1. INMACULADA
CONCEPCION
OLANCHITO, YORO
CONJUNTOS

2. INTRODUCCION
La teoría de conjuntos es fundamental en matemática y
de suma importancia en informática, donde encuentra
aplicaciones en áreas tales como inteligencia
artificial, bases de datos y lenguajes de
programación, etc.
.

3. CONJUNTOS
Es una colección de objetos o entidades distinguibles y bien
definidas. Los objetos (números, letras, puntos, etc.) que
constituyen un conjunto se llaman miembros o elementos de
un conjuntos
Un conjunto puede ser definido EXPLICITAMENTE
escribiendo cada uno de los elementos que componen el
conjunto dentro de llaves y separados por una coma
Ejemplo:
1.- Sea, A el conjunto de las vocales
A={a,e,i,o,u}
2.- Sea B el conjunto de los dias de la semana
B={lunes, martes, miercoles, jueves, viernes}

4. Definimos un conjunto IMPLICITAMENTE escribiendo dentro de
llaves las carateristicas de los elementos que pertenecen al
cojunto como sigue:{x/x tiene la propiedad p} esto se lee “el
conjunto de todas las x tales la propiedad p”.
Ejemplos:
1.- Sea A el conjunto de vocales:
Se escribe A={x/x es una vocal}
Se lee “ el conjunto de todas las x tales que x es una vocal “
2.- Sea D el conjunto de los numeros naturales pares.
Se escribe D={x/x es un numero natural par}
Se lee “el conjunto de todas las x tales que las x es un numero natural
par”

5. RELACION DE PERTENENCIA
Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte de su lista
de elementos, representado de la siguiente forma:
elemento  conjunto se lee, elemento pertenece a conjunto
Su negacion
elemento  conjunto se lee, elemento no pertenece a conjunto
Ejemplos:
Del ejemplo anterior podemos decir:
1.- a  A se lee, a pertenece al conjunto A
2.- w  A se lee, w no pertenece al conjunto A
3.- 33  D se lee, 33 no pertenece al conjunto D
Un conjunto es finito cuando podemos listar todos sus elementos
A={1,2,3}
Es infinito cuando no podemos listar todos sus elementos
S={ x/x  N, x ≥ 10}

6. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
Igualdad de Conjuntos
Decimos que dos conjuntos A y B son iguales (A=B) si todos los
elementos de A pertencen a B y todos los elementos de B
pertenecen a A.
Esto es, A=B, entonces x  A implica que x  B, y y  B implica
que y  A
Ejemplo:
1.- Si T={1,2,3,4,5} y L={3,5,2,1,4}
Entonces T=L
2.- S M={1,3,5,7,9} y G={x/x es impar ^ 1 ≤ x ≤ 9}
Entonces M=G

7. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
Subconjuntos
Si cada elemento de un conjunto A, es también elemento de un
conjunto B, entonces A se llama subconjunto de B. También
decimos que A esta contenido en B, o que B contiene a A.
Sin embargo, no todo elemento de B necesita ser elemento de A.
Esta relación se escribe: A  B o B A
Si A no es un subconjunto de B, es decir, si por lo menos un
elemento de A no pertenece a B, escribimos
Ejemplo:
1.- A={1,3,4,5,8,9} y B={1,2,3,5,7} C={1,5}
Podemos decir que:
C  A y C  B por 1 y 5, los elementos de C, tambien son
elementos de A y B.
B  A ya que algunos de sus elementos como 2 y 7 no
pertenecen a A.

8. CONJUNTOS ESPECIALES
Conjunto Vacio
Es el carece de elementos, se simboliza por ( ) o Ø.
Ejemplo:
El conjunto cuyos miembros son los hombres que viven
actualmente con mas de 500 anos de de edad, es un conjunto
vacio.
Conjunto Universal
En toda aplicación de la teoría de conjuntos todos los
conjuntos que se consideran serán muy probablemente
subconjuntos de un mismo conjunto dado. Este conjunto se
llamará conjunto universal o universo del discurso y se
denotará por U.
Si U = N, el conjunto de los numeros naturales.
A={1,2,3,4,5,} B={x/x es un numero primo}
C={x/x es un numero natural par}
A,B y C son conjuntos propios de U

9. CONJUNTOS ESPECIALES
Conjunto de Partes
Conjunto de las partes de un conjunto: Se llama así al
conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de un
conjunto dado. Observamos que en él los elementos son, a su
vez, conjuntos. Se representan por p(A).
Ejemplo: Dado el conjunto: A={a,b,c,d.}
Formemos todos sus subconjuntos:
M={a} N={b} P={c} Q={d}
R={a,b} S={a,c} T={a,d} U={b,c} b
V={b,d} X={c,d} Y={a,b,c} Z={a,b,d}
L={b,c,d}
El conjunto de las partes de A, es decir (A), será:
P(A) = {{ }, M, N, P, Q, R, S, T, U, V, X, Y, Z, L, A}

10. DIAGRAMA DE VENN
Los diagramas de Venn que se deben al filósofo inglés John Venn
(1834-1883) sirven para representar conjuntos de manera gráfica
mediante dibujos ó diagramas que pueden ser
círculos, rectángulos, triángulos o cualquier curva cerrada.
U
A B
C

11. En la siguiente figura se han representado los conjuntos A, B, C,D
y U.
A={1,2,3} B={1) C={8,3} D={8}
A  U, B  U, C  U, D  U
BA y DC
U
A
B C
D

12. OPERACIONES CON CONJUTOS
Union de Conjuntos
El conjunto “A unión B” que se representa asi A  B es el
conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A,a B
o a ambos conjuntos.
Ejemplo:
A  1 2; 3; 4; 5;6;7 yB  5;6;7;8; 9
;
A 2 B
1 7 7 8
6 6
3 5 5
4 9
A  B  1;2;3; 4;5;6;7;8;9
A  B  x / x  A  x  B

13. REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA UNIÓN DE
CONJUNTOS
Si A y B son no comparables Si A y B son comparables
U B U A
B
A
AUB AUB
U A
B
Si A y B son
conjuntos disjuntos

14. OPERACIONES CON CONJUTOS
Interseccion de Conjuntos
El conjunto “A intersección B” que se representa A  B es el
conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y
pertenecen a B.
Ejemplo:
A  1 2; 3; 4; 5;6;7 yB  5;6;7;8; 9
;
A 2 B
1 7 7 8
6 6
3 5 5
4 9
A  B  5;6;7
A  B  x / x  A  x  B

15. REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
Si A y B son no comparables Si A y B son comparables
U B U A
B
A
A∩B A∩B=B
U A
B
Si A y B son
conjuntos disjuntos
A ∩ B=Φ

16. OPERACIONES CON CONJUTOS
Diferencia de Conjuntos
La diferencia de dos conjuntos A y B denotada A - B , que se lee A
menos B, es el conjunto formado por los elementos que
pertenecen a A y que no pertenecen a B.
Simbolicamente: A – B={x/x ∈ A Λ x ∉ B}
Ejemplos:
a) A={a,b,c} B={c,d} A - B={a,b}
b) A={3,4,5,6} B={4,5} A - B={3,6}
c) A={1,2,3} B={6,7} A - B={1,2,3}
U U U
A A B
A B
B

17. Ejemplo:
A  1 2; 3; 4; 5;6;7 yB  5;6;7;8; 9
;
A 2 B
1 7 7 8
6 6
3 5 5
4 9
A  B  1;2;3; 4
A  B  x / x  A  x  B

18. El conjunto “B menos A” que se representa B  A
es el conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen a B y no pertenecen a A.
Ejemplo:
A  1 2; 3; 4; 5;6;7 yB  5;6;7;8; 9
;
A 2 B
1 7 7 8
6 6
3 5 5
4 9
B  A  8;9
B  A  x / x  B  x  A

19. OPERACIONES CON CONJUTOS
Diferencia Simetrica de Conjuntos
La diferencia simetrica de los conjuntos A y B, denotada por
Δ, que se lee A diferencia simetrica B, es el conjunto formado por
los elementos que pertenecen a A, o a B, pero no pertenecen
simultáneamente a ambos conjuntos.
Simbolicamente: A Δ B={x/x ∈ A v x ∈ B Λ x ∈ A ∩ B }
Ejemplo:
a) A={1,2,3,4} B={4,5} A Δ B={1,2,3,5}
U
Observe que lo sombreado corresponden
A B
conjuntos A - B y B – A, por esto también
A Δ B={A-B}U{B-A}
A Δ B={AUB}-{B∩A}

20. Ejemplo:
A  1 2; 3; 4; 5;6;7 yB  5;6;7;8; 9
;
A 2 B
1 7 7 8
6 6
3 5 5
4 9
AB  1;2;3; 4  8;9
AB  x / x  (A  B)  x  (B  A)

21. También es correcto afirmar que:
AB  (A  B)  (B  A)
A B
A-B B-A
AB  (A  B)  (A  B)
A B

22. OPERACIONES CON CONJUTOS
Complemento de un Conjunto
El complemento de un conjunto A con respecto al conjunto
U, denotado A´, es el conjunto de elementos de U que no
pertenecen a A.
Simbólicamente: A´={x/x ∈ U Λ x ∉ A }
Ejemplo:
Sea U= N{el conjunto de los números naturales}
A={x/x es un numero natural par}
A ={es un numero natural impar }=U-A
U
A A =U-A

23. Ejemplo:
U ={1;2;3;4;5;6;7;8;9} y A ={1;3; 5; 7; 9}
U
A
2 3 8
1 7
A’={2;4;6,8}
5 9
6
4
PROPIEDADES DEL COMPLEMENTO
1. (A’)’=A 4. U’=Φ
2. A U A’=U 5. Φ’=U
3. A ∩ A’=Φ

24. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUTOS
Las Sig. 4 propiedades se utilizan con la unión y la intersección
Leyes de Idempotencia Leyes Asociativa
I. A U A = A
I. (A U B) U C = A U (B U C)
II. A ∩ A = A
II. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Demostrar:
Demostrar:
A={1,2,3)
I. (A U B) U C = A U (B U C)
A U A={1,2,3}
A={1,2,3) B={4,5,6} C={7,8}
A ∩ A={1,2,3}
(A U B)={1,2,3,4,5,6} U {7,8}
(A U B) U C ={1,2,3,4,5,6,7,8}
(B U C)={4,5,6,7,8} U {1,2,3}
A U (B U C)={1,2,3,4,5,6,7,8}

25. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUTOS
Leyes Conmutativas Leyes Distributivas
I. A U B = B U A I. A U (B ∩ C) = (B U A) ∩ ( A U C)
II. A ∩ B = B ∩ A II. A U (B ∩ C) = (B ∩ A) U ( A ∩ C)
Demostrar: Demostrar:
I. A U B = B U A I. A U (B ∩ C) = (B U A) ∩ ( A U C)
A={1,2,3) B={3,4,5,6} A={1,2,3) B={3,4,5,6} C={6,7}
A U B={1,2,3,4,5,6} A U (B ∩ C)
B U A={4,5,6,1,2,3} B ∩ C={6} U {1,2,3}
II. A ∩ B = B ∩ A A U (B ∩ C) ={1,2,3,6}
A ∩ B={3} (B U A) ∩ ( A U C)
A ∩ B={3} B U A={3,4,5,6,1,2} A U C={1,2,3,6,7}
(B U A) ∩ ( A U C)={1,2,3,6}
Nota: 3 es el elemento común.

26. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUTOS
Relacionadas con el conjunto universal y vacio
Leyes de Identidad
I. A U U = U A∩ U =U
II. A U ø = A A∩ø=ø
Demostrar:
U={1,2,3,4,5,6} A={1,2}
AUU=U AUø =A
A U U ={1,2,3,4,5,6} A U ø ={1,2,{ }}
A∩U=U A∩ø=ø
A ∩ U ={1,2,3,4,5,6} A ∩ ø ={ }

27. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUTOS
Con respecto al complemento
Leyes de Complemento
I. A U A’ = U A U A’= ø II. (A)’ = A U’= ø
Teniendo los siguientes conjuntos realizaremos las siguientes demostraciones
U={1,2,3,4,5} A={1,2,3}
Demostrar: Demostrar: Demostrar:
I. A U A’ = U I. (A’)’ = A
I. A U A’ = ø
A U A’ ={1,2,3,4,5} A’={ }, (A’)’={1,2,3}
A U A’ ={ }
Leyes D’ Morgan
I. (A U B)’ = A’ ∩ B’ II. (A ∩ B)’ = A’ U B’
Teniendo los siguientes conjuntos realizaremos las siguientes demostraciones
U={1,2,3,4,5,6} A={1,2,3} B={3,4,5}
Demostrar: Demostrar:
I. (A U B)’ = A’ ∩ B’ I. (A ∩ B)’ = A’ U B’
(A U B)’ ={6 } (A ∩ B)’ ={1.2.4.5,6 }
A’ ={4,5,6} B’={1,2,,6} A’ ={4,5,6} B’={1,2,,6}
A’ ∩ B’={6} A’ U B’={4,5,6,1,2}

28. ALGEBRA DE CONJUNTOS
Relacion entre la logica y los conjuntos
Con base a la relacion de orden A  B y en las operaciones A U B y A ∩ B se
pueden formar la algebra de conjutos.
Teniendo los siguientes conjuntos realizaremos las siguientes demostraciones
U={1,2,3,4,5,6} A={1,2,3} B={4,5,6}
Demostrar que: A - B = A ∩ B’ = B’ - A’
I.- A – B A – B ={1,2,3}
II.- A ∩ B’ B’={1,2,3,6} A ∩ B’ ={1,2,3}
III.- B’ – A’ A”={4,5,6} B’ - A’ = {1,2,3}
Teniendo los siguientes conjuntos realizaremos las siguientes demostraciones
U={1,2,3,4,5,6} A={1,2,3} B={4,5} C={6}
Demostrar que: A – (B U C) = (A – B) ∩ ( A – C)
I.- A – (B U C) B U C ={4,5,6} A – (B U C)={1,2,3}
II.- (A – B) ∩ ( A – C) A – B ={1,2,3} A – C ={1,2,3} (A – B) ∩ ( A – C)={1,2,3}

29. ALGEBRA DE CONJUNTOS
Formas Nomales
Las formas normales disyuntivas y conjuntivas corresponden a la teoria de
conjuntos a las formas union e interseccion.
La forma normal completa de la union: se obtiene reuniendo los terminos
interseccion cuyo resultado es el conjunto universal U.
Teniendo los siguientes conjuntos realizaremos las siguientes demostraciones
U={1,2,3,4,5} A={1,2,3} B={4}
Demostrar que: (A’∩ B’) U (A’∩ B) U (A∩ B’) U (A ∩ B)= U
A’={4,5) B’={1,2,3,5}
(A’∩ B’)={5} (A’∩ B)={4} (A∩ B’) ={1,2,3) (A ∩ B)= { }
U
A∩ B’ A∩B A’ ∩ B
U={ 5,4,1,2,3,{ } }
A’ ∩ B’

30. ALGEBRA DE CONJUNTOS
Formas Nomales
La forma normal completa de la interseccion: se obtiene intersectando los terminos
ide la union cuyo resultado es el conjunto ø
Teniendo los siguientes conjuntos realizaremos las siguientes demostraciones
U={1,2,3,4,5} A={1,2,3} B={4}
Demostrar que: (A’U B’) ∩ (A’U B) ∩ (AU B’) ∩ (A U B) = ø
A’={4,5) B’={1,2,3,5}
(A’U B’)={4,5,1,2,3} (A’U B)={4,5} (AU B’) ={1,2,3,5) (A U B)= {1,2,3,4 }
(A’U B’) ∩ (A’U B) ={4,5} (AU B’) ∩ (A U B) ={1,2,3}
(A’U B’) ∩ (A’U B) ∩ (AU B’) ∩ (A U B) = ø

31. CONJUNTOS NUMERICOS
Números Naturales ( N ) N={1;2;3;4;5;....}
Números Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....}
Números Racionales (Q)
Q={...;-2;-1;  1;0; 1 ; 1 ; 1; 4
;2;....}
2 5 2 3
Números Irracionales ( I ) I={...; 2; 3;  ;....}
Números Reales ( R )
R={...;-2;-1;0;1; 2; 3 ;2;3;....}
Números Complejos ( C )
1
 ;0;1; 2; 3 ;2+3i;3;....}
C={...;-2; 2

32. CONJUNTOS NUMERICOS
P={3}
EJEMPLOS:
Expresar por extensión los siguientes Q={-3;3}
conjuntos:
A ) P  x  N / x 2  9  0
F={}
B ) Q  x  Z / x  9  0
2
C ) F  x  R / x 2  9  0 4
T  
3

D ) T  x  Q /(3x  4)(x  2)  0
E ) B  x  I /(3x  4)(x  2)  0 B 2 
RESPUESTAS