1. Elianny E. Molletones P.
Derivada implícita
Considerando la ecuación xy − 1 = 0. En esta ecuación, fácilmente podemos
despejar la variable y: y =
1
x
. Esta nueva ecuación define a y como función de x. Casos
como el ejemplo anterior suceden con frecuencia. Es decir, una ecuación de la forma
g(x, y) = 0 puede dar lugar a una función y = f(x). Si esta situación ocurre diremos que la
ecuación g(x, y) =0 define implícitamente a y como función de x. En cambio, diremos que
una ecuación de la forma y = f(x) define explícitamente a y como función de x.
No toda ecuación g(x, y) = 0 determina implícitamente una función (real de variable
real). Tal es el caso de la ecuación x2
+ y2
+ 1 = 0, que no tiene soluciones reales. Puede
suceder también que una misma ecuación de lugar a más de una función. Así, la
circunferencia x2
+ y2
+ 1 = 0, que no tiene soluciones reales. Puede suceder también que
una misma ecuación de lugar a más de una función. Así, circunferencia x2
+ y2
− 1 = 0
determina dos funciones
1. f1(x) = √1 − x2
2. f2(x) = −√1 − x2
Sucede con frecuencia que en funciones definidas implícitamente es difícil despejar la
variable dependiente. Por este motivo, sería conveniente contar con una técnica que nos
permita encontrar la derivada de una función definida implícitamente, sin la necesidad de
contar con la expresión explicita de la función. Esta técnica se llama diferenciación implícita
y se resume en la siguiente regla.
2. Aplicaciones que involucran un extremo absoluto en un intervalo cerrado.
Se aplica el teorema del valor extremo a problemas en los que la solución es un
extremo absoluto de una función en un intervalo cerrado. El teorema asegura que una función
continua en un intervalo cerrado tiene un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto
en el intervalo. Se mostrará el procedimiento para obtener los extremos absolutos de una
función.
Definición
Una función f tiene un máximo absoluto (o máximo global) en c si f(c) ≥ f(x) para
todo x en D. Donde D es el dominio de f . El número f(c) se llama valor máximo de f en D.
De manera análoga f tiene un mínimo absoluto en c si f(c) ≤ f(x) para todo x en D; el
número f(c) se denomina valor mínimo de f en D. Los valores máximo y mínimo de f se
conocen como valores extremos de f.
Ejercicio:
Un fabricante de cajas de cartón quiere elaborar cajas abiertas a partir de trozos
rectangulares de cartón con dimensiones de 10 pulg por 17 pulg, cortando cuadrados en las
cuatro esquinas y doblando los lados hacia arriba. Se desea determinar la longitud del lado
de los cuadrados que se deben cortar de modo que la caja tenga el mayor volumen posible.
Uno de los trozos de cartón indicados representa la caja. En el ejemplo se mostró que si x
pulgadas es la longitud de los lados de los cuadrados que se cortarán y V(x) pulgada, cúbicas
es el volumen de la caja, entonces
V(x) = 170x − 54x2
+ 4x3
x pulg
3. Y el dominio de V es el intervalo cerrado [0,5]. Como V es continua en [0, 5], se sabe,
por el teorema del valor extremo, que en este intervalo V tiene un valor máximo absoluto, el
cual ocurre en un número crítico o en un extremo del intervalo. Para obtener los números
críticos se calcula V′(x) y se determinan los valores de x para los que
V′(x) = 0 o V’{x) No existe.
V′(x) = 170 − 108x + 12x2
V′(x) existe para todos los valores de x. Al igualar V′(x) a cero y despejar x se tiene
2(6x2
− 54x + 85) = 0
x =
54 ± √(54)2 − 4(6)(85)
12
De donde se obtiene x = 6.97 y x = 2.03. De modo que el único valor crítico de
V en [0, 5] es 2.03. Como V(0) = 0 y V(5) = 0, mientras que V(2.03) = 156.03, el
valor máximo absoluto de V ocurre cuando x = 2.03.
Definición (Extremos):
Sea f definida en un intervalo que contiene al punto c:
a) f(c)es el (valor)mínimo de f en I si f(c) ≤ f(x) para todo x en I
b) f(c)es el (valor)maximo de f en I si f(c) ≥ f(x) para todo x en I
4. Teorema:
Sea f una función que es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo
abierto (a, b).
a) Si f′(x) > 0 para todo x en (a, b). Entonces f es creciente ( )en [a, b]
b) Si f′(x) < 0 para todo x en (a, b). Entonces f es decreciente ( )en [a, b]
5. Teorema: Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f alcanza un
mínimo y un máximo por lo menos una vez en [a, b].
Los valores extremos de una función también se llaman mínimo absoluto y máximo
absoluto de f en un intervalo.
Derivadas de orden superior.
6. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
DEFINICION 1:
Se dice que una función y = f(x) es creciente en un intervalo si para cada par de
valores x1 y x2 con
x1 < x2 Pertenecientes ha dicho intervalo, se verifica que: f(x1) < f(x2)
DEFINICION 2:
Se dice que una función y = f(x) es decreciente en un intervalo si para cada par de
valores x1 y x2 con
x1 < x2 Pertenecientes ha dicho intervalo, se verifica que: f(x1) > f(x2)
y
xx1 x2
xx1 x2
y
7. TEOREMA:
Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo
abierto (a, b):
1º) Si f ´(x) > 0 para toda x en (a, b), entonces f es creciente en [a, b].
2º) Si f ´(x) < 0 para toda x en (a, b), entonces f es decreciente en [a, b].
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA DETERMINAR EXTREMOS
RELATIVOS DE UNA FUNCION
Sea f una función continua en todos los puntos del intervalo abierto (a, b) que
contiene al número c, y supongamos que f´ existe en todos los puntos de (a, b), excepto
posiblemente en c:
1º) Si f ´(x) > 0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que tiene a c
como punto extremos derecho, y si f ´(x) < 0 para todos los valores de x en algún intervalo
abierto que tiene a c como su punto extremo izquierdo, entonces f tiene u n valor máximo
relativo en c.
y
xx1 x2
xx1 x2
y
8. 2º) Si f ´(x) < 0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que tiene a c
como punto extremos derecho, y si f ´(x) > 0 para todos los valores de x en algún intervalo
abierto que tiene a c como su punto extremo izquierdo, entonces f tiene u n valor mínimo
relativo en c.
En resumen, para determinar los extremos relativos de una función y = f(x) (máximos
y mínimos relativos) se sigue los siguientes pasos:
a) Se calcula la primera derivada de la función
b) Se iguala a cero la primera derivada y se resuelve la ecuación que resulta, las raíces de
esta ecuación se denominan valores críticos y representan las abscisas de los posibles
máximos y/o mínimos relativos de la función.
c) Si x = c es un valor crítico, entonces:
Si f ‘(c − ) < 0
f ‘( c) = 0
f ‘(c + ) > 0
}la función tiene un mínimo relativo
Si f ‘(c − ) > 0
f ‘( c) = 0
f ‘(c + ) < 0
} la función tiene un máximo relativo
Concavidad de una función y el criterio de la segunda derivada.
9. Se dice que una función 𝐟 es cóncava hacia arriba en 𝐈 si su gráfica se encuentra por
encima de la recta tangente a la curva en cualquier punto del intervalo.
Si la gráfica se encuentra por debajo de la tangente a la curva en cualquier punto del
intervalo I, entonces la función f es cóncava hacia abajo en I.
Definición (Concavidad)
Sea f derivable en un intervalo abierto I. La grafica de f es cóncava hacia arriba
en I si f’ es creciente en ese intervalo y cóncava hacia abajo en I si f’ es decreciente en
él.
10. Ejemplo
Dos autos parten del mismo punto, el primero se dirige al oeste a 25 y el segundo al
sur a 60 MPH MPH. Con que velocidad aumenta la distancia entre ellos despues de 2
horas. entonces tenemos que:
11. dx
dt
= 25 mph
dy
dt
= 60 mph
Donde dx/dt y dy/dt es la velocidad de los autos, el cambio de x o y en el tiempo. Para
encontrar los valores de x y, multiplicamos por las 2 horas que han viajado.
x = 50 m
y = 120 m
Para encontrar la distancia que hay entre los 2 autos podemos hacerlo con el teroema de
pitagoras tendriamos que:
z = √(50)2 + (120)2 = 130m
z = 130m
entonces debemos encontrar el cambio de z respecto al tiempo.
dz
dt
=?
