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基本定理Ⅰと証明方法はほぼ同じ
m
m )()( ss
を使うと、
)(*)()(
~
s
FF 関数のフーリエ級数展開
教科書p20の式(2.14)
m
m
T
mTtmTTf
mTttTf
ttf
tfF
s
s
)()(
)()(
)()(2
)}({)(2)}(
~
{
1
-1-1
FF
m
jmT
meF
)(
~
m
m mTtF )()}(
~
{ 1-
F
両辺の
逆フーリエ変換
j
tj
et
e
)(
)(2 0
0
より
※課題５参照
m
jmT
m
jmT
emTfTemTTfF
)()()(
~
6. 補足01
m
jmT
emTfTF
)()(
~
sT 2
):,10(, rNnrNnmk 整数 を代入すると
kn
N
N
n
N
n r
N
kn
j
N
n r
kr
N
n
j
N
n r
TkrNnj
WnTfT
eTrNnfT
eTrNnfT
eTrNnfTF
1
0
1
0
2
1
0
)(2
1
0
)(
)(
~
))((
))((
))(()(
~
N
T
N
T s 2
N
j
N
r
p
eW
rTnTfnTf
2
)()(
~
【離散フーリエ変換の基本定理Ⅱ 証明終わり】
7. 課題22
離散フーリエ変換の行列式はどのような行列であるか？
𝑋 0
𝑋 1
𝑋 2
⋮
𝑋 𝑘
⋮
𝑋 𝑁 − 1
=
𝑊𝑁
0
. . 𝑊𝑁
0 𝑁−1
𝑊𝑁
0
. . 𝑊𝑁
1 𝑁−1
𝑊𝑁
0
. . 𝑊𝑁
2 𝑁−1
. . . .
. 𝑊𝑁
𝑘𝑛
. .
. . . .
𝑊𝑁
0
. . 𝑊𝑁
𝑁−1 𝑁−1
𝑥 0
𝑥 1
𝑥 2
⋮
𝑥 𝑘
⋮
𝑥 𝑁 − 1
ただし𝑊𝑁 = 𝑒−𝑗
2𝜋
𝑁 Wとする
9. 課題22
𝑒−𝑗
2𝜋 𝑛1+𝑛2 𝑁
𝑁 = 𝑒−𝑗2𝜋 𝑛1+𝑛2 = 1であるから
𝑘=0
𝑁−1
𝑒−𝑗
2𝜋
𝑁
𝑘(𝑛1+𝑛2)
= 0
よって
𝑘=0
N−1
𝑊𝑁
𝑘𝑛1
𝑊𝑁
𝑘𝑛2
=
𝑁 𝑛1 + 𝑛2 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 𝑁)
0 𝑒𝑙𝑠𝑒
よってこの行列と対称行列の積をとると対角成分がN，他が0と
なる
つまり 𝑊 𝑇 𝑊 =
𝑁 0 … 0
0 𝑁 ⋱ ⋮
⋮ ⋱ ⋱ 0
0 … 0 𝑁
→Wを1/ 𝑁倍すればユニタリー行列になる
15. 課題24
2*2の場合
2次元離散フーリエ変換の行列式は
𝑋 0 𝑋[2]
𝑋 1 𝑋[3]
=
𝑊2
0
𝑊2
0
𝑊2
0
𝑊2
1
𝑥 0 𝑥[2]
𝑥 1 𝑥[3]
𝑊2
0
𝑊2
0
𝑊2
0
𝑊2
1
=
1 1
1 𝑒−𝑗
2𝜋
2
𝑥 0 𝑥[2]
𝑥 1 𝑥[3]
1 1
1 𝑒−𝑗
2𝜋
2
=
1 1
1 −1
𝑥 0 𝑥[2]
𝑥 1 𝑥[3]
1 1
1 −1
xは(a)-(e)で
を代入すればよい（あとは行列の代入だけなので省略）
1 1
1 1
0 0
0 0
0 0
1 1
0 1
0 1
0 1
1 0
16. 課題24
4*4の場合
離散フーリエ変換の行列式は
𝑋 0 𝑋 4 𝑋[8] 𝑋[12]
𝑋 1 𝑋 5 𝑋[9] 𝑋[13]
𝑋[2] 𝑋[6] 𝑋[10] 𝑋[14]
𝑋[3] 𝑋[7] 𝑋[11] 𝑋[15]
=
𝑊4
0
𝑊4
0
𝑊4
0
𝑊4
0
𝑊4
0
𝑊4
1
𝑊4
2
𝑊4
3
𝑊4
0
𝑊4
2
𝑊4
4
𝑊4
6
𝑊4
0
𝑊4
3
𝑊4
6
𝑊4
9
𝑥 0 𝑥 4 𝑥[8] 𝑥[12]
𝑥 1 𝑥 5 𝑥[9] 𝑥[13]
𝑥[2] 𝑥[6] 𝑥[10] 𝑥[14]
𝑥[3] 𝑥[7] 𝑥[11] 𝑥[15]
𝑊4
0
𝑊4
0
𝑊4
0
𝑊4
0
𝑊4
0
𝑊4
1
𝑊4
2
𝑊4
3
𝑊4
0
𝑊4
2
𝑊4
4
𝑊4
6
𝑊4
0
𝑊4
3
𝑊4
6
𝑊4
9
=
1 1 1 1
1 −𝑗 −1 𝑗
1 −1 1 −1
1 𝑗 −1 −𝑗
𝑥 0 𝑥 4 𝑥[8] 𝑥[12]
𝑥 1 𝑥 5 𝑥[9] 𝑥[13]
𝑥[2] 𝑥[6] 𝑥[10] 𝑥[14]
𝑥[3] 𝑥[7] 𝑥[11] 𝑥[15]
1 1 1 1
1 −𝑗 −1 𝑗
1 −1 1 −1
1 𝑗 −1 −𝑗
0 0 0 0
0 0 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1代入
20. 補足02
𝑥 𝑘 𝑛 =
𝑥 𝑛 (𝑘𝐿 ≤ 𝑘 + 1 𝐿 − 1, 𝑘 > 0)
0 (その他)
このときx[n]とy[n]の離散畳み込みw[n]は
𝑤 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ 𝑦 𝑛 = 𝑘=0
∞
𝑥 𝑘 𝑛 ∗ 𝑦[𝑛] であることを証明しな
さい
21. 補足02
𝑤 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ 𝑦 𝑛
離散畳み込みの式より
= 𝑘=0
∞
𝑥 𝑙 𝑦[𝑛 − 𝑙]
x[n]を長さLの部分系列の和で表現して
= 𝑙=−∞
∞
𝑘=0
∞
𝑥 𝑘 𝑙 𝑦[𝑛 − 𝑙]
線形性より
= 𝑙=−∞
∞
𝑘=0
∞
𝑥 𝑘 𝑙 𝑦[𝑛 − 𝑙]
= 𝑘=0
∞
𝑥 𝑘 𝑛 ∗ 𝑦[𝑛]
23. 課題26
信号:𝑥 𝑛 = … , 0, 𝑥 −1 = 0, 𝑥 0 = 1, 𝑥 1 = 1,1, …
に対して，
フィルタ関数:
𝑦1 𝑛 = {… , 0, 𝑦 −1 = 1/3, 𝑥 0 = 1/3, 𝑥 1 = 1/3,0, … }
𝑦2 𝑛 = {… , 0, 𝑦 0 = 1/3, 𝑥 1 = 1/3, 𝑥 2 = 1/3,0, … }
を用いた離散畳み込みを計算し，両者の結果の関係がどのよ
うになるかを考察しなさい.
25. 課題26
x[n]
y[n]
0 1 2 ……
-1 0 1 ……
1
1/3
𝑧 0 = 0 ×
1
3
+ 1 ×
1
3
+ 1 ×
1
3
=
2
3
z[n]
2/3
0 1 2 ……
y[n]をdだけ動かした時𝑧 𝑑 = 𝑛=−∞
𝑛=∞
𝑥 𝑛 𝑦[𝑛 − 𝑑]
d=0の時
26. 課題26
x[n]
y[n]
0 1 2 ……
-1 0 1 ……
1
1/3
𝑧 1 = 1 ×
1
3
+ 1 ×
1
3
+ 1 ×
1
3
= 1
z[n]
1
0 1 2 ……
y[n]をdだけ動かした時𝑧 𝑑 = 𝑛=−∞
𝑛=∞
𝑥 𝑛 𝑦[𝑛 − 𝑑]
d=0の時
27. 課題26
x[n]
y[n]
0 1 2 ……
-1 0 1 ……
1
1/3
𝑧 1 = 1 ×
1
3
+ 1 ×
1
3
+ 1 ×
1
3
= 1
z[n]
1
0 1 2 ……
y[n]をdだけ動かした時𝑧 𝑑 = 𝑛=−∞
𝑛=∞
𝑥 𝑛 𝑦[𝑛 − 𝑑]
d=0の時
28. 課題26
x[n]
y[n]
0 1 2 ……
-1 0 1 ……
1
1/3
z[n]
1
0 1 2 ……
x[n]にy[n]を畳み込むことによって0と1の境界部分が滑らかに変
化するようになる
31. 課題26
clear all %前処理
close all
im=imread('lena.jpg'); %画像の読み込み
im= rgb2gray(im); %グレ－スケール化
subplot(1,2,1);
imshow(im); %元画像の表示
im=double(im); %uint8→double型へ
f=[1,1,1;1,1,1;1,1,1]/9; %フィルタの作成
imout=filter2(f,im,'same');%元画像とフィルタの畳み込み
imout=uint8(imout); %double→uint型へ
subplot(1,2,2);
imshow(imout); %平滑化した画像の表示
32. 課題26
−1 -1 −1
−1 9 −1
−1 −1 −1
1 0 −1
2 0 −2
1 0 −1
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
平滑化フィルタ
ソーベルフィルタ
（エッジ抽出）
ラプラシアンフィルタ
（エッジ強調）
