Debrayes sobre la Curvatura Presentación Examen profesional 2009 05-27 presentacion - efrain vega

Presentación examen profesional

Debrayes sobre la curvatura
Efraín Vega Landa
2009-05-27

Debrayes sobre la curvatura 2

1. Ideas preliminares
2. Una forma intuitiva de introducir la curvatura de manera intrínseca (del axioma de
las paralelas al teorema de Gauss-Bonnet)
3. Ideas intuitivas de conexión.
4. Ideas previas para la fórmula del tensor
5. Interpretación de la fórmula R (X; Y ) Z = rX rY Z rY rX Z r[X;Y ]Z



1 Ideas preliminares
Los vectores velocidad de curvas en una variedad no pertenecen a la variedad.
En los espacios planos pareciera que si.

Están contenidos en los espacios tangentes, que son espacios vectoriales arriba de
cada punto. El conjunto de estos espacios tangentes forma el haz tangente.


1.1 Curvatura de una curva

t : [0; s] ! C1



La curvatura como rapidez angular con que gira el vector tangente.

k (s) = k 00(s)k = kt0(s)k :



También puede ser la medida de la rapidez angular con que gira el vector normal.

dn
k (s) =
ds



El marco (o diedro) de Frenet-Serret1 F de una curva es la pareja de vectores2
conformada por el vector tangente t y el vector normal n a la curva en cada punto

1
Serret, Joseph Alfred (1819-1885) y Frenet, Jean Frédéric (1816-1900); matemáticos franceses.
2
Es una base del espacio tangente T R2 .


0 k
= dt
ds F
dn
ds F = IF dt
ds
dn
ds = I F A0s
k 0



Un observador en el marco paralelo observa que los puntos del marco de Frenet se
mueven de manera que su velocidad satisface el siguiente sistema de ecuaciones
diferenciales.
0 k (s)
x0 = x;
k (s) 0



1.2 Curvatura de super cies en R3
1.2.1 Curvatura de super cies, a través de la curvatura de sus secciones
normales
En una super cie hay una in nidad de formas de pasar por el punto P . La forma en
que se curva una super cie depende del punto y de la dirección por la que lleguemos
al punto.



Las intersección de la super cie con los planos que pasan por la recta normal a la
super cie NP S genera curvas que son llamadas secciones normales.



Ejemplo. Una silla de montar.

Hay direcciones para las cuales la circunferencia osculatriz de quede arriba y
abajo de TP S . De modo que la curvatura normal será positiva en algunas secciones
normales y negativa en otras.



Hay también dos direcciones en las que la sección normal es una línea recta por lo
que k = 0. En este caso la función k es también una onda que asume valores
negativos para algunas secciones normales.

k = k1 cos2 + k2sen2 con k1 < 0 < k2:
En los ejemplos anteriores P tiene dos secciones normales perpendiculares para las
cuales la curvatura k es mínima y máxima. Esto sucede en cualquier super cie S .


Las curvaturas normales mínima y máxima en un punto P en S se llaman curvaturas
principales k1 y k2; y las direcciones en el plano tangente en las que se alcanzan
dichos valores extremos se llaman direcciones principales.
La curvatura gaussiana
k = k1 k2
de la super cie en el punto P es el producto de las curvaturas principales en dicho
punto.



Ejemplo. El plano y el cilindro tienen curvatura gaussiana cero.



Ejemplo. La esfera y el elipsoide tienen curvatura gaussiana positiva.



Ejemplo. La silla de montar tiene curvatura gaussiana negativa.



1.2.2 Curvatura de super cies, a través de la aplicación de Gauss
La aplicación de Gauss es un mapeo
N : S ! S2
que manda los puntos de la super cie en puntos en la esfera S 2.



Ejemplo. Un cilindro.



Ejemplo. Una super icie con curvatura gaussiana positiva.



La curvatura gaussiana kP = k1k2 de la super cie en el punto P puede ser interpretada
como el factor de agrandamiento de áreas de la diferencial de la aplicación de Gauss,
es decir, su determinante en el punto
kP = det dNP :



Los determinantes de la aplicación de Gauss para S 1 y S2 son
2 2
2

1 1
det dN 1 = 4 = =
2 1 2 r2
2

1 1 1
det dN2 = = =
4 (2)2 r2



1.3 Marco de Darboux-Ribaucour

G=N t.
Es el marco ortonormal formado por los vectores
D = ft; G; Ng
a lo largo de la curva S.



2 Una forma intuitiva de introducir la curvatura de
manera intrínseca (del axioma de las paralelas al
teorema de Gauss-Bonnet)
2.1 Transporte paralelo en R2
Una línea recta en R2

Si trasladamos paralelamente sus vectores tangentes obtenemos un vector constante.
dt
No hay variación del vector tangente, ds = 0, no hay aceleración, la curvatura es cero.


Transporte paralelo a lo largo de rectas (geodésicas) en R2
Para transportar paralelamente un vector vP 2 TP R2 a lo largo del segmento de recta
= P Q que une los puntos P y Q, escogemos vectores vO en los distintos espacios
tangentes TO R2 intermedios, de manera que:
1. Sean del mismo tamaño que vP
2. El ángulo que forma vO con el vector velocidad 0
O a la curva es igual a P :
O = ] (vO ; 0
O) = ] (vP ; 0
P) = P



Transporte paralelo a lo largo de curvas arbitrarias en R2



La conexión usual en R2 es independiente de la curva que une un par de puntos



2.2 Transporte paralelo en una super cie S R3
En una super cie ¿Cuándo se curva una curva?
Derivamos el campo de velocidades de la curva usando la conexión de R3.
00 00 00
= T + N

a3D = a2D + a1D



a3D = a2D + a1D

kn =kGG+kNN
La curvatura geodésica es el número kG por el que hay que multiplicar a G para
obtener la aceleración 2D.
Una curva será geodésica en la super cie si kG = 0



Transporte paralelo a lo largo de geodésicas en super cies contenidas en R3
Para transportar un vector a lo largo de una geodésica que une P con Q tenemos que
tomar vectores vO 2 TO S de modo que conservemos:
1. El ángulo inicial

O = ] (vO ; 0
O) = ] (vP ; 0
P) = P

2. La longitud del vector inicial
kvO k = kvP k ;



Ejemplo. Campos paralelos a lo largo de geodésicas en la esfera y cilindro.



Transporte paralelo a lo largo de curvas arbitrarias
La idea será aproximar la curva con una sucesión de polígonos geodésicos en S .
De nimos el transporte paralelo a lo largo de como el límite de los transportes parale-
los a lo largo de los polígonos con vértices en :
vQ = vQ (vP ; ) = l m vQn
n!1



Ejemplo. Dos polígonos de la sucesión Pn que aproximan a un paralelo en la esfera.



El transporte paralelo induce una aplicación
n o
Q
H (vP ; ) : TP S P ! TQS:

n o
Q
Si jamos la curva 2 P , obtenemos una aplicación

H : TP S ! TQS
que manda a cada vector vP 2 TP S en su transporte paralelo vQ 2 TQS .


Transporte paralelo en una curva cerrada, transformación de holonomía
En este caso H es una aplicación3
P
H (vP ; ) : TP S P ! TP S;
Si jamos la curva ; entonces la transformación H se convierte en una transformación
de TP S en sí mismo
1
H : TP S ! TP S , con H (vP ) = vP ;
que es llamada transformación de holonomía.

3
Todas las transformaciones forman un grupo que se llama grupo de holonomía.


El transporte paralelo del vector vP a lo largo de es el vector
1 1 1
vP = vP (vP ; ) = l m vPn
n!1

en TP S , que resulta de tomar el límite de la sucesión vPn de vectores en TP S que re-
1

sultan de transportar paralelamente al vector vP a lo largo de cada polígono geodésico
Pn hasta completar una vuelta.



La transformación de holonomía para super cies contenidas en R3
1. La longitud de los vectores no cambia al transportar.
2. El ángulo entre dos campos paralelos a lo largo de es constante y esto implica
que el ángulo ] vP ; vP entre un vector y su transporte paralelo será constante e
1

independiente de vP .



Lo anterior implica que H es una rotación de TP S por un ángulo ' = ' que se llama
ángulo de holonomía de la curva .



Transformación de holonomía en un triángulo geodésico en una super cie
Transportemos el vector vP1 a lo largo de los lados del triángulo geodésico con vértices
P1, P2 y P3 en S .

El ángulo de holonomía del triángulo
X
'4 = ] 1
vP1 ; vP1 =2 ( 1 + 2 + 3) =2 i

es lo que le falta o sobra respecto de 2 (haber girado una vuelta entera).


Transformación de holonomía en un polígono geodésico en una super cie S

n
X
'P = 2 i:
i=1



El ángulo de holonomía de un triángulo geodésico en la esfera S 2 es igual al área
que este encierra
X
A (4) = 2 i = '4 :



El ángulo de holonomía de un triángulo geodésico en la esfera de radio r es igual
al área de la imagen del triángulo bajo la aplicación de Gauss
Si la esfera es de radio r entonces el área cambia en un factor r2:
h X i
2
A (4) = 2 i r ;

de donde obtenemos que el ángulo de holonomía de 4 es
h X i A (4)
'4 = 2 i = 2
= A (4) k = A (N (4)) .
r



La Fórmula de Gauss-Bonnet para un triángulo geodésico en Sr 2

A (4) X
A (N (4)) = A (4) k = 2
=2 i = '4;
r
vincula la transformación de holonomía y la aplicación de Gauss. En la esfera Sr pro-
2

porciona una manera intrínseca de medir su curvatura gaussiana mediante la igualdad
A (N (4)) '4
=k= .
A (4) A (4)
Un ser 2D que habite en Sr puede transportar paralelamente un vector a lo largo de un
2

triángulo geodésico, medir el ángulo de holonomía y el área del triángulo. Los divide
y obtiene la curvatura gaussiana de su mundo 2D. Con la fórmula de Gauss-Bonnet
podemos interpretar la curvatura gaussiana como una densidad de holonomía por
unidad de área. El ángulo de holonomía '4 es igual al producto de su área por la
densidad de holonomía
'4 = A (4) k:



Fórmula de Gauss-Bonnet para un polígono geodésico

n
X
A (P )
A (N (P )) = A (P ) k = =2 i = 'P ;
r2 i=1



Y de nuevo, a partir de la igualdad anterior, obtenemos que la curvatura gaussiana de
Sr es el cociente del ángulo de holonomía de un polígono geodésico entre su área
2

A (N (P )) 'P
=k= :
A (P ) A (P )
La interpretación de la densidad de holonomía por unidad de área es válida para
cualquier polígono en la esfera; podemos obtener su ángulo de holonomía multipli-
cando su área por la curvatura gaussiana de la esfera.



Fórmula de Gauss-Bonnet para curvas cerradas contenidas en la esfera Sr
2

' = A (N ( ))



Tomemos una curva concreta en esfera para visualizar el resultado, un paralelo en S 2y
una sucesión de polígonos geodésicos (regulares) Pn, con vértices en , que converja
al paralelo .



Por un lado
A (N (Pn)) = A (N ( ))

l m A (Pn) = A ( ) ;
n!1

y por el otro, por de nición
l m ' Pn = ' .
n!1

En cada polígono la fórmula de Gauss-Bonnet garantiza que
'Pn = A (N (Pn)) ;
de modo que los límites serán iguales
' = A (N ( )) .



Relación entre la integral de la curvatura geodésica y el ángulo de holonomía de
una curva
Nos falta la parte de la fórmula de Gauss-Bonnet
n
X
2 i = 'P
i=1

que relaciona el ángulo de holonomía con la diferencia entre 2 y la suma de los
ángulos exteriores. ¿Qué sentido tienen los ángulos exteriores en nuestra curva ?
Veamos qué le sucede a los ángulos exteriores de Pn cuando n ! 1.



En cada polígono
X
' Pn = 2 in .

Parametricemos el polígono Pn a longitud de arco. Los ángulos exteriores in son los
brincos que da el vector tangente Pn del polígono al pasar por sus vértices.
0



En el límite, (n ! 1):
1. Los ángulos exteriores in de Pn tienden a cero; los brincos del vector son cada vez
menores y el intervalo de tiempo entre ellos tiende a cero
2. El movimiento a brincos de Pn culmina con el movimiento suave a rapidez unitaria
0

del vector 0 a lo largo de que gira4 con una rapidez angular igual a la curvatura
geodésica kG del paralelo .
De modo que en el límite tenemos
X Z
' = l m ' Pn = l m 2 in =2 kG :
n!1 n!1

4
respecto al vector tangente de la geodésica que pasa por (s) con velocidad 0
(s)



Fórmula de Gauss-Bonnet para curvas cerradas suaves en Sr 2

Llegamos entonces a la fórmula de Gauss-Bonnet para el paralelo en Sr
2

Z
2 kG = ' = A(N ( )):

Que se puede expresar en la forma
Z ZZ
2 kG = ' = k.
R



Curvatura gaussiana intrínseca en la esfera y su generalización
La fórmula
Z
2 kG = ' = A(N ( )):

garantiza que
A (N (4)) '4
=k= .
A (4) A (4)
es aplicable a cualquier curva suave en la esfera
' A (N ( ))
=k= :
A( ) A( )



Método intrínseco para calcular la curvatura de una super cie
Hemos encontrado un método intrínseco para calcular la curvatura de la esfera, ¿fun-
cionará este método en otras super cies?
'
La curvatura gaussiana puede variar de una región a otra, el cociente A( ) nos da
una aproximación al comportamiento de la curvatura gaussiana en la región R que
encierra . Necesitamos
'
lm :
A( )!0 A ( )



El ángulo de holonomía de una curva en una super cie es igual al área bajo la
aplicación de Gauss de la región que encierra.

' = A (N ( )) : (1)
'
A partir (1) podemos obtener la curvatura gaussiana tomando el límite l mA( )!0 A( ) .
Tomemos una sucesión de curvas n tales que
1. Siempre contengan a un punto P 2 S en la región R que encierran.
2. El área que encierran tienda a cero, l m A ( n) = 0.
n!1
Por (1) tenemos que
' n
= A (N ( n)) ;
por lo que al tomar el límite obtenemos que
'n A (N ( n))
lm = lm =k
n!1 A ( n ) n!1 A ( n)



Los espacios tangentes a lo largo de S y N ( ) S 2 son paralelos, de modo que
un campo paralelo a lo alrgo de en S será también paralelo a lo largo de N ( ) S 2.

Esto garantiza que las transformaciones de holonomía que generan los campos parale-
los a lo largo de S y N ( ) S 2 son iguales
' = '(N( ))

Por otro lado, el ángulo de holonomía '(N( )) es igual al área de la región en S 2 que
encierra la curva N ( ), es decir,
' = A (N ( ))



El teorema Egregio de Gauss
La fórmula
'n
k (P ) = l m
n!1 A ( n )

proporciona un método intrínseco para calcular la curvatura gaussiana. Midiendo án-
gulos y áreas un ser 2D puede calcular la curvatura de su mundo.Si deformamos
isométricamente una super cie S , no cambiarán las áreas ni los ángulos, por lo que
un ser 2D, habitante de S; no se dará cuenta del cambio en su mundo. Las medidas
de los ángulos de holonomía ' n de la sucesión de curvas n y del área A ( n) de las
regiones que encierran las curvas n serán iguales.Obtendrá el mismo valor para el
límite
'n
lm ;
n!1 A ( n )

y en consecuencia el mismo valor para la curvatura gaussiana antes y después de
la derformación. Lo anterior nos dice que la curvatura Gaussiana es invariante bajo
isometrías.



Teorema de Gauss-Bonnet para una super cie S
Ya vimos que el ángulo de holonomía de una curva S es
Z
' =2 kG :

Y por otro lado llegamos a que
' = A (N ( ))
Recordamos que la curvatura gaussiana en un punto P puede ser interpretada como
A (N ( ))
k (P ) = l m ;
A( )!0 A( )
donde es una región que contiene a P .



Entonces podemos ver A (N ( )) como la integral de super cie de la función curvatura
gaussiana
ZZ
' = A (N (R )) = k:
R

Igualando las dos expresiones para el ángulo de holonomía obtenemos
Z ZZ
2 kG = ' = k;

La fórmula de Gauss-Bonnet



3 Ideas intuitivas de conexión.
Interpretación de una conexión en R2
Dada una curva en R2 la conexión proporciona una manera de tranportar paralela-
mente los vectores del espacio tangente al punto inicial de la curva al espacio tangente
al punto nal.
Esto induce un ujo en el subhaz del haz tangente que se encuetra por arriba de la
curva.



La curvatura mide de la dependencia de la trayectoria en el transporte paralelo
Podemos ir de uno al otro viajando a lo largo de dos curvas distintas. Los ujos arriba
de cada curva pueden llegar al espacio tangente por arriba del punto nal común
de cada curva, de manera distinta. Esto induce una transformación en dicho espacio
tangente que mide qué tan distinto llegan. Cuando los ujos no llegan igual decimos
que la conexión tiene curvatura.



La dependencia de la trayectoria y la transformación de holonomía
La siguiente idea, (que es equivalente a la anterior), permitirá introducir la idea del
tensor de curvatura.
Consideremos una curva cerrada y tomemos un punto en ella, la conexión induce
un ujo en el subhaz por arriba de la curva, al volver al espacio tangente al punto
inicial, llegaremos, en general, de manera difererente. La transformación que mide
esta diferencia, se llama transformación de holnomía.



Curva de transformaciones de holonomía
A cada curva le corresponde una transformación de holonomía, en analogía con la
circulación en el caso del rotacional. Si tomamos una curva de curvas que colapsen
en el punto obtendremos una curva de transformaciones de holonomía. Si hacemos
la curva en R2 pequeña, la transformación de holonomía se acercará a la identidad.
Si tomamos el área que encierra la curva como parámetro entonces la velocidad de la
curva de transformaciones de holonomía, en a = 0, nos dará un vector en el álgebra
de Lie del haz de marcos, que podemos interpretar como un campo vectorial en el
espacio tangente al punto inicial.
Podemos imaginar que hacemos pequeña la curva en la gura y que las rebanadas
inicial y nal se identi can.



La forma de curvatura (Arnold)
Ahora tomemos como curvas paralelogramos en R2. Sea t ( ; ) el paralelogramo
contenido en TP R2 generado por los vectores ; en TP R2. Mediante el parámetro t
generemos una curva de paralelogramos t (t ; t ) en TP R2. A esta curva le corre-
sponde5 una curva de paralelogramos t (t ; t ) en R2, que a su vez genera una curva
de transformaciones de holonomía
H t
: TP S ! TP S .
La velocidad de la curva H t en t = 0 es cero, sin embargo su aceleración, que
podemos interpretar cómo un campo vectorial en TP S , es distinta de cero y la mi-
tad de ella es la forma de curvatura evaluada en los vectores , :
1 d
( ; )= 2
H t
= l2 m H t
2 dt t !0

5
(mediante una identi cación)


4 Ideas previas para la fórmula del tensor
Interpretación de la derivada covariante rX Z
Interpretemos la derivada covariante rX Z de un campo Z en la dirección del cam-
po X . De manera intuitiva lo que una conexión hace es determinar cuáles serán los
sistemas de referencia respecto a los cuales realizaremos nuestras mediciones.
La derivada covariante del campo Z en la dirección determinada por las soluciones del
campo X es un tercer campo rX Z conformado por las velocidades que va midiendo
un observador que viaja a lo largo de las soluciones del campo X en el sistema de
referencia paralelo s = f 1s ; 2s g determinado por la conexión



Flujos que conmutan y que no conmutan



Los ujos que determinan los campos X y Y conmutan en una región cuando al uir
un tiempo t
t t t t
LP (t) = (P )
(con t en alguna vecindad del cero) a lo largo de la pareja de ujos (X; Y ), partiendo
de un punto P arbitrario en la región, regresamos al punto P , es decir, cuando
LP (t) = P
y no conmutan cuando existe algún P en la región para el que
LP (t) 6= P:



Ejemplo. Dos ujos que conmutan en R2
Los campos X = (1; 0) y Y = (0; 1) conmutan ya que en cualquier punto P 2 R2
t t t t
LP (t) = (P ) = P:



Ejemplo. Dos ujos en R2 que no conmutan
Por otro lado los campos X = (1; 0), Y = (0; x) no conmutan en el origen: si tomamos
P = (0; 0) tenemos que
t t t t
LP (t) = (0; 0) 6= (0; 0)



La no conmutatividad de dos ujos en un punto como una aceleración

t t t t t
LP (t) = (P ) = 0; t2 = 0; t2 :

L0P (0) = (0; 0) ;

L00 (0) = (0; 2) :
P



El corchete de Lie
El corchete de Lie de los campos X y Y en el punto P es la mitad de la aceleración
L00 (0)
[X; Y ]p = P :
2
En el ejemplo
L00 (0)
[X; Y ]p = P = (0; 1)
2
El corchete de Lie nos proporciona una medida de la aceleración de la curva LP (t),
es decir, de que tan rápido aumenta la velocidad (en t = 0) con la que se separa el
vértice nal del cuadrilátero



En el ejemplo de los ujos que conmutan, X = (1; 0) y Y = (0; 1), la curva LP (t) es la
constante cero, de modo que su aceleración es la constante cero,
L00 (0) = 0 = [X; Y ]p
P

Entonces si
1 00
L (0) = [X; Y ]p 6= 0
2 P
el vértice nal del cuadrilátero se alejará en la dirección de L00 en un movimiento
P
análogo al de una caída libre: el vector LP es análogo al vector de aceleración que
00

actúa en un objeto en el momento en que lo dejamos caer.



El vector [X; Y ]p indica (al empezar a correr el tiempo, t = 0):
1. La dirección en la que el vértice nal del cuadrilátero iniciará su separación respecto
del punto P (vértice inicial)
2. La rapidez con que aumentará la velocidad (que en inicialmente es cero) con que
se separan los vértices, es decir, la aceleración de la separación, que es el análogo
al valor de la constante de la gravedad en el movimiento de caída libre.



El corchete es un campo vectorial
En cada punto P tenemos una curva
t t t t
LP (t) = (P )
y su respectivo vector [X; Y ]p, de modo que estos vectores forman un nuevo campo6.
El punto P es el extremo izquierdo de cada curva y su correspondiente vector acel-
1
eración [X; Y ]p = 2 L00
P

6 y
Mostramos en la gura varias curvas LP (t) para los campos X = 2 + 1; 0 , Y = 0; x +
2
1
2



5 Interpretación de la fórmula
R (X; Y ) Z = rX rY Z rY rX Z r[X;Y ]Z
La pareja de campos (X; Y ) determina la curva de curvas
(X; Y ) determina en cada punto P de la variedad M una curva de pentágonos
t t t t t
= (t) = ' (P )
que inician y terminan en P ; donde la transformación ' t consiste en moverse un
tiempo t a lo largo del campo de velocidades de la curva L (t)



El marco (t) de TP M que resulta de trasladar paralelamente un marco de TP M a
lo largo del pentágono induce una transformación lineal de holonomía
Ht (X; Y ) : TP M ! TP M ;

! (t) ;



Si variamos t obtenemos una curva de transformaciones ortogonales de holonomía.
Cuando t ! 0 la curva (t) ; a lo largo de la cual hacemos los traslados paralelos,
colapsa en el punto P y el movimiento del marco (t) respecto del marco se vuelve
nulo, es decir, cuando t ! 0 la curva de transformaciones de holonomía tiende a la
identidad en TP M
Ht (X; Y ) ! Id.



La velocidad con que la curva Ht (X; Y ) llega a la identidad, en t = 0, es cero. Sin
embargo su aceleración no es cero, es un vector tangente en el haz de marcos. La
mitad de la aceleración es el negativo de la transformación que buscamos (??):
1 d Ht (X; Y )
2
Ht (X; Y ) = l m 2
= R (X; Y ) :
2 dt t!0 t



Lo que hace la fórmula R (X; Y ) Z = rX rY Z rY rX Z r[X;Y ]Z es ver las cosas
desde el marco paralelo. Tomamos una sección del haz de marcos en una vecindad
del punto, y miramos la variación del marco paralelo desde el marco de la sección.



El tensor es la mitad de la aceleración, para un observador en el marco paralelo (en
rojo) con la cual se separa el marco formado por Z1 y Z2, de su posición inicial.



FIN

Gracias a todos

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