1. LA PARÁBOLA

2. LA PARÁBOLA
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto
fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA
Foco
Es el punto fijo F.
Directriz
Es la recta fija d.
Parámetro
Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.
Eje
Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
Vértice
Es el punto de intersección de la parábola con su eje.
Radio vector
Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con
el foco.
ECUACIÓN REDUCIDA DE LA PARÁBOLA
El eje de la parábola coincide con el de abscisas y el vértice con el origen de
coordenadas
Dada la parábola y2
= 8x, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
Dada la parábola y2
= -8x, calcular su vértice, su foco y la
recta directriz.

3. CONSTRUCCIÓN DE PARÁBOLAS
Partimos de y = x²
1. Traslación vertical
y = x² + k
Si k > 0, y = x² se desplaza hacia arriba k unidades.
Si k < 0, y = x² se desplaza hacia abajo k unidades.
El vértice de la parábola es: (0, k).
El eje de simetría x = 0.
y = x² +2 y = x² −2
2. Traslación horizontal
y = (x + h)²
Si h > 0, y = x² se desplaza hacia la izquierda h unidades.
Si h < 0, y = x² se desplaza hacia la derecha h unidades.
El vértice de la parábola es: (−h, 0).
El eje de simetría es x = −h.
y = (x + 2)²y = (x − 2)²
3. Traslación oblicua
y = (x + h)² + k
El vértice de la parábola es: (−h, k).
El eje de simetría es x = −h.
y = (x − 2)² + 2 y = (x + 2)² − 2
x y = x²
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4

4. ECUACIÓN REDUCIDA DE LA
PARÁBOLA DE EJE HORIZONTAL
El eje de la parábola coincide con el de abscisas y el vértice con el origen de coordenadas
Dada la parábola y2
= 8x, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
Dada la parábola y2
= -8x, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

5. ECUACIÓN REDUCIDA DE LA
PARÁBOLA DE EJE VERTICAL
El eje de la parábola coincide con el de ordenadas y el vértice con el origen de coordenadas
Dada la parábola x2
= 8y, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
Dada la parábola x2
=- 8y, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

6. ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA
Parábola con eje paralelo a OX y vértice distinto al origen
Dada la parábola (y - 2 )2
= 8 (x - 3)2
, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE EJE VERTICAL
Parábola con eje paralelo a OY, y vértice distinto al origen
Dada la parábola (X - 3)2
= 8 (Y - 2)2
, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

7. ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA.
RESUMEN
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistan de un punto fijo
llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
ECUACIÓN REDUCIDA DE LA PARÁBOLA
El eje de la parábola coincide con el de abscisas y el vértice con el origen de
coordenadas
Si:
Si:
El eje de la parábola coincide con el de ordenadas y el vértice con el origen de
coordenadas
Si:
Si:
Parábola con eje paralelo a OX y vértice distinto al origen
Parábola con eje paralelo a OY, y vértice distinto al origen

8. ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA
EJERCICIOS
1. Determinar, en forma reducida, las ecuaciones de las siguientes parábolas,
indicando el valor del parámetro, las coordenadas del foco y la ecuación de la
directriz.
1 6y2
- 12x = 0
2 2y2
= - 7x
3 15x2
= - 42y
2. Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:
1 De directriz x = -3, de foco (3, 0).
2 De directriz y = 4, de vértice (0, 0).
3 De directriz y = -5, de foco (0, 5).
4 De directriz x = 2, de foco ( -2, 0).
5 De foco (2, 0), de vértice (0, 0).
6 De foco (3, 2), de vértice (5, 2).
7 De foco (-2, 5), de vértice (-2, 2).
8 De foco (3, 4), de vértice (1, 4).
3. Calcular las coordenadas del vértice y de los focos, y las ecuaciones de las
directrices de las parábolas:
1 y2
- 6y - 8x + 17 =0
2 x2
- 2x - 6y - 5 = 0
3 y = x2
-6x + 11
4. Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical y que pasa por los puntos: A (6, 1),
B (-2, 3), C (16, 6).
5. Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta: y= 0 y por foco el punto (2, 4).
6. Calcular la posición relativa de la recta r ≡ x + y - 5 = 0 respecto a la parábola y2
= 16 x.
7. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice coincide con el origen de coordenadas y pasa por el punto
(3, 4), siendo su eje OX.
8. Escribe la ecuación de la parábola de eje paralelo a OY, vértice en OX y que pasa por
los puntos: A (2, 3) y B (-1, 12).
9. Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta: x + y - 6 = 0 y por foco el origen
de coordenadas
10. Determine la ecuación canónica de la parábola con vértice en (1, 3) y foco en (2, 3).
11. Determine la ecuación canónica de la parábola que abre en la dirección del eje x y pasa por los
puntos: (0, 0), (-1, 2), (-1, -2).
12. Determine la ecuación canónica de la parábola -9y2
- 8x - 3 = 0
13. Determine la ecuación canónica de la parábola que abre en la dirección del eje x y pasa por los
puntos: (1, 3), (3, 4), (7, 12).
14. Determine la ecuación canónica de la parábola que tiene eje vertical y pasa por los
puntos: A (2, 3), B (4, 3), y C (6, -5).
15. Determine la ecuación canónica de la parábola que pasa por los puntos: (-2, 3) (0 ,3), (1, 9).
16. Determine la ecuación canónica de la parábola con foco en (-1, 1) y directriz y = 5.
17. Determine la ecuación canónica y el foco de la parábola que satisface simultáneamente las siguientes
condiciones
a. vértice en (2, 0).
b. contiene al punto P = (8, b) con b > 0.
c. la distancia de P la directriz es 10.
18. Determine la ecuación canónica de la parábola con vértice en (-1, 1) y directriz: y = x.