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Rotacional de un campo vectorial
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Rotacional de un campo vectorial
- CAMPOS VECTORIALES CRITERIOS PARA CAMPOS CONSERVATIVOS EN EL ESPACIO ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL FUNCIÓN POTENCIAL
- ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL El rotacional de 𝐹( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑀𝒊 + 𝑁𝒋 + 𝑃𝒌 se define como: 𝐫𝐨𝐭 F(x, y, z) = ∇ × F( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = | 𝑖 𝑗 𝑘 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝑀 𝑁 𝑃 | = | 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝑁 𝑃 | 𝒊 − | 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑧 𝑀 𝑃 | 𝒋 + | 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝑀 𝑁 | 𝒌 = ( 𝜕𝑃 𝜕𝑦 − 𝜕𝑁 𝜕𝑧 ) 𝒊 − ( 𝜕𝑃 𝜕𝑥 − 𝜕𝑀 𝜕𝑧 ) 𝒋 + ( 𝜕𝑁 𝜕𝑥 − 𝜕𝑀 𝜕𝑦 ) 𝒌 Ejercicio: Calcule rot F para el cambio vectorial 𝐹( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑧2 𝒊 + 𝑦2 𝒋 + 𝑥2 𝑧𝒌 El rotacional viene dado por 𝐫𝐨𝐭 F(x, y, z) = ∇ × F( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝐫𝐨𝐭 F(x, y, z) = ∇ × F( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = || 𝑖 𝑗 𝑘 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝑥𝑧2 𝑦2 𝑥2 𝑧 ||
- = | 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝑦2 𝑥2 𝑧 | 𝒊 − | 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑧 𝑥𝑧2 𝑥2 𝑧 | 𝒋 + | 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝑥𝑧2 𝑦2 | 𝒌 = [ 𝜕 𝜕𝑦 (𝑥2 𝑧) − 𝜕 𝜕𝑧 𝑦2 ] 𝒊 − [ 𝜕 𝜕𝑥 (𝑥2 𝑧) − 𝜕 𝜕𝑧 (𝑥𝑧2 )] 𝒋 + [ 𝜕 𝜕𝑥 𝑦2 − 𝜕 𝜕𝑦 (𝑥𝑧2 )] 𝒌 = [0 − 0] 𝒊 − [2𝑥𝑧 − 2𝑥𝑧] 𝒋 + [0 − 0] 𝒌 = 0𝒊 − 0𝒋 + 0𝒌 = 𝟎 CRITERIOS PARA CAMPOS CONSERVATIVOS EN EL ESPACIO Supongamos que M, N y P primeras derivadas parciales continuas en una bola abierta R del espacio. El Campo Vectorial 𝐹( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑀𝒊 + 𝑁𝒋 + 𝑃𝒌 es conservativo si, y sólo si su rotacional es igual a cero 𝐫𝐨𝐭 F(x, y, z) = 0 En otras palabras, F es conservativo sí y sólo sí, 𝜕𝑃 𝜕𝑦 = 𝜕𝑁 𝜕𝑧 , 𝜕𝑃 𝜕𝑥 = 𝜕𝑀 𝜕𝑧 , 𝜕𝑁 𝜕𝑥 = 𝜕𝑀 𝜕𝑦
- Ejercicio: Hallar una función potencial para 𝐹( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = ( 𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧) 𝒊 + ( 𝑥𝑧 − 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦) 𝒋 + (𝑥𝑦 + 𝑧)𝒌 1) Demostraremos que F es conservativo. 𝐫𝐨𝐭 F(x, y, z) = ∇ × F( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = || 𝑖 𝑗 𝑘 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧 𝑥𝑧 − 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑥𝑦 + 𝑧 || 𝐫𝐨𝐭 F(x, y, z) = | 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝑥𝑧 − 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑥𝑦 + 𝑧 | 𝒊 − | 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑧 𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧 𝑥𝑦 + 𝑧 | 𝒋 + | 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧 𝑥𝑧 − 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 | 𝒌 = [ 𝜕 𝜕𝑦 (𝑥𝑦 + 𝑧) − 𝜕 𝜕𝑧 (𝑥𝑧 − 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦)] 𝒊 − [ 𝜕 𝜕𝑥 (𝑥𝑦 + 𝑧) − 𝜕 𝜕𝑧 (𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧)] 𝒋 + [ 𝜕 𝜕𝑥 (𝑥𝑧 − 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦) − 𝜕 𝜕𝑦 (𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧)] 𝒌 = [ 𝑥 − 𝑥] 𝒊 − [ 𝑦 − 𝑦] 𝒋 + [( 𝑧 − 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦) − (−𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑧)] 𝒌 = 0𝒊 − 𝟎𝒋 + 0𝒌 = 𝟎 ∴ Como 𝐫𝐨𝐭 F(x, y, z) = 0 el campo es conservativo.
- 2) Para hallar la función potencial definimos: 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧 (1) 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝑥𝑧 − 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 (2) 𝜕𝑓 𝜕𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑧 (3) Luego integramos parcialmente (1) respecto de x 𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∫( 𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧) 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧𝑥 + 𝒈( 𝒚, 𝒛) Para determinar 𝒈( 𝒚, 𝒛) derivamos 𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧𝑥 + 𝑔( 𝑦, 𝑧) respecto de y e igualamos con la ecuación (2) 𝜕 𝜕𝑦 [ 𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧𝑥 + 𝑔( 𝑦, 𝑧)] = 𝑥𝑧 − 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 −𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦𝑥𝑧 + 𝜕 𝜕𝑦 [ 𝑔( 𝑦, 𝑧)] = 𝑥𝑧 − 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 Despejamos 𝜕 𝜕𝑦 [ 𝑔( 𝑦, 𝑧)]
- 𝜕 𝜕𝑦 [ 𝑔( 𝑦, 𝑧)] = 0 Pero necesitamos 𝑔( 𝑦, 𝑧) así que se integra 𝜕 𝜕𝑦 [ 𝑔( 𝑦, 𝑧)] 𝑔( 𝑦, 𝑧) = ℎ(𝑧) Luego 𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧𝑥 + 𝒉( 𝒛) Para determinar ℎ(𝑧) derivamos 𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧𝑥 + ℎ(𝑧) respecto de z e igualamos con la ecuación (3) 𝜕 𝜕𝑧 [ 𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧𝑥 + 𝒉(𝒛)] = 𝑥𝑦 + 𝑧 𝑥𝑦 + 𝜕 𝜕𝑧 [ℎ(𝑧)] = 𝑥𝑦 + 𝑧 𝜕 𝜕𝑦 [ 𝑔( 𝑦, 𝑧)] = 𝑧 ⟹ 𝒉( 𝒛) = 𝑧2 2 + 𝐶 Finalmente la función potencial será: 𝒇( 𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒆 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 + 𝒚𝒛𝒙 + 𝒛 𝟐 𝟐 + 𝑪
- REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Larson, R y otros. Cálculo y Geometría Analítica. Volumen 2. Capítulo 14. 6ta. Edición Thomas, G. Calculus. Part Two, Multivariable. Chapter 16. 11th Edition. Leithold. El Cálculo. Capítulo 14. 7ma. edición
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