este es un libro de vectores En el libro "Análisis Vectorial" de la Serie Schaum, Editorial Mc Graw Hill

1. Problemario de An´lisis Vectorial
a
Barranco Jim´nez Marco Antonio
e
e-mail: mabarrancoj@ipn.mx
June 24, 2004
1

2. 1 Introducci´n
o
La presente selecci´n de problemas resueltos de la materia de An´lisis Vectorial,
o a
tiene como objetivo principal, el de proporcionar al alumno que cursa la materia,
un apoyo bibliogr´fico m´s para el entendimiento de la misma, esperando que
a a
le sea de gran ayuda, en la aplicaci´n de la teoria adquirida en el sal´n de clases
o o
y poder ejercitar sus conocimientos en la soluci´n de problemas similares.
o
La mayoria de los problemas, son problemas que se resuelven como ejemplos
en el sal´n de clases tratando en lo que cabe de cubrir el m´s m´
o a ınimo detalle
algebraico, con la unica intenci´n de lograr la mejor comprensi´n por parte del
´ o o
alumno, como puede observarse en la soluci´n de cada problema. La mayoria
o
de los problemas resueltos, son problemas que est´n propuestos en libros tradi-
a
cionales de la materia, como por ejemplo, el libro de An´lisis Vectorial de la
a
editorial Mc Graw Hill (serie Schaum), cuyo autor es Murray R. Spiegel y el
libro de An´lisis Vectorial de la editorial Addison-Wesley Iberoamericana, cuyo
a
autor es Hwei P. Hsu., entre otros.
La idea de escribir esta serie de problemas, es debida principalmente a la ex-
periencia que el autor ha adquirido al impartir la materia en el primer semestre,
en la Escuela Superior de C´mputo del IPN, de la carrera de Ingenier´ en Sis-
o ıa
temas Computacionales, y en la cual el ´ ındice de alumnos que no aprueban la
materia es muy alto.
La materia de An´lisis Vectorial por si s´la, es una materia que generalmente
a o
es muy complicada para los estudiantes de nuevo ingreso, (a´n imparti´ndose
u e
´sta en un semestre posterior) en una carrera de Ingenier´ en el area de Cien-
e ıa ´
cias F´
ısico-Matem´ticas, este hecho tiene distintos puntos de vista; por ejemplo,
a
a a ´
los pocos conocimientos de las materias b´sicas de Matem´ticas ( Algebra, Ge-
ometr´ Anal´
ıa ıtica, C´lculo Diferencial e Integral, Trigonometr´ etc) con los que
a ıa,
cuenta el estudiante al ingresar al nivel superior, sin embargo, como el lector
podr´ observar, en la soluci´n de cada uno de los problemas resueltos, realmente
a o
son m´ınimos los conocimientos que el alumno necesita de las materias b´sicas de
a
Matem´ticas. As´ tambi´n, podr´ ser el desinter´s que muestran en general los
a ı e ıa e
alumnos hacia la materia, debido a que pos´ ıblemente las dem´s materias, como
a
Matem´ticas Discretas y Programaci´n, por mencionar algunas, son materias
a o
que en general los conceptos son m´s ”f´ciles” de entender por parte del alumno,
a a
o son materias de un inter´s mayor por ser materias dirijidas a su formaci´n.
e o
Y principalmente, en realidad el temario de la materia (mencionando tambi´n e
que en algunos casos puede ser muy extenso para cubrirse en un semestre, como
en muchas otras materias b´sicas), en general es dificil de asimilar por parte de
a
los alumnos, conceptos por ejemplo, por citar algunos, como el de Gradiente,
Divergencia y Rotacional, as´ como la parte de coordenadas curvil´
ı ıneas que in-
volucran el C´lculo de funciones de m´s de una variable, matem´ticamente son
a a a
complicados de manejar por los alumnos, sin mencionar la interpretaci´n f´ o ısica
de los mismos.
2

3. Este punto de vista puede o no ser compartida por muchos profesores que
imparten o han impartido alguna vez la materia, y es muy respetable su opini´n o
al respecto, sin embargo, como mencion´ anteriormente, la experiencia adquirida
e
al impartir la materia, me permiten hacer estas observaciones.
Los problemas se encuentran distribuidos de la siguiente forma:
En el cap´ ıtulo 1 se tratan problemas que comprenden lo relacionado al
´
Algebra de vectores; desde las operaciones b´sicas de vectores, algunos proble-
a
mas de aplicaci´n a la Geometr´ Anal´
o ıa ıtica, pasando por aplicaciones del pro-
ducto escalar y vectorial, dependencia lineal, triple producto escalar de vectores,
hasta ecuaciones de rectas y planos. En este cap´ ıtulo, se pone enf´sis en la
a
aplicaci´n de las propiedades elementales del producto escalar y vectorial entre
o
vectores, los cuales son conceptos b´sicos muy importntes enun curso tradicional
a
de la materia de An´lisis Vectorial.
a
En el cap´ıtulo 2 se tratan problemas relacionados con el C´lculo Diferencial
a
vectorial; desde el concepto de parametrizaci´n de curvas y superficies en el espa-
o
cio, derivaci´n de funciones vectoriales, aplicaciones de Gradiente, Divergencia
o
y Rotacional, hasta llegar a coordenadas curvil´ ıneas.
As´ mismo, en el cap´
ı ıtulo 3 se tratan problemas relacionados con el C´lculo
a
Integral vectorial, desde ejemplos de integrales de l´ ınea, integrales de superficie
e integrales de volumen, hasta llegar a problemas de aplicaci´n de los teoremas
o
integrales de Green, de Stokes y de Gauss.
Finalmente, como en cualquier tipo de trabajo, el lector tendr´ la ultima
a ´
palabra al decidir si se cumple el objetivo principal, as´ tambi´n, el autor esta
ı e
abierto a todo tipo de comentarios y sugerencias que ser´n bien venidas, para
a
la mejora del presente trabajo.
3

4. 2 Problemas del cap´
ıtulo 1.
Problema 1:
→
−
Muestre que para cualquier vector A = a1 i + a2 j + a3 k se cumple que:
→
−
a).− i× k× j× A = a3 k,
→
−
b).− k× j× i× A = a2 j,
→
−
c).− j× i× k× A = a1 i,
no aplique la definici´n del determinante, usar las propiedades del producto
o
vectorial.
Soluci´n:
o
a).− Aplicando las propiedades del producto vectorial, tenemos
→
−
i× k× j× A = i × k × j × a1 i + a 2 j + a 3 k
= i × k × j × a1 i + j × a2 j + j × a3 k
= i × k × −a1 k + a3 i
= i × −a1 k × k + a3 k × i
= i × a3 j
= a3 k.
b) De la misma forma,
→
−
k× j× i× A = k × j × i × a1 i + a 2 j + a 3 k
= k × j × i × a1 i + i × a2 j + i × a3 k
= k × j × a2 k − a 3 j
= k × j × a2 k + j × a3 j
= k × a2 i
= a2 j.
En forma an´loga para el inciso c).
a
4

5. Problema 2.
Probar que
→
− →
− →
− →
−
i × i × A + j × j × A + k × k + A = −2 A
→
−
donde A es cualquier vector en el espacio.
Soluci´n:
o
→
−
Sea el vector A en el espacio dado por,
→
−
A = ai + bj + ck,
→
−
sustituyendo el vector A y aplicando la propiedad distributiva del producto
vectorial, obtenemos
→
− −
→ →
−
i× i× A +j× j× A +k× k× A = i × i × ai + b j + c k
+ j × j × ai + b j + c k
+ k × k × ai + b j + c k
= i × i × ai + i × b j + i × ck +
j × j × ai + j × bj + j × ck +
k × k × ai + k × bj + k × ck ,
aplicando la definici´n del producto vectorial para los vectores i, j y k, y nue-
o
vamente aplicando la propiedad distributiva obtenemos,
→
− →
− →
−
i× i× A +j× j× A +k× k× A = i × bk − cj + j × −ak + ci + k × aj + bi
= bi × k − c i × j − aj × k + c j × i + ak × j − b k × i
= −bj − ck − ai − ck − ai − bj
finalmente, obtenemos
→
− →
− →
− →
−
i × i × A + j × j × A + k × k × A = −2ai − 2bj − 2ck = −2 A .
5

6. Problema 3.
Demostrar que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un
tri´ngulo es paralelo al tercer lado y tiene la mitad de su longitud.
a
Soluci´n:
o
Consideremos un tri´ngulo cuyos v´rtices son los puntos A, B y C, como se
a e
muestra en la figura.
B
X
P Q
A C
Y
De la figura, obtenemos
−−
→ →
−
AB = X,
−→ →
−
AC = Y,
−→
− → →
− −
BC = Y − X,
por hip´tesis tenemos que,
o
−→
− 1→−
PB = X,
2
−→
− 1 → →
− −
BQ = ( Y − X ),
2
asimismo, de la figura en el tri´ngulo BP Q obtenemos,
a
−
−→ −→ −→
− −
P Q = P B + BQ
sustituyendo las ecuaciones anteriores,
−
−→ 1→ 1 → →
− − −
PQ = X + (Y − X)
2 2
1→−
= Y,
2
−
−→ →
− 1
de donde se deduce que P Q es paralelo a Y y tiene 2 de su longitud.
6

7. Problema 4.
−
−→ → −
Consideremos 3 puntos diferentes en el espacio O, P y Q, y sean OP = A ,
−→ →
− −
OQ = B y R el punto medio del segmento QP , demostrar como se ilustra en
→
− →
− → →
− −
la figura, que el vector C se puede escribir de la forma C = 1 A + B .
2
P
R
A
C
O Q
B
Soluci´n:
o
De la figura y por hip´tesis del problema se tiene que:
o
−
−→ −
−→
(1) QR = 1 QP ,
2
adem´s, aplicando la suma de vectores en el tri´ngulo OP Q,
a a
→ −
− −→ → −
(2) B + QP = A ,
y tambi´n de la figura, en el tri´ngulo OQR, obtenemos
e a
→ −
− −→ → −
(3) B + QR = C ,
sustituyendo la ecuaci´n (1) en la ecuaci´n (3),
o o
→ 1−
− −→ → −
(4) B + 2 QP = C ,
−
−→ → →− −
por otro lado de la ecuaci´n (2) QP = A − B , sustituyendo en la ecuaci´n (4)
o o
obtenemos,
→ 1 → →
− − − →
−
B+ A−B =C
2
apicando las propiedades distributiva y asociativa obtenemos,
→ 1 →
− − 1 →
− →
−
B+ A − B =C
2 2
1 →
− 1 →
− →
−
A + B =C
2 2
finalmente, obtenemos
→ 1 → →
− − −
C = A+B .
2
7

8. Problema 5.
Hallar el area del paralelogramo cuyas diagonales son los vectores,
´
→
−
A = 3i + j − 2k,
→
−
B = i − j + 4k,
Soluci´n:
o
→ →
− −
Geom´tricamente el producto vectorial de dos vectores A y B representa
e
→ →
− −
el area de un paralelogramo de lados A y B de la forma,
´
´ → →
− −
Area = A × B ,
A
x
B
y
en este caso, tenemos las diagonales del paralelogramo (ver figura), por lo que
necesitamos encontrar los lados del paralelogramo en t´rminos de las diagonales.
e
De la figura anterior, obtenemos
→
−
a) → + → = − B
− −
x y
→
−
b) → − → = A
− −
x y
sumamos las ecuaciones a) y b) obtenemos:
→ →
− −
2→ = A − B ,
−
x
de donde,
→ →
− −
c) → =
−
x 1
2 A−B ,
de forma an´loga restando la ecuaci´n b) de la ecuaci´n a), obtenemos
a o o
8

9. → →
− −
d) → = − 1 A + B .
−
y 2
De esta forma, de las ecuaciones c) y d), el area del paralelogramo est´
´ a
dada por:
´
Area = | → × →|
− −
x y
1 → →
− − 1 → →
− −
= A−B × − A+B
2 2
1 → →
− − → →
− −
= − A−B × A+B ,
4
aplicando las propiedades del producto vectorial tenemos,
´ 1 → →
− − →
− → →
− − →
−
Area = A − B × A + A − B × B.
4
1 → → → → → → → →
− − − − − − − −
= −A × A + A × B − B × A + B × B
4
1 → →
− −
= 2A × B
4
1 → →
− −
= A×B ,
2
finalmente al sustituir los vectores dados obtenemos,
1 i j k 1
´
Area = 3 1 −2 = 2i − 14j − 4k
2 2
1 −1 4
= i − 7j − 2k
√
= 1 + 49 + 4
√
= 54
√
= 3 6.
9

10. Problema 6.
Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto
medio.
Soluci´n:
o
Sea el paralelogramo de v´rtices A, B, C y D, como se ilustra en la siguiente
e
figura.
A B
y
x x
P
D C
y
De la figura, tenemos
−→
− → = −→
− −
DA = x CB,
−→
− →=−
− −→
DC = y AB,
asimismo, aplicando la suma de vectores
−→ → →
−
DB = − + − ,
x y
(1) −→ − −
AC = → − →,
y x
por otro lado de la definici´n de paralelismo
o
−→
− −→
−
DP = nDB,
(2) −→ −→
AP = mAC,
de las ecuaciones (1) y (2) obtenemos,
−→
−
DP = n (→ + →) ,
− −
x y
(3) − → → − →) ,
− −
AP = m ( y x
−→ −
− → −→−
por otro lado, en el tri´ngulo DAP, tenemos DA + AP = DP , es decir;
a
10

11. (4) → + − = −→,
→
− AP DP
x
−
sustituyendo las ecuaciones (3) en la ecuaci´n (4) obtenemos,
o
→ + m (→ − →) = n (→ + →) ,
−
x − −
y x − −
x y
aplicando las propiedades de la adici´n de vectores obtenemos,
o
→ + m → − m→ − n → − n → = →,
−
x −
y −
x −
x −
y
−
0
o tambi´n,
e
−
→
(1 − m − n)→ + (m − n)→ = 0 ,
−
x −
y
→
−
de la ecuaci´n anterior, como los vectores → y → son distintos del vector 0
o −
x −
y
y no paralelos, entonces la igualdad anterior s´lo se cumple si los escalares son
o
iguales a cero, es decir;
1−m−n = 0,
m−n = 0,
resolviendo el sistema de ecuaciones para n y m obtenemos,
1
n=m= ,
2
por lo tanto, sustituyendo en las ecuaciones (2) obtenemos
−→
− 1 −→
−
DP = DB,
2
−→ 1− →
AP = AC.
2
Como se ilustra geom´tricamente en la figura.
e
11

12. Problema 7.
Demostrar que las medianas de un tri´ngulo se cortan en un punto que esta
a
3
2
a 1 del lado y 3 del v´rtice opuesto para cada mediana respectivamente.
e
Soluci´n:
o
Sea el tri´ngulo cuyos v´rtices son A1 , B1 y C1 . Asimismo sean A2 , B2 y C2
a e
los puntos medios de cada lado respectivamente, como se ilustra en la figura. Si
P es el punto de intersecci´n de las medianas, entonces para demostrar que las
o
1
medianas se cortan en un punto que esta a 3 del lado y 2 del v´rtice opuesto
3 e
para cada mediana debemos mostrar que se cumplen las siguientes relaciones:
B1
A 2
A C2 P
C1
B2
A1
B
−→
− 2− −
−→
A1 P = 3 A1 A2 ,
−→
− 2 −→
−−
B1 P = 3 B1 B2 ,
(a)
−→
− 2− −
−→
C1 P = 3 C1 C2 ,
o equivalentemente,
−→
− 1− −
−→
P A2 = 3 A1 A2 ,
−→
− 1 −→
−−
P B2 = 3 B1 B2 ,
(b)
−→
− 1− −
−→
P C2 = 3 C1 C2 ,
como se ilustra geom´tricamente en la figura. Sean los lados del tri´ngulo dados
e a
→ →
− −
por A y B , de la figura tenemos las siguientes relaciones:
→
− −−
−→
A = A1 B 1 ,
→
− −−
−→
B = A1 C1 ,
→ →
− − −−
−→
B−A = B 1 C1 .
12

13. Aplicando la definici´n de paralelismo, de la figura obtenemos
o
−→
− −−
−→
A1 P = l A1 A2 ,
−→
− −−
−→
B1 P = m B1 B2 , (c)
−→
− −−
−→
C1 P = n C1 C2 ,
por otro lado, aplicando la suma y diferencia de vectores en los tri´ngulos
a
A1 C1 P, B1 C1 P y A1 B1 P obtenemos,
→ −→ −→
− − −
B + C1 P = A1 P ,
→ →
− − −→ −→
− −
B − A + C1 P = B 1 P , (d)
→ →
− − −→ −→
− −
B − A + C1 P = B 1 P ,
pero, de la figura tenemos tambi´n las siguientes relaciones
e
−−
−→ → − → →
− − 1 →− →
−
A1 A2 = A + 1 B − A = 2 A + B ,
2
−−
−→ → →
− − (e)
B1 B2 = 1 B − A ,
2
− → 1→ →
−− − −
C1 C2 = 2 A − B ,
que resultan de aplicar la suma y diferencia de los vectores en los tri´ngulos
a
A1 B1 A2 , A1 C1 C2 y A1 B1 B2 respectivamente. De las ecuaciones (a) y (b) se
obtiene,
→
− −−
−→ −−
−→
B + n C1 C2 = l A1 A2 ,
→ →
− − −−
−→ −−
−→
B − A + n C1 C2 = m B 1 B 2 , (f )
→
− −−
−→ −−
−→
A + m B 1 B 2 = n A1 A2 ,
sustituyendo las ecuaciones (e) en las ecuaciones (f ) obtenemos,
→
− → →
− − − →
→ −
B +n 1B − A =l 1 A + B
2 2 ,
→ →
− − 1→
− → − 1→
− →−
B − A +n 2B − A =m 2B − A , (g)
→
− 1→
− → − → →
− −
A +m 2B − A = n A + B ,
2
aplicando las propiedades de la suma de vectores, obtenemos
13

14. n l →
− l →
− →
−
− A + 1−n− B = 0,
2 2 2
n →
− m →
− →
−
m+ −1 A + 1−n− B = 0,
2 2
l →
− n l →
− →
−
1−m− A+ − B = 0.
2 2 2
− →
→ −
Por lo tanto, como A y B son vectores distintos de cero, entonces para que
se cumplan las ecuaciones anteriores los escalares deben ser cero, es decir;
n l
− = 0
2 2
l
1−n− = 0
2
n
m+ −1 = 0
2
m
1−n− = 0
2
l
1−m− = 0
2
n l
− = 0
2 2
as´ al resolver las ecuaciones anteriores obtenemos
ı,
2
n=l=m= .
3
Finalmente, al sustituir en las ecuaciones (c) se obtienen las ecuaciones (a)
que es el resultado que se pedia demostrar.
14

15. Problema 8.
→ →
− − → →
− − → →
− − → →
− −
Pruebe que A B + B A es perpendicular a A B − B A , para cua-
→ →
− −
lesquiera A y B .
Soluci´n:
o
De la definici´n del producto escalar de dos vectores, si dos vectores →
o −
x
→ son perpendiculares entonces su producto escalar entre ellos es igual a
−
y y
→ →
− − → →
− −
cero, en este caso → y → est´n dados respectivamente por A B + B A y
−
x −
y a
→ → → →
− − − −
A B − B A , de esta forma debemos verificar que los vectores dados cumplen
que,
→·→=
− − → →
− − − −
→ → → →
− − → →
− −
x y A B+ B A · A B − B A = 0,
aplicando la propiedad distributiva del producto escalar tenemos,
→·→=
− − → →
− − → →
− − → →
− − → →
− − → →
− − → →
− −
x y A B+ B A · A B+ A B+ B A · − B A ,
asimismo, aplicando las propiedades conmutativa y distributiva nuevamente,
tenemos
→ · → = − → · → → + → → · → → − → → · → → − → → · → →,
− −
x y
→ − − −
A B A B
− − − −
A B B A
− − − −
B A A B
− − − −
B A B A
ahora aplicamos las propiedades asociativa del escalar y la propiedad de la
norma,
→·→
− − → → → →
− − − − → → → →
− − − − → → → →
− − − − → → → →
− − − −
x y = A A B·B+ A B B·A− B A A·B− B B A·A
→ →
− − → →
− −
= A2 B 2 + AB B · A − AB A · B − B 2 A2
= 0.
donde se aplic´ finalmente la propiedad conmutativa del producto escalar.
o
15

16. Problema 9.
Demostrar que la suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelo-
gramo es igual a la suma de los cuadrados de sus lados.
Soluci´n:
o
Sean A, B, C y D los v´rtices del paralelogramo como se indica en la figura.
e
C Y
D
X
X
A B
Y
De la figura tenemos que,
→
−
AC = BD = X ,
→
−
AB = CD = Y ,
asimismo de la figura, las diagonales del paralelogramo est´n dadas por
a
→ →
− −
BC = X+Y ,
→ →
− −
AD = X−Y .
Debemos mostrar que,
2 2 2 2 2 2
BC + AD = AC + AB + CD + BD
2 2
= 2AC + 2AB ,
es decir,
16

17. → →
− − 2 → →
− − 2 →
− 2 →2
−
X+Y + X−Y =2 X +2 Y .
En forma an´loga, al problema anterior, aplicando las propiedades del pro-
a
ducto escalar,
→ →
− − 2 → →
− − 2 → →
− − → →
− − → →
− − → →
− −
X+Y + X−Y = X+Y · X+Y + X−Y · X−Y
→ → →
− − − → → →
− − − → → →
− − − → → →
− − −
= X+Y ·X + X+Y ·Y + X −Y ·X+ X−Y ·Y
→ → → → → → → → → → → → → → → →
− − − − − − − − − − − − − − − −
= X·X +X·Y +X·Y +Y ·Y +X ·X−X·Y −X·Y +Y ·Y
− −
→ → − −
→ →
= 2X · X + 2 Y · Y
→2
− →2
−
= 2 X +2 Y .
17

18. Problema 10.
→ →
− − →
− →
− →
− →
−
Sean los vectores A y B vectores unitarios, calcular 3 A − 4 B · 2 A + 5 B
→ →
− − √
si A + B = 2.
Soluci´n:
o
En forma an´loga al problema anterior, aplicando las propiedades del pro-
a
ducto escalar , tenemos que
→
− →
− →
− →
− →
− →
− →
− →
− →
− →
−
3A − 4B · 2A + 5B = 3A − 4B · 2A + 3A − 4B · 5B
→ →
− − → →
− − → →
− − → →
− −
= 2A · 3A − 2A · 4B + 5B · 3A − 5B · 4B
→ →
− − → →
− − → →
− −
= 6 A · A + 7 A · B − 20 B · B
→ →
− −
= 7 A · B − 14
→ →
− −
donde se aplic´ la hip´tesis de que los vectores A y B son unitarios es decir
o o
que cumplen que,
→ →
− −
A·A = A2 = 1,
→ →
− −
B·B = B 2 = 1.
→ →
− − √
Por otro lado, de la condici´n A + B = 2, elevando al cuadrado ´sta
o e
expresi´n y aplicando la la propiedad de la norma del producto escalar, obten-
o
emos
→ →
− − → →
− −
A+B · A+B =2
de donde,
− −
→ → → − → → →
− − −
A+B ·A+ A+B ·B = 2
→ →
− − → → → →
− − − −
A · A + 2A · B + B · B = 2
→ →
− −
de la expresi´n anterior, obtenemos inmediatamente que A · B = 0. Por lo
o
tanto, sustituyendo este valor, obtenemos finalmente,
→
− →
− →
− →
−
3 A − 4 B · 2 A + 5 B = −14.
18

19. Problema 11.
→
− →
− →
−
Determine λ1 y λ2 de manera que C − λ1 A − λ2 B sea perpendicular tanto
→
− →
−
a A como a B , suponiendo que
→
−
A = i + j + 2k
→
−
B = 2i − j + k
→
−
C = 2i − j + 4k
Soluci´n:
o
En forma an´loga al problema anterior, aplicando la condici´n de perpen-
a o
dicularidad entre vectores, tenemos
→ →
− − →
− →
−
A · C − λ1 A − λ2 B = 0,
→ →
− − →
− →
−
B · C − λ1 A − λ2 B = 0,
usando las propiedades del producto escalar, tenemos
→ →
− − → →
− − → →
− −
A · C − λ1 A · A − λ2 A · B = 0,
→ →
− − → →
− − → →
− −
B · C − λ1 B · A − λ2 B · B = 0,
que se puede escribir de la forma,
→ →
− − → →
− − → →
− −
λ1 A · A + λ 2 A · B = A · C,
→ →
− − → →
− − → →
− −
λ1 B · A + λ 2 B · B = B · C,
de los vectores dados, tenemos inmediatamente aplicando la definici´n del pro-
o
ducto escalar para vectores en el espacio,
→ →
− − → →
− − → → → →
− − − − → →
− − → →
− −
A · A = 6, B ·B =6 A · B = B · A = 3, A·C =9 y B ·C =9
de tal forma, para encontrar λ1 y λ2 debemos de resolver el siguiente sistema
de ecuaciones:
19

20. 6λ1 + 3λ2 = 9,
3λ1 + 6λ2 = 9,
obs´rvese que la soluci´n del sistema de ecuaciones es inmediata y est´ dada
e o a
por:
λ1 = 1
λ2 = 1.
20

21. Problema 12.
Sean los vectores
→
−
A = (1, −1, 2),
→
−
B = (1, 2, 2).
→
− →
−
Hallar la proyecci´n del vector A sobre el vector B y la proyecci´n del vector
o o
→
− →
−
B sobre el vector A .
Soluci´n:
o
Por definici´n, la proyecci´n de un vector → sobre otro vector →, es un
o o −x −
y
vector (como se muestra en la figura) y est´ dado por,
a
y
−
Pr oy→ → = |→| cos θe→ ,
− x
−
x −
y
X
e→
−
y Pr oy→ →
−
− x
y
→
−
y
en este caso debemos calcular,
→
− →
−
Pr oy→ A
−
B
= A cos θe→ ,
−
B
→
− →
−
Pr oy→ B
−
A
= B cos θe→ ,
−
A
→
− → →
− − →
−
donde A es la magnitud del vector A , B es la magnitud del vector B , θ el
21

22. angulo formado entre los dos vectores, e→ un vector unitario en la direcci´n del
´ −
A
o
→
− →
−
→ un vector unitario en la direcci´n del vector B . De la definici´n
vector A y e B
− o o
del producto escalar podemos calcular el coseno del angulo entre dos vectores
´
de la forma,
→ →
− −
A·B
cos θ = → → ,
− −
A B
y empleando la definici´n de vectores unitarios, los vectores de proyecci´n est´n
o o a
dados por,
 
→ →
− − →
− → →
− −
→
− →  A·B
−  B = A·B →
−
Pr oy→ A
− = A → →
− − →
− B,
B
A B B B2
 
→ →
− − →
− → →
− −
→
− →  A·B
−  A = A·B →
−
Pr oy→ B
− = B → →
− − →
− A,
A
A B A A2
finalmente, calculando el producto escalar de los vectores dados y la magnitudes
→ →
− −
de los vectores A y B , obtenemos
→ 3→ 1→
− − −
Pr oy→ A = B = B ,
−
B 9 3
y
→ 3→ 1→
− − −
Pr oy→ B = A = A .
−
A 6 2
22

23. Problema 13:
Considere la siguiente figura,
A A2
A1 B
demostrar que
→ →
− − → →
− − →
−
→
− A ·B→
− B×A ×B
A = → →B +
− − → →
− − .
B·B B·B
Soluci´n:
o
→ →
− − →
− →
−
De la figura, el vector A = A 1 + A 2 , el vector A 1 es la proyeccci´n del
o
→
− →
−
vector A sobre el vector B dada por
→
− →
− →
−
A 1 = proy→ A = A cos θe→ ,
−
B
−
B
→ →
− −
de la definici´n del producto escalar de dos vectores A y B distintos del vector
o
→
−
0 , dada por,
→ →
− − − −
→ →
A · B = A B cos θ,
podemos calcular el angulo entre los dos vectores, de esta forma la proyecci´n
´ o
→
− →
−
del vector A sobre el vector B est´ dada por:
a
23

24.  
→ →
− − →
−
→
− →  A·B  B
−
proy→ A
−
B
= A → −
− → →
−
A B B
→ →
− −
A ·B→
−
= B
→2
−
B
→ →
− −
A ·B→
−
= → → B,
− −
B·B
→
−
donde se aplic´ la propiedad de la norma del producto escalar. Para vector A 2 ,
o
→ → →
− − − →
−
obs´rvese que el vector C = B × A es perpendicular tanto al vector A como
e
→
− → →
− −
al vector B , es decir, saliendo de la hoja, de tal forma que el vector C × A ser´
a
→
− → →
− − →
−
un vector que est´ en la direcci´n de A 2 , es decir, el vector B × A × A esta
a o
−
→
en direcci´n de A , de tal forma que la magnitud de este vector est´ dada por:
o a
→ →
− − →
− − − −
→ → →
B × A × B = B × A B sin φ,
→ →
− − →
−
donde el angulo φ entre los vectores B × A y B es de 900 , de esta forma
´
como sin 900 = 1, obtenemos
− −
→ → −
→ → →
− − →
−
B × A × B = B A sin θ B ,
es decir,
→ →
− − →
− → →2
− −
B × A × B = A B sin θ,
por otro lado, de la figura
→
− →
−
A 2 = A sin θ,
por lo tanto,
→ →
− − →
−
→
− B×A ×B
A2 = → →
− − ,
B·B
→
− →
−
finalmente, sustituyendo los valores de los vectores A 1 y A 2 obtenemos,
24

25. → →
− − → →
− − →
−
→
− A ·B→
− B×A ×B
A = → →B +
− − → →
− − .
B·B B·B
25

26. Problema 14.
Encuentre un vector unitario perpendicular a los vectores
→
−
A = 2i + 2j − 3k,
→
−
B = i + 3j − k,
a) Aplicando el producto escalar.
b) Aplicando el producto vectorial (sin hacer uso de la definici´n del deter-
o
minante).
Soluci´n:
o
→
−
a) Debemos encontrar un vector C = (C1 , C2 , C3 ) que sea perpendicular a
→ →
− −
los vectores A y B simult´neamente, es decir que cumpla que,
a
→ →
− −
A·C = 0,
→ →
− −
B·C = 0,
realizando el producto escalar de los vectores dados obtenemos,
2C1 + 2C2 − 3C3 = 0,
C1 + 3C2 + C3 = 0,
resolviendo el sistema de ecuaciones (multiplicando la segunda ecuaci´n por −2
o
y sum´ndo ´sta con la primera ecuaci´n) obtenemos,
a e o
−4C2 − 5C3 = 0,
de donde,
−5
C2 = C3 ,
4
sustituyendo este valor para C2 ,en por ejemplo la segunda ecuaci´n, obtenemos
o
−5
C1 = −3 C3 − C3
4
11
= C3 .
4
De esta forma, el vector buscado tiene la forma,
→ 11
− 5
C = C3 i − C3 j + C3 k,
4 4
26

27. →
−
adem´s el vector buscado, C , debe cumplir que sea unitario, es decir que cumpla
a
que,
→
−
C = 1,
aplicando la definici´n para calcular la magnitud de un vector, obtenemos
o
2 2
11 5 2
C3 + C3 + C3 = 1
4 4
2
C3
(121 + 25 + 16) = 1
16
√
2 162
C3 = 1
4
despejando C3 , obtenemos
4 4
C3 = ± √ =± √
162 9 2
→
−
finalmente, al sustituir el valor de C3 , en la expresi´n para el vector C , obten-
o
emos
→
− 1
C = ± √ (11i − 5j + 4k)
9 2
b) En esta parte, como se nos pide que no hagamos uso del determinante
→ → →
− − −
para calcular el producto vectorial, que como se sabe C = A × B , es un vector
→
− →
−
que por definici´n es perpendicular tanto a A como a B , debemos emplear
o
las propiedades (anticonmutativa, asociativa, distributiva, etc.) que cumple el
producto vectorial, por lo tanto
→ →
− −
A×B = (2i + 2j − 3k) × (i + 3j + k)
= (2i + 2j − 3k) × i + (2i + 2j − 3k) × (3j) + (2i + 2j − 3k) × k
= −i × (2i + 2j − 3k) − 3j(2i + 2j − 3k) − k × (2i + 2j − 3k)
= −2 × i − 2i × j + 3j × k − 6j × i − 6j × j + 9j × k − 2k × i − 2k × j + 3k × k
= −2k − 3j + 6k + 9i − 2j + 2i
= 11i − 5j + 4k,
finalmente, el vector unitario estar´ dado por:
a
27

28. → →
− −
A×B 11i − 5j + 4k 1
e→×→
− −
A B
= → → = √
− − = ± √ 11i − 5j + 4k .
A×B 121 + 25 + 16 9 2
28

29. Problema 15.
→
−
Hallar un vector unitario que forme un angulo de 45 ◦ con el vector A =
´
→
−
2i + 2j − k y un angulo de 60◦ con el vector B = j − k.
´
Soluci´n:
o
→
− →
−
Buscamos un vector de la forma C = (C1 , C2 , C3 ) donde el vector C debe
cumplir,
→ →
− −
A·C = AC cos 45◦
→ →
− −
B·C = BC cos 60◦
y
→
−
C =1
es decir,
2 1
2 i + 2 j − k · C1 i + C 2 j + C 3 k = 22 + 22 + (−1) √
2
2 1
j − k · C1 i + C 2 j + C 3 k = 12 + (−1)
2
2 2 2
(C1 ) + (C2 ) + (C3 ) = 1
que resulta,
3
(1) 2C1 + 2C2 − C3 = √
2
√
2
(2) C 2 − C3 = 2
2 2 2
(3) (C1 ) + (C2 ) + (C3 ) = 1
as´ se tienen 3 ecuaciones con 3 incognitas. Por lo tanto, la soluci´n del prob-
ı, o
lema se tendr´ al resolver simult´neamente las √
a a ecuaciones (1), (2) y (3).
De la ecuaci´n (2), obtenemos C3 = C2 − 22 , sustituyendo en la ecuaci´n
o o
(1) obtenemos,
√
2 3
2C1 + 2C2 − C2 − = √
2 2
1 3
2C1 + 2C2 − C2 + √ = √
2 2
2
2C1 + C2 = √
2
29

30. finalmente, obtenemos
1 C2
C1 = √ − .
2 2
→
−
Por lo tanto el vector C ser´ de la forma,
a
→
− 1 C2 1
4) C = √
2
− 2 i + C 2 j + C2 − √
2
k,
aplicando la ecuaci´n (3),
o
2 2
1 C 1
√ − 2 2
+ (C2 ) + C2 − √ = 1,
2 2 2
realizando un poco de algebra se obtiene,
´
2
1 1 C2 (C2 ) 2 2 1 1
−2 √ + + (C2 ) + (C2 ) − 2C2 √ + = 1
2 2 2 4 2 2
2
1 C2 (C2 ) 2 2 1 1
−√ + + (C2 ) + (C2 ) − 2C2 √ + = 1
2 2 4 2 2
9 2 3
(C2 ) − √ C2 = 0
4 2
√
3 3 2
√ C2 C2 − 1 = 0
2 4
por lo tanto las soluciones para C2 son:
C21 = 0,
y
4
C22 = √ ,
3 2
sustituyendo en la ecuaci´n (4) finalmente obtenemos,
o
→
− 1 1 1 1
C1 = √ i+ √ k = √ , 0, − √ ,
2 2 2 2
y
30

31. −
→ 1 1 4 4 4 1
C2 = √ − √ i+ √ j+ √ −√ k
2 2 3 2 3 2 3 2 2
1 4 1
= √ i+ √ j+ √ k
3 2 3 2 3 2
1 4 1
= √ , √ , √
3 2 3 2 3 2
31

32. Problema 16.
Escriba un vector de magnitud 5, paralelo al plano 3x + 4y + 5z = 10 y
perpendicular al vector i + 2j + 2k.
Soluci´n:
o
→
−
Se pide un vector de la forma C = C1 i + C2 j + C3 k que sea paralelo al
→
−
plano 3x + 4y + 5z = 10 y perpendicular al vector A = i + 2j + 2k, es decir,
que cumpla las siguientes condiciones:
→ →
− −
C · A = 0,
→ →
− −
C · N = 0,
→
−
donde N = 3i + 4j + 5k, es el vector normal al plano. Calculando los productos
escalares, las condiciones anteriores se pueden escribir de la forma,
C1 + 2C2 + 2C3 = 0,
3C1 + 4C2 + 5C3 = 0,
resolviendo simult´neamente las ecuaciones anteriores obtenemos,
a
C1 = 2C2 ,
C3 = −2C2,
→
−
por lo tanto, el vector C ser´ de la forma,
a
→
−
C = 2C2 i + C2 j − 2C2 k,
y aplicando la condici´n de que el vector debe ser de magnitud 5, es decir
o
→
−
C = 5, obtenemos
5 = 2 2 2
4C2 + C2 + 4C2
= 2
9C2
= ±3C2 ,
32

33. de donde,
5
C2 = ± ,
3
finalmente, el vector pedido es de la forma,
→
− 5
C =± 2i + j − 2 k .
3
33

34. Problema 17.
Hallar un vector unitario paralelo al plano XY y perpendicular al vector
4i − 3j − k.
Soluci´n:
o
→
− →
−
Se pide un vector C de la forma, C = C1 i + C2 j, la componente C3 es
→
−
cero debido a que el vector C debe ser paralelo al plano XY y por lo tanto
→
−
no tiene componente en k, adem´s el vector C debe ser perpendicular al vector
a
→
−
A = 4i − 3j − k, por lo tanto cumple la condici´n,
o
→ →
− −
C · A = 0,
es decir,
C1 i − C2 j · 4i − 3j − k = 0,
de donde obtenemos,
3
C1 = C2 .
4
→
−
Por lo tanto, el vector pedido tendr´ la forma C = 3 C2 i + C2 j. Tambi´n
a 4 e
→
−
por hip´tesis, se pide que el vector C sea unitario, es decir que cumpla que
o
→
−
C = 1, por lo tanto
2
→
− 3 2 2 9 5
1= C = C2 + (C2 ) = (C2 ) 1+ = ± C2 ,
4 16 4
de donde, obtenemos
4
C2 = ± ,
5
y
3 4 3
C1 = ± =± ,
4 5 5
finalmente, el vector pedido est´ dado por,
a
→
− 3 4
C = ± i ± j.
4 5
34

35. Problema 18.
a) Hallar un vector unitario que forme un angulo de 30 0 con el vector j y
´
√
formando angulos iguales con los vectores i y k cos 300 = 23 .
´
Soluci´n:
o
→
−
El vector que estamos buscando es de la forma C = (C1 , C2 , C3 ) donde el
→
−
vector C debe cumplir que,
→
− →
−
1) C · i = C i cos θ = cos θ,
→
− →
−
2) C · k = C k cos θ = cos θ,
→
− →
−
3) C · j = C j cos 300 = cos 300 ,
por definici´n de los vectores unitarios i = (1, 0, 0), j = (0, 0, 1) y k = (0, 0, 1),
o
aplicando la definici´n del producto escalar para vectores en el espacio, y de
o
las ecuaciones 1) y 2) obtenemos,
C1 = C 3 ,
asimismo de la ecuaci´n 3), se tiene
o
√
3
C2 = ,
2
sustituyendo las ecuaciones anteriores, el vector pedido tiene la forma,
√
→
− 3
C = C1 , , C1 ,
2
para encontrar la componente C1 aplicamos la condici´n de que tiene que ser el
o
→
− →
−
vector C unitario, es decir, C = 1, de esta forma
√ 2
2
3
C1 + + C1 2 = 1,
2
de donde obtenemos,
1
C1 = ± √ ,
8
por lo tanto, el vector pedido tiene la forma,
√
→
− 1 3 1
C =± √ , ,√ .
8 2 8
35

36. Problema 19.
Siendo el vector de posici´n → de un punto dado (x0 , y0 , z0 ) y → el vector
o −a −r
de posici´n de un punto cualquiera (x, y, z), hallar el lugar geom´trico de → si:
o e −
r
a).− (→ − →) · → = 0
− − −
r a a
→ − →) · → = 0
− − −
b).− ( r a r
Soluci´n:
o
a) Sean los vectores
→
−
a = (x0 , y0 , z0 ),
→
−
r = (x, y, z),
entonces,
(→ − →) · → = 0,
− − −
r a a
(x − x0 , y − y0 , z − z0 ) · (x0 , y0 , z0 ) = 0,
x0 (x − x0 ) + y0 (y − y0 ) + z0 (z − z0 ) = 0,
si hacemos d = x2 + y0 + z0 , la ecuaci´n anterior se puede escribir de la forma,
0
2 2
o
x0 x + y0 y + z0 z = d,
que es la ecuaci´n de un plano que pasa por un extremo del vector → y es
o −
a
perpendicular al vector →.
−
a
En forma an´loga al inciso a), tenemos
a
(→ − → ) · → = 0
− − −
r a r
x(x − x0 ) + y(y − y0 ) + z(z − z0 ) = 0,
x2 + y0 + z0 − xx0 − yy0 − zz0 = 0,
0
2 2
completando cuadrados en la expresi´n anterior, obtenemos
o
x0 2 y0 z0 1
(x − ) + (y − )2 + (z − )2 = (x2 + y0 + z0 ),
2 2
2 2 2 4 0
que es la ecuaci´n de una esfera con centro en el punto x0 , y0 , z2
o 2 2
0
y radio
1
r= 2 0
2 2
x2 + y0 + z 0 .
36

37. Problema 20.
ınea recta x − 1 =
Determine el angulo entre el plano x + y + z = 21 y la l´
´
y + 2 = 2z + 3.
Soluci´n:
o
Sabemos que la ecuaci´n ax + by + cz = d, es la ecuaci´n de un plano que
o o
→
−
pasa por un punto y tiene como normal al vector N = (a, b, c) , asimismo, la
ecuaci´n x−x0 = y−y0 = z−z0 , representa la ecuaci´n de una l´
o a1 b1 c1 o ınea recta que
→ = (x , y , z ) y es paralela al vector → = (a , b , c ) , por
−
pasa por el punto r
−
A
0 0 0 0 1 1 1
lo tanto, para calcular el angulo entre el plano y la l´
´ ınea recta es equivalente a
→
− →
−
calcular el angulo entre los vectores N y A . En este caso, para el plano dado
´
→
−
tenemos que el vector normal est´ dado por N = (1, 1, 1) y para identificar el
a
vector paralelo a la recta dada, reescribimos la ecuaci´n de la recta de la forma,
o
3
x−1 y − (−2) z − (− 2 )
= = 1
1 1 2
de donde, obtenemos
→
−
r0 = (−1, −2, −3/2) ,
→
−
A = (1, 1, 1/2).
−
→ −
→
Para obtener el angulo entre los vectores N y A , aplicamos la definici´n
´ o
del producto escalar de dos vectores dado por,
→ →
− − → →
− −
N · A = N A cos θ,
de donde,
 
→ →
− −
−1  A •N 
θ = cos → → ,
− −
A N
→
− →
−
sustituyendo los vectores A y N , obtenemos
 
(1, 1, 1/2) · (1, 1, 1)
θ = cos−1  
1
(1)2 + ( 2 )2 (1)2 + (1)2 + (1)
 
5/2 
θ = cos−1 
27
4
5
= cos−1 √ .
3 3
37

38. Problema 21.
Encuentre una combinaci´n lineal (si existe) para los siguientes vectores:
o
−
→
A1 = −2i + 12j − 4k,
−
→
A2 = i − 6j + 2k,
−
→
A3 = 2j + 7k,
Soluci´n:
o
Para verificar si existe una combinaci´n lineal entre los vectores, debemos
o
encontrar escalares x, y y z para verificar si al menos uno de ´stos escalares es
e
distinto de cero, tal que se cumpla que:
−
→ −
→ −
→ → −
x A1 + y A2 + z A3 = 0 ,
es decir,
x(−2, 12, −4) + y(1, −6, 2) + z(0, 2, 7) = (0, 0, 0)
(−2x + y, 12x − 6y + 2z, −4x + 2y + 7y) = (0, 0, 0)
aplicando igualdad de vectores en el espacio (dos vectores son iguales si son
iguales componente a componente), obtenemos el siguiente sistema de ecua-
ciones,
−2x + y = 0,
12x − 6y + 2z = 0,
−4x + 2y + 7z = 0.
Al resolver este sistema de ecuaciones (se obtiene la soluci´n si se aplica, por
o
ejemplo el m´todo de Gauss), el sistema es equivalente al sistema,
e
−2x + y = 0
z = 0
la soluci´n del sistema anterior, es de la forma
o
y = 2x,
x = α∈R
z = 0
es decir, la soluci´n del sistema es la terna,
o
(x, y, z) = (α, 2α, 0) = α(1, 2, 0),
38

39. para toda α ∈ R, as´ por ejemplo si α = 1, entonces una soluci´n del sistema
ı o
ser´ de la forma,
a
x = 1,
y = 2,
z = 0,
− −
→ → − →
por lo tanto, la combinaci´n lineal de los vectores A1 , A2 y A3 est´ dada por:
o a
−
→ −
→ −
→ → −
A1 + 2 A2 + 0 A3 = 0
o tambi´n
e
→
− −
→
A1 = −2A2 .
39

40. Problema 22.
Encuentre una combinaci´n lineal (si existe) de los vectores
o
→
−
A = 2ˆ +  − 3k,
ı ˆ
→
−
B = ˆ − 2ˆ − 4k,
ı 
→
−
C = 4ˆ + 3ˆ − k,
ı 
Soluci´n:
o
Verifiquemos primeramente si los vectores son l.i. o l.d., para esto apliquemos
la propiedad del producto triple escalar que establece la condici´n necesaria para
o
→ → →
− − −
la dependencia lineal, es decir; si A • B × C = 0, entonces los vectores est´n a
en un plano y son linealmente dependientes, de esta forma,
2 1 −3
→ → →
− − −
A•B×C = 1 −2 −4
4 3 −1
= 2 (2 + 12) − 1 (−1 + 16) − 3 (3 + 8)
= 2 (14) − 1 (15) − 3 (11)
= 28 − 15 − 33
= −20,
− −
→ → → − − −
→ → −
→
de lo anterior, como A • B × C = 0, entonces los vectores A , B y C son
linealmente independientes, y por lo tanto, no existe combinaci´n lineal de ellos.
o
40