subdirectorios vacios.

24. /
usr bin tmp
bin rje spool
junk
ls mail who
khr
Sistema de ficheros de un ordenador

25. Propiedades de los Árboles
 Con frecuencia se necesitan resultados que
relacionen los números de vértices y de
aristas en diferentes tipos de árboles.

26. Teorema 2:
 Un árbol de n vértices tiene n-1 aristas.
Demostración:
 Para n=1, un árbol con n=1 vértice no tiene
aristas de ahí el teorema sea cierto para n=1.
(por inducción…).

27. Teorema 3:
 Un árbol m-ario completo con i vértices
internos tiene |n|=mi + 1 vértices.
Demostración:
 Todo vértice, excepto la raíz, es hijo de algún
vértice interno, puesto que cada uno de los
vértices internos (i) tienen m hijos, hay mi
vértices en el árbol diferentes de la raíz. Por
tanto el árbol tiene un total de n = mi + 1
vértices.

28. Teorema 4:
 Un árbol m-ario completo con:
 1.-n vértices tiene i=(n-1)/m vértices internos y l=[(m-1)n+1]/m
hojas.
 2.-i vértices internos tienen n=mi+1 vértices y l=(m-1)i+1 hojas.
 3.-l hojas tienen n=(ml-1)/(m-1) vértices e i=(l-1)/(m-1) vértices
internos.
Demostración:
 Sea n el número de vértices, i el número de vértices internos y l el
número de hojas. Los tres apartados del teorema pueden probarse
usando la igualdad establecida en el Teorema 3, esto es, n=mi+1,
junto con la igualdad n=l+i , que es cierta porque cada vértice es
bien un hoja o bien un vértices interno.

29. =m
Teorema 5:
 Un árbol m-ario de altura h tiene, a lo sumo,
hojas.
Demostración:
 Se demuestra por inducción sobre la altura.
Primero, se considera un árbol m-ario de
altura 1. Estos árboles constan de una raíz
con, a lo sumo, m hijos, que son todos hojas.
Por tanto, no hay mas de hojas de altura
1.

30. Colorario1:
 Si un árbol m-ario de altura h tiene l hojas,
entonces . Si el árbol es completo y
equilibrado entonces
Demostración:
 Sabemos que , en virtud al Teorema 5.
Tomando logaritmos en base m tiene que
Puesto que h es un entero, tenemos

31.  Gracias por su Atención…