Saia- Algebra Lineal SAIA C, Alba Espinoza

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
DECANATO DE INGENIERIA
ESCUELA DE COMPUTACION
CABUDARE - LARA
Erick Romano
20.349.660
16 noviembre, 2015

2. Parte I
Considere las siguientes matrices:
A. [
1 −1
2 0
1
1
2
] ; B. [
−1 0
3 5
] ; C. [
2 7 −3
1 0 −2
]
Ejercicio 2
Calcular en caso posible la siguiente matriz.
-2( B.𝐴𝑡
)
−5
2
C
Por un lado, 𝐴𝑡
= [
1 2 1
−1 0 1/2
]
Luego B . 𝐴𝑡
= [
−1 0
3 5
] [
1 2 1
−1 0 1/2
]
= [
−1 −2 −1
(3 − 5) 6 (3 +
5
2
)
] = [
−1 −2 −1
(−2) 6 (3 +
11
2
)
] Asi,
-2( B.𝐴𝑡
)
−5
2
C = 2. [
−1 −2 −1
(−2) 6 (3 +
11
2
)
] −
5
2
[
2 7 −3
1 0 −2
]
= [
2 4 2
4 −12 11
] + [
−5 −35/2 15/2
−5/2 0 5
] = [
−3 27/2 19/2
3/2 12 16
]

3. Parte II
Ejercicio 4
Resolver el siguiente sistema y determine su conjunto solución en cada una de ellas.
(𝛽+4) 𝑋1 + (𝛽 − 2) 𝑋2 = 0 ………..(1)
4𝑋1 + ( 𝛽 − 3) 𝑋2 = 0 ……….(2)
Solución:
De …..(2) 𝑋1 =
(𝛽−3)𝑋2
4
=
(3−𝛽)𝑋2
4
……………..(x)
Luego, sustituyendo (x) en (1) obtenemos que:
(𝛽 + 4)
(3−𝛽)𝑋2
4
+ (β-2) 𝑋2 = 0
3𝛽 𝑋2 −𝛽2
𝑋2−12𝑋2−4𝛽 𝑋2
4
+ 𝛽𝑋2 − 2𝑋2 = 0
−𝛽2
𝑋2
4
−
−𝛽2
𝑋2
4
+ 3𝑋2+ β𝑋2 − 2𝑋2 = 0
−𝛽2
𝑋2
4
+
3𝛽2
𝑋2
4
+ 𝑋2 = 0
−𝛽2
𝑋2
4
+
3𝑋2
4
. 𝛽 + 𝑋2 = 0
𝛽 =
− (
3𝑋2
4
) ± √(
3𝑋2
4
) − 4 (
𝑋2
4
)𝑋2
2. (
−𝑋2
4
)
β =
−
3
4
𝑋2±√
9𝑋2
16
+𝑋2
2
−𝑋2/2
=
−
3
4
𝑋2±√25+𝑋2
2
16
−𝑋2/2

4. β =
−
3
4
𝑋2±5/4𝑋2
−𝑋2/2
Luego, las soluciones son:
β =
−
3
4
𝑋2+ 5/4𝑋2
−𝑋2/2
ó β =
−
3
4
𝑋2−5/4𝑋2
−𝑋2/2
Asi,
β =
2
4
𝑋2
−𝑋1/2
= -1 ó β =
−2𝑋2
−𝑋2/2
= 4
Asi, el valor de β es -1 ó 4.
Cuando β = -1
3𝑋1 − 3𝑋2 = 0
4𝑋1 − 4𝑋2 = 0 𝑋1 = 𝑋2
Cuando β = 4
8𝑋1 + 2𝑋2 = 0 …….(1)
4𝑋1 + 𝑋2 = 0 … …(2)
De …(1), 𝑋2 = −4𝑋1
Luego, las soluciones son; para β = -1
ϭ= {[
𝑋2
𝑋2
]} con 𝑋2Ɛ Ʀ
Para β = 4, el conjunto de solución es;
ϭ = {[
𝑋1
4 𝑋1
]} con 𝑋2Ɛ Ʀ

5. Ejercicio 6
4 𝑋1+ 8𝑋2-12𝑋3=28
− 𝑋1-2𝑋2 +3𝑋3 =-7
2 𝑋1+ 4𝑋2- 8𝑋3 =0
−3 𝑋1-6𝑋2+9𝑋3=-21
Sea A = [
4
−1
2
−3
8 −12
−2 3
4 −8
−6 9
] La matriz asociada al sistema de ecuaciones
Sea [A| 𝐵]= [
4
−1
2
−3
8 −12| 28
−2 3| −7
4 −8| 0
−6 9| −21
] La matriz ampliada del sistema
Luego aplicamos operaciones elementales por fila
[
4
−1
2
−3
8 −12| 28
−2 3| −7
4 −8| 0
−6 9| −21
] 𝐹1 →
1
4
𝐹1 [
1
−1
2
−3
2 −3| 7
−2 3| −7
4 −8| 0
−6 9| −21
]
𝐹2 → 𝐹2 + 𝐹1
𝐹3 → 𝐹3 + 2𝐹1
𝐹4 → 𝐹4 + 3𝐹1
[
1
0
0
0
2 −3| 7
0 0| 0
0 −2| −14
0 0| 0
]
Luego el rango (A) = rango ([A| 𝐵])=2<3(n de incognitos) , en consecuencia el sistema es
compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones.
n-r = 3-2= 1 incognito libre

6. Luego,
𝑋1+ 2𝑋2-3𝑋3=7
−𝑋3=-14
→ 𝑋3= 7 → 𝑋1+ 2𝑋2-3(7) = 7
→ 𝑋1+ 2𝑋2-21 = 7
→ 𝑋1= 28 - 2𝑋2 …… con 𝑋2Ɛ Ʀ
Luego, el conjunto solución del sistema viene dado por:
ϭ = {[
28 − 2𝑋2
𝑋2
7
]} con 𝑋2Ɛ Ʀ

7. Parte III.
Ejercicio 2
Un mueblero fabrica sillas, mesas para café y mesas para comedor. Se necesitan 10
minutos para lijar una silla, 6 minutos para pintarla y 12 minutos para barnizarla. Se
necesitan 12 minutos para lijar una mesa para el café, 8 minutos para pintarla y 12
minutos para barnizarla. Se necesitan 15 minutos para lijar una mesa para comedor, 12
minutos para pintarla y 18 minutos para barnizarla. La mesa de lijado está disponible 16
horas a la semana, la mesa de pintura 11 horas a la semana y la mesa de barnizado 18
horas a la semana. ¿Cuántas unidades de cada mueble deben fabricarse por semana de
modo que las mesas de trabajo se ocupen todo el tiempo disponible?
Solucion:
𝑋1 = 𝑒𝑙 𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
𝑋2 = 𝑒𝑙 𝑛 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑠𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑓𝑒
𝑋3 = 𝑒𝑙 𝑛 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑠𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑒𝑑𝑜𝑟
Luego,
16 horas son 960 min
11 horas son 660 min
18 horas son 1080 min
Se plantea en el sistema de ecuaciones
10𝑋1+ 12𝑋2 +15𝑋3 =960
6 𝑋1 + 8 𝑋2 + 12𝑋3 =660
12 𝑋1+ 12 𝑋2 +18𝑋3 =1080
La matriz A asociada al sistema es:

8. A=[
10 12 15
6 8 12
12 12 18
] y la matriz ampliada [A| 𝐵] = [
10
6
12
12
8
12
15|
12|
18|
960
660
1080
]
[A| 𝐵]= [
10
6
12
12
8
12
15|
12|
18|
960
660
1080
] 𝐹1 →
1
10
𝐹1 [
1
6
12
12
10
8
12
15
10
|
12 |
18 |
96
660
1080
]
𝐹2 → 𝐹2 − 6𝐹1
𝐹3 → 𝐹3 + 12𝐹1
[
1
0
0
6
5
1
12 −
72
5
3
2
|
15
4
|
0 |
96
105
−72
]
=
[
1
0
0
6
5
4
5
−
12
5
3
2
|
3 |
0 |
96
84
−72
]
𝐹2 →
5
4
𝐹2
[
1
0
0
6
5
1
−
12
5
3
2
|
15
4
|
0 |
96
105
−72
]
𝐹3 → 𝐹3 +
12
5
𝐹2
[
1
0
0
6
5
1
0
3
2
|
15
4
|
9 |
96
105
180
]
𝐹1 → 𝐹1 −
6
5
𝐹2
[
1
0
0
0
1
0
(
3
2
−
9
2
) |
15
4
|
9 |
−30
105
180
]
𝐹3 →
1
9
𝐹3

9. [
1
0
0
0
1
0
(
3
2
−
9
2
) |
15
4
|
1 |
−30
105
12
]
𝐹1 → 𝐹1 + 3𝐹3
𝐹2 → 𝐹2 −
15
4
𝐹3 [
1
0
0
0
1
0
0 |
0 |
0 |
6
60
12
]
Asi, rango [A]= rango [A| 𝐵] = 3, entonces el sistema es compatible determinado, tiene
solución única. Por tanto:
𝑋1 = 6
𝑋2 = 60
𝑋3 = 12
Conclusión: Cada semana se pueden fabricar 6 sillas, 60 mesas para café y 12 mesas para
comedor. Utilizando todas las mesas de trabajo.