1. WAVELETS CONCEPTO Y APLICACIONES PARA EL ANÁLISIS DE SEÑALES JOAQUÍN LÓPEZ HERRAIZ Departamento de Física Atómica, Molecular y Nuclear Universidad Complutense de Madrid. Octubre 2004

2. ÍNDICE ESTUDIO DEL RUIDO DE UNA SEÑAL CON WAVELETS [...] ANÁLISIS MULTIRESOLUCIÓN APLICACIONES DE LOS WAVELETS CWT TRANSFORMADA WAVELETS CONTÍNUA WAVELETS ORTOGONALES Y BIORTOGONALES DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA FOURIER vs WAVELETS ¿QUÉ ES UN WAVELET? INTRODUCCIÓN HISTÓRICA

6. ¿QUÉ ES UN WAVELET? Análisis funcional (I) Consideremos la transformación lineal y continua de una función s(t) dada por: [* indica complejo conjugado] w es una función de peso (ventana) generalmente gaussiana. El coeficiente 1/  a es un factor de normalización. El análisis con Wavelets presenta interesantes diferencias frente al análisis clásico de Fourier. WAVELETS GABOR FOURIER

7. ¿QUÉ ES UN WAVELET? Presentación Antes de continuar, convendría hacer unas presentaciones. Ante ustedes algunos de los wavelets más “antiguos”... Wavelet de Haar (1909)

8. ¿QUÉ ES UN WAVELET? Presentación Antes de continuar, convendría hacer unas presentaciones. Ante ustedes algunos de los wavelets más “antiguos”... Wavelet de Daubechie (orden 4) (1987)

9. ¿QUÉ ES UN WAVELET? Presentación Antes de continuar, convendría hacer unas presentaciones. Ante ustedes algunos de los wavelets más “antiguos”... Wavelet con Spline lineal

10. ¿QUÉ ES UN WAVELET? Presentación El número de wavelets existentes es enorme. En general conviene usar aquel cuya forma se adecúe mejor al tipo de señal con la que se trabaja. Hay wavelets contínuos/discretos, con/sin soporte compacto, suaves/con discontinuidades, ortogonales/biortogonales.. Algunos wavelets tienen expresiones analíticas. Por ejemplo: [Wavelet de Morlet]: [Sombrero mejicano]: (2ªderivada de una gaussiana) Otros en cambio se obtienen mediante fórmulas de recurrencia, tal como veremos más adelante.

12. ¿QUÉ ES UN WAVELET? Análisis funcional (II): Traslaciones y Dilataciones Tal como se ha visto, una transformada de wavelets de una función s(t) viene dada por: El término  nos da las traslaciones y el término “a” las dilataciones del wavelet. TRASLACIONES

13. ¿QUÉ ES UN WAVELET? Análisis funcional (II): Traslaciones y Dilataciones Tal como se ha visto, una transformada de wavelets de una función s(t) viene dada por: El término  nos da las traslaciones y el término “a” las dilataciones del wavelet. DILATACIONES

14. ¿QUÉ ES UN WAVELET? Análisis funcional (III): Traslaciones y Dilataciones Es decir, la señal s(t) se muestrea empleando versiones (wavelets) del wavelet madre (dilatados y trasladados) estudiando punto a punto para qué dilataciones y traslaciones la señal s(t) y el wavelet son más similares. Como es lógico, la frecuencia de la señal s(t) estudiada está intimamente relacionada con la escala “a” del wavelet. Por otro lado, el que el análisis sea local, es lo que le da a la transformada de wavelets sus interesantes propiedades.

16. ¿QUÉ ES UN WAVELET? Representación gráfica de los coeficientes: EJEMPLO PRÁCTICO Señal con altas y bajas frecuencias. -0.003 -0.002 -0.001 0 0.001 2 4 6 8 200 150 100 50 frecuencia tiempo Resultado del análisis con wavelets: Es posible seguir las frecuencias dominantes en el tiempo.

17. FOURIER vs WAVELETS: Descomposición de una señal en “ondas”

20. FOURIER vs WAVELETS: Ej: Estudio de discontinuidades en una señal.

21. FOURIER vs WAVELETS: Ejemplo: Compresión de imágenes JPG vs JPG-2000

22. FOURIER vs WAVELETS: Ej: Filtrado de Ruido en imágenes FILTRADO EN ESPACIO DE FOURIER: Se eliminan las frecuencias más altas FILTRADO EN ESPACIO DE WAVELETS: Se eliminan los coeficientes menores.

32. DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA ESCALA 0 ESCALA 1 ESCALA 2 ESCALA 3 DESCOMPOSICIÓN DE UNA SEÑAL EN WAVELETS Y FUNCIONES DE ESCALA

33. DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA DESCOMPOSICIÓN DE UNA SEÑAL EN WAVELETS Y FUNCIONES DE ESCALA

34. DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA

36. DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA Implementación de la transformada: Convolución circular ESCALA 0 ESCALA 1

38. DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA CONCLUSIONES

43. APLICACIONES: EJEMPLOS ESTUDIO DE DISCONTINUIDADES

44. APLICACIONES: EJEMPLOS OBTENCIÓN DE INFORMACIÓN FRECUENCIA-TIEMPO

45. APLICACIONES: EJEMPLOS OBTENCIÓN DE INFORMACIÓN FRECUENCIA-TIEMPO 1/a

46. APLICACIONES: EJEMPLOS OBTENCIÓN DE INFORMACIÓN EN IMÁGENES

48. APLICACIONES: EJEMPLOS En este ejemplo se tomó como señal la función f(t) = 3*Cos(t/128) + r,, t=1..128, siendo r una variable aleatoria con valores entre 0 y 1 (Ruido gaussiano). Tras realizar una transformada de Wavelets (Con Wavelets de Daubechie de orden 20), se convirtieron en cero aquellos coeficientes por debajo de un valor  =0.5 [Un 87% de los coeficientes]. Al hacer la transformada inversa, se puede observar como se ha filtrado gran parte del ruido, manteniéndose la señal. THRESHOLD METHOD (= HARD THRESHOLDING)

49. APLICACIONES: EJEMPLOS SOFT THRESHOLDING Pare el mismo ejemplo anterior, se aplicó este otro método en el que los coeficientes superiores al valor crítico son "comprimidos" según este valor  . Se puede observar que el filtrado de ruido es mejor que en el caso anterior.

50. ANÁLISIS MULTIRESOLUCIÓN SEÑAL ESTRUCTURA FRACTAL (Correlaciones entre escalas)

51. http://www.gts.tsc.uvigo.es/~wavelets/matlab_uvi_wave.html