La obra "Cómo plantear y resolver problemas" de George Pólya es bien conocida por todos los matemáticos, ya sean investigadores o profesores. Gracias a las publicaciones en web pude acceder e igual pongo a vuestro alcance.

1. '.qrt
{ ¡ tVltrrllas
He oquí urrp equeñot esor opor o los m oeslro s
¡, estudiontesde m ct em ót icos,por o los of icio -
ncrdosy en gener ol, por o t odo oquel qu e
ouierc¡sobe r cóm o r esclver pr oblem os.
.Éssumornenieinteresonleporque¡odemi¡s dei
ospecto nue vo que pr eseniode los m ot en ró -
ticos,su pro ceso de invención,com o ciencic
experimentoie induct ivo,pr opor cionondon o
lo soiuciónest er eof ipodode los pr oblemo s,
sino los procedim ient osor iginolesde cóm o se
llegóo su so lución,do los com inospor o r eso l-
ver problem osen cuonlo t oles y dispone lo s
elementosdel pensom ient ode t ol m oner o q u e
insiintivom ent eoct úencuondo se or esenteu n
proble.'nopor resolver.
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2. Cómo
plantear
yresolver
problemas
G. Polyc
EDII
TRI
México,Arl
Colomb¡a.
España, -
rco,venezuela
ITORIAL
:ILLAS
Argentina,España,
a, PuertoRico.Ven€
[vn

3. Traducción
hof. tulün Zugazagoitia
Tttutode estaobraen inglés:
Howto solveit
dÉiirrton UniversitYhess'U' s' A'
@c. rolya
I isión áutorizadaenesPañol
ai b sesuraoediciónenínglés
publicailaPorAchorBooks
I¿ oresentacióny disposiciónenconiunto
Tlúo"i:ilíiiÉtn'vnssot wnPRoB.LEry4!,-.
;;;;r"p;l"i detediton Ninanl po't:.d"
."tt1.?:::
;;:d;- ;r; ;"p*ducida o trasiitida'mediante-ninsítn
sistema
'
o método,electónicoo iiáiiló' f'cluy endo,elfotocoptudo'
Iagrabacióno cualquiuitt-iio a'' ""uieracbn y.almacenamEnto
Tr"iiio*ru"), in consentímientopor escrítodeledito¡
De¡echosresenadosenlengtuespañola-ai'ñii.-
eáit"ri¿I Trittas,S'A' deC' V":ti.'nílóllilusco
385,cot' PedroMar* Anava
;A;;.h;;:l;-i,ó;,:2, 03340'México'D' F'
MiembrodelaCómaraNacíoruldel¿'irrá;'tt
l" Edítoriat. Reg'núm' I58
himeraedíciónen español,/9ó5 (ISBN-9-68'-24-0064'3)
''"';;;;;;;;;n",,
tbac,t'fzo'ttizz'tgz¿'te-7s'Ie76'
'iiiaiifiilibú'-
tba¡'Ie84'1e*s'Ie86v Ie87
i
l
Prefacio a la Primera edición
en inglés
Un gran descubrirnientoresuelveun gran problema,Peroen la solu'
ción de todo problema,hay un cierto descubrimiento.El problemaqugie
planteapuedesermodesto;p"to, si pone a pruebala curiosidadque induce
a poner en juego las facultadesinventivas,si se resuelvepor propios me-
dios, se puede experimentarel encantodel descubrimientoy el goce del
triunfo. Experienciasde estetipo, a una edad conveniente,puedendeter-
minar una afición para el trabajointelectuale imprimirle una huella impe-
recederaen la mentey en el carácter.
Por ello, un profesor de matemáticastiene una gran oportunidad' Si
dedicasu tiempr a ejercitara los alumnosen operacionesrutinarias,mataúr
en ellos el interés, impedirá su desarrollointelectualy acabui desaprove-
chandosu oportunidad. Perosi, por el contrario, Ponea pruebala curiosi-
daddesusalumnosplanteándolesproblemasadecuadosa susconocimientos,
y les ayuda a resolverlos por medio de preguntas estimulantes,podrá
despertarlesel gusto por el pensamientoindependientey proporcionarles
ciertosrecursospara ello.
Un estudiantecuyosestudiosincluyanciertogrado de matemáticastbne
también una particular oportunidad. Dicha oportunidad se pierde, claro
está,si ve las matemáticascomouna materia de la que tiene que presentar
un exatnenfinal y de la cual no volverá a ocuparseuna vez pasadoéste.
La oportunidad puede perderseincluso si el estudiantetiene un talento
natural para las matemáticas,ya que é1,como cualquierotro, debe descu-
brir suscapacidadesy sus aficiones;no puede sabersi le gusta el pastel
de frambuesassi nuncalo ha probado.Puededescubrir,sin embargo,que
un problemade matemáticaspuedeser tanto o másdivertido <1ueun cfu-
cigratna.,o que un vigorosotrabajo intelectual puedeser un ejercicio tan
agradablecomo un ágil juego de tenis. Habiendo gustadodel placer de
lasmatemátrcas,y^ no lasolvidaráfácilmente,presentándoseentonces'una
5
Decimoquintareimpresión,fe{111i89
1
II
I
I
I
I
ImpresoenMéxico
hínteil ín Mexíco

4. 6 prelacio a la prinrera edición
buenaoportunidadpara qqe las matemáticasadquieranun sentidopara
é1,ya seancomo un pasatiempoo como herramientade su profesión, o
suprofesión mismao la ambición de suvida.
El autor recuerdael tiempo en que él era estudiante,un estudianteun
tanto ambicioso,con deseosde penetrarun pocoen las matemáticasy en la
física.Asistíaa conferencias,leía libros,tratandode asimilarlassoluciones
y los hechospresentados,pero siempresepresentabauna interroganteque
lo perturbaba sin cesar:
"sí,
la solución dada al problema parece ser
correcta,pero ¿cómoesposibledescub¡irtal sorución?sí, esteexperimentó
al pareceres cotrecto,tal pareceque es un hecho; pero, ¿cómopueden
descubrirsetales hechos?;¿y cómo puedo yo por mí mismo inventar o
descubrirtalescosas?"Hoy en día er autor enseñamatemáticasen una
universidad.Piensao deseaque algunosde susmás aventajadosalumnos
seplanteenpreguntassimilaresy tnta desatisfacersu curiosidad.Tratando
de comprenderno sólo Ia soluciónde esteo de aquel problema,sino
también los motivos y el procedimiento de la solución, y tratando de
hacer comprender dichos motivos y procedimientos, ha sido lle-
vadofinalmentea escribirel presentelibro. Deseaque resultede utilidad
a aquellosmaestrosque quieren desarrollarlas aptitudesde susalumnos
para resolverproblemas,y pare-aquellosalumnosansiososde desarrollar
suspropiasaptitudes.
Pesea queel presentelibro poneespecialatencióna los requerimientos
de los estudiantesy maestrosde matemáticas,deberíade despertarel
interésde todosaq.uellosinteresadosen los caminosy mediosde la inven-
ción y del descubrimiento. Tal interés puede ser mayor que el que
uno puede sospecharsin reflexión previa. El espaciodedicadoen los
periódicosy revistasa los crucigramasy otros acertijosparecedemostrar
que el público dedica un cierto tiempo a resolver problemassin ningún
interéspráctico.Detrás del deseode resolveresteo aquelproblemaque
no aportaventajamaterial alguna,debehaberuna hondacuriosidad,un
deseodecornprenderloscaminosy medios,losmotivosy procedimientosde
la solución.
Las páginasque siguen,escritasen forma un tanto concisay, en la
medidade lo posible,en forma sencilla,estánbasadasen un serioy largo
Prelacio a ht printert eúiaióu t
estudiode los métodosde solución.Estaclasede estudio,llamadoheuri¡-
fico por algunosautores,si bien no estáde moda en nuestrosdías,tiene
un largo pasadoy qoizi un cierto futuro.
Estudiandolos métodosde soluciónde-,p,roblemas,percibimosotra
facetade las matemáticas.En efecto,las matemáticaspresentandoscaras:
por un lado son la cienciarigurosade Euclides,pero tambiénson algo
más.Las matemáticaspresentadasa la maneraeuclideanaaParecencomo
una cienciasistemática,deductiva;pero las matemáticasen vía de forma-
ción'aparecencomo una cienciaexperimental,inductiva.Ambos aspectos
sontan viejoscomolasmatemáticasmismas.Peroel segundoesnuevoen
cierto aspecto;en efecto,las matemáticasin statu nascendl,en el Proceso
de ser inventadas,nuncahan sido presentadasal estudiante,ni inclusoal
maestro,ni al púbiicoen general.
La heurísticatiene múltiples ¡amificaciones:los matemáticos,los
logistas,los psicólogos,los pedagogose inclusolos filósofos puedenrecla-
mar variasde suspaftescomo pertenecientesa su dominio especial.El
autor, conscientede la posibilidad de críticasprovenientesde los más
diversosmediosy muy al tantode suslimitaciones,sepermitehacerobser-
var que tiene cierta experierrciaen la soluciónde problemasy en la ense-
ñanzade matemáticasen diversosniveles.
'El
temaestratadomás ampliamenteen un extensolibro que el autor
estáen caminode terminar.
Uniaersidadde Stanford,tTosto le, 1944,

5. Prefacio a la séPtima
reimpresión en inglés
Ahora puedodecir gustoso.qut
l:-,:Tplido
con éxito' al menosen
parte, una Promesadaia en el prefacio a la primera
."di:iól;
Los dos
volúmenestnduction';;; ;';;;8i i' no*t*at'ics v Pafteytl'of Ptauibte
lnferencequeconstitulei ,* ,*ñit,e obraMathematicsand'PlaasibleReas-
oningcontinúanlatí'neadetpensamientoadoptada'enelpresentel
Zxrich, dSorto 30, 1954'

6. Prefacio a la segunda edición
en inglés
i
En estasegundaedición se incluye, ademásde algunasmejoras'una
tu*" .".t" farte : Ptoblemas,-
pugrcrencias,Soluciones'
Al tiempo qo" ,"-Pi"p^t;É" impresión de estaedición' apareció
un estudio (Edacation)l iesting. Seruite,,Princeton,N'/'; cf' Time 18
de junio, L9t6) qot J putttt'"h" formulado algunasobservacionesper-
tinentes;no eran,tr"u^r'para los entendidosen la materia'pero ya'etl
tiempoque se ror*.ri",t"'fuo tf público en seneral:
"'
' ' las matemáti-
castienen el dudoso honoi de sei el tema ,í.not popular del plan de
estudios.. . Futuros maestrosPasanPor las escuelaselementalesaPren-
il;; " detestarlas matemátito'' ' ' Regresana la escuelaelementala
enseñara nuevasgeneracionesa detestarlas"'-
ilP.;" qoe li presenteedición, destinada a mis amplia difusión'
convenzaa algunosde suslectoresde que las rnatemáticas'apartede ser
,rrr.*irro ,reiesarioa la ingenieriay it conocimientocientífico'-pueden
serdivertidasy a la vez abrií un Panoramaen las actividadesintelectuales
del más amPlionivel.
Zuicb, ianio 30, 1956'

7. *?
índice de contenido
Prefacios,5
Para resolver un Problema se
II. Concebir un Plan,III'
. solución obtenida, l7
Introducción,21
Prlmerr¡ Portet
Enelsolóndecloses
Fropósit<>
l. AYudaral alumno,25
2. Prcguntu','"to'n""daciones' operacionesintelectuales'25
3. La generalidad,26
+. Seniidocomún,26
5. Maestroy ul"-"o' Imitacióny prácttca'27
Divisionesprincipales'preguntasprincipales
6. Cuatro fases,28
7. ComPrcnsióndelProblema'28
B. EjemPlo,29
9. Ct"clPción deun Plan'30
10. EjcmPlo,3l
I l. Ejecucióndel PIan,33
12. EjemPlo,34
13. Visión retrosPectiva'35
14. EjcmPlo,35
15. diversosPlanteos,38
16. El métodódeinteirogar deI maestro'39
17. BuenasYmalasPreguntas'40
necesita:I. Comprender el problema''if..".10"
del Pün, IV' Examinar la

8. t 4 indice de contenido
Otrqs ejemplos
I B. Problemadeconstrucción.4l
19. ProblemadedemostracióÁ,4Z
20. Problemaderapidezdevariación.46
1 Segundo porfe
CCómoresolver un probtemosun dlólogo
Familiarizarseconelproblema,5l
Trabajar para una *é¡o, comprensión,5l
En buscadeuna ideaútil.5l
Ej.ecucióndel plan, 52
v lslonretrospectiva,53
Tercero porte
Brevedlccionorlo de heurístico
I
{ Aficióna losproblemas,57
:Analogía,57
gBolzanoBernardo,64
J Brillanteidea.65
$'#itT-f;X problemaqueserctacioneconeIsuyr?,66Contradicio.ioi6Z
Corolario.6T
, ¿-Cuálesla incógnita?,67
I Definición.G7
$Descartes,René,73
fleycom.non:I
y recomponerel problema,73
:üUetermlnación,esperanza,éxiios,B0
lDragnóstico,Bl
Dibujeuna figura.82
Distinguir lai-diversaspartesde la condición,B2
Elementosauxiliares.€i2
Enigmas,B5
¿Esposiblesatislacerla condición?,B7
Examendedimensiones.B7
Examincsuhipótesis,89
Inüce de contenido
Figuras,93
.Futuro matemático,El, 96
rlGencraliz.ación,97
Ñ'gu empleadoustedtodoslosdatos?,98
Í1" uq"i un problcmarelacionadocon el suyoy que ustedha resuelto
i y a , 1 0 0
lHeurística,l0l
l|Heurísticamoderna, I 02
,{Indi.iosdeprogrcso,105
jlnducción einducciónmatemática,I l4
lL..to. inteligente, I l9
{ Leibnir,GottfriedWilhelm, 120
Lema, 120
!¿Lo havistoya antes?,120
1Llevaral caboelplan, l2l
$Mire bienla incógnita,I 24
{Notación. l28
Pappus,133
f Parad<rjadcl invcntor,l38
{ Particu"larizacitin,I 3B
{Pedantcríay macstría,143
Plantco dc l¿rccuacicir-r,143
Podría cnunciarcl problcmaenformadilercntc?,146
¡)Podríadcclucirdc losdatosalgúnelementoútil?, 146
¡Por qué lasdemostracioncs?,l48
iProblemaauxiliar, I 53
l Profesorde matemáticastradicional,El, l58
qProg.esoylogro,
l58
i*Problemaspor resolver,problemaspor demostrar,l6l
Problemasderutina, 163
Problemasprácticos,I 63
¿Puedecomprobarel resultado?,167
¿Puedeencontrarel resultadoen lorma diferente?,169
i,iPuedeutilizarseel resultado?,I 7l
{ Razonamientoheurístico,I 73
Razonamientorcgrcsivo, 174
Reducciónal absurdoy demostraciónindirecta,179
Redundante,l86
Reglasdeenseñanza,IBG
Reglasdecstilo, I 86
Reglasdeldcscubrimiento,l86
Sabiduríadc losproverbios.I B7
l 5

9. , 1 6
Simetría,tao
I¡tdice de contenído
Sino puederesolvcreI problemapropuesto,190
, Términosantiguosy nuevos,190
,
{Trabajosubconsciente,192
j +Variacióndcl problcma,193
Cuortq poÉe
problemqs, sugerencios,soluciones
Problemas,20l
Sugerencias,204
Soluciones.20T
l
Favaresolver
un probilenna
se necesnta:
t GomPrender el Problema
ll Goncebir un Plan
Determinor lo reloción entre los dotos y
lo incógnito.
De no encontrorseuno relocióninmedioto,
puede considerorproblemosouxiliqres'
Obtenerfinolmenteun Plqn de solución'
t/ Examinar !a soluciÓn ot¡üenida

10. a
a
.
GomPrender el Problema
¿Cuál es la incógnita? ¿Cuálesson los datos?
¿cuál es la condición? ¿Es la condición suficiente para determina¡ la in-
iógnita? ¿Esinsuficiente? ¿Redundante?¿Contradicto¡ia?
Gonceblr un Plan
¿Se ha encontrado con un problema semejante?¿O fa visto el mismo
problema planteado en forma ligeramente diferente?
¿Conoceun problema relacionadocon éste?¿Conocealgún teorema,quele
pueda ser útit? Mire atentamente la incógnita y trate de recotdar un
problema que le sea familiar y que tenga la misma incógnita o una
incógnita similar.
He aquí un problema ¡elacionado al suyo y que se ha ¡esuelto ya' ¿Po'
d¡ía usted ulilizarlo? ¿Podría utilizar su resultado? ¿Podría emplear su
rnétodo? ¿Lehaúa a usted falta introducir algún elemento auxiliar a fin
de poder utiliza¡lo?
¿Podría enunciar el problema en otfa forma? ¿Podría Planteaflo en fo¡-
ma dife¡ente nuevamente?Refiérase a las definiciones'
si no puede resolve¡ el problema propuesto, trate de ¡esolver primero
algún problem¿ similar. ¿Podría imaginarse un problema análogo un
taáto más accesible?¿Un problema más general? ¿Un ptoblema más
particular? ¿Un problemz aailogo? ¿Puede resolver una Parte del pro-
ilema? Coniid.re sólo una parte de la condición; desca¡tela otra parte;
¿en qué medida la incógnita queda ahora dete¡minada? ¿En qué forma
puede variar? ¿Puedeusted deduci¡ algún elemento útil de los datos?
¿Pueae pensar en algunos ot¡os datos apropiados para determinar la
incógniti? ¿Puedecambiar la incógnita? ¿Puedecambiar la incógnita o
los áatoq o ambos si es necesario, de tal forma que la nueva incógnita
v los nuevos datos estén más ce¡canosent¡e sí?
o ¿Ha empleado todos Ios datos? ¿Ha empleado toda la condición? ¿Ha
ionsiderádo usted tod¿s las nocionesesencialesconcernientesal problema?
E¡ecuclón del plan
o Al ejecutar su plan?e la solución, compruebe cada uno de los pasos'
o ¿Puédeusted ver cla¡amente que el paso es co¡recto? ¿Puedeusted de-
mostrarlo?
Vlslón retrosPectiva
e ¿Puede usted verificar. el resultado? ¿Puede verificar el razonamiento?
o ;Puede obtener el resultado en fo¡ma dife¡ente? ¿Puedeverlo de golpe?
-'Prrcle
r¡sted emolea¡ el resultado o el método en algún otro problema?

11. (,-
lntroducc¡ón
Las consideracionesexpuestasen el libro hacenreferenciay constittt-
yenel desarrollode la precedentelista de preguntasy sugerenciastitulada
"Para
resolverun problema. . ." Toda pregunta o sugerenciaque de ella
secite apareceráimpresaen cafiiad y cuandonos refiramosa ella lo hare-
mossimplementecomo
"la
lista" o
"nuestra
lista".
En las páginasque siguense discutirá el propósito de la lista, se
ilustrará su uso práctico por medio de ejemplos y se explicarán las no-
cionesfundamentalesy lasoperacionesintelectuales.A modode explicación
preliminar se puede decir que si se haceuso correctode ella, y se plan-
tean asimismo dichas preguntas y sugerenciasen forma adecuada,és-
tas puedenayudar a ¡esolverel problema. Asimismo si se plantean estas
preguntasadecuadamentea los alumnos y se les hacenestassugestiones,
selespodrá ayudara resolversusproblemas.
El libro constade cuatropartes.
La primera,titulada:
"En
el salón de clases",contieneveinte seccio-
nes. Cada secciónestaráenumeradacon tipo negro, como por ejemplo
"sección4".
De la sección1 a la 5 sediscutiráen términosgeneralesel
"propósito"
de nuestralista.De la 6 ala 17 seexponencuálessonlas
"divisiones
prin-
cipales"y las
"principales
preguntas"de la lista, y se discutiráel primer
ejemplopráctico.En lassecciones18, 19 y 2Oseincluyen
"otros
ejemplos".
La segundaparte,que esmuy breve,titulada:
"Cómo
resolverun pro-
blema", aPareceescritaen forma de diálogo.Un supuestomaestroresponde
a las breves preguntas que le plantea un alumno un tanto idealizado
también.
La terceray más extensade las parteses un
"Breve
diccionariode
heurística".Nos referiremosa él comoel
"diccionario".Contienesesenta
y siete artí,culosordenadosalfabéticamente.Por ejemplo, el significado
del término HEURÍsrlcA(impresoen versalitaso pequeñasmayúsculas)
seexponeen la página L01 en un artículo bajo dicho título. Cuandoen
el texto se haga referencia a uno de tales artículos, su título aparecerá
impresoen versalitas.Ciertos párrafos de algunosartículos son más téc-

12. Int¡oducción
nicos; éstosse hallarán encerradosen cbrchetes.Algunos artículos están
estrechamenterelacionadoscon la primera parte proporcionándoleilustra-
.igl"f adicionalesy observacionesmásespecíficas.otros van un tanto más
al¡á del objeto de la primera partg de lá que proporcionanexplicaciones
más a fondo. Hay un artículo clave sobre
-srunfirrca
rr,ronst'N¡. En él
se exponenlas relacionesentre los diversosartículos, así como el plan
fundamental del diccionario.contiene también indicacionesde cómo en-
contrar información sobre detalles particulares de la lista. Nos parece
necesariodestacar,dado
_quelos artículos del diccionario son ¿pffente-
mente muy variados,el hecho de que existe en su eraboraciónun ptan
general que encierraune cierta unidad. Hay algunos artículos un poco
más extensos,si bien dedicadosa una concisaylistemática discusiónde
algún tema general.otros contienencomentariosrnás específicos,mien-
trasque otrosabordanreferenciashistóricas,citase inclusochistes.
El diccionariono debeleersecon premura.con frecuenciasu contexto
esconcisoy otrasun tanto sutil. El lector podrá recurrir a él para infor-
marse.sobre un punto en particular. si dichos puntos proviáen de su
exPenencracon suspropios problemaso con los de sus alumnos,su lec-
tura tiene todaslas probabilidadesde ser de provecho.
La cuaüaparte lleva por título: "probrerñas,
sugerencias,soluciones".
Planteaalgunosproblemaspara un lectormásambicioso.A cadaproblema
le sigue (a distanciaconveniente)una
"sugerencia"
q,re puederevelar
el caminodel resultado,el cual esexplicadoen la
"solución'i.
En repetidasocasionesnos hemosreferido al
"alumno" y al
..maes-
tlo"
I seguiremoshaciéndolouna y otra vez. Es convenienteaclararque
al referirnos al
"alumno",
hablamosen términos generalesde cualquier
Personaque estéestudiandomatemáticas,ya seande bachillerato,ya de
grado universitario. Al igual, el
"maestro"
puede ser un maestrode ba-
chillerato o de universidad, o cualquierpers.onainteresadaen.la técnica
de la enseñanzade las matemáticas.El autor adopta unasvecesel pun-
to de vista del alumno, otrasel del maestro(esteúltimo principalmenteen
la primeraparte).rsin embargo,la mayorparte de las veces(eqpecialmente
en la terceraparte)adoptael punto de vista de una llersona,ni alumno ni
maestro,ansiosade resolverun problemaque sele ha planteado.
I,
Frnnneve
pertc
En el salón
de
clases

13. ; ),
PROPOSITO
,.1.. Ayudar al alumno' Una de las tnásimportantestarcasdcl macs-
tro esayudara susJ;;;t' iu"' n'.^ fácil' ñequicretiempo' práctica'
dedicaciónY buenosPrinciPios'
Elestudiantedebeadquirirensutrabajopersonallamásampliae
rienciaposible..p"ro"i1l*i"^¿.i"r"i" ri"ni. " suproblema,sinayuda
alqunao casl sln nrnguna'pued-eqt'e.n: Progrese'bor otra parte' si el
máestrole ayudadt-?'i"áo, nadase-le deia a'íalumno' El-maestrodebe
avudarle,pero no -".i" ti demasiadopotó' dt suerteque le deie asumlr
ina parit'rozonable del trabaio'
Sielestudiante,,oestáencondicionesdelracergrancosa'elmae
debernantenerleal ;;;; la ilusión del trabajopers-onal.para tal fin, el
i".r* á.¡e ayudaral alumnodiscretamente'sin imponérsele'
Lo meior es,sin;;;tg" tudar al alurnnoen forma natural'El maes-
tro deberáponerse"n "' Ltg"', ver desdeel punto de vista del alumnp'
;;;á;ápr.ndeilo qo"i" PasaPor la mente'y plantearuna Pregunta
o indicar "tg,rn .^*it'o pur-pnáUst-ocarrítseleal pr-opio-alant.rto'
2. Preguntas,"to*""d"tiones' operacionei intelectuales' Al tra-
tar de ayudar"l ^'";;;]o't" eiectlivay natural' sin imponérsele'el
maestropuedef'*t' i" tl'ma preguntae indicarel mismo caminounÍry '
otravez.Así,en i";;;;l* i'o6lt*ut' tenemos5"."Itut:t la prcgunta:
¿Citátes Ia incógn'it)i'p;E-oi cambiarel vocabulárioy hacerla misma
preguntaen diferenü io't"t ¿Quéserequiere?;¿quéquiere'usteddeter-
il,"il;]o;Js. l. pideaustedqueencuentie?El propósito.deestaspre-
guntasesconcenrrail" ^t.".i." del al,,rmnosobrela incógnita.A vecessc
ábti"rr. el mismo ,*J,"áo á" modo másnaturalsugiriendo:.Mire atenta-
mentelaincógnita,Preguntasysugerenciastieneneimismofin;ti
provocarla mismaoperaciónintelectual'
Nos h" p"r"cialt]u. poaii^ serinte¡esanteel juntar
I.agruPnr
las ¡'rre-
guntasy ,ug.r.,,.i^s
'part'icularmente
útiles en la discusiónde problemas
:;;-i;r'"l,rrí.,os. r" iirt" que presentamoscontienepreguntasy sugeren-
ciasdeesetipo,cuidadosamenfeelegidasyclasificadas;pueden
menteútitesa "dil..;;;;n"¡ logimUlien solasen la iesoluciónde pro-
blemas.si et lecto,Jr:;;i;lista lo suficientecomoParapoderdiscerni
detrásde ro ,"gt'*ii''it "ttrá" sugerida'sedaráct'"ñto que la susodich
25

14. rl,
En el mlón ile clases
lista menciona,indirectamente,las operacionesintelectualerparticularmen-
te titiles para la ¡olución de problema¡.Dichas operaciones,. ¡,rn mencio-
nadoen el ordenmásprobablede su aparición.
-
3. La generalidad es una de lai característicasimportantes de las
pr,eguntasy sugerenciasquecontienenuestralista. Tómenie las preguntas:
¿Cuálesla incógnita?;¿caálesson losdatos?;¿caáles la condiciónl Esas
preguntasson aplicablesen general,podemosplanteadaseficazmenteen
toda clasede problemas.su usono estárestringiáoa un dete¡minadotema.
Y1 s9aun problema algebraicoo geométrico,matemáticoo no, teórico o
práctico,un problemaserioo una mera adivinanza,,laspreguntastienenun
sentidoy ayudana escla¡ecerel problema.
De hecho,existeuna restricción, pero que nada tiene que ver con el
temadel problema.ciertas preguntasylugerénciasde la listaion aplicables
exclusivamentea los "problemas
de determinación"y no a los "pr-oblemas
de demostración".
si estamosen presenciade un problemade esteúltimo génerodebemos
emplearpreguntasdiferentes. (véase
"pRoBLEMAspoR REsoLvER,pRo-
BLEMASpoR DEMosrnnn,página 161.)
4. sentido común. Las preguntasy sugerenci¿sde nuestralista son
generales,pero' pesea su generalizaciln,son naturales,sencillas,obviasy
procedendel más simple sentido común. Tómesela sugerencia: Mire t'a
lcógyita
y.tr!, de pensmen un problemdqae le seaf aáitiar y que rengd
la misma.
fcó.gnlta o
_anAlelrzeiante.Estasirgerenciai" ".otsé,¡J hacerlo
queustedh¿ríade todasformas,aun sin consejo,si estádecididoa resolver
su problema. ¿Tiene frar-n-brelusted quiere procurarsealgún alimento y
piensaen las formas habitualesde procurársilo. ¿Tieneui problema de
constr"ccióngeométricaTQuiere construirun triángulo y pienia en las for-
mashabitualesde construir un triángulo. ¿Tieneun probiemacualquiera?
Quiere encontraruna cierta incógnitáy piinsa en las'formashabituálesde
encontraruna incógnita de esetipo o una incógnitasimilar. Obrando así,
ustedestáen la línea de la sugerenciamencionád"en nuestralista. y está
también sobreel buen camino: la sugerenciaes buena,le sugiereun ca-
mino a seguirque le llevará con frecuenciaal éxito.
...
TodSslas preguntasy sugerenciasde nuestrarista son naturales,sen-
cillas, obvias y no-procedenmás que der sentido común, pero expresan
dicho sentidocomún en términos generales.sugiéren una'c'iertacoñducta
quedebepresentarseen forma natural en la mentede cualquieraque tenga
un ciertosentidocomúny un serio deseode resolverel problemaq,r. r.'i.
ha propuesto.P:to la personaque procedeasí, en generalno sepreocup¿
por hacer.explícitoclaramentesu-comportamientoo no es capazdé hacerib.
Nuestralistatrataprecisamentede haterloexplícito.
Maesa¡o y alumna. lnitacíón y próctica
5. Maestro y alumno' Imitación y práctica' Cuando el profesor
hacea susalumnosuna Preguntao una sugerenciade la lista' puedepro-
Donersedosfines.Primeio,?l ^yod"' al alt'mnoa resclver-elP¡oblemaen
ilJi¿;. ü;;,:i á.r;or"i 1^habilidad del atumnode tal modo que
puedaresolíerpor sí mismoproblemasulteriores'
La experienciamuestraq; t"t preguntasy sugerenciasde.la lista' em-
pr"ra"t "ii"fi^a"-",,ü, ttig*n to'n fl"ttt"ttcia af alomno' Tienen dosca-
racterísticascomunes'Li sJntido común y la qeneralizaci6:lComo provie-
nen del sentido.o-t"', "-p"'"t't^" to" f'á"ttcia de un modo natural;
sele podríanocurrir "i pttifi" alumno' Como son generales'ayudansin
;;í.;;;;dl."tdo oni d;ección general' pero dejando al alumno mu-
chá por hacer. :,-rL^-^^ ^6+ó. éc
Sin embargo,Ios dos resultadosque mencionábamosantesestánestre-
.tr"rn."t" ligaios. E., el.cto, si el alumno l9g.t?..t:t?luetcon éxito el pro-
blema en cuestión, está dáarrollando su irlUiti¿a¿ en la resoluciónde
problemas.Conviene,pues'no olvidar que nuestrasPreguntassongenerales
y aplicablesu ,r.r*",o',o' casos'Si el alumno emplea la misma Pregunta
variasveces.o. oo.rr-r"rol ado,sin duda se fliarí'en ella y a ella recurrirá
cuandose encuentretn ttn casosimilar' Si se hace esamisma pregunta
varias veces, acabariál-ot" po' deducir la idea exacta' Mediante tal
¿.it", ¿**É riri ?amaneracorr'ectade emplearla preguntay seráentonces
.,r*áo realmentela habráasimilado'
El alumno puede llegar a retenerciertas-Pt"gtt": de nuestralista al
gr"d; ;;; iiil¡*.".t" ? rya1 de-hacersea sí'miimo la preguntaindicada
en eI momento adecuadoi a" efectuarcon toda naturalidad la operación
intelectualcorrespondiente'Bstealumno habrálogrado con toda seguridad
;ñ;;ñ; pto"án.!"tú: {t
nuestratista' ¿Cómopuedeel maestroob-
teneresteexcelenteresultado?--..rr-'"'"r'erproblemasesunacuestióndehabilidadp.rácticacomo'Po
.i.rpr",-.i "r¿'rr. La habilidadprácticaseadquieremediantela imitación
i ti irertrc". Al tratar de nadarimitamoslos movimientosde piesy manos
que hacenlas personasque logran así mantenersea flote' y finalmente
l;;#;;;l
'n"az,t
pttci.^ttJo la natación. Al tratar de resolverpro-
ffi;l;; q.r" obr.'*", e imitar lo que otras pesonas hacenen casos
;;ñ,;r;y Lí apreodemosproblemaseiercitándolosal resolverlos.
El profesorque deseedesarrollaren susalumnosla aptitudpara
-resol-
"".;;JCl"."t. ¿1,U.hacerlesinteresarseen ellosy darlesel mayornúmero
t"tiUi. á. **io,"' ¿t imitación y ptictica' Si el maestroquiere desarro'
í#;;,* "f*""r el procesotnénüt que correspondea las preguntasy
*g.;;;; de nuestraI'ista,debeemplearlastantasvecescomovenganal
casode un rnoctonatural. Ádemás,cüandoel maestroresuelveun proble-

15. I
¡
I
En cl salón ile cllr¿rec
ma ar¡tel* clasc,dcbc
"dranratizar"
u¡r poco susideasy hacerselas mis-
maspreguntasque empleaparaayudara susalumnos.Graciasa talescon-
sejos,el alumnodescubrirá,sin duda,la manerade utilizar las preguntas
y.sugerenciasy adquiriráasíconocimientosmásimportantesqoe loste un
sirnplehechomatemático.
DIVISIONESPRINCIPALES,PREGUNTASPRINCIPALES
6. cuatro fases. Al tratarde cncontrarla soluciónpodcmoscambiar
repetidamentenuestropunto de vista,nuestromodo de cbnsiderarel pro-
l,t.:i,I:r.mos
que cámbiarde posiciónuna y otra vez.Nuestraconcep-
cron del problemaseráprobablementeincompletaal empezara trabajir;
nuestravisión será diferente cuando hayamoi avan|ado,r' po.o y cam-
biaránuevamentecuandoestemos^ purá de lograr ra sorució'n.
A fi: de.agrupar en forma cómodaias preguntasy sugerenciasde
nuestralista,distinguiremoscuatrofasesdel trara;á.primero,í.n.,.'o, q.r.
cornprenclerel problema,esdecir, ve¡ claramentelo que ," pid.. Segunáo,
tenemosqu_ecaptarlasrelacionesque existenentreloi diveños elelñentos,
ver lo-que liga ala incógnitaconrbsdatosa fin de encontrarra ideade ra
solucióny podertrazarun plan. Tercero,poneren ejecuciótter pran.cuar-
to, uoluerarrásunavezencontradala sorüción,reviárra y aisc,riirta.
Cadauna de estasfur:.r."r.importante.puedes,rcede,que a un alum_
:_ j: 1",::"r.1¡o,t
casuatidaduna idea excepcionalmentetrillante y sal_
tandosetodo el trabajopreparatorio,vayadirectarnentea la solución.Tales
golpesde suerteson desea6les,natr.rrarÁente,peropuedeilegarsea un re-
sultado,nodeseado,desafortunado,si el arumriodeJcuida.uuiq,ri.r" a" h,
cuatrofasessin.teneruna buenaidea.Es de temerselo peor si el alumno
se lanza a hacercálculoso construccionessin r-tabercoitprendiio er pro
blema.Generalmentees inútil ocuparsFde los detalles,i no ,. han visto
lasrelacionésesencialeso sin habeitrazadoun plan previo.se puedenevi-
tar muchoserroressi el alum¡o terifca cad| pÁo alllevar al caboel plan.
Los mejoresresultados
¡ued¡¡ p..d.rre si él alumno no reexamina,no
reconsiderala soluciónobtenida.
.
7' comprensión del probrema. Es tonto el contestara una pregun-
l_1
qu. no secomprende.Esdeplorabletrabajarparaun fin queno sedesea.
sln embergo,taleserroressecometencon frecuencia,dentroy fnera de la
escnela.El maestrodebetratar de evitarque seproáur."r, en su clase.El
alumno
9:f. :o.*plender
el probrema.péro no-sórodebecomprenderro,
sinotambiéndebedesearresolverlo.si hay falta de comprensión'ode inte-
réspor partedel alumno,no siempreessu culpa;el problemadebeesco-
ú)jemplo
gerseadecuadamente,ni muy difícil ni muy fácil' y debe dedicarseun
áerto tiempoa exponerlode un modo naturale interesante'
Ante todo, "t "nunci,ao verbal <lelproblemadebe ser comPrendido'
E[ maestropuedecomprobarlo,hastacicrto punto' pidiéndoleal alurnno
il;pü"i .""".¡"Já, io .r^i deberápodei haceriin titubeos.El alum-
no deberátambién P;¿;-t;P"'or las piinci¡ralespartes
iet ry.ofterna'
la
incóenita,Ios datos,Ia condióión'Raravez-püedeel maestroevitarlaspre-
';;;í;','7¿;;t"rr-íi
¡*iil¡,ri, )cuátessontosdatos?;¿cuátestacondición?
*;i;Í;."
á"U" .onii¿erar tas principalespartesdel.problemaatenta-
*.ni.,'i.p.tia^, ','...J-y-U"1.a'.tti;"s,ángulos' Si hay algunafigura rela-
cionadaal problema,¿á¡. hiUo¡o'la figu-ray destacaren ella la incógnita
y los datoi. Es necesariodar nombresa dichos eletnentosy Por con-
'tig"iiirrroducir
una notaciónadecuada:poniendocuidadoen la apro-
piadaelecció.,a" to, ,[no,, tttl obligadoa considerarlos elemcntosPara
los cualeslos signos;;?;;h.- se, ele"gidos. ]Hay otrapreguntaque puede
plantearseen este-orn""io, con tal d! qtte no seesPereuna respuestade-
liniti',ra,sinomáshri* prouitionalo una^rneraconjeiura:¿Esposiblesatis-
facerla condición?
(En la exposiciónde la 2'] parte,p.ág'51'
esteiividi¿oen dospartes:
"Familiarizarse"
"Comprenderel Problema"
y
"Trabaiar
Parauna meJor
comprensión"')
^r^..^^^r^ r, n la sec-
a. Ejempío. Ilustremosalgunosde.los puntos""lY:tlt:t^'
ción anterior]To*.-", el siguienteproblema'muy sencillo:Detetmtnar
la d.iagonalde un prúírlipip"do re,ciangalareladoisu longitud, .rt¿attcbo
:! sil dltara'''
pi,^r,poder discutir esteproblema.conpt*:.11
]::..:l:i:"t
0"0""
estarfamiliarizadoscon el tedremade Pitágórasy con algunasde.susapli-
cacionesen la geometríaplana,pero pueclenno tenermítsque llgerosco-
nocimientosde Ia geometiiua"t'ttpotio' El maestropuede.confiaraquí en
i. i.-,flri¿ad inüitiva del alumnoconlas relacionesen el espacio.
-- -
ni_".rtro puedehacerinteresanteel problemaconcretándolo.En efec-
to, "i t^l¿n de'clasees un paraletepípedorectangular-ttly^1:-ll'"ntit'n"t
ou.á.n sermedidas,estimaáas;los alumnostienenquc dctcrminat'
"lnc-
áir"i" ," t"ra" indírecto",la áiagonaldel salón.El maestroseñalala lon-
;i;"d, ;i t".ho y.la alturadei saún, indicala diagonalcon un gestoy cla
ciertavida;rlattgirraquelratrazadocnelpizarrón,rcfiriéndoserc¡
menteal salóncleclase'
El diálogoentreei maestroy los alumnospuede eml)ezr courosi{rrc:
;Cttál el Ia incógnita?
i-ílrá"git¿ dEta diagonaldc un ¡'araielc¡rí¡'edo
rcctang'lar'
;Caálessou los d¡tos?

16. 30 En cl salón de clases
-La longitud, el anchoy la altura del paralelepípedo.
-lntroduzcan ana notación adecuad.a.¿Quéletra designaráa la in
cógnita?
- y
-¿Qué letrasquierenustedeselegir para designara la longitud, al
anchoyalaaltaraT
-A, b, c.
-¿Cuál esla condición qaerelacionaa, b y c conx?
-n esla diagonaldel paralelepípedodel cuala, b y c sonla longitud,
el anchoy la altara.
-- .-¿Es ésteun problema razonable?Quiero decir,¿essuficientela con-
dición para determinar la incógnita?
-Sí, lo es. Si conocemosd, b y c, conocemosef paralelepípedo.Si el
paralelepípedoestádeterminado,su diagonaltambiénlo está.
-
9. Concepción de un plan. Tenemosun plan cuando sabemos,al
menosa
"grosso
modo", qué cálculos,qué razonamientoso construcciones
habremosde efectuar para determinar la incógnita. De la comprensión
del problemaala. concepcióndel plan, el caminopuedeser largo y tor-
tuoso.De hecho,lo esencialen la soluciónde un problemaes el concebir
la ideade un plan. Estaideapuedetomar forma po.o u pocpo bien, des-
pués de ensayosaparentementeinfructuosos y de un piriodo de duda,
sepuedetenerde pronto una
"idea
brillante". Lo mejor que puedehacer
el maestropor su alumno es conducido a esaidea brillante áyudándole,
pero sin imponérsele.Las preguntasy sugerenciasde las que vamosa ha-
blar, tienen por objeto provocartalesideas.
Para comprenderla posicióndel alumno, el maestrodebepensaren
su propia experiencia,en suspropiasdificultadesy éxitosen la resolución
de problemas.
Sabemos,claro está,que es difícil tener una buena idea si nuestros
conocimientosson pobresen la materia,y totalmenteimposible si la des-
conocemospor completo.Las buenasideasse basanen la experienciapa-
saday en los conocimientosadquiridospreviamente.un simple esfueizo
dememoriano bastaparaprovocaruna buenaidea,pero esimposibletener
algunasin recordarciertoshechospertinentesa la cuestión.los materiales
por sí solosno permiten la construcciónde una casa,pero es imposible
construir una casasin juntar los materialesnecesarios.Los materialesne-
cesarirrspara la solución de un problema de matemáticasson ciertos de-
talles particularesde conocimientospreviamente adquiridos, tales como
problemasresueltos,teoremasdemostrados.Por ello escon frecuenciaade-
cuadoabordarun trabajoplanteándosela siguientepregunta:¿Conoceal-
gún problemarelacionado?
Eiemplo 3l
La dificultad estribaen que hay por lo generaluna infinidad de pro-
bf.-^, que serelacionande álgunarn""t'"..ón el que nos ocuPa'esdecir'
que tienenciertospuntos en comúncon é1.¿cómo escogerentre tantos'
"lqrr.to aquellosq.repnedanserrealmenteútiles?IJna sugerencianosva a
oermitir descubrirun punto comúnesencial:Mite bienla incógnita'Trate
i-r-';';;;;;;-"18'i' prLbtemaqae te seafamitiat y que ten84ta rnisnzain-
cófnita o una sirnilar.
Si ltegamosa recordaralgun probl emay^ resueltoque estéestrecha-
mente relacionado.on ,ro"rñu pioblema actual, podemos considerarnos
con suerte.Debemostratar de -'",tttt tal suertey podemosmerecerlasa-
biéndolaexplotar.He aquí an ptobkma relacionadocon el sulo y y re-
saelto.¿Puedeusted'hdceruo d.eél?
Laspreguntasanteriores,bien comprendidasy seriamenteexaminadas'
ayudanir.r.rit., vecesa prou*u, el eniadenamientocofrectode las ideas;
Defono siempre.s eI c"slo,ya queno sonfórmulasmágicas.Nos hacefalta
il;;;r-L;til otro-ponto'deiontacto y explorar los divcrsosaspectosde
,r,r"rtroproblema.DJbemoscambiar,transformaro modificar el problema'
;paed.eenunciarseel problema,o ior*o diferente?Ciertascuestionesde
l;;; iiri" *gi.ren'medios .rp..ífi.o. p'J.a variar el ptoblema,tales
.o-o l" generaÍrzaci1n,la particu1ariztc.iói,el empleo_de-la analogia,--el
á.r."ttrr"""a parted. í" .oidi.ión, y asípor el estilo.Todos'estosdetalles
sonimportantes,Peropor el momentono podemos,"O::-1:-":-ellos' Una
modificacióna.t p.oÉti.napuedecondr-rcirñosa algúnotro problemaauxi-
l-iarapropiado:Si no po,di resolaerel-problemaproptlesto'tratede resol-
-ou
p'r;*tro atgtin priblema relacionad'ocon él'
Al tratar de utilizar otrosproblernaso teoremasque ya conocemos'con-
siderandolas diversastransfórmacionesposibles,experimentandocon 'di-
*rrorproblemasauxiliares,podemosdesviarnosyalejarnosdenues
probleáa primitivo, ^t gt"áo de correr el riesgo-de perderlototalmente
il;;;.-t'q.i ,rn" úu.nu'preguntanos puedeconducirde nuevoa él: ¿Ha
)lptr:oao tádos losdatos?';¿la hecboai9 de todala condición?
'Lo.
Ejemplo. Volvamosal ejemploconsideradoen la sección8' Lo
habíamosá"j"do en el momentoen que los alumnoscomenzabana com-
orenderel óroblemay a manifestarun cierto interes.En esemomento
ñil t."." ur!""^,
'id"u,
propias,ciertasiniciativ¿s.Si el maestro,des-
ouésde observaratentamenteli clase,no puededescubrirningún indic.io
il;;;r,t*;; ,", alumnos,tiene que .'noiuera dialogarcon ellos.Debe
áiroon.rr. a repetir,modifióándolasligeramente'las preguntasa las que
;;t;;;; *rpánaiáo los alumnos y afrontar muchas vecessu silencio
á"r.orr..tt"ttte (figurado aquí por puntossuspensivos)'
*¿Conocen'ai problemaque st relacionea éste?

17. 32 En el sal.in ¡le cl,nses
- . . . ,
-Coltsideren la incógnifa. ¿Cottocenalgún problema que tauiesela
ni.rma incógnita?
-!usn6. ¿Cuálesla incógnita?
-La diagonalde un paralelepípedo.
-¿Conocen algún problema qr/etuuieseIA tnisma incógnita?
-No. Nunca se nos ha planteadoun problemaacercade la diagonal
de un ¡raralelepípedo.
-¿Conocen algún problema qile tuaieseun4 incógnita sintilar?
-Miren, la diagonalesun segmentode recta.¿No han resueltouste-
desalgún problemacuyaincógnitafuesela longitud de un ,segmentode
recta?
-Sí, claro, ya hemosresueltoproblemasde esetipo. Por ejemplo,
cuandohemcsterúdoque determinarel lado de un triángulorectángulo.
-Mry bien. He abí un.problemaqile se relacion,rcon el propue.rÍoy
que yd ban resuelto.¿Puedenutilizarlo?
-Han tenido suertede acordarsede un problemaanálogoa ésteque
nosocupay queyahanresuelto.¿Lesgustaríautilizarlo?;¿podrínninh.odu-
cir algún eletnentoauxiliar qae le"rpernútieseentplearlo?
-_Veamos,el problemadel quesehanacordadoconcierneun iriángulo.
¿Hayalgúntriánguloen vuestrafigura?
Esperemosque estaúltima alusiónsealo suficientementeclara como
para hacernacerla idea de la solución,la cual consisteen introducir un
triángulorectángulo(rayadoen la fig. 1) cuyairipotenusaesla diagonal
qge sebusca.Sin embargo,el profesordebepreverel casoen que dicha
alusiónno.logresacudirel torporde susalumnos;tienequeestaidispues-
to, entonces,a empleartodaunaseriede alusionescadavezmásexplícitas.
Eiecución tlel Plan
33
-¿Quieren que aParezcaun triánguloen la figura?
-¿Q"¿ clasede tiiángulo quierenque aparezca?
^.
_)T-od"uía no p.redá detérminarla diagonal?.Sin eqbargo, decían
ustedeJque sabían.ó*o ".r.orrtrarel lado de un triángulo.Entonces,Zqué
vana hacer?
-¿Podríanencontrarladiagonalsifueseelladodeuntriángulo?
cuando finalmente,con su ayuda,los alumnoshan logradohacerapa-
recerel elementoau"iiiar decisivo(el triángulo rectángulorayadoen la
fig. r ), el maestrodebe asegurarseque ven la continuacióndel razona-
mlentoantesde animarlosa lanzarseen cálculosreales'
-creo que era una buenaidea el trazar esetriángulo. Ahora tienen
un triángulo,pero ¿tienenustedesla incógnita?
-r; incógnitaes la hipotenusadel triángulo; podemosdeterminarla
conla ayudadel teoremade Pitágoras.
-Si, si seconocenla longitud de los otrosdoslados,pero ¿lasconocen
ustedes?
-Una de las longitudeses dada: c' En cuantoa la otra,no creoque
seamuy difícil determinarla.¡claro! El otro lado esla hipotenusade otro
triángulorectángulo.
-Perfecto. Ahora veo que tienenun plan'
1I. Ejecucióndel plan. Poneren pie un plan, concebirla ideade la
solución,álo rrotienenlda de fácil. Hacefalta, paralograrlo,el concurso
de toda.unaseriede circunstancias:conocimientosya adquiridos,buenos
hábitosde pensamiento,concentración,y lo qu9 es más,buenasuerte'Es
mucho más fácil llevar al caboel plan. Para ello lo que se requieresobre
todoespaciencia.
El pian proporcionauna línea gene-ral'Nos debemosde asegurarque
los detalles.tt.u¡^tt bien en esalínea' Nos hacefalta, pues,examinarlos
detallesuno tras otro, pacientemente,hastaque todo estéperfectamente
claro,sin que quedeningún rincón oscurodonde podría disimularseun
error.
si el alumno ha concebidorealmenteun plan, el.maestropuededis-
frutar un momentode unapazrelativa.Et peligroestribatn.9Y: el alumno
olvidesu plan, lo q.uep.r.á.'ocurrir fácilmentesi lo ha recibidodel exte-
rior y lo ha aceptadopór provenirde su maestro.Perosi él mismo ha tra-
bajaáoen el plan, u,rnq.,.,tn tantoayudado,y li
ha concebidola ideafinal
con satisfacción,entoncesno la peiderátan fácilmente.No obstante,el
profesordebeinsistiren queel alumnoue.rifiqae cadapaio'
Podemosasegurarnosde la exactitudde un P.fs9de nuestroÍazona-
mientoy^ ,.^
"pó,
intuición"o por mediode una
"demostraciónformal"'
Podemosconcentrarnossobreel puntoen cuestiónhastaquelo veamostan

18. ir
I .
i ;
I
34 En eI salón de clases
9"to, :,""
no.nos quededuda arganasobre ra exactitudde dicho detalle,
rambrenpodemosesclarece¡.elpunto-que._nosinteresaoperandopor de-
dt1_cgióny ateniéndonosa regrasformatei. (L^ dif.r.;.;" .tirl^i.¡rr,,.i.i¿n,,
y
"demostración
formar" .r lo suficientementeclaraen muchoscasosim-
porta.ntes;dejaremosa ros filósofos er cuidado de proruiJü, sobre elcaso.)
Lo esenciales que el alumno honestamenteestépor completo seguro
de l¿ exactitudde iada paso.En ciertoscasos,el pro-'f.ro, p.ila" recalcar
s-9brela diferenciaque háy entre
"ver"
y
"demástrai",
¿erriro ustedetoer
ctaf^'nente^qileer pasoesco*ecro?,'pero¿puedentam-biéncremostrarque
escorrecto?
12' Ejemplo. Tomemosnuestrotrabajoen el punto en que lo había-
mosdejadoal final de Ia sección1.0.El aluÁno ha tJnido,.i r",, la ideade
la solución.ve el triánguro rectá4gulocüyaincógnita; ;l; hipotenu-
say la alturadadac uno de losladoslsiendoel otroladola diasonaldeuna
c1ra..Pue{e que el alumno debaserllevadoa establecerra nítación apro-
piada.Deberáelegir!,yara representarar otro ladodertriánguro,diagonal
de la caraparala cuar-ay b ion los lados.Así podrá .o"..-ui, *¿s clara-
T:::.-3
t:]":ió¡r, que consisteen hacerapar..., un problemaauxiliarcuya
rncognrraes7. -Frnalmente,considerandouno tfas otro los triángulos réc_
tángulos(ver fig. 1), podrá obtener:
":=:l';,
y, sustituyendola incógnitaauxiliar72:
x 2 : a 2 - r r r * r "
x : V a 2 + b z+ c ,
EI profesor no tiene por qué interrumpir al alumno si éstesareadelante
con bien de estos detalles, sivo, el c"so á^do, p"r" ".onr"¡;;;* urifi_
qaecadapasodel razonamientg.Er.profesorpú"i" pr"g*ü;J ejempro:-¿Ven clmamenteque el triáñgulo c.ryoslaáos"son,,'y,y c es un
triángulo rectángulo?
A esta-preguntael arumnopuede-responder"sí"
con toda honestidad,
perosehallaráen un aprietosi e1profesoi no r. contentaconsu convicción
intuitiva y continúa el interrogatoiio:
.
-¿Pero, p'rden demostrir que dicho triángulo esen efectoun trián-
gulo_rectángulo?
Es,pues,preferible para
-el
profesorel renunciara haceresapregunt¿,
a menosque su clasehayasido realmentebien iniciadaen la geoáetría <lel
espacio.Incluso en dicho casosecorre er riesgode que l" ,"ip.r"rt. " un"
l l
j
t:
i
Visión retrospectíoa 35
preguntaincidentalsetorne, parala mayoriade los alumnos,en la dificul-
tad principal.
L3. Visión retrospectiva. Aun los buenosalumnos,una vezquehan
bbtenidola solucióny expuestoclaramenteel razonamiento,tienden a
cerrarsuscuadernosy a dedicarsea otracosa.Al procederasí,omitenuna
faseimportantey muy instructivadel trabajo.
Reconsiderandola solución,reexaminandoel resultadoy el camino
que les condujo a ella, podrían consolidarsus conocimientosy desarro-
Ilar susaptitudespara resolverproblemas.Un buen profesordebecom-
prender)' hacercomprendera susalumnosque ningún ¡jhirblemapuede
considerarsecompletamenteterminado. Siemprequeda algo por hacer;
medianteun estudiocuidadosoy unaciertaconcentración,sepuedemejorar
cualquiersolución,y en todo caso,siemprepodremosmejorar nuestra
comprensiónde la solución.
El alumnoha llevadoal cabosu plan. Ha redactadola solución,verifi-
candocadapasodel razonamiento.Tiene,pues,buenosmotivosparacreer
quesu soluciónescorrecta.No obstante,puedenhabererrores,sobretodo
si el razonamientoeslaryo y enredado.Por lo tanto,esrecomendableveri-
ficar. Especialmentesi existeun medio rápido e intuitivo para asegurarse
dela exactituddel resultadoo del razonamiento,no debeuno dejar de l-ra-
cerlo.¿Puedeaerificar el resultado?;¿prcde aerificar el ruzonamiento?
Al iguai que para convencernosde la presenciao de la calidadde un
objeto,nos gustaverlo y tocarlo,prefiriendo así percibir por medio de
dossentidosdiferentesal igual preferimosconvencernospor medio de dos
pruebasdiferentes: ¿Puedeobtenerel resultadode un mod.odistinto? Por
otra parte espreferible,naturalmente,un razonamientocorto y simple a
uno largo y complicado;¿Puedeaerloclegolpe?
Una de las primerasy principalesobligacionesdel maestroes no dar
a sqsalumnosla impresiónde quelosproblemasde matemáticasno tienen
ningunarelaciónentresí, ni con el mundo físico.Al reconsiderarla solu-
ción de un problemasenospresentala oportunidadde investigarsusrela-
ciones.Los alumnossepercataránqueun tal comportamientoesrealmente
interesantesi han hechoun esfuerzohonestoy si tienenla certidumbrede
haberhecholascosasbien.Desearánentoncesver si eseesfuerzono oodría
aportadesotro beneficio y saberlo que habúa que hacersep"r^ oit".r.,
nuevamenteun resultadoigual de correcto.El profesordebealentara sus
alumnosa imaginarcasosen que podríanutilizar de nuevoel mismo pro-
cesode razonamientoo aplicar el resultadoobtenido.¿Puedeutilizar el
resultadoo el métodopara resoloeralgún otro problema?
14. Ejemplo. En la sección12 los alumnoshabíanobtenido final-
mentela solución:

19. 36 En el salón de clases
si lastresaristasde un paraletepípedorectangular,a partir del mismo
vértice,sana, b, r, la diagonales:
VZT-F ¡ ¿
¿Puedeuerificarseel resultado? El profesor no debeesperaruna res-
puestas¿tisfactoriaa e¡la preguntade parte de alumnosinexpertos.sin
embargo,losalumnosdebensaberlo máJprontoposiblequelosproblemas"literales"
tienenuna grandeventajasobrelos problemaspurafuentenu-
méricos;si el problem¿estádado
"en
letras",suiesultadopui.d",en efecto,
sometersea variasverificacionesque seríanimposiblesen el casóde un
problemanumérico.Aunque relativament",.ncilro, nuestroejemploper-
mite demostrarlo.El profesorpuedehacervariaspreguntasacerca-dei re-
sultado,a las cualeslos alumnospodránfácilmenti dár una respuesra,po-
sitiva;pero una respuestanegativademostraríaque hayuna falia seriaen
el resultado.
- ¿Ha empleadotod.o¡los d.ato¡? ¿Figurantodoslos datosa, b, c en la
fórmula de la diagonal?
El largo, la "ñ.rr" y el anchojueganel mismopapelen nuestrapre-
gunta;.nuestroproblemaes simétricorespectode a,-b-y c. ¿Esque eñ la
fórmulaquehan encontradoparala diaginal, a, b,y r, ii.n.n un papelsi_
métrico?¿Permaneceidénticacuandoseiambianentiesí a, b y c?
,
Nuestroproblemaes un problemade geometríadel espacio:se trata
de encontrarla diagonalde un paraletepípédode dimensioÁesd,adasa, b
y c. Es anilogg aun.problemade geornetiíaplana: encontrarla diagonal
deun rectángulode dimensionesdadas,ay b.-¿Elresultadode nuestropro-
blemaen el espacioes análogoal resultadoiel problemade geométría
plana?
si la alturac disminuyehastadesaparecertotalmente,el paralelepípedo
seconvierte_"ryn paralelograma.Si, en la fórmula,se póner:-0, ¿se
obtienela fórmula correctade la diagonaldel rectángulo?
Si la altura c aumenta,la diagonalaumenta.¿Esestoaparenteen la
fórmula?
Si lastresdimensionesa, b y c derparalerepí.pedoaumentanen la mis-
ma.proporción,la diagonalaumentatambiénén-la mismaproporción.Si,
en la fórmula,sesustituye-a,,b y c respectivamentepor tZi tib y tZc,Ia
expresiónde la diagonaldebeigualmentequedarmultiplicadapoi iz. ¿n,
ello así?
-
si
1'
b y c seexpresanen metros,la fórmula da iggalmentela medida
de la diagonalen metros,perosi usted.expresatodaslasmedidasen centí-
metros,la fórmuladebeseguircorrecta.¿Esello así?
E jemplo
(Las dos últimas cuestionesson esencialmenteequivalentes;véase
EXAMENDEDIMENsrours,página87.)
Estascuestionestienenvariosefectosexcelentes.En principio,un alum-
no inteligentequedaráforzosamenteimpresionadopor el hechode que la
fórmulapuedeexperimentartantaspruebascon éxito.Tenía ya la convic-
ción de que la fórmula era correctaporquela habiaestablecidocon cui-
dado.Mas su convicciónesmayorahoray estacertezamayorprovienede
una causadiferente: se debea una especiede
"evidencia
experimental".
Así, graciasa lascuestionesprecedentes,los detallesde la fórmula adquie-
ren una nuevasignificación;seestableceun lazoentreellosy diversoshe-
chos.Hay, pues,mayoresposibilidadespara que la fórmula se fije en la
mente,consolidándoselos conocimientosde los alumnos.Tambiénsepue-
de fácilmentetransferirdichascuestionesy utilizarlasen problemasseme-
jantes.Despuésde unaciertaexperienciade problemasdel mismotipo, un
alumnointeligentepodrá percibirlas ideasgeneralessubyacentes:empleo
de todoslos datosrelativosa la cuestión,variaciínde datos,simetría,ana-
logía.Si toma el hábito de dedicarseal examende estosdiversospuntos,
desarrollarátanto más su aptitudparasolucionarproblemas.
¿Paedeaerificarteel razonamiento?En casosdifícilese importantespue-
de sernecesarioverificarel razonamiéntopasopor paso.En general,basta
entresacarlos puntos
"delicados"
para reexaminarlos.En el casoque nos
ocupa,sepuedeaconsejarel discutirretrospectivamentela cuestiónque re-
sultabamenosinteresaritede examinaren tanto no se tenía la solución:
¿Puedenustedesdemostrarqueel triángulocuyosladossonn, / y r esun
triángulorectángulo?(Ver el final de la sección12.)
¿Puecleatilizar el resaltadoo el métodopara resoluu algún otro pro-
blema?Si selesanimaun pocoy selesda uno o dosejemplos,los alumnos
encontraránfácilmenteaplicaciones,las cualesconsistenesencialmenteen
dar una húerpretaciónconcretda los elementosmatemáticosabstractosdel
problema.Es estetipo de interpretaciónconcretade la que se servíael
profesorcuandotomabacomoejemplo,parael paralelepípedodel proble-
ma,el salóndondeteníalugarla discusión.Un alumnopocodotadopodrá
proponer,a título de aplicación,el calcularla diagonalde otro salónen
lugar de la del salón de clase.Si los alumnosno dan muestrade mayor
imaginaciónen susobservaciones,el profesormismo puedeplantearun
problemaligeramentediferentecomo,por ejemplo:
"Conociendo
el largo,
el anchoy la altura de un paralelepípedorectangular,determinarla dis-
tanciaentreel centroy uno de susvértices."
Los alumnospueden,entonces,utilizar el resaltadodel problemaque
acabande resolver,observandoque la distanciaque selespide esigual a
la mitad de la diagonalque acabande calcular.O bien, puedenemplear

20. 38 En eI salón de clases
el método,haciendoapareceren la figura los triángulosrectángulosapro-
piados(estaúltima forma de procederesmenosevidentey menoselegante
en el casopresente).
Despuésde estaaplicación,el profesor.puedediscutirla configuración
de las cuatro diagonalesdel paralelepípedoy de las seispirámidescuyas
basessorllasseiscaras,el centro,e[ vérticecomúny lassemidiagonalesson
lasaristaslaterales.Una vezque la imaginaciónde los alumnosseha des-
pertadolo suficiente,el profesor debevolver a la pregunta: ¿Puedenuti-
liza.rel resuhadoo el métodopara resolueralgú4 otro problema?Es más
probableque ahoralos alumnospuedanencontraruna interpretacióncon-
cretamásinteresante,comola que sigue,por ejemplo:
"Se
quiereerigir un astade 8 m de alturaen el centrode un terreno
rectangularde 21 m de largo y 16 .rnde ancho.Para sostenerel astase
requierencuatrocablesde igual tamaño.Estosdebende partir del mismo
punto, situadoa 2 m del vértice del astay llegar a los cuatrovérticesdel
terreno.Calcularel largo de cadacable."
I¡s alumnospuedenutilizar el métododel problemaque han resuelto
en detalle,haciendoaparecerun triángulorectánguloen un planove¡tical
y otro en un plano horizontal. O bien puedenutilizar eI resulta¡Ioimagi-
nandoun paralelepípedorectangularcuyadiagonal.lresuno de los cuatro
cablesy cuyasaristasson:
a : lO.5 b : 8 c : 6
Aplicandoditectamentela fórmula seobtienex : 14.5.(Paraotrosejem-
plosver: ¿PUEDEUTILIZARSEELREsuLTAoo?,página171.).
15. Diversos planteos. Refirámonosde nuevo a[ problemaya con-
sideradoen lasprecedentessecciones8, 10, 12 y L4.tLapartefundamental
del trabajo,el encontrarel plan, ha sidodescritoen la pección10. Obser-
vemosque el profesorpodría haberprocedidoen forma diferente.Partien-
do del mismopunto que en la sección10, podría haberseguidoun camino
ligeramentediferenteplanteandolassiguientespreguntas:
-¿Conocen ustedesalgún problentdqueserelacioneconel propuesto?
-¿Conocen un problemaanálogo?
-Ustedes ven que el problemaque seles planteaesun problemade
geometríadel espacio.¿Podríanconsiderarun problemaanálogo,pero más
simple,de geometríaplana?
El problemaque se les proponeconciernea una figura en el espacio.
Setratade la diagonalde un paralelepípedorectangular.¿Cuálpodríaser
el problemaanálogoparauna figura en el plano?Tntaúa de.. . la diago-
nal. . . de un rectángulo.
-El paralelogramo.
EI métoilo de interrogar al tnaestro 39
Admitiendoinclusoque los.alumnosson muy lentose indiferentesy
que hayansido incapacesde adivinar nadahastala fecha,finalmente esta-
rán obligadosa coopeÍaren una cierta medida Por Pequeñaque éstasea.
Por lo demás,si el profesor tiene que tratar con alumnostan lentos, no
deberáplantearesteproblemadel paralelepípedosin anteshabertratado,a
modo de preparación,el problema anáiogoconcernienteal rectángulo.
Puedeentoncescontinuarcomosigue:
-He aquí un probletnarelacionadocon el propuertoy que utedes ya
han resaelto.¿Puedenutilizarlo?
-¿Deben inlroducir en él algún elementoauxiliar para poder ent-
plearlo?
El profesor logrará a veces sugerir a susalumnosla ideadeseada.
Consisteen concebirla diagcnaldel paralelepípedodado comola de un
paralelogramorectangularapropiado,el cual debe ser introducido en la
figura (interseccióndel paralelepípedocon un plano que pasepor las dos
aristasopuestas).La ideaesesencialmentela mismaque la anterior (sec-
ción 10), peto la forma de abordar el problema es diferente-En la
sección1Oerapor intermedio de la incógnita que seestablecíael contacto
con los posiblesconocimientosde los alumnos; recordabanun problema
que habíanresueltocon anterioridady cuyaincógnita erala misma que la
del problemapropuesto.En la secciónpresente,'esla analogíala que hace
surgirla ideade la solución.
16, El método de interrogar del maestro. Ta[ como lo hemosex-
puestoen las seccionesprecedentes(8, Lo, L2, 14 y 15) esesencialmen-
te el siguiente: comiéncesepor una Preguntageneral o una sugerencia
de nuestralista y, si se requiere,v|yasepoco a Pocoa las preguntasmás
precisasy rr¡:ásconcretas,hastael momentode encontraraquellaque tiene
respuestapor parte de los alumnos.Si ustedtiene que ayudaral alumno a
explotarsu idea, parta, de ser posible, de una preguntageneralo de una
sugerenciacontenidaen la lista y, viyasesi es necesario,a una pregunta
másespecial,y asísucesivamente.
Nuestra lista, claro está,no esmás que un esbozode esetipo; parece
suftcienteparala mayorparte de los casossimples,pero podría sermejo'
rada sin duda alguna. Interesa,sin embargo,que las sugerenciasde las
que separten seangimples,naturalesy generales,y que la lista seabreve.
Las sugerenciasdeben ser simplesy naturales,ya que de otro modo
serianinoporlnus.
Deben sergenerales,es decir,que debenpoder aplicarseno solamente
al problemaconsiderado,sino a problemasde todo tipo, de maneraa con-
tribuiri al desarrollode las aptitader del alumno y no solamentea una téc-
nicaparticular.

21. )
tiilil
I
t l
l,i
ii
40 Lln el $ulón. de clases
La lista debeser..brevepara que puedanrepetirselas preguntas,sin
queello parezc^_artificial,"á l.r cit.uÁstancias,iá, diu.rr.r; seiendrá así
unaoportunidadp_araque finarmenteseanasimiladaspor erarumno y p^ra
guecontribuyanal desarrollode un hábitomental.
Esnecesarioir pocoa pocohaciapreguntascadavezmásprecisas,para
que el alumno puedatomar la nzayoiparle posibleen el trab)jo.
Estemétodode interuogaciónno tienenadade rígido y .r ío que deter-
mina su interésya qu,e,en estedominio,todo sisteriamlcánico,'pedante,
necesanamenteesmalo. Nuestro métodocomporta,una ciertaelaiticidad,
cierta variedad; admite dive¡sosmodos de abordar el problema (sec-
c!óri r5); puedey debeseraplicadode tar modo que raspreguntasplan-
teada¡p9r el profesor se le hubiese, poclido otor)i, espánü"neametiteal
propio alumno.
si entre nuestroslecto.res"hayalguno que quieraprobar en su clase
nuestrométodo,le aconsejamosque procedacon pr,rdencia.Deberáestu-
diar minuciosamenteel ejemplopropuestoen la seccióng y los ejemplos
que encontrarámis lejos en ras secciones1g, 19 y zo. Deberá preparar
cuidadosamentelos ejemplosque hayaeregidoteníendoen cuentalas di-
versasmanerasde abordarlos.t-omeázarep"o,"lgrrrro, ensayoshastadescu-
brir poco a poco la forma en que conuieie".!1.", el método,la forma
en quereaccionanlos alumnos,y el tiempoqueserequiere.
.
17. B":l1y malas-preguntas.Si el métodoexpuestomásarribase
ha comprendidobien, debepermitir juzgar,po, .o-p^ración, el valor de
ciertassugerencias,formuladasen g.n.til .o'l^ intenciónde ayudara los
alumnos.
volvamos a tomar la situacióntal comosepresentabaal principio de
la sección10, en el momento de hacerla preguita: ¿conocei atgúi pro-
blerna..queserelacionecon el propuesto?se ¡-ubierapodido,con la loable
intenciónde ayudara los alumnós,sustituirlapor ra siguiente.:¿paeden
aplicarel teoremade Pitágoras?
Por.buenaqueseaIaintención,unapreguntatal seríadeplorable.Tra-
temosde darnoscuentade las condicionisán las cualesdichapreguntase
puedeplantear;,veremosentoncesque existeuna largaseriede'ob]eciones
queoponera dichotipo de
"ayuda".
En efecto:
1) si el alumnoestácercade encontrarla solución,puedecomprender
la sugerenciaque implir¿ la.pregunta;pero en el caso'contrario,es muy
probablequeno veaen lo absolutocuálpuedeserel fin de una pregunra
tal. Así, ésteno aportaráninguna ayudadonde más falta hacia.'
2) si el alumnocomprendela sugerencia,le libra el secretoenterosin
dejarlegrancosapor hacer.
3) La preguntaesde una naturaleza'demasiadoespecial.Inclusosi el
ül
i , .
Prol¡lema ile cottstr ut't'ititt 4l
alumnopuedeutilizail'¿_pararesolverel problemaconsiderado,no le dejará
nadapaia ulterioresptotl"."t. La preguntanadatienede instructiva.
4j Inclusosi el alumnocomprindéIa sugerencia.,difícilmentepuede
.omprerrderporquéel profesorhi tenido la ideade hacerla'¿Y cómoél'
el "l,rmno,platin .n.oi'rtru,por sí mismouna Preguntatal?.Llegaen for-
." ,orproirra y Poconaturai,comoel coneioque el prestidigitadorsaca
del sombrero;no esinstructivaen lo absoluto'
Ninguna de estasobjecionessepuedeoPoneral métododescritoen la
sección1Oo en la sección15.
OTROSEJEMPLOS
1g. Problema de construcción. lnscribir an caadtadoen un lrián-
galo dad.otal que d.o¡oérricesdel cuadrarJodebenhallarsesobte la base
"drl
triángnlo y lot otros dos uérliceselelcaadra¿losobrecadauno de los
otrosdosladosdel ttiángulo respecliaant'ente.
-¿Caál esla incógnita?
-Un cuadrado.
-;Caáles son los datos?
-Ún triángulodado,nadamás.
-¿Cuál esla condicióndel problenta?
-Lo, cuatrovérticesdel cuadradodebenhallarsesobreel perímetro
del triángulo,dossóbrela basey los otrosdossobrecadauno de los otros
dosladosrespectivamente.
-¿Es posiblesatisfacerIa condición?
-Creo que sí, Perono estoYseguro'
-No paieceque el problemale-resultemuy fácil. Si no paetleresol-
uerlo,trate printeio de r'esolueralgr)n problema reldcionarla¿Puedeusted
satisfaceralgunaparle de Ia condición?
-¿Qué quierl decir Por una partede la condición?.
. ¿
-Viamos; la condiciónconci.rn. a todos los vérticesdel cuadrado.
¿Decuántosvérticessetrata?
-De cuatro.
-Una parte de la condiciónse aplicaríaa menosde cuatrovértices.
Tornesólo)na parted.ela condición,-deieIa otra parte. ¿Quépartede la
condiciónesfácil de satisfacer?
-Es fácil trazarun cuadradocon dosde susvérticessobreel períme-
tro del triángulo, incluso un cuadradocon tres de sus vérticessobreel
perímetrodel triángulo.
-Dibuie una figura.

22. lrt,r
1t
l ,
42 En eI salón de clases
El alumnodibujala figurz 2.
-Usted no ha considárad1.m( qae ana parte de la condición,aban_donandola otra. ¿En qaé
ryelirta Ia iicógnita qaedaalrou derr,riinadaz-E[ cuadradono estádeterminadosi sólo tiene tres de sus vértices
sobreel perímetrodel triángulo.
'
F¡e. 2
;Bfen. Dibuje ofra figura.
El alumnodibuja la'flgura 3.
-Tal comodice,el c'adrado no quedadeterminadoporra barted.era
condiciótzconsiderada.¿Cómopzede^aariar?
---- r-' " r"
-Tres de los vérticesde su cuadrado estánen er perímetroder trián-
gulo, pero el cuartono estádonde debéríaestar.comá ustedro ha dicho,
el cuadradono estádeterminado,p-uedevaria4 resultato mismo para sucuartovértice.¿Córnopuede aarii?
-,^ _-atr,:to
experimentalmentesi lo desea.T¡ace ot¡os cuadrados,tres
de cuyosvértlcessehallen sobreel perímetrodel mismo modo que los dos
Frc.3
cuadradosya dibujadosen ra figura.-Dibújerospequeñosy grandes.¿cuárIe.pareceser.el lugar geométricóder cuartov¿¡'ticá¡¿ca*o' porl, aariar?
El profesorha llevado al alumno muy cercade la idea de rá sorución.
Probletna de dem,ostraciÓn
si el alumnoesc p^z de adivinarque e[ lugar geométricodel cuafto
vérticeesuna recta,habráresueltoel problema'
Lg. Problema de demostración.- Dos ángalosestánsituadosep dos
planosdiferentes,pero cadaano de los lad.osde uno_espa|aleloal laio co-
irespondiented'ei'l'otro,y en Ia misma dirección' Demoslrra que los d'o:r
ángulosson igaales'"
Setratadé ,rnode los teoremasfundamentalesde la geometríadel es-
pacio.El problemasepuedeProPonera alumnosque,teniendouna cierta
!*p.ri..,.ü de la geometriapiani, conocenlos rudimentosde la geometría
deiespacioq,r. pñp"trtt el iresenteteoremaen los Elementosde Euclides'
(El tÉoremaq.,e acabamosd" en.tn.iary que v1m-os-ademostrar'es en
efectola propósición10 det libro XI de Euclides.)Sehan impresoen cur-
siva no solamentelas preguntasy sugerenciasque-provienen de nuestra
lista,sino tambiénotrai dlversasque les corresponden,comolcs
"proble-
,.r'po, demostrar"correspondetrá los
"problemaspor resolver".(Hemos
establecidoestacorresponáenciaen una forma sistemáticaen PROBLEMAS
poRREsolvrn,rnonirMAs PoRDEMosTRAR,J,6; página162')
-¿Caát esla biPótesis?
-b* ánguloséstánsituadosen diferentesplanos.Cadauno de los
ladosde oro ", paraleloal lado corr.espondientedel otro y en la misma
dirección.
| -;Cuál e¡ la conclusión?
-Los ángulossoniguales.
-Dibailuna figari. Inttoduzca una notaciónaltropiada'
El alumno traialas líneasde la figura 4 y, máso menosayudadopor
el profesor.eligelasletrasde la fígura'
'_;Coit
es-la hipótesis?Le ruego que la formule empleandosu no-
raclon.
c,
t,-1/
_
o--.---,_--__
B'
F¡c. 4

23. 44 Fln el salón de clases
-4, B, C no están,enel mismo-plano que.A,, Br, Cr. Se tieneA Bll
A' B',
4CllA'C',
Además,AB tienela misma¿ireccl¿í queA,8,, y AC la
mismadirecciónqueArC,.
-¿Caál e¡ Ia conclusión?
4 B A C = { E A , C ,
-obserte bien la concra¡ióny trate de pensaren argti, reorentaque
le rca familiar 7 que lenga la nti¡ína conclusióno utu corclusiónsirtilar.
,^..;^^tt
dos triángulos son iguales,sus ángulos.orr.rporral.ntes son
rguales.
-Muy bien.H¿ aqa,í,puet,,/.n teoretilarelacionadocon el propleJto
y qae ba sido deruostrado7a. ¿puedeustedentplearlo?
t
*Creo quesí, pero no veobien cómo.
-¿Le haríafalta introdacir un elenzerztoauxiliar parapoclerurilizarlo?
-veamos. El teoremaque ustedha enunciadotan bien se refierea
triángulos,unaparejade triángulosiguares.¿Enla figura disponede trián-
gulos?
,,^^_N1,
peropuedo hacerque_
!gur.n. UniendoB y C, B, y C,. Se
trenenentoncesdostriángulos.AA B C y AA,B,C..
*Perfecto, pero,¿dequé servi¡ánésostriángulos?
-p7¡7 demostrarla conclusión,es decir,qu; { B A C : 4 B,A,C..
-Bien. Si esesolo quequiereusteddemostiar,¿quétipo detriángulos
necesita?
-Triángulos iguales.Sí,claroestá,yo puedoelegirB, C,8,, C, tal que
A B : A , B , , yA C : A , C ,
c'
r,</,t
B'
Problema de dem.ostración 45
--Mry bien.Y ahora,¿quéquieredemostrar?
-Quiero demostrarque los triángulosson iguales:
A A B C : A , A ,B , C ,
Si lo puedodemostrar,la conclusión<- B A C : 4 B' 4' C' siguein-
mediatamente.
-Muy bien. Ahora se ProPoneun nuevofin, buscauna nuevacon-
clusión.óbtrrot bienIa conclasióny tralede pensaren algúnteoren?aqae
le seafanziliar y que tengala nzisntaconclusióno una conclusiónsitnilar.
-bor triángulossonsemejantessi los tres ladosde uno scn respecti-
vamenteigualesa los tresladosdel otro.
_Bien. No podíaelegirmejor.Así pues,beaqaíde nueaoiln leofenxn
quere relacioni al propiesto y qt/e y ba demostrado.¿Puedeasteduti'
lizmlo?
-Sí, si supiesequeB C : B'C'.
-Exacto. ¿CuálesPuessu propósito?
-Psrne5t¡¿r queBC : B'C'.
-Trate d.ereiordar algrin teoremaque le seafamilim y qae tengala
mistnacotzclu¡ióno una conclusiónsirnilar.
-(sns266 un teoremaque termina diciendo:
".
. . entonceslos dos
segmentosson iguales",Perono convieneen estecaso.
-¿Le baría falta introducir algtin elementoaaxilim pma podet em'
plearlo?
-!s¿¡¡es, ¿cómopodríausteddemostrarqueBC : B'C' dadoel caso
queno existerelaciónen la figura entreBC y B'C'?
-¿Ha empleadoustedIa hipótesis?¿Cúl esla bipótesis?
-Strpon..os que I B ll A' B', A C ll A' C'. Sí, claro está;debo em-
plearla.'
-¿Ha emplead.otodala hipóte.tit?Dice ustedqueI BllA'B'. ¿Estodo
lo quesabeacercade estaslíneas?
-No. I B tambiénesigual a A' B' por construcción-Esossegmentos
sonparalelose igualesentresí. Al igual que I C y A' C''
-Dos segmentosparalelosy de igualtamaño;una interesanteconfigu-
ración.¿Sele ha presentadoantes?
-Sí, claroestá:el paralelogramo.UniendoA conAt, B conB'y C
cooC'.
-La idea no es mala.¿Cahúosparalelograrnostiene ustetlahoraen
la ligura?-
-Dos. No, tres. No, dos.Quiero decir que hay dos que se pueden

24. 46 En. eI salón ¿e clases
demostrarinmediatamenteque son paralelogfamos.Hay un terceroque
p"t::" serlo.Esperopoder démostrarque,en"efecto,r" J, y-^ri-ra demos.traciónquedaráconciuida.
De las resDuestasprecedentes.podíamossuponerque er arumnoerainteligente;peio, desp,résde estaúitim" otseru"ciór,no hay duda de eilo.
Estealumnoha sido capazde adivinarun iesurtadomatemáticoy deestablece¡una distinciónníiida entreer hechode ^aiuinri /-.f1" a..or-
trar' Ha.comprendidotambiénque lo que se adivinap"la. i, -á, omenosplausible.Ha sacadorealmenteun ciertoprovechdde suscursosde
matemáticas;tiene una ciertaexperienciaprácticáde ra maneru.o,no .on-
vieneresolve¡problemas;puedeioncebiry explotara fondo ,rrrl b.r.n^ ideu.
20. Problema de rapidez de varialión. se aierre^l;;;; un reci-
p.ientede-lorma cónicacon una rapidezr. El recipiert, ,rf for*a de cono
,le baseborizontar tiene er aérticeArr;g;ao bacia ibajo; ,i ,i¡f)" h ba¡e
del conoe.ta,r, altarab. Determinaría aetocidado ílqo, io inp-r4lr;, art
agurtJeeleuacaandoIa profandidad der aguaesy. Deipués,ob'tenerer oa-
Ior naruérico de Ia iniógnita, suponienáo que a: 4 dm, b : 3 dm,
t : 2 dms por minato y y : I dtn.
lr :|0""t guelos alumnosconocenlasreglasrnáserementalesde dife-
renciació¡y la nociónde
"rapidez
de variación,'.
-¿Cuáles son los clatos?
-El radiodela basedel cono,a : 4 d,m;la alturadel cono,b : 3 dmi
la.rapidezc93_queel aguasevierteen el recipiente,.: t á;;;ár minuto,
y Ia profundidaddel aguaen un ciertomomento,1 : 1 dm.
i'.
'i
¡
l
rr
I
-Exacto. El enunciado,delprobremaparecesugerirquesedebendejar
de lado, provisionalmente,los uirot., n,r*éri.o, y"ruroi^, con las retras,
expresandola incógnita en f'nción de a, b, r y I, y ar finar solamente,
trasde.obtenerla expresiónargebraica,Jera incégÁrtá,surtitu, iJ, ,,r^tor.,
numéricos.Adoptemosestasugerencia.¿Cuátesla iniógnita?
F¡c.6
Probletna de rapidez ile ua¡iación 47
-La velocidadala que seelevala superficiedel aguacuandola pro-
fundidadesI.
-Es decir,¿puedeusledexpresarloen otrostérminos?
-La velocidadcon que aumentala profundidad del agua.
-Nuevamente, ¿puedeusted.enunciarel problen?aen fortna diferente?
-La rapidezde variaciónde la profundidaddel agua.
-Exacto: la rapidezde variaciónde y, Pero, ¿quées la rapidezde
variación?Considereusteclla definición.
-La derivadade una función representala rapidezde variación.
-Correcto. Ahora bien, ¿yesuna función?Comoya lo hemosdicho,
no nos ocuparemosde su valor numérico.¿Puedeimaginar que 7 varía?
_.Si,y,la profundidaddel agua,aumentaa medidaquePasael tiempo.
-Por lo tanto,¿7esfunciónde qué?
-Del tiempo t.
-Bien. lnlroduzca una notación apropiad'a.¿Cómoexpresaríausted
la
"rapidez
de variaciónde y" por mediode símbolos.matemáticos?
dy
ü'
-Bien. He ahí, pues,su incógnita.Te hacefalta expresadaen térmi-
nosdea,b, r y 1. De hecho,uno deestosdatosesunarapidezdevariación:
¿cuáldeellos?
-l", que representala cantidadde agua que caeen el recipientedu-
ranteun tiempodado.
-¿Puede decidoen otra forma?
-r esla rapidezde variacióndel volumende aguaen eI recipiente.
-Es decir,¿prc¿eenunciailo naeaarnenteen forma diferente?;¿cómo
podríaescribirlocon una notaciónapropiada?
dV
t
- ---;-
dÍ
-¿Qué esZ?
-El volumen de aguaque hay en el recipienteen el instantef'
-Bien. Asípues,tienequeexPresar
#
,"términosdea,b,
ff, ,
¿Cómova usteda tratar de hacerlo?
-Si no puederesolaerel problema,lratede resoluer,primero,an pto-
blemarelacionado.Si no ve la relación ente ! y los datos,trate de que
d t '
apurezca"alguna relación más sencilla gue podría servirle de punto de
partida.

25. 4B
-¿No ve ustedque existenotrasrelaciones?por ejemplo,¿yy V sonindependientesunade otra?
-T:
,Cuando7 aumenta,V debeaumentartambién.-Así hayunarelación.¿Cuáles.Dues?
. -Pu:t X? V esel volumendel cónocuyaalturaes7.
perodesconozcoel radiode la base.
.- - lsin
embargo,puedetenerroen cuenta.Déle un nombrecuarquiera,xpor ejemplo.
v:!!2
t
-Exacto. Ahora,¿quésabeustedde x? ¿Esindepeudientede 7?-No. Cuandola profundidad del a*a, l, aumenta,el radio de lasuperficievariablet aumentatambién.
-trí pues,hay una relación.¿Cuálesésta?
-Sí, claro,hay triángulossemejantes:
x : l : a ' $
-Una relaciónmás,¿veusted?No hay que desaprovecharla.No ol_videque ustedquería.onó... Ia reracióne"istinte ,"rIri-y^'i.""-Se tiene
, : o !
b
V : !:'l'
-Muy bien.Esto,m-...p1T-".":bil qr,g departida.¿euéteparecea usted?Perono olvidesu propósito. ¿cát esla irtlógniii?,'--
'
dl o ----"
dt
-Tiene que encontrar una relación entr
dy dV
,"
dr, ,h
y otras cantidades.
-lq"i tiene una entre /, V y otrascantidades.
¿eué hacer?-Pues claro, diferenciando sé tiene
En el ¡alón ¿e claces
He ahí la solución.
dV _¡ a2r 2 . d!
d¡ bz dt
-Perfecto. Y, ¿paralos valoresnuméricos?
IV- J t r r : 4 r b : 3 , _
' d t : f = 2 , ! : L r e n t o n c e s
, _ z r X 1 6 X l d l
9 d r '
Segunda
parte
Gómo resolver un
problema:
Un d¡álogo

26. Familiaúzarse con el problema
¿PordóndedeboempezarlEmpiecepor el enunciadodel problema.
¿Quépaedobacer?T¡ate de visualizarel problemacomoun todo, tan
claramentecomopueda.No seocupede lo¡ detallespor el momento.
¿Qaégano haciendoesto?C-omprenderáel problema,se familiarizará
coné1,grabandosu propósito en su mente. I¿ atencióndedicadaal pro-
blemapuedetambién estimularsu memoriay preparadapara recogerlos
puntosimportantes.
Ttabajar para una mejor conrprensión
¿Pordónded.eboempezar?Empiecede nuevopor el enunciadodel pro-
blema.Empiececuando dicho enunciadoresultetan claro y lo tenga tan
biengrabadoen su mente que puedaustedperderlo de vista por un mo-
mentosin temor de perdedo por completo.
¿Qaépaed,obacer?Aislar las principalespartesdel problema. La hi
pótesii y la conclusiónson las priocipalespartes de un
"problema
por
demostrar";la incógnita, los datosy Ias condicionesson las principales
partesdeun
"problema
por resolver".Ocúpesede laspartesprincipalesdel
problem4 considérelasuna por una, reconsidérelas,considérelasdespués
combinándolasentres( estableciendoIu relacionesquepuedanexistir en-
tre cadadetalley ios otrosy entrecad¿detalley el conjuntodel problema.
¿Quégano haciend.oesto?Esti ustedpreparandoy aclarandodetalles
queprobablementeentraránen juego mástarde.
En buscade una idea útil
¿Pordónde debo empezar?Empiecepor considerarlas partesprinci
palesdel problema.Empiececuandodichaspartesestén,por usted,dara-
mentedispuestasy concebidas,graciasa su trabajoprevio, y cuandoconsi-
dereque su memoria
"responde".
¿Quépaedohacer?Considereel problemadesdevariospuntos de vista
y busquepuntosdecontactoconsusconocimientospreviamenteadquiridos.
Considereel problema desdevariospuntos de vista. Subrayelas dife-

27. 52 Cóma ¡esoloer un problema
renfespartes,examinelos dife¡entesdetalles,examinelos mismosdetalles
repetidamente,pero de modo diferente, combine entre sí los detallesde
diversosmodos,abórdelospor diferenteslados.Trate de ver algún nuevo
significadoen cadadetalle,algunanuevainte¡pretacióndel conji:nto.
..
Uo1gu"puntos de contactocon susconocimientospreviaménteadqui-
ridos.Trate de acordarsede lo que le ayudóen el pasaio antecircunstan-
ciasaníiogas.Trate de reconoceralgo familiar en lo qoe examina y de
encontraralgo útil en lo que reconoce.
. ¿Qaé,paedo encontrar?una idea que le seaútil, quizá una idea deci-
sivaquele muestredegolpe cómollegar a la soluciénmismadel probtema.
. ¿córnopxede¡er útil ,tna idea?Haciéndolever el conjuntodel razona-
miento o una parte de é1.Le sugieremáso rnenosclaramentecómopuede
proceder.Las ideasson más o menosterminantes.Es ya una suertetener
una idea seacual fuere ésta.
¿Qué paedo bacer con ana idea incompleta?La debe considerar.si
Pareceventajosa,la debeconsiderarmása fondo. Si parecedigna de con-
fianza,usteddebeaveriguarhastadóndele puedellevar y deñ reconside-
rar la situaciín.La situaciónha cambiadograciasa su idéaútil. considere
la nuevasituacióndesdevariospuntosde vistay busquepuntosde contacto
con susconocimientosadquiridosanteriormente.
¿Qré gano haciendoestonaeaamente?pvede ustedtener la suertede
encontraralguna otra idea. Quizá su nuevaidea lo conduzcadirectamente
al camino de la solución. Quizá requierausted alguna idea más. euizá,
incluso, alguna de estasideasle dewía a usted del camino co¡recto.No
obstante,usted debede alegrarsepor toda nueva idea que surja, también
por las de p:c-aimportanciao confusas,y tambiénpor lás ideassuplemen-
tarias-queañadanalgunaprecisióna una ideaconfusao permitanla correc-
ción de una ideamenosafortunada.Inclusosi, por un ciertotiempo, no se
le presentauna nuevaidea verdaderamentebuena;considéreseaf^ortunado
si su concepcióndel problemasetorna máscompletao máscoherentqmás
homogéneao mejor equilibrada.
Ejecución del plan
¿Pordónde debo empezar?Empiecepor la feliz idea que le conduce
a la solución.Empiececuando estésegurode tener el coriecto punto de
partida y estéseguro de poder suplir los detailes menoresqué pueden
necesitarse.
.¿Qaé
pae^do.hacer?
-Asegúresede que tiene la plena comprensióndel
problema.Efectúeen detalle todas las operacionelalgebraicaso geomé-
tricasque previamenteha reconocidocornofactibles.Ádquiera la convic-
Visión ¡et¡ospectit¡a 53
ción de la exactitudde cadapasomedianteun razonamientoformal o por
discernimientointuitivo o por ambosmedios,si esposible.Si su problema
esmuy complejo, usted puede distinguir
"grandes"
Pasosy
"pequeños"
pasos,estandocompuestocadagran pasode variospequeños.Compruebe
primero los grandespasosy despuésconsiderelos menores.
¿Qré gano baciendoesto?Una presentaciónde la sofuciónparala cual
la exactitudy correcciónde cad¿Pasono ofreceduda alguna.
Visión retrospectiva
¿Pordóndedeboempezar?Por la solución,completay correctaen todos
sus'detalles.
¿Qaépaedobacer?Considerarla solucióndesdevariospuntos de vista
y buscarlos puntos de contactocon sus conocimientospreviamentead-
quiridos.
Conside¡elos detallesde la solucióny trate de hacedostan sencillos
comopueda;reconsidérelosmásextensamentey tratede condensados;trate
deabarcarde un vistazola solucióncompleta.Trate de modificar, en bene-
ficio de ellas, tanto las partesprincipalescomo las secundarias;trate de
mejorarla soluciónen suconjuntode tal modoqueseadivinepor sí misma
y que quede grabada,en forma natutal, en el cuadrode susconocimientos
prévios.Examineatentamenteel método que le ha llevado a la solución,
irate de captarsu razón de sery trate de aplicado a otros problemas.Exa-
mine atenlamenteel resultado y trate igualmente de aplica¡lo a otros
problemas.
¿Qaégano l¡aciendoesto?Puedeencontraruna soluciónmeior y dife-
rente,descubrirnuevoshechosinteresantes.En todo caso,si toma el hábito
de reconsiderarlas solucionesy examinarlasmuy atentamente,adquiere
usteduna.seriede conocimientoscorrectamenteordenados,utilizables en
cualquiermomento,a la vez que desarrollasu aptitud en la resoluciónde
problemas.

28. ll raffr^^v6
U 9 U r9 U (qJ
perte
Brevediccionar¡o
de
heurística

29. Afición a los p{oblemas
El aficionadoa resolverproblemasseplanteacon frecuenciaa sí mismo
preguntassimilaresa las qui ofrecenoeslrarelaciónde temas'Quizá des-
i.rbí" pot sí mismo p..gotrtnt de esetipo o, habiendooido hablarde ellas,
ha[a áirectamenteei ,rlo qo" convienéhacerde dichaspreguntas.Puede
darseel casoque no estéconscienteen lo absolutode que estárepitiendo
siemprela mismapregunta.o bien esa_Preguntaes_supreferida:sabeque
form^apartedeta a,tit-u¿mentaladecuadádurantetal o cual fasedel trabajo
y tiene^lacostumbrede provocarla actitudcorrectaplanteandola pregunta
correcta.
Este a,ficionadoa resolverproblemaspuedeencontrarlas preguntasy
sugerenciasde nuestralista de gran utilidad. Le puedenpermitir comPren-
dei perfectamentelas explicaciónesy-los-ejemplosqu: las ilustran,pueden
p.ráiti.l. sospecharel uio correctode ellas;Pe-rong lograráuna completa
iomprensión
^"
-".ror de encontraren su propio trabajo.el procesoque fa
pre¿¡untatrata de ptovocaf. Debe exper'imentarsu utilidad descubriendo
én lo quele puedeserútil personalmente'
nt aficiona¿oa resolvei problemasdebe estarprepáradoa plantearse
todaslas preguntasde la lista, Perono debeplantearseninguna si no le
conducea ello un atentoexamendel problemaqueseestudia,y si no estima
que debíaplanteársela.De hechodebereconocerél mismo si la presente
s'ituaciónei parecidaa algunaotra en la que ha podido aplicarla misma
preguntacon éxito'"f::flrtaú
pues,ante todo, de comprenderel problema de un modo tan
completoy itaio comosea,posibte.Pero estono basta.Debe concentrarse
"r, .i ptobl.-a y desearansiosamentesu solución'li
"o puedehacernacer
el dgs'eOreal de resolVedo,másyale abandonarlo.El secretodel éxito real
radicalenentregarseal proble,rnaen cuerPoy alma'
Analogia
' "
La analogiaesunaespeciede similitud.Objetossemeiantesconcuerdan
unoscon otráSen algunoi aspectos,rnientrasque objetos análogosconcuef-
dan en.qier,tasr,elacionesentrgsusrespectivoselementos. ,, ."'
J I

30. I r,l
ifi
{l
il
itr,$,
ifir.ütI t r
tffi
$fi
ffi
58 Breae diccíona¡io de lüurística
1.. un paralelogramorectangularesanálogoa un pararelepípedorec-
tangular.De hecho,las relacionesentre ros lados del
-paralelógiamo
son
semejantesa las que existenentrelas carasdel paraleleiípedo.
-
cada lado del paralelogramoesparaleloa.uno soloáe-losotrosladosy
perpendiculara los lados restantes.
cada caradel paralelepípedoes paralelaa una solade las otras carasy
perpendiculara lascarasrestantes.
consideremoscomo "elemento
límite" el lado del paralelogramoy
como
"elemento
límite" la caradel pararelepípedo.podemósentoniesredu-
cir las dos consideracionesanterior-esa una sola que se aplique a ambas
figuras.
cada elementolímite esparaleloa uno solo y perpendiculara los res-
tanteselementoslímites.
Así pues, hemosexpresadociertasrelacionescomunesa los dos siste-
masde objetosque hemoscomparado,a saber,los ladosdel rectánguloy
las carasdel paralelepípedorectangalar. La analogiade dichos sistemas
consisteen la comunidadde ¡elaciones.
2. La analogíaocupa todo nuestromodo de pensar,tanto nuestras
cotidianasconversacionesy nuestrasmás banaleséonclusionescomo los
mediosde expre'siónartísticay las rnás altasrealizacionescientíficas.Así,
pues,seempleaen los másdiferentesniveles.
con frecuenciael vulgo empleaanalogíasvagas,ambiguas,incomple-
tas o'no del todo claras,pero la analogir puede,alcanzaiel nivel dé la
precisiónmatemática.Todo género de analoglapuedejugar un papel en
el descubrimientode la solución,por ello no debemosdeso¡idar"iág"no.
3. Debemosconsiderarnosfelices cuando, tratando de ¡esolver un
problema,logramosdescubrir un problema anáIogo má¡ sencillo. En la
sección1_5,nuestroproblemaprimiiivo concerníaa ia diagonalde un para-
lelepípedorectangular;el estudio de un problema análogomás sencillo
que tratabade la diagonal de un rectángülonos llevó a-la solución del
problemaprimitivo. vamos a examinarotro casodel mismogénero.Tene-
mosque resolverel siguienteproblema.
Encontrw el centrode grauedadde tn tetraedro homogéneo.
si no setieneninguna noción del cálculointegral y pocosconocimien-
tos.defísica,el problema-noesnadaf.icil; eraun problernacientífico muy
serioen tiemp-osde Arquímedeso de Galileo. Así-pues,si deseamos¡esol-
verloutilizandoun mínimo de conocimientosprevios,noshacefalta buscar
un problemaanilogomássencillo.El correspondienteproblemade geome-
tría planasepresentapor sí mismo.
Encontrarel centrode grauedadde an triángtlo homogéneo.
Ahora debemosrespondera dos preguntasen lugar de una. pero ello
puederesulta¡ másf.ácil-a condiciónde establecerentrelas dosuna rela-
ción adecuada.
4. Descartemos,por el momento,el problemaprimitivo del tetraedro
y concretémonosal problema anáÁogo,más sencillo,concernienteal triin-
,glrlo.P"r" resolvedódebemostener algunasnocionessobrelos centrosde
gravedad.El siguienteprincipio esplausibley sepresentanaturalmentepor
sí mismo.
Si an si¡tem¿de nzarasS constade elementoscttyoscen:Nrosde grauedad'
sehallan todossoúrean mismoplano, el plano contieneigaalmenteeI cen-
tro de grauedaddel coniunto d'elsistemaS.
Esteprincipio oos proporcionatodo lo que necesitamo-t_.1:l
casodel
triángulo.En plimer lugar, implica queel centrodegravedad-deltriángllo
estásituadoeñ el plano del mismo. Podemosentoncesconsideraral triin-
gulo corno compuestode fibras (bandas muy delgadas,paralelogramos
ttnfinitamente estrechos")paralelosa uno de los lados del triángulo (el
ladoAB enla fig.7). El centrode gravedadde c¿dafibra (o de cada
paralelogramo)es,desdeluego,supunto medio,y todosestoscentrosestán
iitoados sobre la línea que une el vértice C al punto medio M de AB
(ver fig. 7).
Toáo plano que pasepor la medianaCM del triángulo contienetodos
los centroi de gravedádde las fibras paralelasque constituyenel triángulo.
Analogía
M B
Frc, 7
Así pues,llegamosa la conclusiónde que el centrode gravedaddel trián-
gulocompleto estásituadosobreestamisma mediana.Ahora bien" como
del mismomodopuedeestarsituadosobrelasotrasdosmedianas,el centro
de gravedadserá,forzosamente,el punto de interseccióncomúna las tres
nedianas.
Es convenienteverificar entonces,Por geometríapura, independiente-
mentede todahipótesismecánica,quelastresmedianasson,en efecto,con-
currentes.

31. 60 Breoe dicciona¡io de haurística
5' Despuésder casodel triángulo, el der tetraedroes ¡elativamentefácil. Ya hémosresu¡]tg afor" ;"p;;ü; a anátogoal que se nos había
Pt"P^Tlll^{:l:r^:_m:ig"ienre, tenemosun modetoírrgo;r'.
- -- '
,'r fesolverer problemaanálogoque nossirveahoü de modelo,hemossupuestoel triángurorBC compuéstode fibras paralelasa uno de susradosAB. Ahorao*o-, a suponerqüe el tetraedroABCD secomponede fibrasparalelasa su aista AB.
Los puntosmedios de rasfibras que constituyenel triángulo estáosi-tuadossobrela medi¡
vértice"p"",,"i.i,,";:"H:;ffIxJii:,fr:i:"r#.1x,l,ffi.Í3;:ffldro estánsituadossobie el pra.noqu. .rnJ el punto medio zlf de ra arista';'2;"el::;"):r':;:";,,1?,i5i:'géi;pdd''o,u^m"raalli,opr"no
En el casodel triángulo, teníamos tres medianas, cada una de las cualesdebía contener al centró de-gravedJ á.i-triargoro. Esastres medianas de_
B
F¡c. 8
l:i:h.Or"r,
concurriren un puntoqueeraprecisamenteel centrodegra-
En el cásodel tetraedro,tenemosseisplanosmedianos,talescomoMCD, uniendoer puntomedio¿. .^¿" *irt"
-""r"'".ir?""op,ll,^,
.^a,unodetoscuaresdrl:i.-11:::lr: d.;;;*dad del,..r^ii.-. ñJirotunto,
:r^"r-:rirfr1":r debenconcurrirenun
"punto
queesprecisamenteercentrode gravedad buscado.
f ----- -l-- !r f^lL¡Jó¡r¡qr¡re
6' Hemos,pues,,resueltoe-lproblemadercentrodegravedadderte-
lt:^r-ot:
n*ogéñeo'. paracompre¿r;-;;l;" sorución,esconvenienteveri-trcar'pormediodera,gegmejú^purue independier¿;rtJ;^t^oia .onri_
j;nlm:ánica, etriechodeq,i.r* ,d pi.il;;;;;,",*,;, efecto,
Al resolvereI probremadel centrode gravedadder triángulo homo-
Analogía 6l
géneo,habíamosya indicadoque convenía,a f.in de completarnuestraso-
iución,verificar que las tres medianaseran, en efecto,concurrentes.Este
problemaeraanálogoal del tetraedro,pero visiblementemássencillo-
Podernosnuevamenteutilizar, para resolverel problemarelativo al te-
traedro,el problemaanálogoconcernienteal triángulo (que podemossu-
poneraquí comoresuelto). En efecto,considérenselos tres planosmedia-
nosque pasanpor las tres aristasDA, DB, CD, partiendodel vérticeD,'
cadauno de ellos pasaigualmentePor el punto medio de la aristaopuesta
(el planomedianoque pasapor DC pasaigualmentepor M; véasefig. a).
Ahora bien, esostres planos medianosintersectanal plano del triángulo
ABC sobrelastresmedianasde dicho triángulo. Estastresmedianaspasan
por el mismo punto (estees el resultadodel problema anilogo más sen-
citto¡ y dicho punto, comoel punto D, escomúna los tres planosmedia-
nos.La rectaque une los dos puntoscomuneses común a los tres planos
medianos.
Hemos demostradoque 3 de los 6 planosmedianosque Pasanpor el
vérticeD tienenuna rectacomún.Lo mismo debeserciertoparalos 3 pla-
nosmedianosque pasanpor I comoparalos 3 planosmedianosquePasan
por B y para los 3 que pasanpor C. Estableciendoentreestosdiversoshe-
ihos unirelación adecuida,podemosdemostrarque los 6 puntosmedianos
tienenun punto común. (Los 3 planosmedianosque-Pasan_porlos lados
del triángulo ABC d*erminan un punto comúny 3 líneasde intersección
que se órtan en dicho punto. Ahora bien, según lo qu¡ acabamosde
demostrar,por cadalínea de interseccióndebepasarotro plano mediano.)
7. En los párrafos 5 y 6 nos hemosvalido de un problema análogo
mássencillo, cóncernienteal triángulo, para resolverun problema acefc
del tetraedro.No obstante,los doscasosdifieren en un punto importante.
En el párrafo i hemosempleadoel método de un problema análogomás
senci[ó, del cual hemoscopiadola soluciónPunto Por punto' En el pá-
:aafo6 hemosempleadoel resultd¿odel problema tnilogo mássencillo,sin
preocuparnosdel modo cofnose había obtenido dicho resultado.A veces
i. po.á. utilizar a la aez el métodoy el resultadodel-problema análogo
mái sencillo.Nuestro precedenteejemplo es una prueba de ello, Pero-a
condiciónde considerailos párrafos 5 y 6 como elementosdiferentesde
la soluciónde un mismoProblema'
Nuestro ejemplo estípico. Pararesolverun problemaque senosplan-
tea, podemoscon frecuenciautilizar la soluciónde un problema análogo
másiencillo, ya seautilizando su métodoo su resultadoo ambosa la vez.
Naturalmente,en ciertoscasosdifíciles, se puedenpresentarcomplicacio'
nesqueno hansidomostradasen nuestroejemplo.En particularla solución
del problemr anilogo no siemprepuedeemplearsede inmediato Parare-

32. 62 Breoe diccionario de heurístíca
solverel problemaprimitivo. convieng entonces,reconsidera¡la sorución,transfo¡marl"y moáificarla, buscarotorlormr. ir.l^ -irri^ürr" guese*i*r:."
:::_.::: l*da
ser extensivaal problemaoriginJ,
ó' rs convenrente,preverel resurtadoó armenos"{.rn", de suscarac-terísticas,que sean-d: me:os.pt"urilter. frt" tipo-d.-irliriorr., ,.basancon i¡m¡encia en la analosiá.
,
Así, podgmossaberque er celnt¡ode gravedadde un triáng'ro homo-géneocoincideconel delus rresvérticesj.t a*ir, ; j;:üiunros
ma-terialesde igual masacolocadosen los virtices ai-triardü¡l s"ui.r,aoesto,podemosconjehrrarque el centrode gravedaddel te¡'ra;iro homogé-neocoincidecon el de suscuatrovértices.
gv^lwrr4lurr
Estahipótesisesuna "infe¡encia
por analogía".sabiendoque el trián-gulo i' el tetraedroson parecido, .n i,,o.h* a:pectos,podemosconjeturarqueseParecenen un aspectomás.Seríaabsurdó.onfúridi, la piausibilidadcon la certidumbrede.lares conjeturas,pero no prestarresatenciónseríaigualmenteabsurdoo inclusomá.
-' r-.
.La_inferenciapor aylopilparece serel tipo de conclusiónmáscomún
v sindudaalzuna.r.,TT uiil.
^nopor.ion"
rripot.ri,;ár;;; prausi-
11"r,g"glaex=perienciaounestrictó¡azonamientopodránquizáconfirmar.El químicoque experimentasobre"ii*"i.r los remediosáestinadosa roshumanosdeducesusconcrusionespor anarogia.pero era ;;;ié" Io quehacíaun niño conocidomío. cuai¿o lrevaían "l ,"t;;;;? r., p"rrofavorito, el niño preguntó:
-¿Qué esan ueterinario?
*El médicodelos animales.
-¿Qaé clasede animal esel rnédicode los animales?
9' La conclusiónpor anarogía stcad,ade un gran número de casosparalelosesmássólidi que la cJnclusióndeducidade casosmenosnume-rosos.Sin embarso.t:":l*_1:, aquítambiénÁ^ i,"p"r,d;" la can_
ll9:1.1*t"gías"precisas
tienen.á, p"ro que vagassiniilitudes,ejemplossrstemáticamentecrasificadoscuentan'másque una fortuita coreccióndecasos,
En el precedentepárrafo g, hemosadelantadouna hipótesissobreelcentro-de gravedadder terraedro.Dicha hipótesisse;";;i;; ra anaro-gía: el casoder tetraedroes anárogo.al del'triáng"r".
'p;i;;;'¡:eforzura
medianteetexamend¡ ot1o.rro.*ñálogo,el.t'e.,i;;;rlü;ffic.,."
1.,decir, un s€gmentode rectade densidid'unrror*.; .
La analogíaentre:
segmeoto triángulo tet¡aedro
tienenumerososaspectos.U:r segmentoestácomprendidoen una recta,untriánguloen un plano,un tetraeároen el espaciá.Ei;.;,ir€nüi. r..r".,
Analogt'a 63
figuramássimple de una dimensión,el triánguloes el polígonomás
extremos)y su interior esde una dimensión.
El tríángulo tiene tres elementoslímites de dimensiónceto (r vérti
ces),3 elerñentoslímite de una dimensión(1 lados) y su interior esde
dosdimensiones.
El tetraedrotiene 4 elementoslímite de dimensióncero (4 vértices),
6 deunadimensión(6 aristas),4de dosdimensiones(4 caras),y suinte-
rior esde tres dimensiones.
Dichos númerosse puedenagruParen una tabla. Los númerosen co-
lumnarepresentanlos elementosde dimensióncero, de una; cledosy de
tresdimensiones;los númerosen renglonescorresponden,respectivamente,
al segmento,al triángulo y al tetraedro:
2 L
3 3 1
4 6 4 1
Por poco que estemosfamiliarizadoscon las Potencias-del.binomio,
nosseráiácil réconoceren estosnúmerosuna seccióndel triángulo de Pas-
cal.Encontrarnosuna notable regularidad en el segmento,el triángulo y
el tetraedro.
10. Si la experiencianosmuestraque los obietosque hemoscomPa-
radoestánestreciramenterelacionadosentresí,
"inferencias
por analogia",
comola que sigue,puedenparecernostenerun valor incontestable.
El centro áe gravedadd. on segmentode rectahomogéneocoincide
conel de susdos puntosextremos.El centrode gravedadde un triángulo
homogéneo.coinciáecon el de sustresvértices.¿Por-quéno sospecharíamos
q*..ícentro de gravedadde un tetraedrohomogeneocoincidecon el de
suscuatrovértices?
Por otra parte, el centro de gravedadde un segmento_de_
rectahomo-
géneodividela distanciaentresusdospuntosextremossegúnla raz6nL:L.
Él centrode gravedadde un triángulo divide la distanciaentreuno de sus
vérticesy el punto medio del lado opuestosegúnla rmón 2.:1.¿cómono
sospecharqui el centrode gravedadde un.tetraedrohomogé1"9lo
divida
" lá distaniia entre uno deius vérticesy el centrode gravedadde la cara
opuestasegúnla taz6n3:l?'
Parece-inverosímilque las hipótesissugeridaspor estascuestionessean
falsas,que una tan belia regularidad.se
destruya.El sentimientode que
.rn ord.tt arnonioso y simplé no podría ser engañosogaiaal investigador
tanto en maternáticas,.o*ó en lal demáscienciasy encuentrasu expresión