Problemas resueltos Calculo

1. 10/05/2012 1
ESTUDIOS PROFESIONALES PARA EJECUTIVOS (E.P.E.)
CALCULO 2 (CE 14)
Practica Calificada N°1
Ciclo 2012-1 MODA
Secciones : A43A, E41A, I41A, M41A.
Profesores : Elías Soto, José Cuevas, Julio Sánchez, Felix Villanueva.
Duración : 110 minutos
1. Responda lo siguiente, justificando adecuadamente su respuesta: ( 1 punto c/u)
a) La ecuación 2
xy = representa lo mismo en el plano y en el espacio.
b) La ecuación 9yx 22
=+ tiene solo una parametrización.
c) La gráfica de la superficie 1222
−=−+− zyx , es
Solución:
a) Falso, La ecuación 2
xy = en el plano representa a una parábola y en el
espacio a un cilindro
b) Falso, la ecuación 9yx 22
=+ puede tener más de una representación
x=3 cost , y= 3sent
c) Falso, la gráfica de la ecuación 1222
−=−+− zyx , la cual se puede escribir
como: 1222
=+− zyx , es un hiperboloide de una hoja.
INDICACIONES:
• Sólo serán calificadas las preguntas desarrolladas en los recuadros respectivos, donde debe aparecer el
procedimiento y la respuesta. Las caras izquierdas se utilizarán como borrador.
• El orden y la claridad de los desarrollos serán considerados en la calificación.
• No se permite el intercambio ni préstamo durante la práctica.
• No se permite el uso de libros ni apuntes de clase.
A

2. 10/05/2012 2
2. Pregunta de la tarea virtual
Dada la superficie S: 16164 222
=+− zyx .
a) Describa las trazas de S con respecto a cada uno de los planos coordenados.
( 1,5 puntos)
b) Describa las secciones planas paralelas a los planos coordenados. ( 1,5 puntos)
c) Bosqueje e identifique la superficie S. ( 1,5 puntos)
Solución:
La ecuación de la superficie es: 1
164
2
2
2
=+−
z
y
x
a) Traza de S respecto al plano xy: z=0 , 1
4
2
2
=− y
x
Hipérbola.
Traza de S respecto al plano xz: y=0 , 1
164
22
=+
zx
Elipse.
Traza de S respecto al plano yz: z=0 , 1
164
2
2
2
=+−
z
y
x
Hipérbola.
b) Secciones planas paralelas al plano xy: z=k,
16
1
4
2
2
2
k
y
x
−=− o 1
k4 1
2
1
2
=−
y
k
x
Familia de Hipérbola.
Secciones planas paralelas al plano xz: y=k,
2
22
1
164
k
zx
+=+ o 1
16k4 1
2
1
2
=+
z
k
x
Familia de Elipses.
Secciones planas paralelas al plano yz: x=k,
4
1
4
22
2 kz
y −=+− o 1
16k 1
2
1
2
=+−
k
zy
Familia de Hipérbola.
c) La superficie es un hiperboloide de una hoja

3. 10/05/2012 3
3. Suponga que E es un sólido del primer octante limitado por las superficies
4: 22
1 =+ yxS , 2:2 =zS . Represente gráficamente el sólido E. ( 1,5 puntos)
Solución:
4. Halle el dominio de la función vectorial
→
r dada por 





−
−
−=
→
)1ln(;
2
1
;4)( t
t
ttr
( 2 puntos)
Solución:
f(t)= t−4 , Dom f = ]4;−∞<
g(t) =
2
1
−t
, Dom g = { }2−ℜ
h(t)= 1ln( −t , Dom h= >+∞< ;1
Luego: Dom
→
r = Dom f ∩ Dom g ∩ Dom h= ] { }24;1 −<

4. 10/05/2012 4
5. Sea la función vectorial
→
r dada por: 




 −+
+=
→
t
t
t
t
ttr
2
1)1(
;
sen
;)12ln()(
2
y
→
r (0) = (0; 1; 2),
a) Halle )(lim
0
tr
t
→
→
. ¿Es la función
→
r continua en t = 0? ( 3 puntos)
b) Halle )(' tr
→
. ( 2 puntos)
Solución:
a. 




 −+
+=
→→→
→
→ t
t
t
t
ttr
tttt 2
1)1(
lim;
sen
lim;)12ln(lim)(lim
2
0000
La 2da y 2ra componente son F.I. 0/0, aplicando l’Hospital





 +
=
→→ 2
)1(2
lim;
1
cos
lim;)1ln(
00
tt
tt
( )1;1;0)(lim
0
=
→
→
tr
t
Como )0()(lim
0
→→
→
≠ rtr
t
, entonces
→
r no es continua en t = 0
b. ( ) 












 −+






+=
→
'
2
1)1(
;'
sen
;')12ln()('
2
t
t
t
t
ttr
( ) ( )





 −+−+−
+
=
→
2
2
2
4
1)1(22)1(2
;
sencos
;
12
2
)('
t
ttt
t
ttt
t
tr





 −
+
=
→
2
1
;
sencos
;
12
2
)(' 2
t
ttt
t
tr
6. Sea la función vectorial
→
r dada por: ( ) etttttr ≤≤−−=
→
1;;ln;2)( 2
a) Determine la longitud de la curva descrita por
→
r en el intervalo de t dado. (2 puntos)
b) Calcule dttr
∫
→
)( . (2 puntos)

5. 10/05/2012 5
Solución:
a. La longitud de la curva será:
L= ( )( ) ( )( ) ( )( ) dtttt
e
∫ +−+−
1
2222
''ln'2
dtt
t
e
∫ ++=
1
2
2
4
1
4
dt
t
t
e
∫ 





+=
1
2
1
2
dt
t
t
e
∫ 





+=
1
1
2
( ) 39,7
1
ln 22
≈=+= e
e
tt
b. 





−−=
∫∫∫∫
→
dttdtttdtdttr 2
;ln;2)(






+++−+−= 3
3
21
2
3
1
;ln; ctctttct
Monterrico,10 de mayo de 2012