1. UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDR´E
S
FACULTAD DE CIENCIAS PURAS Y NATURALES
Pre-Facultativo
r
4
x3
4 q
4
x3 x3√4 x3 · · ·p
∞
r
5
x4
5 q
5
x4 x4√5 x4 · · ·p
∞
× log5
1
252 +
1
254 +
1
256 + · · · · · ·
1
254 +
1
256 +
1
258 + · · · · · ·
1
2
Z
s
o
R
s Chavez Gordillo PhD.
Coordinador: Dr. Mario o
Pr´actica Preparatoria para el 2do Examen Parcial
Introducci´on a la Matem´atica, MAT-99 2014 - 2do semestre
Contenido
CAP 1. L´ogica Proposicional CAP 5. Ecuaciones de Primer y Segundo grado
CAP 2. Teor´ıa de Conjuntos CAP 6. Sistemas de Ecuaciones
CAP 3. Sistemas Num´ericos CAP 7. Exponenciales y Logaritmos
CAP 4. Expresiones Algebraicas CAP 8. Inducci´on Matem´atica y Divisibilidad
Calendario Acad´emico
PARCIAL CAP´ ITULOS FECHA PUNTOS
Inicio de Clases Lunes 18 de Agosto del 2014
Primer Parcial 1, 2 y 3 S´abado 11 de Octubre del 2014 50 puntos
Segundo Parcial 4, 5, 6 y 7 S´abado 13 de Diciembre del 2014 50 puntos
Culminaci´on del curso Mi´ercoles 17 de Diciembre del 2014
A
B
S+
- S
W
u
W
ss
(s0)
( )
W
u
(s0)
s
s
s+
-
+
-
W ( )
s
s+
-
u
g
g
0
1
2. R
s ℏz 2
FCPN-UMSA-I 2014 o
Cap´ıtulo IV. Expresiones Algebraicas
Operaciones con los polinomios .
1. Simplificar: 2(5[x − 2(x − 1) + 6] + 1)
2. Realizar las operaciones y simplificar: x(x + 4) − (x + 2)(x − 1)
3. Simplificar la expresi´on 2{3x − 2[4(x − 2) + 1]} + x
4. Substraiga la expresi´on algebraica:
3
5
x2y +
7
3
xy2 − 11x + 12y
−
8
3
xy2 +
7
5
x2y + 8x − 11xy
5. Simplificar: 5[a(a + b) − 3b(b − a) − 3ab(1 − a)]
6. En cada uno de los polinomios siguientes identificar los t´erminos semejantes.
c) xy2 + x2y2 − 3x2y + 7x2y
d) 3(x + y) − 5(x + y) + 2(x − y)
e) 76p4qr2s3 + 76p2q2rs4 − 33p4qr2s3 + 21p2q2rs4
7. Escribir 3 t´erminos semejantes de grado 2.
8. Realizar las siguientes operaciones algebraicas.
c) (+8x2y2) + (11x2y2) + 30(x2y2)
d) 6y2 − x2 + 10xy + 8x2
e) 5a3b2 − 5c2d4 − 4a3b2 + 6b2a3 − 3c2d4
f) 10p3q2r2s4 − 10s2r4q3p2 + 8s4r2q2p3 − 8p2q3r4s2
9. Reducir los siguientes t´erminos semejantes
B = 3xy + 2x2y − 6x2y2 − (6x2y2 − 5x2y + 3xy)
10. Simplificar la siguiente operaci´on algebraica.
10p3q2 − 2r2s4 − 10s2r4 + q3p2 + 8s4r2 − 2q2p3 − 8p2q3 + r4s2
11. En cada uno de los siguientes ejercicios calcular la suma de las expresiones algebraicas:
(a) 8x + y + z + u, −3x − 4y − 2z + 3u, 4x + 5y + 3z − 4u, −9x − y + z + 2u.
(b) a2 − ab + 2bc + 3c2, 2ab + b2 − 3bc − 4c2, ab − 4bc + c2 − a2 , a2 + 2c2 + 5bc − 2ab.
(c) m3 − n3 + 6m2n, −4m2n + 5mn2 + n3, m3 − n3 + 6m2n , −2m3 − 2m2n + n3.
12. En cada uno de los siguientes ejercicios hallar la diferencia obtenida al restar la segunda expresi´on
de la primera.
(a) x3 − 4x2 + 2x − 5, −x3 + 2x2 − 3x − 3.
(b) 5a4 + 9a3b − 40ab3 + 6b4, 7a3b + 5ab3 − 8a2b2 + b4.
(c)
3
5
x4 +
3
4
x3y −
5
7
xy3 +
2
3
y4, x4 +
5
8
x2y2 −
1
3
xy3 +
5
6
y4.
13. En cada uno de los siguientes ejercicios hallar el producto indicado
(a)
−
1
3
x4y2
−
5
7
a3x4y3
.
(b)
5a2xy2
− 3x3 + 5x2y − 7xy2 − 4y3
.
R
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6. y4 entre x2−xy+y2
tiene resto igual a 7xy3 + 8y4.
Teorema del Resto y Ruffini
1. Sabiendo que p(x) = 2x3 − 3x2 + 5x − 4, calcula el resto de las siguientes divisiones:
p(x) : (x − 1), p(x) : (x − 3),
p(x)
x + 2
,
p(x)
x + 3
2. Determine el cociente y el resto.
a) 2x4 − x3 − 18x2 − 7 divido por (a) x − 3, (b) x + 3.
b) 3x4 − 7x − 20 divido por (a) 2 − x, (b) x + 2.
c) x5 − 2x4 + 2x3 − 5x2 + 2x + 5 divido por (a) x − 1, (b) 2x + 1.
3. Halle k de manera que se satisfaga la condici´on indicada.
a) x3 + kx2 + 3x − 12 divido por x − 2, tenga resto igual a 4.
b) 2x3 − 5x2 + kx + 3 divido por x + 1, sea divisi´on exacta.
4. Calcula el valor de a para que el resto de la divisi´on 2x3
−5x+4a
x−3 sea 18.
5. Calcula el valor de a para que el resto de la divis´on p(x)
x+2 sea -3 siendo p(x) = 2x2 + 3ax − 5
6. Utilizar Ruffini para descomponer los polinomios en producto de binomios de grado 1.
(1) p(x) = 5x2 − 3x − 2 (2) q(x) = x3 + 2x2 − 5x − 6 (3) h(x) = x4 − 10x2 + 9
(4) p(x) = x4 + 7x3 + 12x2 (5) q(x) = x5 − 2x4 − 8x3 (6) h(x) = 2x8 − 6x6 − 4x5
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Productos Notables
1. Resolver empleando productos notables: (b + 4)2
2. Resolver empleando productos notables: (5 − c)2
3. Representar el ´area de un cuadrado cuyo lado es: (x+7) m.
a)x2 + 49, b)x + 49, c)x2, d)x2 + 14x + 49, e)x2 + 7.
4. Resolver empleando productos notables: (a + b)(a − b). Subraye el inciso correcto.
a)a2 − b2, b)ab, c)a2 + b2 − a − b, d)1, e)a − b.
5. Hallar: (2c + 1)(2c − 1). Subraye el inciso correcto
a)4c − 1, b)4c2 − 1, c)4c2 + 2c − 1, d)2c2 + 1, e)4c2 + 2.
6. Hallar: (1 − 2a)(2a + 1)
7. Resolver empleando productos notables: (x2 + a2)(x2 − a2)
a)x2a2, b)x4 + a4, c)x2 + a4, d)x4 − a4, e)x4 − x2 + a2x2
8. Resolver empleando productos notables: (x + y + 3)2
9. Resolver empleando productos notables: (2x + 3y − 2)2
10. Resolver empleando productos notables: (a + b)(a2 − ab + b2)
a)a3 + ab + a3, b)a3 + b3, c)a3 + ab2 + a2b + b3, d)a3 − b3e)N.A.
11. Realice las operaciones que se indican.
(a) 2xy(3x2y − 4xy2 + 5y3). (b) (3a + 5b)(3a − 5b).
(c) (x − 5y)(x + 3y). (d) (5x + 3y)(2x − 7y).
(e) (2x + 1)3. (f) (x − 2y2)2(x + 2y2)2(x2 + 4y4)2.
(g) (y + 2)(y − 2)(y2 + 4)(y4 + 16). (h) (x − 2)3(x + 2)3.
(i) (3x + 4y)2 (j) (x2 − 9)(x2 + 9)
(k) (4 − 3x2y)(4 + 3x2y) (l) (2xa+4 − 8ya−1)3
12. Simplificar:
√a2 + b2 + a
√a2 + b2 − a
13. Si ab + ac + bc = 5 y a2 + b2 + c2 = 3 calcular a + b + c =?
14. Si x + y = 12 y x2 + y2 = 60 calcular x3 + y3 =?.
15. Si ab(a + b) = 1 y a3b3(a3 + b3) =
5
2
calcular F = a2b2(a2 + b2).
16. Si
a + b
ab
=
4
a + b
el valor de F =
√a2 + 3b2
5a − 2b
+
a
b
es: Respuesta.- F = 2.
17. Si m + n = 1 el valor de F = 6(m2 + n2) 4(m3 + n3) es: Respuesta.- F = 2.
18. Si √x + b + √− x − b = b; x ≥ b 0, el valor de F = √r
x + b − √x − b es: F = 2 .
19. Si
m
n
+
r
n
m
r
= 7, el valor de F = 8
r
m
n − 8
n
m
es: F = 1 .
20. Si
1
a
+
1
b
=
4
a + b
r
donde ab6= 0, el valor de F = n
(a + b)n+1
an+1 + bn+1 es: F = 2 .
21. Si mn(m + n) = 1, m2n2(m2 + n2) = 2 el valor de F = m3n3(m3 + n3) es:
5
2
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14. R
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22. Si 8
m2
n −
n2
m
= 6(2m − n) el valor de F = 4
m
n
+
n
m
es: F = 10 .
23. Si x3 + y3 = 10, xy = 6 el valor de F = (x + y)3 − 18(x + y) + 20 es: F = 30 .
24. Sabiendo que
b
a
+
b2
a2 = −
1
4
el valor de F =
a + 3b
b
+
8b2
a2 es: F = 3 .
r
25. Sabiendo que m n, adem´as 3
m
n
r
+ 3
n
m
= 3, el valor de F =
r
m
n −
r
n
m
es: F = 4
26. La simplificaci´on de E =
(a + b)4 + a4 + b4
h
(a − b)2 + (a + b)2 + 2ab
i2 es: E =
1
2
.
27. Si a + b + c = 3 con a6= 0, b6= 1, c6= 2, el valor de F =
a3 + (b − 1)3 + (c − 2)3
a(b − 1)(c − 2)
es: F = 3.
28. Si se cumple x2 − 3x + 1 = 0 el valor de F =
x7 − x5 + x3
x5 es F = 6.
29. Si
a
b
n
+ 4
b
a
n
r
an + 2bn
√anbn
= 725 con a, b reales positivo, halle el valor de F = 3
. Respuesta.-
F = 3.
30. Si x4 + x−4 = 34, halle el valor de F = x + x−1. Respuesta.- F = 2.
31. Conociendo m+n = mn+2 = 3 calcular el valor num´erico de F = m5 +n5. Respuesta.- F = 123.
32. Sabiendo que m+n = mn = 5 calcular el valor num´erico de F =
m2 + n2 + 5
m3 + n3 + 10
. Respuesta.- F =
1
3
.
33. Si
1
m
+
1
n
=
1
m + n
hallar el valor de F =
(m + n)6 − 6(m6 + n6)
(mn)3 . Respuesta.- F = −11.
34. Si m + n + p = 0 calcular el valor num´erico de F =
m2
np
+
n2
mp
+
p2
mn
. Respuesta.- F = 3.
35. Si a2 + b2 = 62ab halle el valor num´erico de F =
a + b
√ab
1
3
. Respuesta.- F = 2.
36. La simplificaci´on de E =
vuut
x3 + 2x2 + 2x + 1
x3 − 2x2 + 2x − 1
x2 − 1
+ x2 es: E = x2 + 1
37. Simplificar
a2b + abba + b2a + ab − ba
2
−
a2b + abba + b2a − ab + ba
2
Respuesta.- 4a3b − 4b3a.
38. Si x + y = a, xy = b y adem´as
x3 + y3
5xy(x + y)
=
1
5
, la relaci´on entre a y b es: Respuesta.- a = 2√b.
39. Sabiendo que a
a
b − 3
= b
b
a − 3
, al efectuar (a−b+c)3 −(a−b−c)3 se obtiene: Respuesta.-
2c3
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16. R
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Binomio de Newton
1. indicar el valor de p en (x5 + yp)30, si el termino 16 contiene a x75y60. Respuesta p = 4.
2. Hallar el termino independiente de x en el desarrollo de
√x +
1
3x2
10
. Respuesta t3 = 5.
3. Hallar el quinto termino de
√4 x −
1
√x
8
. Respuesta t5 =
70
x
.
4. El exponente de un binomio excede en 3 al de otro. Determinar estos exponentes sabiendo que la
suma de los coeficientes de ambos binomios es 144. Respuesta.- los exponentes son a = 7 y b = 4.
5. Cu´antos t´erminos debe poseer el binomio de la forma
x
y8 +
y2
√4 xn−4
n
, si en el desarrollo existe
un n´umero independiente de x e y. Respuesta.- 6 t´erminos.
6. Del siguiente binomio, hallar el coeficiente del t´ermino independiente:
a2
2b3 +
4b2
a4
6
. Respuesta.-
No existe t´ermino independiente.
7. Los coeficientes de los t´erminos quinto, sexto y s´eptimo del desarrollo del binomio (1 + x)n forman
una progresi´on Aritm´etica. Hallar n. Respuesta.- n = 7, n = 14.
8. Determinar el lugar que ocupa el t´ermino a7 en el desarrollo del binomio
3
4
√3 a2 +
2
3
12
√a
.
Respuesta.- 7mo lugar.
9. Hallar para que valores de x, la diferencia entre los t´erminos cuarto y sexto en el desarrollo del
binomio
√2x
1√6 8
+
1√6 32
√2x
!m
es igual a 56, sabiendo que el exponente del binomio m es menor que el
coeficiente bin´omico del tercer t´ermino del desarrollo en 20 unidades. Respuesta.- x = 1.
10. Hallar el lugar que ocupa el termino del desarrollo del binomio
r
3
a
√b
+
r
b
1√3 a
21
, que contiene
a y b elevados a la misma potencia. Respuesta.- 10mo lugar.
11. Si
(a + b)4 − (a − b)4
(a2 + b2)2 − (a2 − b2)2 = 4, halle el valor de F =
7a + 3b
a + 4b
. Respuesta.- F = 2.
12. Simplificar la expresi´on
a + 1
a2/3 − a1/3 + 1 −
a − 1
a − a1/2
10
y determinar el termino del desarrollo que
no contiene a a. Respuesta.- 210.
13. Hallar el termino d´ecimo tercero del desarrollo
9x −
1
√3x
m
, sabiendo que el coeficiente del tercer
termino del desarrollo es 105. Respuesta t13 =
455
x3 .
14. En el desarrollo de
x2 −
a
x
m
, los coeficientes de los t´erminos cuarto y decimotercero son iguales.
Hallar el t´ermino que no contiene x. Respuesta 3003a10.
15. ¿Para que valores de n, los coeficientes de los t´erminos segundo, tercero y cuarto del desarrollo del
binomio (1 + x)n forman una progresi´on Aritm´etica. Respuesta.- n = 7.
R
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18. R
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16. Hallar x en la expresi´on
√3 2 +
1
√3 3
x
sabiendo que en el desarrollo del binomio la relaci´on entre
el s´eptimo termino contando desde el principio y el s´eptimo termino contando desde el final vale
1
6
.
Respuesta x = 9.
17. Determinar para que valor de x, el cuarto termino del desarrollo del binomio:
√2x−1 +
1
√3 2x
m
es 20 veces mayor que el exponente del binomio, sabiendo que el coeficiente binomico del cuarto
termino es 5 veces mayor que el del segundo termino. Respuesta x = 4.
18. Los t´erminos de lugares s´eptimo y noveno en el desarrollo del binomio:
√13
2
x + y2
!n
tienen
coeficientes iguales. Halle el valor de n. Respuesta.- n = 20.
19. En el desarrollo del binomio: (xa + yb)c se tienen los t´erminos: dx12y10, dx15y8 que est´an incluidos
en el desarrollo. Calcular el valor de: a + b + c + d. Respuesta.- 140
20. El d´ecimo termino del binomio
x
y
+
y
x
n
es 20
y6
x6 , determinar n. Respuesta n = 12.
21. En la expresi´on
√5 a4
√x ax−1
+ a x+√1 ax−1
!5
determinar x para que el cuarto termino del desarrollo del
binomio valga 56a5,5. Respuesta x = 2 o x = −5.
22. En la expresi´on
2 √x 2−1 +
4
4−√x 4
6
determinar x para que el tercer termino del desarrollo del
binomio valga 240. Respuesta x = 2.
Cocientes Notables
1. En el cociente notable:
x12 − y20
x3 − y5 cu´antos t´erminos centrales tiene. Respuesta.- 2
2. Calcular el t´ermino 47 contando del extremo final del desarrollo
x111 − a111
x − a
. Respuesta.- x46y64
3. Cu´al es el lugar que ocupa un t´ermino en el siguiente cociente notable, contando a partir del primer
t´ermino, sabiendo que la diferencia del grado absoluto de este t´ermino con el grado absoluto del
t´ermino que ocupa la misma posici´on contando a partir del extremo final es 9.
x350 − y140
x5 − y2 .
4. Dado el cociente notable
x21 − y21
xn − ym determinar el valor de m y n sabiendo que el cuarto t´ermino es
a la vez el t´ermino central. Respuesta.- n = m = 3
5. En el cociente generado por
xa − yb
x3 − y7 existe un t´ermino central que es igual a xcy231, hallar e valor
de a + b + c. Respuesta.- 769
6. En el cociente notable
x12 − y18
x2 − yn . Determinar el valor de n, el n´umero de t´erminos y encontrar el
cociente de sus t´erminos centrales. Respuesta.- 3; 6; x2/y3.
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20. R
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FCPN-UMSA-I 2014 o
7. Dado el cociente notable
x6n+3 + a6n−22
x(n−6)/2 + a(n−8)/2 . (a) Calcular el valor de n. (b) Calcular el n´umero de
t´erminos. (b) Calcular el t´ermino 19. Respuesta.- 12; 25; x18a36
8. Para el cociente notable
x3n+9 + y3n
x3 + y2 . Calcular el valor num´erico del t´ermino central para x = 1;
y = 2. Respuesta.- 256
9. El t´ermino num´erico 5 del cociente notable
x50 − y30
x5 − y3 es: Respuesta.- x25y12
10. En el cociente notable
xm − yn
x3 − y5 se conoce que el n´umero de t´erminos es ocho. Hallar el quinto
t´ermino. Respuesta.- x9y20
11. Para el cociente notable
x15m − y15n
xmy3 − yn+3 se sabe que el octavo t´ermino es x4y42. Hallar el ´ultimo
t´ermino. Respuesta.- y87
12. Siendo A el decimosexto t´ermino del cociente notable de
a100 − 1
a5 − 1
, proporcione el t´ermino central
de
A11 + b44
A + b4 . Respuesta.- −a100b20.
13. Hallar el tercer t´ermino del cociente notable
x50 − yn
x2 − y3 . Respuesta.- x44y6
14. Calcular E =
t1 × t8
t10 × t5
de
x105 + y147
x5 + y7 . Respuesta.- x30y−42.
15. Hallar el cociente notable
x − y
22. Respuesta.- 84.
16. En el cociente notable
ym − z30
y2 − zn . Si el cuarto t´ermino es de grado relativo respecto a z igual a 9,
calcular la relaci´on entre los t´erminos centrales. Respuesta.- y2/z3
17. Dado el cociente notable
x21 − y21
xn − ym . Hallar el valor de E en la siguiente ecuaci´on
E =
vuut
s
m
r
n
q
m
p
m√n.................. si m es igual al n´umero de t´erminos. Respuesta.- √21
n
18. Para que valores de y
38. R
s ℏz 13
FCPN-UMSA-I 2014 o
2. Simplificar:
(a)
1 − x
2 + x −
1 + x
2 − x −
3x
x2 − 4
(b)
x2 − 4xy + 4y2
x2 + 2xy
x2
x2 − 4y2
3. Simplificar
x
2x2 + 3xy + y2 −
x − y
y2 − 4x2 +
y
2x2 + xy − y2
4. Simplificar
x2 + 4ax + 4a2
3ax − 6a2
2ax − 4a2
ax + a
6a + 6x
x2 + 3ax + 2a2
5. Simplificar
1
(a − b)(b − c)
+
1
(b − a)(c − b) −
1
(a − c)(b − c)
.
6. Simplificar
a
(a − b)(a − c)
+
b
(b − c)(b − a)
+
c
(c − a)(c − b)
7. Demuestre que
bc
(a − c)(a − b)
+
ac
(b − c)(b − a)
+
ab
(c − a)(c − b)
= 1
8. Simplificar la expresi´on.
1
a(a − b)(a − c)
+
1
b(b − a)(b − c)
+
1
c(c − a)(c − b)
.
9. Simplificar:
(a)
6x2 − x − 2
3x − 2
2x + 1
(b)
x2y + xy2
x − y
x + y
(c)
x + 3
x + 4 −
x + 1
x + 2
x − 1
x + 2 −
x − 3
x + 4
(d)
1
1 +
1
1 −
1
x
10. Simplificar
a − b +
a2 + b2
a + b
a + b −
a2 − 2b2
a − b
·
b +
b2
a
a − b ·
1
1 +
2a − b
b
11. Determine el valor de x si
x =
p2qr
(p − q)(p − r)
+
pq2r
(q − r)(q − p)
+
pqr2
(r − p)(r − q)
.
12. Sea a + b + c = 0, hallar el valor de
a2
bc
+
b2
ca
+
c2
ab
.
13. Simplificar
x3 − x2 − x − 1
3x3 − 3x
R
email errolschg@yahoo.es 13
40. R
s ℏz 14
FCPN-UMSA-I 2014 o
14. Operar u simplificar al m´aximo
E =
x
x − y −
x
x + y
y
x − y
+
x
x + y
, F =
x +
1
y
n
x −
1
y
n
y +
1
x
n
y −
1
x
n , G =
x−2 − 2(xy)−1 + y−2
y
−2
x
+ xy−1 − 2x0
15. Sea
a3
b3 +
b3
a3 = 2, hallar el valor de
E =
a2 + b2
2
+
a2 − b2
2
a2 + b2
2
−
a2 − b2
2
16. En la siguiente expresi´on hallar el valor de E: Si a6= x y n un n´umero impar
E =
1
a − x
+
x
(a − x)2 +
x2
(a − x)3 + · · · +
xn
(a − x)n+1
1
a − x −
x
(a − x)2 +
x2
(a − x)3 − · · · −
xn
(a − x)n+1
17. El valor de la expresi´on
(2 + 3)(22 + 32)(24 + 34) · · · (21024 + 31024)(22048 + 32048) + 24096
32048
18. Los n´umeros reales a6= 0 y b6= 0 cumplen que ab = a − b. ¿Cu´al de los siguientes valores es un
valor posible para
a
b
+
b
a − ab? A) −2 B) −1/2 C) 1/3 D) 1/2 E) 2
Simplificaci´on de expresiones con exponentes racionales
1. Simplificar A =
3x−1/3
x2/3 − 2x−1/3 −
x1/3
x4/3 − x1/3
−1
−
1 − 2x
3x − 2
−1
2. Simplificar A =
1
a1/4 + a1/8 + 1
+
1
a1/4 − a1/8 + 1 −
2a1/4 − 2
a1/2 − a1/4 + 1
3. Simplificar la expresi´on.
(m + x)1/2 + (m − x)1/2
(m + x)1/2 − (m − x)1/2 , si x =
2mn
n2 + 1
, m 0, 0 n 1.
4. Simplificar la expresi´on.
a1/2 −
a − a−2
a1/2 − a−1/2 +
1 − a−2
a1/2 − a−1/2 +
2
a3/2 .
5. Simplificar A =
1 −
a
b
−2
a2
√a − √b
2
+ 2√ab
6. Simplificar
r
x
y
x − y
r
x
y
2
R
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44. R
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FCPN-UMSA-I 2014 o
E =
xyx+1
+ xy1−x
yx1+y + yx1−y
#2√2
Cap´ıtulo V. Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones de Primer Grado o Ecuaciones Lineales
1. Completa esta tabla:
Igualdad ¿Es una Primer Segundo Inc´ognitas
ecuaci´on? miembro miembro
2 + 5x = 3 − 4x
(5 − 4)2 = 52 + 42 − 2 · 5 · 4
5t + 5 = 3t + 2
2x2 + 2x − 3
2. Distingue entre ecuaciones e identidades e indica el grado de las primeras:
Igualdad ¿Es ecuaci´on? ¿Es identidad? Grado
2 + 3x = 3x + 2
2 + 3x = 5 + 3x
(x + 2x)2 = 3x2
1 + 3x = −1
x2 + 1 = 1 + x · x
3. Utiliza las identidades notables para desarrollar o factorizar las expresiones siguientes:
(a + 2b)2 = (2m + 3n) · (2m − 3n) =
(2x − y)2 = p2 + 9q2 − 6pq =
4. Resuelve las siguientes ecuaciones sin par´entesis ni denominadores:
i) 18 + 2x − 8 = x − 25
ii) 8x − 6 = x + 8 + 6x
iii) 5x + 4 = 20 + 2x
5. Resuelve las ecuaciones (1) y (2) quitando primero los par´entesis:
2(x + 3) − 6(5 + x) = 3x + 4 (1)
4 · (x − 2) + 1 = 5 · (x + 1) − 3 · x (2)
6. Utiliza la f´ormula e = vt (donde e, es el espacio; v, la velocidad, y t, el tiempo) para calcular:
a) El espacio recorrido en 3 horas por un ciclista que lleva una velocidad constante de 35Km
h .
b) El espacio recorrido en 15 minutos por un atleta que corre a una velocidad constante de 200Km
h .
c) El espacio recorrido en una hora y media por un caracol que se desplaza a una velocidad
constante de 3m
h .
R
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48. R
s ℏz 18
FCPN-UMSA-I 2014 o
f )
3abc
a + b
+
a2b2
(a + b)3 +
(2a + b)b2x
a(a + b)2 = 3cx +
bx
a
.
17. Resolver
x − ab
a + b
+
x − ac
a + c
+
x − bc
b + c
= a + b + c
Respuesta.- x = ab + ac + bc.
18. Un n´umero m´as el doble del siguiente es 26 ¿Cu´al es ese n´umero?
19. Halla tres n´umeros pares consecutivos cuya suma sea 24.
20. Javier tiene 30 a˜nos menos que su padre y ´este tiene cuatro veces los a˜nos de Javier. Averigua la
edad de cada uno.
21. Los 2
3 m´as los 2
9 de un n´umero valen 80 ¿Cu´al es ese n´umero?
22. Halla las dimensiones de un rect´angulo sabiendo que su per´ımetro es 272 m y que el largo es 5
3 del
ancho.
23. Si a un n´umero le sumamos 18 nos da 97. ¿De qu´e n´umero se trata? (Soluci´on=79)
24. Ayer sal´ı de paseo y gast´e 275 ptas. LLegu´e a mi casa con 350 ptas. ¿Con cuanto sal´ı de paseo?
(Soluci´on=625)
25. A una fiesta s´olo han asistido la tercera parte de los invitados. En total asistieron 19 personas.
Averigua el n´umero de invitados. (Soluci´on=57)
26. Entre las edades de un padre y su hijo suman 41 a˜nos. Calcula la edad del hijo sabiendo que el
padre tiene 34 a˜nos (Soluci´on=7)
27. Unos zapatos y un paraguas valen 3.000 ptas. Calcula el precio de cada art´ıculo sabiendo que los
zapatos valen el triple que el paraguas. (Soluci´on=2.250 y 750)
28. Fui con mi madre al cine y compramos dos entradas, una de infantil y otra de adulto. La de adulto
cost´o el doble que la de infantil y en total pagaron 675 ptas. Averigua el precio de cada entrada.
(Soluci´on=225 y 450)
29. De un saco de naranjas sacamos 8 y a´un quedaron la tercera parte. ¿Cuantas naranjas hab´ıa en el
saco? (Soluci´on=12)
30. Un n´umero m´as el doble del siguiente es 26 ¿Cu´al es ese n´umero?
31. Halla tres n´umeros pares consecutivos cuya suma sea 24.
32. Javier tiene 30 a˜nos menos que su padre y ´este tiene cuatro veces los a˜nos de Javier. Averigua la
edad de cada uno.
33. En un corral hay conejos y gallinas; en total hay 61 cabezas y 196 patas. ¿Cu´antos conejos y gallinas
hay?
3 de su cosecha de vino; despu´es embotella 4
7 de lo restante. Le queda 120 hl
34. Un agricultor vende 1
¿Cu´antos hectolitros de vino hab´ıa cosechado?
35. ¿Cu´anto cost´o un libro, si un quinto, m´as un sexto, m´as un s´eptimo de su precio, menos 2 pesetas,
suman la mitad de su precio?
36. Los 2
3 m´as los 2
9 de un n´umero valen 80 ¿Cu´al es ese n´umero?
37. Jaime y su hermana van un s´abado al cine y otro al circo; en total se gastan 2,050 pesetas ¿Cu´anto
cuesta cada entrada si la entrada del cine vale 75 pesetas menos que la del circo?
38. En una fiesta de fin de curso hay doble n´umero de mujeres que de hombres y triple n´umero de ni˜nos
que de hombres y mujeres juntos. Halla el n´umero de hombres, mujeres y ni˜nos que hay en la fiesta
si el total es de 156 personas.
39. Halla las dimensiones de un rect´angulo sabiendo que su per´ımetro es 272 m y que el largo es 5
3 del
ancho.
R
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50. R
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40. Halla un n´umero de dos cifras, tal que:
1) La cifra de las unidades es triple de la de las decenas.
2) Si se intercambian las dos cifras, el n´umero aumenta en 54.
41. Encuentre las dimensiones de un terreno rectangular con un per´ımetro de 540 metros, si sabemos
que el largo mide 30 metros m´as que el ancho. Respuesta.- largo = 150 metros, ancho = 120
metros .
42. Una lancha recorre 6km en 40 minutos en favor de la corriente; el viaje de regreso le toma 1 hora.
Calcular la rapidez de la lancha en km/h. Respuesta.- Su rapidez es 7,5 km/h
43. Sara y Jeff han acordado reunir sus ahorros cuando tengan ahorrado la misma cantidad de dinero.
Sara puede ahorrar $40 en una semana, pero primero debe darle $65 a su madre. Cuatro semanas
despu´es Jeff comenzo a ahorrar $25 por semana. ¿Cu´ando podr´an ellos reunir sus ahorros? ¿Cu´anto
dincero habr´an ahorrado cada uno de ellos?
44. Sally gana $15 por hora. Ella ha decidido ahorrar autom´aticamente un d´ecimo del dinero que le
queda despu´es de que ha sido substra´ıdo semanalmente $10 para Salud. Ella desea ahorrar al menos
$50 cada semana. ¿Cu´antas horas debe ella trabajar cada semana?
45. S = 2rh es la f´ormula para el ´area S de la superficie curvada de un cilindro que tiene radio r y
altura h. Usted tiene una hoja de papel rectangular para envolver, que tiene una longitud l y un
ancho w. ¿Cu´al es el radio del cilindro, con altura l y que tenga la mayor ´area, que la hoja de papel
pueda envolver?
46. Un autom´ovil cuesta $22000, cuando nuevo pierde un n´umero fijo de d´olares en el valor cada a˜no.
Despu´es de cuatro a˜nos, el carro cuesta $12000. ¿Cu´anto ser´a su valor despu´es de site a˜nos?
47. El tiempo que toma un barco para viajar una distancia rio abajo (con la corriente) puede ser
calculado dividiendo la distancia por la suma de la velocidad del baroco y la velocidad de la
corriente. Escriba una ecuaci´on que calcule el tiempo t que toma un barco que se mueva a una
velocidad r con una corriente c para viajar una distancia d. Resuleva su ecuaci´on para r.
48. La diferencia entre la longitud de una rampa y la longitud de la distancia horizontal que ´esta cubre
es 4 pies. El cuadrado de la distancia vertical que ´esta cubre es 56 pies. ¿Cu´al es la longitud de la
rampa?
49. Dave puede limpiar la fachada de un barco en 3 horas. Annette puede limpiar la misma fachada en
2 horas. Si hay muchos barcos para limpiar, y Annette le da a Dave una ventaja de 3 horas, ¿cu´anto
tiempo despu´es de que Dave comenzar´a, ellos habr´an limpiado el mismo n´umero de fachadas?
¿Cu´antas habr´an limpiado cada uno?
50. Se vendi´o cierta cantidad de pi˜nas por la ma˜nana y sobraron dos cajas de 50 pi˜nas cada una por la
tarde. Al empezar la venta se ten´ıa 520 pi˜nas. ¿Cu´antas pi˜nas se vendi´o?
51. La suma de la tercera y cuarta parte de un n´umero equivale al duplo del n´umero disminuido en 17.
Hallar el n´umero.
52. Un comerciante ten´ıa cierta cantidad de dinero. El primer a˜no gast´o 100 bs, aumento el resto con
un tercio de este, al a˜no siguiente volvi´o a gastar 100 bs y aumento la suma restante en un tercio
de ella. EL tercer a˜no gasto de nuevo otros 100 bs. Despu´es de que hubo agregado su tercera parte,
el capital es el doble del inicial. ¿Cu´al fue su capital inicial?.
53. La empresa Terra Sur SA compr´o un terreno en la zona sur de la ciudad de La Paz a raz´on de
Bs 5000 la hect´area, una vez saneado los papeles la empresa se da cuenta que el terreno tiene 8
hect´areas menos, pero ya no existe lugar a reclamos, sin embargo vende el terreno a Bs 6000 la
hect´area (contenida exactamente) y gana as´ı el 12% de su inversi´on. ¿Cu´antas hect´areas media el
terreno?
R
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54. El jueves, Pedro compr´o 6 DVDs para una computadora. Dos d´ıas despu´es el precio de los DVDs
se redujeron en 1.2bs por unidad. Claudia compro 10 DVDs en la oferta y pago 4 bs mas que Pedro
por los DVDs. ¿Cu´al es el precio original?. Resp. 4bs
55. En un festival los 2/3 son adultos y de ellos los 3/5 son hombres. Hay 20 ni˜nos y ni˜nas m´as que
mujeres. ¿Cu´antos hombres, mujeres y ni˜nos hay en el festival?
56. Un jugador perdi´o la mitad de su dinero, volvi´o a jugar y perdi´o 1/2 de lo que le quedaba, repiti´o lo
mismo por 3ra vez y 4ta vez, despu´es de lo cual le quedaron 6 Bs. ¿Cu´anto dinero ten´ıa al comenzar
el juego?.
Ecuaciones de Segundo Grado o Ecuaciones Cuadr´aticas
1. Resolver:
(1) √2x + 3 − √2x − 3 = 1 (2) (x + 5)2 = 16 (3) 2
x + 9
x+1 = 4
(4) y+1
2y + y+5
y2 = 1 (5) (10 − 2x)(5 − x) = 50 (6) 2
x − 15
x−1 = 4
y+2 + y+4
y−3 = 7(2y−1)
(7) x4 − 7x3 − 30x2 = 0 (8) y
y2
−y−6 (9) √x + 2 = x − 4
(10) √2x + 5 = x − 5 (11) √2x + 7 = x − 4 (12) 2√x − 1 = √2x + 7
(13) 3 = √x2 − 8x (14) x4 − 2x2 + 1 = 0 (15) √13 + x − x = 7
(16) √x + 2 = x − 4 (17) √2x + √x − 4 = 2 (18) 6x2 + 13x + 5 = 0
2. Resolver la ecuaci´on factorizando 3x2 − 2x − 5 = 0
3. Determinar si la siguiente ecuaci´on tiene ra´ıces reales. Si tiene ra´ıces reales, encontrarlas, de lo
contrario decir que no tiene ra´ıces reales: √x − 1 + √2x + 1 = 1
4. Resolver: (2x + 1)2 − (3x + 2)2 + 5x2 + 8x + 3 = 0
5. Resolver: (2x + 1)2 = 2(2x2 + 2x + 5)
6. Resolver: 6x4 − 13x2 + 5 = 0
7. Resolver: x4 − 8x2 + 15 = 0
8. Resolver la ecuaci´on cuadr´atica.
(a) x2 − 7x + 12 = 0. (b) 2x2 − 5x + 2 = 0.
(c) 1
4−x − 1
b−x = b2
2+x = 1
4 . (d) 2x
x+b − x
4(x2
−b2) .
(e) x2+1
n2x−2n − 1
2−nx = x
x−a = a2
n. (f) 1 − 2b
−b2
a2+x2
−2ax .
(g) 1
2x−x2 = 2(n+3)
2n+nx − 1
x3
−4x . (h) √2x − 3 + √4x + 1 = 4.
(i) √x + 1 + 2√2x − 3 = −3. (j) (2x + 1)3/2 − 13x
2 = 1.
(k)
p
1 + x√x2 + 24 = x + 1. (l) 3+x
3x =
r
1
9 + 1
x
q
4
9 + 2
x2 .
(m)
q
x−5
x+2 +
q
x−4
3+x = 7
x+2
q
2+x
x+3 .
9. Problemas de planteamiento.
a) Halle p tal que px2 − x + 5 − 3p = 0, que tenga una ra´ız igual a 2.
b) Halle p tal que (2p + 1)x2 + px + p = 4(px + 2), la suma de sus ra´ıces sea igual a su producto.
c) Halle p tal que 4x2 − 8x + 2p − 1 = 0, tenga una de las ra´ıces sea igual al triple de la otra.
d) Halle p tal que x2 = 5x − 3p + 3, tenga la diferencia entre sus ra´ıces igual a 11.
e) Halle p tal que (p2 − 3)x2 − 3(p − 1)x − 5p = 0, tenga una ra´ız igual a −2.
f ) Hallar a y b tal que x2 + (2a+ 3b − 1)x+ a− b − 3 = 0, sabiendo que ambas ra´ıces valen cero.
R
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10. El cociente de dividir 84 entre cierto n´umero, excede en 5 a ´este n´umero. Hallar el n´umero.
11. La ganancia semanal P en mikes de bolivianos de una tienda de video depende del precio de la
renta de las cintas t. La ecuaci´on de ganancia es
P = 0.2t2 + 1.5t − 1.2
¿A qu´e precio por cinta su ganancia semanal ser´a de 1.6 miles de bolivianos?
12. Las ra´ıces de la ecuaci´on
(k + 6)x2 − (k + 8)x + 3 = 0
1 + r2
2 = 13
poseen la propiedad: r2
16 . Hallar el valor de k
13. Hallar p y q tal que la ecuaci´on x2 + (−2p − q + 1)x + (−3p + q + 2) = 0 tenga ra´ıces iguales a 1.
14. Suponga que la altura h en metros de los fuegos artificiales disparados en l´ınea recta ascendente
desde la tierra est´a dada por h = 24,5t − 4,9t2 donde t est´a en segundos. ¿Cu´ando los fuegos
artificiales estar´an a 50 metros de la tierra?
15. Suponga que los ingresos semanales para una compa˜n´ıa est´an dados por r = −3p2 + 60p donde p
es el precio de su servicio. Cu´anto es el precio de su servicio ai el ingreso es $400.
16. Un arco parab´olico tiene una forma descrita por la ecuaci´on y = −x2 +10x−11 (unidades en pies).
A qu´e altura (arriba del eje x) es el arco 4 pies de ancho?
17. El costo total de una compa˜n´ıa es 11q+144, donde q es el n´umero de miles de unidades producidas.
El ingreso total es q(71 − 4q). Encontrar los dos valores de q para los cuales la compa˜n´ıa tiene
exactamente el costo igual al ingreso.
18. Usted ha estado en un tren X horas viajando X millas por hora. Son las 6 p.m y usted est´a a 3249
millas desde la estaci´on del tren. ¿Cu´antas horas ha estado viajando y que tan r´apido viaj´o?
19. Las millas que una persona puede ver al horizonte desde un punto por encima de la superficie de la
Tierra es 0,85 de la ra´ız cuadrada de la distancia en pies de la persona por encima de la superficie.
Arturo est´a a 65 pies m´as arriba y ve 4.25 millas m´as all´a que Luis. A cu´antos pies est´an Arturo y
Luis por encima de la superficie.
Cap´ıtulo VI. Sistemas de Ecuaciones
Sistemas Lineales
1. Resolver los sistemas de ecuaciones lineales.
(a)
4x + 2y = 10
2
5x − 3y = −2
(b)
2x − 5y = 10
4x + 3y = 7
(c)
2y − x = 1
2x + y = 8
(d)
2x
3 + y
5 = 6
x
6 − y
2 = −4
(e)
2x−1
3 + y+2
4 = 4
x+3
2 − x−y
3 = 3
(f)
ax − by = a2 + b2
2abx − ay = 2b2 + 3ab − a2
(g)
2x − y + 2z = −8
x + 2y − 3z = 9
3x − y − 4z = 3
(h)
x = y − 2z
2y = x + 3z + 1
z = 2y − 2x − 3
(i)
x
3 + y
2 − z = 7
x
4 − 3y
2 + z
2 = −6
x
6 − y
4 − z
3 = 1
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(j) ¿Tiene soluci´on el sistema?
2x − y + z = 1
x + 2y − 3z = −2
3x − 4y + 5z = 1
(k) ¿Tiene soluci´on el sistema?
x + y + 2z = 3
3x − y + z = 1
2x + 3y − 4z = 8
2. Un padre tiene 24 a˜nos m´as que su hijo. Determinar sus edades actuales sabiendo que dentro de 8
a˜nos, la edad del padre es el doble que la del hijo.
3. La edad actual de Jos´e es el doble de la de Fernando. Hace 5 a˜nos Jos´e era 3 veces mayor que
Fernando. Hallar sus edades actuales.
4. Una bolsa contiene Bs 215 en monedas de 5 y 25, sabiendo que hay 19 monedas m´as de 5 que de
25. Hallar el n´umero de monedas de cada clase.
5. Las entradas de un teatro valen Bs 50 para los adultos y Bs 20 para los ni˜nos. Sabiendo que asistieron
280 personas y que la recaudaci´on fue de Bs 8000. Hallar el n´umero de ni˜nos que asistieron a la
funci´on.
6. Hallar un n´umero de dos cifras sabiendo que la suma de ´estas es igual a 1
7 del n´umero y que la cifra
de las decenas excede en 3 a las correspondiente de las unidades.
7. Hallar un n´umero de dos cifras sabiendo que la suma de ´estas es igual a 10 y que, si se invierten, el
n´umero que resulta es una unidad menor que el n´umero original.
8. Dos f´abricas de una misma compa˜n´ıa tiene telares que ocupan en total de 700 personas. La f´abrica
A utiliza 10 obreros en cada uno de los telares, mientras que la f´abrica B utiliza 20 por cada telar.
Se desea cerrar la mitad de los telares de A y duplicar el n´umero de telares en B. Para ello es
necesario emplear 550 personas m´as. ¿Cu´antos telares tiene cada una de las dos f´abricas?.
9. En un testamento se dice lo siguiente: ”Tengo 10 herederos hombres y 20 herederos mujeres. Quiero
que mi fortuna, que es de Bs 1000000, se reparta en la siguiente forma: Todos los hombres recibir´an
igual cantidad de dinero como tambi´en las mujeres. Las cantidades que les toque a cada hombre y
a cada mujer deben ser tales que si se intercambian los papeles de hombres y mujeres al repartir
la herencia se agotar´ıa exactamente toda la fortuna”. Usted es la persona encargada de hacer la
voluntad de la persona del testamento. ¿C´omo repartir´ıa la herencia?
10. Hallar las dimensiones de un rect´angulo sabiendo que su per´ımetro es igual a 110 cm y que su
longitud es 5 cm m´as peque˜na que el doble de su altura.
11. El per´ımetro de un tri´angulo rect´angulo es igual a 40 cm. Sabiendo que uno de los catetos mide 15
cm. Hallar la longitud de los otros dos lados.
12. Un granjero puede trabajar un cierto terreno a una velocidad tres veces mayor que la de su hijo.
Trabajando juntos invierten 6 horas en realizar la labor. Hallar el tiempo que tardar´ıan en realizarlo
trabajando por separado.
13. En la mitad del combate, el furioso hijo de Prit’ha tom´o un cierto n´umero de flechas para matar
a Carna; emple´o la mitad contra su defensa; el cu´adruplo de la ra´ız cuadrada contra los caballos;
seis flechas traspasaron el cochero Salya, otras tres desgarraron el parasol de Carna y rompieron su
estandarte y su arco, y una le atraves´o la cabeza. ¿Cu´antas flechas ten´ıa el hijo de Prit’ha?
14. A ambas orillas de un rio crecen dos palmeras, la una frente a la otra. La altura de una es de 30
metros, y de la otra de 20 metros. La distancia entre sus troncos, 50 metros. En la copa de cada
palmera hay un p´ajaro. De s´ubito los dos p´ajaros descubren un pez que aparece en la superficie del
agua, entre las dos palmeras. Los p´ajaros se lanzaron y alcanzaron el pez al mismo tiempo. ¿A que
distancia del tronco de la palmera mayor apareci´o el pez?
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15. En una lucha amorosa se rompi´o un collar de perlas; un sexto de las perlas cay´o al suelo, un quinto
sobre el lecho, la zagala salv´o un tercio, un d´ecimo guard´o consigo el mancebo y seis perlas quedaron
enhebrados. Dime, ¿Cu´antas perlas ten´ıa el collar?
16. Seis libras de t´e y cinco libras de caf´e cuestan $9.85. Siete libras de t´e y 8 de caf´e cuestan $13.55.
Encontrar el precio por libra de cada uno.
17. Jos´e tiene 75 bs para comprar 160 tornillos. Un tipo de tornillo cuesta 0.50 bs y el otro 0.40 bs.
¿Cu´antos tornillos de cada tipo puede comprar?
18. Un grupo A y un grupo B pueden armar una m´aquina, si el grupo A trabaja 6 horas y el grupo B
trabaja 12 horas; o pueden hacer el trabajo si el grupo A trabaja 9 horas y el grupo B trabaja 8
horas. ¿Qu´e tiempo deber´a trabajar cada grupo si solamente uno hace el trabajo?
19. Carlos tiene doble dinero que Pedro, si Carlos pierde 10 Bs y Pedro pierde 5 Bs, Carlos tendr´a 20
Bs m´as que Pedro. ¿Cu´anto tiene cada uno?.
20. Un auto viaja a una cierta velocidad durante 5 h y, a continuaci´on a otra velocidad durante 3h, se
han recorrido 250 Km, pero si se hubiera viajado 2 h m´as a cada una de las velocidades se habr´ıan
recorrido 370 Km. Hallar ambas velocidades.
21. Un tren ha recorrido 200 Km en cierto tiempo. Para recorrer esa distancia en 1 hora menos, la
velocidad deber´ıa haber sido 10 Km/h m´as. Hallar la velocidad del tren en Km/h.
22. Dos turistas se dirigen simult´aneamente a San Buenaventura que se halla a 30 Km de ellos. El
1ro de ellos hace por hora 1 km m´as debido a lo cu´al llega a la ciudad una hora antes. Hallar las
velocidades de los turistas en Km/h.
23. Una escalera de 10 m de longitud se apoya en una pared. La parte inferior se encuentra a 6 m de
la pared, la parte inferior de la escalera se separa luego 3 metros adicionales. ¿Qu´e distancia hacia
abajo se mueve la parte superior?.
24. Un padre tiene 24 a˜nos m´as que su hijo. Determinar sus edades actuales sabiendo que dentro de 8
a˜nos, la edad del padre es el doble que la de su hijo.
25. La edad de Marcelo hace 6 a˜nos era la ra´ız cuadrada de la edad que tendr´a dentro de 6 a˜nos. Hallar
su edad actual.
26. Se compran 5 l´apices, 2 cuadernos y 2 gomas de borrar y se cancela por ello bs 45. Si cada cuaderno
cuesta el triple de cada goma m´as bs 2 y cada l´apiz cuesta el doble de cada goma m´as bs 1. ¿Cu´anto
cuesta cada material?
27. La edad de Jos´e es el doble de la de Mario. Hace 5 a˜nos Jos´e era 3 veces mayor que Mario. Hallar
sus edades actuales. Respuesta: 20, 10
28. Una bolsa contiene Bs. 215 en monedas de 5 y 25, sabiendo que hay 19 monedas m´as de 5 que de
25. Hallar en n´umero de monedas de cada clase. Respuesta: 23, 4.
29. Las entradas de un teatro valen Bs. 50 para los adultos y Bs. 20 para los ni˜nos. Sabiendo que
asistieron 280 personas y que la recaudaci´on fue de Bs. 8000. Hallar en n´umero de ni˜nos y adultos
que asistieron a dicha reuni´on. Respuesta: 200, 80.
30. En una jaula donde hay conejos y palomas pueden contarse 35 cabezas y 94 patas. ¿Cu´antos
animales hay de cada clase?. Respuesta: 12, 23.
31. Un obrero hace un cierto n´umero de piezas id´enticas en un tiempo determinado. Si hubiera hecho 10
piezas m´as cada d´ıa, habr´ıa terminado el trabajo completo 9
2 d´ıas antes de lo previsto, y si hubiera
hecho 5 piezas menos cada d´ıa habr´ıa tardado 3 d´ıas m´as de lo previsto. ¿Cu´antas piezas hizo y en
cuanto tiempo?
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32. La suma de tres n´umeros es 200. El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65. Hallar el
producto de dichos n´umeros. Resp. 225522
33. Hallar dos n´umeros sabiendo que su suma es 36 y que al dividir el mayor por el menor el cociente
es 2 y el resto 3. Resp 25, 11.
34. Hallar las dimensiones de un rect´angulo sabiendo que su per´ımetro es igual a 110cm y que su
longitud es 5cm m´as peque˜na que el doble de su altura. Resp. 8, 17
35. En una jaula donde hay conejos y palomas pueden contarse 35 cabezas y 94 patas. ¿Cu´antos
animales hay de cada clase?. Resp. 12, 23.
36. La cabeza de un lagarto mide 9cm. La cola mide tanto la cabeza mas la mitad del cuerpo, y el
cuerpo mide la suma de las longitudes de la cabeza y la cola. ¿Cu´anto mide el lagarto?. Resp. 72
37. A ambas orillas de un r´ıo crecen dos palmeras, una frente a la otra. La altura de una de ellas es de
30 codos, y de la otra, de 20. La distancia entres sus troncos es de 50 codos. En la copa de cada
palmera hay un p´ajaro. De s´ubito los dos p´ajaros descubren un pez que aparece en la superficie
del agua, entre las dos palmeras. Los p´ajaros se lanzaron y alcanzaron el pez al mismo tiempo. ¿A
qu´e distancia del tronco de la palmera mayor apareci´o el pez?. Resp. 20 codos.
38. Un campesino piensa utilizar 180 pies de malla para encerrar un terreno rectangular, aprovechando
parte de la orilla recta de un r´ıo como cerca de uno de los lados del rect´angulo. Halle el ´area
del terreno, si la longitud del lado paralelo al r´ıo es el doble de la longitud de uno de los lados
adyacentes. Resp. 4050
39. Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos, lament´abase el
caballo de su pesada carga, a lo que el mulo le dijo: ¿De que te quejas? Si yo te tomara un saco, mi
carga ser´ıa el doble de la tuya. En cambio si te doy un saco tu carga se igualar´ıa a la m´ıa. ¿Cuantos
sacos llevaba cada uno?. Resp. 7, 5.
40. Una escalera de 13m de longitud, esta apoyada contra una pared. La base de la escalera se encuentra
a 5 m del muro. ¿Cu´anto habr´ıa que desplazar la base de la escalera para que la punta superior de
la misma se desplace hacia abajo la misma distancia? Resp. 7m
41. Dos ciclistas parten al mismo tiempo de dos puntos A y B distantes 320 km; uno de A en direcci´on
de B y otro con direcci´on a A. El primero recorri´o 8 km m´as por hora que el segundo y el n´umero
de horas que demoraron en encontrarse est´a representado por la mitad del n´umero de kms que el
segundo recorri´o en una hora. ¿Cu´al es la distancia recorrida por el primer ciclista?
42. Claudia y Mario caminaban juntos por el prado cargados de mochilas repletas de libros. En cierto
momento Claudia se queja a Mario de su pesada mochila, a lo que Mario responde: ¿De que te
quejas? si yo te tomara un libro, mi carga seria el doble de la tuya. En cambio si te doy uno de mis
libros tu carga se igualar´ıa a la m´ıa. ¿Cu´antos libros llevaba cada uno?
43. En una primera visita al mercado usted compr´o dos libras de t´e y cinco libras de caf´e pagando un
total de 50 bolivianos. D´ıas despu´es el una segunda visita usted compro tres libras de t´e y 7 de
caf´e pagando esta ves 71 bolivianos. Usted no recuerda cuanto pago por cada libra de cada uno de
los productos. Plantee un sistema de ecuaciones para encontrar el precio de cada libra de t´e y el
precio de cada libra de caf´e.
44. Entre todas las familias de un pueblo suman 252 hijos. Las hay de dos tipos, las que tienen 6 hijos
y las que tienen 2 hijos. Si el n´umero de las que tienen 6 hijos dobla a las otras, calcular en n´umero
de hay de cada tipo de familia.
45. En Abril tengo el doble de dinero que en Enero, si en abril pierdo 10 bolivianos y en enero pierdo
5, en Abril tendr´e 20 bolivianos m´as que en enero ¿Cu´anto ten´ıa en abril y cu´anto en enero?
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46. Un ganadero le da de comer a sus vacas una mezcla de dos tipos de alimentos, A y B. Un kilo de
A proporciona a una vaca el 10% de las prote´ınas y el 15% de las vitaminas que necesita a diario.
Un kilo de B proporcionan el 12% de prote´ınas y el 8% de vitaminas. Calcular los kilos que hay
que dar a cada animal para conseguir el 100% necesario diario de prote´ınas y vitaminas.
47. Hallar los valores de m y n para que el polinomio x3 +mx2 + nx − 6, sea divisible por x2 − 5x + 6.
Sistemas Cuadr´aticos
1. Resolver los sistema de ecuaciones.
(a)
2x − y = 6
y2 = x
(b)
x + y = 2
x2 + y2 = 4
(c)
2x + y = 4
y2 + 4x = 0
(d)
3x − y − 8 = 0
x2 + y2 − 4x − 6y + 8 = 0
(e)
x + y = 5
x2 + y2 = 9
(f)
x
y + y
x = 25
12
x2 − y2 = 7
(g)
x
m y
n = c
a
·
b
x
b
n ·
y
a
m = d
2. Problemas de planteamiento.
a) Hallar dos n´umeros sabiendo que su suma es 12 y su producto 35.
b) Hallar dos n´umeros sabiendo que el cuadrado de uno de ellos excede en 16 al doble del otro, y
que la suma de sus cuadrados es 208.
c) La diagonal de un rect´angulo mide 85 cm. Sabiendo que si el lado menor se aumenta en 11 y
el mayor se disminuye en 7 cm, la longitud de la diagonal no var´ıa. Hallar las dimensiones del
rect´angulo original.
d) Despu´es de los ex´amenes finales en una escuela, los estudiantes intercambiaron fotograf´ıas.
¿Cu´antos estudiantes hab´ıa si se sabe que se intercambiaron un total de 870 fotograf´ıas?
e) Des campesinas llevaron en total 100 huevos al mercado. Una de ellas ten´ıa m´as mercanc´ıa que
la otra, pero recibi´o por ella la misma cantidad de dinero que la otra. Una vez vendidos todos,
la primera campesina dijo a la segunda: Si yo hubiera llevado la misma cantidad de huevos que
t´u, habr´ıa recibido Bs 15. La segunda contest´o: Y si yo hubiera vendido los huevos que ten´ıas
t´u habr´ıa sacado de ellos Bs 20
3 . ¿Cu´antos huevos llev´o cada una?
f ) En la plaza hay instalados 5 altavoces distribuidos en dos grupos: uno de ellos consta de dos
aparatos, y el otro, de 3. La distancia que separa los dos grupos es de 50 metros. ¿Donde
habr´a que colocarse para que el sonido de ambos grupos se oiga con la misma intensidad?
g) Hallar dos n´umeros sabiendo que si uno de ellos se suma con el doble del otro se obtiene 21, y
que si este ´ultimo se suma con el doble del primero resulta 18.
h) Hace 6 a˜nos, jos´e era cuatro veces mayor que Pablo. Hallar sus edades actuales sabiendo que
dentro de 4 a˜nos solo ser´a dos veces mayor que Pablo.
i ) Dos Kg. de caf´e y 3 Kg. de mantequilla cuestan Bs 420. Al cabo de un mes, el precio del caf´e ha
subido un 10 %, y el de la mantequilla un 20 % de forma que la adquisici´on de los productos
anteriores cuestan ahora Bs 486. Hallar el precio primitivo de cada uno de los productos.
j ) Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lament´abase
el jamelgo de su enojosa carga, hallo que el mulo le dijo: ¿De que te quejas? Si yo te tomara un
saco, mi carga ser´ıa el doble que la tuya. En cambio, si te doy un saco, tu carga se igualar´a a
la m´ıa. Decidme, doctos matem´aticos, ¿cu´antos sacos llevaba el caballo y cu´antos el mulo?
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Cap´ıtulo VII. Exponenciales y Logaritmos
Problemas de Exponenciales
1. El crecimiento de una colonia de mosquitos sigue un crecimiento exponencial que puede ser modelado
con la siguiente ecuaci´on A(t) = A0ekt. Si inicialmente hab´ıan 1000 mosquitos y despu´es de un
d´ıa la poblaci´on de ´estos aumenta a 1800, ¿cu´antos mosquito habr´an en la colonia despu´es de 3
d´ıas?¿Cu´anto tiempo tendr´ıa que pasar para que la colonia tenga 10000 mosquitos?
2. Un pollo que tiene una temperatura de 40oF es movido a un horno cuya temperatura es de 350oF.
Despu´es de 4 horas la temperatura del pollo alcanza 170oF. Si el pollo est´a listo para comer cuando
su temperatura llegue a 185oF. ¿Cu´anto tiempo tomar´a cocinarlo?
3. El crecimiento de una colonia de abejas est´a determinado por la siguiente ecuaci´on P(t) = 230
1+56,5e−0,37t .
¿Cu´antas abejas hab´ıan inicialmente?¿Cu´anto tiempo le tomar´a a las abejas tener una poblaci´on
igual a 180?¿Cu´al ser´a la poblaci´on de las abejas cuando haya transcurrido mucho tiempo?
4. Una funci´on exponencial W tal que W(t) = W0ekt, para k 0, describe el primer mes de crecimiento
de cultivos como de ma´ız, algod´on y soya. La funci´on W es el peso total en miligramos, W0 es el
peso del d´ıa del brote o emergencia y t es el tiempo en d´ıas.
¬ Si, para un tipo de soya k = 0,2 y W0 = 68, calcule el peso final al mes de haber brotado
(t = 30). Rta. 27433,16 mg
A menudo es dif´ıcil medir el peso W0, de la planta cuando acaba de emerger del suelo. Si para
una planta de algod´on, k = 0,21 y W(10) = 575 mg. Calcule W0. Rta. 70,41 mg
5. En 1980 la poblaci´on estimada de la India era de 651 millones y ha estado creciendo a una tasa
de alrededor del 2% anual. La poblaci´on N(t), t a˜nos m´as tarde, puede aproximarse mediante
N(t) = 651e0.02t. Suponiendo que esta tasa alta de crecimiento continua, calcule la poblaci´on de la
India en el a˜no 2000 y 2010.
6. La poblaci´on N(t) de la India en millones t a˜nos despu´es de 1980 puede aproximarse por N(t) =
651e0.02t. Cu´ando ser´a de mil millones?. Rta. en 21 a˜nos.
7. Inter´es compuesto Si se invierten P d´olares a una tasa de inter´es anual r y el inter´es se capitaliza
n veces al a˜no, el valor final de la inversi´on despu´es de t a˜nos bajo inter´es compuesto n veces al a˜no
denotado por In(t) es:
In(t) = P
1 +
r
n
nt
. (5)
¬ Suponga que se invirti´o 1000 d´olares a una tasa de inter´es compuesto del 9% mensual.
+ Calcular el monto final del capital inicial despu´es de 5 a˜nos, despu´es de 10 a˜nos, despu´es
de 15 a˜nos. Rta. 1565,68 d´olares; 2451,36 d´olares; 3838,04 d´olares.
Grafique el crecimiento de la inversi´on.
8. El crecimiento de una colonia de abejas est´a determinado por la siguiente ecuaci´on log´ıstica:
P(t) =
230
1 + 56.6e−0.37t .
¿Cu´antas abejas hab´ıan inicialmente?. ¿Cu´anto tiempo le tomar´a a las abejas tener una poblaci´on
igual a 180?. ¿Cu´al ser´a la poblaci´on de las abejas cuando haya transcurrido mucho tiempo?.
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9. El crecimiento de los ´arboles se representa con frecuencia mediante una ecuaci´on log´ıstica. Suponga
que la altura h en pies, de un ´arbol de edad de t a˜nos, es:
h(t) =
120
1 + 200e−0,2t .
¿A qu´e edad su altura es de 100 pies?. ¿Qu´e altura alcanz´o si su edad es de 40 a˜nos?
Soluci´on. ¿A qu´e edad su altura es de 100 pies?.
h(t) =
120
1 + 200e−0,2t = 100
h(t) =
120
1 + 200e−0,2t = 100
100
1 + 200e−0,2t
= 120
20000e−0,2t = 20
−0,2t = −6, 9077, t = 34, 54
¿Qu´e altura alcanz´o si su edad es de 40 a˜nos?
h(40) =
120
1 + 200e−0,2(40)
=
120
1 + 200e−8
Problemas de Logaritmos
1. Calcula las siguientes potencias y escr´ıbelas en forma de logaritmo, tal y como se indica en el
ejemplo:
53 = 125 ⇔ log5 125 = 3
a) 72
b) 35
c)
1
9
2
d)
2
3
2
e) 106
f ) 27
g) 5–3
h)
5
3
−2
i ) 6 –2
2. Calcula las siguientes potencias y escr´ıbelas en forma de logaritmo, tal y como se indica en el
ejemplo:
32 = 9 ⇔ log3 9 = 2
a) 25
b) 32
1
5
c) 3 –4
d) 34
e) 81
1
4
f ) 2 –5
g) 52
h) 125
1
3
i ) 5 –3
3. Calcula el exponente de las siguientes igualdades y escr´ıbelo, posteriormente, en forma de logaritmo,
tal y como muestra el ejemplo:
125x = 5 ⇒ x = 1
3 ⇒ log 125 5 = 1
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12. Si log a H = 2 y log a 32 · N = 5, ¿cu´anto vale a?
13. Si log 5 N = t, expresa en funci´on de t los siguientes logaritmos:
log 5 125 · N log 5
N
25 log 5 55 log 5
√4 N
14. Si log 7 N = p, expresa en funci´on de p los siguientes logaritmos:
log 7 49 · N log 7
N
49 log 7 75 · N log 7
N
343 log 7 2401 · N
15. Si log 6 N = q, expresa en funci´on de q los siguientes logaritmos:
log 6 36 · N log 6
N
6 log 6 64 · N log 6
N
36 log 6 216 · N
16. Si al n´umero N lo multiplicamos por 81, ¿qu´e alteraci´on experimenta su logaritmo en el sistema de
base 3? ¿Y en el de base 9?
17. Si al n´umero N lo dividimos por 256, ¿qu´e alteraci´on experimenta su logaritmo en el sistema de
base 16? ¿Y en el sistema de base 2? ¿Y en el sistema de base 4?
18. Si log a N = 2,2577 y el log a 125 · N = 5,2577, halla razonadamente el valor de la base a de los
logaritmos.
19. Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma de logaritmo, sabiendo que a =
log 3, b = log 5 y c = log 7:
a) a + b + c
b) 2a + 3b
c) a+b
2
d) c−b
3
e) a + c−b
3
20. Reduce las siguientes expresiones logar´ıtmicas a un solo logaritmo:
5 log 2 – 3 log 2
log x4 – log x3
log 3 + log 4 – log 2
(log 27 + log 64) – (log 8 – log 9)
21. Toma logaritmos decimales en las siguientes expresiones, para obtener la expresi´on logar´ıtmica
correspondiente:
A = a3
·b4
·c
d2
C = x2 t3 z5 t7
B = √a3 · √3 b2·c4
D = xyz
t
E = 4 r3
F = 4 p
3
x √3 x2
22. Toma logaritmos decimales en las siguientes expresiones, para obtener la expresi´on logar´ıtmica
correspondiente:
A = a·
3pb4
·c4
d2
·
4pe2
B = x –2 y
2
3 t3 z
1
5
C = √a−3 · √3 b2· 1
q
x 3 p
x2√3 x
c−4
D = 4
F = x
2
3 y
1
2 z
5pt6
23. Escribe la forma algebraica de A , B, C, D y E en las siguientes expresiones:
log A = 3
7 log a + 2 log b – 5 log c – 4 log d
log B = 1
2 log a + 3 log b – 2 log c + 2
log C = 2 (log a + 3 log b) – 1
2 (2 log c + log d)
log D = 2 log 5 + 3 log 7 – 4 log 11
log E = 1
6 log 2 – 1
4 log 7 – 1
8 log 5
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24. Escribe la forma algebraica de A , B, C, D y E en las siguientes expresiones:
log A = 3 log x – 5 log y
log B =
5 log x + 3 log y
2
log C = 2 log x – 3 log y + 5 log z
log D = 2 log 5 + 3 log 7 – 4 log 11
log E = 1
6 log 2 – 1
4 log 7 – 1
8 log 5
25. Completa esta tabla:
a b log a b log b a log a b2 log b a2
11 121
25 3
2
1
2 –2
3 – 4
0,1 3
2
1000 3
2 √7 1
4
√3 36 √6
26. El pH de un l´ıquido es el logaritmo de la inversa de la concentraci´on de iones H+ que hay en ´el.
Por ejemplo, si la concentraci´on de H+ es 10 –7, entonces su pH es:
log 1
10−7= log 10 7 = 7.
Calcula el pH de los l´ıquidos que tienen las siguientes concentraciones de H +:
5 · 10 –5 3,8 · 10 –8 9,32 · 10 –7
27. La poblaci´on rural de una provincia espa˜nola disminuye un 2% cada a˜no. Si la poblaci´on actual
de la provincia es de 100000 habitantes, y suponiendo que la disminuci´on se sigue realizando en la
misma proporci´on, ¿en cu´antos a˜nos su poblaci´on quedar´a reducida a 60000 habitantes? (Nota: la
f´ormula de crecimiento o disminuci´on continuos de una poblaci´on es: P(t) = P0 · (1 ±c)t, siendo
P0 la poblaci´on inicial y c el tanto por ciento con el que crece o disminuye la poblaci´on)
28. La poblaci´on de un estado crece en un a˜no un 2,5%. ¿Cu´anto tiempo se necesitar´a para duplicarse
suponiendo que sigue creciendo con el mismo ritmo?
29. El 1 de enero de 1900 la poblaci´on de una ciudad era de 75000 habitantes y el 1 de enero de 1950
hab´ıa alcanzado 180000 habitantes. ¿Cu´al fue su tanto por ciento de crecimiento anual, si ´este se
hizo de manera continua?
30. La constante de desintegraci´on del polonio 218 (Po218) es = 4 · 10 –3 s –1. ¿Cu´anto tiempo
necesitar´a una muestra de ese elemento para que se reduzca a la mitad de sus ´atomos? (Nota: la
f´ormula de la desintegraci´on continua de los ´atomos es: N = N0 · e –·t, siendo N0 el n´umero inicial
de ´atomos)
31. La constante de desintegraci´on del torio C es = 2 · 10 –4 s –1. ¿Cu´antos ´atomos quedar´an sin
desintegrarse, al cabo de 15 minutos de una muestra que inicialmente ten´ıa un mill´on de ´atomos?
Ecuaciones Exponenciales
1. Resolver la ecuaci´on
43−x
2−x
= 1. Sol.- x = 2, x = 3.
R
email errolschg@yahoo.es 30
78. R
s ℏz 33
FCPN-UMSA-I 2014 o
5. Resolver el siguiente sistemas de ecuaciones
(
logm x + logy m = 2, (1a)
ylogm x + ylogm y = 2m, (2a)
Cap´ıtulo VIII. Inducci´on Matem´atica y Divisibilidad
Inducci´on Matem´atica
1. Realice la deducci´on inductiva para la formula de la suma de los n primeros n´umeros naturales
impares:
1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2n − 1)
2. Realice la deducci´on inductiva para la formula de la suma de los n primeros n´umeros naturales de
la forma:
12 + 22 + 32 + 42 + · · · + n2
3. Realice la deducci´on inductiva para la formula de la suma de los n primeros n´umeros naturales de
la forma:
13 + 23 + 33 + 43 + · · · + n3
4. Conjeture una f´ormula para la siguiente suma y demu´estrela por inducci´on:
1
2
+
1
6
+
1
12
+
1
20
+ · · · +
1
n(n + 1)
5. Conjeture una f´ormula para la siguiente suma y demu´estrela por inducci´on:
1
3
+
1
15
+
1
35
+
1
63
+ · · · +
1
(2n − 1)(2n + 1)
6. Conjeture una f´ormula para la siguiente suma y demu´estrela por inducci´on:
8
27
+
4
9
+
2
3
+ 1 +
3
2
+ · · · +
3
2
n−4
7. Demostrar por inducci´on las siguientes formulas:
a) Para todo n ∈ N, 12 + 22 + 32 + 42 + · · · + n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
b) Para todo n ∈ N, 12 + 32 + 52 + 72 + · · · + (2n − 1)2 =
n(2n − 1)(2n + 1)
3
c) Para todo n ∈ N, 14 + 24 + 34 + 44 + · · · + n4 =
n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n − 1)
30
d) Para todo n ∈ N, 15 + 25 + 35 + 45 + · · · + n5 =
n2(n + 1)2(2n2 + 2n − 1)
12
8. Demostrar por inducci´on las siguientes formulas:
a) Para todo n ∈ N, 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + n · (n + 1) =
n(n + 1)(n + 2)
3
b) Para todo n ∈ N, 1 · 2 + 3 · 4 + 5 · 6 + · · · + (2n − 1) · (2n) =
n(n + 1)(4n − 1)
3
c) Para todo n ∈ N, 1 · 2 · 3+2 · 3 · 4+3 · 4 · 5+· · ·+n · (n+1) · (n+2) =
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
4
R
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9. Demuestre que para todo m ∈ N
1
1 · 5
+
1
5 · 9
+
1
9 · 13
+ · · · +
1
(4m − 3) · (4m + 1)
=
m
4m + 1
10. Demuestre que para todo n ∈ N,
12
1 · 3
+
22
3 · 5
+
32
5 · 7
+ · · · +
n2
(2n − 1) · (2n + 1)
=
n(n + 1)
2(2n + 1)
11. Demuestre que para todo n ∈ N,
(n + 1)(n + 2)(n + 3) · · · · · · (n + n) = 2n ·
(2n − 1)!
(2(n − 1))!
12. Demuestre que para r ∈ R, r6= 0, r6= 1, la siguiente igualdad se verifica, para todo n ∈ N:
1 + r + r2 + r3 + r4 + · · · + rn =
rn+1 − 1
r − 1
.
13. Demuestre que para todos los n´umeros a, r ∈ Z, a6= 0, r6= 1, la siguiente igualdad se verifica, para
todo n ∈ N:
a + ar + ar2 + ar3 + · · · + arn =
a(1 − rn+1)
1 − r
.
14. Demostrar por inducci´on las siguientes afirmaciones:
a) Para todo natural n 10, se tiene n − 2
n2 − n
12
b) Para todo natural n ≥ 2, se tiene n2 n + 1
c) Para todo natural n ≥ 4, se tiene n! n2
d) Para todo natural n ≥ 4, se tiene n2 3n
e) Para todo natural n ≥ 2, se tiene 2n+1 3n
f) Para todo natural n ≥ 7, se tiene 2n n2 + 4n + 5
g) Para todo natural n ≥ 2, se tiene
1
√1
+
1
√2
+
1
√3
+
1
√4
+ · · · +
1
√n
√n
h) Para todo natural n ≥ 2, el ´ultimo d´ıgito del n´umero 22n
+ 1 es 7
15. Demostrar que para todo n´umero natural n, se cumple (2n)! 22n(n!)2.
16. Demostrar que para todo n´umero natural n, se cumple
1 +
1
3
n
≥ 1 +
n
3
.
17. Demostrar la desigualdad de Bernoulli. Si a −1, para todo n´umero natural n, se cumple (1+a)n ≥ 1 + na. ¿Por qu´e es esto trivial si a 0?.
18. Sea a un d´ıgito entre 1 y 9. Denotaremos por
n veces z }| {
aa...a
al n´umero cuya expresi´on decimal est´a formada por n d´ıgitos a. (a) Por inducci´on matem´atica
demuestre que para todo natural n 1 se tiene que
aa...a ≥ a × 10n−1 an
(b) Demuestre que la identidad
n veces z }| {
aa...a = an
R
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82. R
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no se satisface para ning´un entero n.
Divisibilidad
1. Determinar si el producto de 3 n´umeros impares consecutivos es siempre divisible por 6.
2. Determinar si la suma de 3 n´umeros impares consecutivos es siempre divisible por 6.
3. Probar que la suma de los cubos de tres n´umeros enteros consecutivos es divisible por 9.
4. Demostrar por inducci´on las siguientes propiedades:
a) Para todo n ∈ N, 22n − 1 es m´ultiplo de 3
b) Para todo n ∈ N, 23n−1 + 5n es m´ultiplo de 3
c) Para todo n ∈ N, n5 − n es m´ultiplo de 30
d) Para todo n ∈ N, np − n es m´ultiplo de p para todo n´umero primo p.
e) Para todo n ∈ N, 32n + 4n+1 es m´ultiplo de 5.
5. Demostrar por inducci´on las siguientes propiedades:
a) Para todo n ∈ N, n3 + 2n es divisible por 3
b) Para todo n ∈ N, 2n + (−1)n+1 es divisible por 3
c) Para todo n ∈ N, 10n + 3 · 4n+1 + 5 es divisible por 9
d) Para todo n ∈ N, 52n + (−1)n+1 es divisible por 13
e) Para todo n ∈ N, 72n + 16n − 1 es divisible por 64
f) Para todo n ∈ N, 10n − 1 es divisible por 9
g) Para todo n ∈ N, 3 · 52n+1 + 23n+1 es divisible por 17
h) Para todo n ∈ N, 92n + 42n es divisible por 13
i) Para todo n ∈ N, 52n − 1 es divisible por 6
j) Para todo n ∈ N, 23n − 1 es divisible por 7
k) Para todo n ∈ N, 7n − 1 es divisible por 6
6. Demuestre que para todo n ∈ N, x2n − y2n es divisible por x − y.
7. Demuestre que para todo n ∈ N, x2n+1 + y2n+1 es divisible por x + y.
8. Demostrar que para todo n natural 32n+2 + 26n+1 es divisible por 11.
R
s Ch´avez Gordillo: erosmat@hotmail.com
E-mail address, Mario o
R
email errolschg@yahoo.es 35
![R
s ℏz 2
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Cap´ıtulo IV. Expresiones Algebraicas
Operaciones con los polinomios .
1. Simplificar: 2(5[x − 2(x − 1) + 6] + 1)
2. Realizar las operaciones y simplificar: x(x + 4) − (x + 2)(x − 1)
3. Simplificar la expresi´on 2{3x − 2[4(x − 2) + 1]} + x
4. Substraiga la expresi´on algebraica:
3
5
x2y +
7
3
xy2 − 11x + 12y
−
8
3
xy2 +
7
5
x2y + 8x − 11xy
5. Simplificar: 5[a(a + b) − 3b(b − a) − 3ab(1 − a)]
6. En cada uno de los polinomios siguientes identificar los t´erminos semejantes.
c) xy2 + x2y2 − 3x2y + 7x2y
d) 3(x + y) − 5(x + y) + 2(x − y)
e) 76p4qr2s3 + 76p2q2rs4 − 33p4qr2s3 + 21p2q2rs4
7. Escribir 3 t´erminos semejantes de grado 2.
8. Realizar las siguientes operaciones algebraicas.
c) (+8x2y2) + (11x2y2) + 30(x2y2)
d) 6y2 − x2 + 10xy + 8x2
e) 5a3b2 − 5c2d4 − 4a3b2 + 6b2a3 − 3c2d4
f) 10p3q2r2s4 − 10s2r4q3p2 + 8s4r2q2p3 − 8p2q3r4s2
9. Reducir los siguientes t´erminos semejantes
B = 3xy + 2x2y − 6x2y2 − (6x2y2 − 5x2y + 3xy)
10. Simplificar la siguiente operaci´on algebraica.
10p3q2 − 2r2s4 − 10s2r4 + q3p2 + 8s4r2 − 2q2p3 − 8p2q3 + r4s2
11. En cada uno de los siguientes ejercicios calcular la suma de las expresiones algebraicas:
(a) 8x + y + z + u, −3x − 4y − 2z + 3u, 4x + 5y + 3z − 4u, −9x − y + z + 2u.
(b) a2 − ab + 2bc + 3c2, 2ab + b2 − 3bc − 4c2, ab − 4bc + c2 − a2 , a2 + 2c2 + 5bc − 2ab.
(c) m3 − n3 + 6m2n, −4m2n + 5mn2 + n3, m3 − n3 + 6m2n , −2m3 − 2m2n + n3.
12. En cada uno de los siguientes ejercicios hallar la diferencia obtenida al restar la segunda expresi´on
de la primera.
(a) x3 − 4x2 + 2x − 5, −x3 + 2x2 − 3x − 3.
(b) 5a4 + 9a3b − 40ab3 + 6b4, 7a3b + 5ab3 − 8a2b2 + b4.
(c)
3
5
x4 +
3
4
x3y −
5
7
xy3 +
2
3
y4, x4 +
5
8
x2y2 −
1
3
xy3 +
5
6
y4.
13. En cada uno de los siguientes ejercicios hallar el producto indicado
(a)
−
1
3
x4y2
−
5
7
a3x4y3
.
(b)
5a2xy2
− 3x3 + 5x2y − 7xy2 − 4y3
.
R
email errolschg@yahoo.es 2](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)