2. Aussagenlogik
• Die Aussagenlogik beschreibt die Wahrheitsfunktionen von
zusammengesetzten Aussagen
• Die Aussagenlogik sagt nichts über die Wahrheit atomarer
Aussagen.
• Atomare Aussagen können durch Junktoren
(=„Verbindern“) zu neuen Aussagen verbunden werden
• Die klassische Aussagenlogik geht von zwei möglichen
Wahrheitswerten aus: „Wahr“ (true, T, W, 1) oder „Falsch“
(false, F, 0) (Zweiwertigkeit)
• Menge der Wahrheitswerte Ω = {W , F }
3. Aussagenlogik
• Die Aussagenlogik beschreibt die Wahrheitsfunktionen von
zusammengesetzten Aussagen
• Die Aussagenlogik sagt nichts über die Wahrheit atomarer
Aussagen.
• Atomare Aussagen können durch Junktoren
(=„Verbindern“) zu neuen Aussagen verbunden werden
• Die klassische Aussagenlogik geht von zwei möglichen
Wahrheitswerten aus: „Wahr“ (true, T, W, 1) oder „Falsch“
(false, F, 0) (Zweiwertigkeit)
• Menge der Wahrheitswerte Ω = {W , F }
4. Aussagenlogik
• Die Aussagenlogik beschreibt die Wahrheitsfunktionen von
zusammengesetzten Aussagen
• Die Aussagenlogik sagt nichts über die Wahrheit atomarer
Aussagen.
• Atomare Aussagen können durch Junktoren
(=„Verbindern“) zu neuen Aussagen verbunden werden
• Die klassische Aussagenlogik geht von zwei möglichen
Wahrheitswerten aus: „Wahr“ (true, T, W, 1) oder „Falsch“
(false, F, 0) (Zweiwertigkeit)
• Menge der Wahrheitswerte Ω = {W , F }
5. Aussagenlogik
• Die Aussagenlogik beschreibt die Wahrheitsfunktionen von
zusammengesetzten Aussagen
• Die Aussagenlogik sagt nichts über die Wahrheit atomarer
Aussagen.
• Atomare Aussagen können durch Junktoren
(=„Verbindern“) zu neuen Aussagen verbunden werden
• Die klassische Aussagenlogik geht von zwei möglichen
Wahrheitswerten aus: „Wahr“ (true, T, W, 1) oder „Falsch“
(false, F, 0) (Zweiwertigkeit)
• Menge der Wahrheitswerte Ω = {W , F }
6. Aussagenlogik
• Die Aussagenlogik beschreibt die Wahrheitsfunktionen von
zusammengesetzten Aussagen
• Die Aussagenlogik sagt nichts über die Wahrheit atomarer
Aussagen.
• Atomare Aussagen können durch Junktoren
(=„Verbindern“) zu neuen Aussagen verbunden werden
• Die klassische Aussagenlogik geht von zwei möglichen
Wahrheitswerten aus: „Wahr“ (true, T, W, 1) oder „Falsch“
(false, F, 0) (Zweiwertigkeit)
• Menge der Wahrheitswerte Ω = {W , F }
7. Aussagenlogik
• Die klassische Aussagenlogik besitzt 5 klassische
Junktoren Negation, Konjunktion, Disjunktion, materiale
Implikation (Subjunktion, Konditional), Bikonditional
• Junktoren sind einstellige (Negation) oder zweistellige
Funktionen der Wahrheitswerte in die Wahrheitswerte
f1 : Ω → Ω
f2 : Ω × Ω → Ω
• Traditionell und am einfachsten durch Wahrheitstafeln
darstellt
8. Aussagenlogik
• Die klassische Aussagenlogik besitzt 5 klassische
Junktoren Negation, Konjunktion, Disjunktion, materiale
Implikation (Subjunktion, Konditional), Bikonditional
• Junktoren sind einstellige (Negation) oder zweistellige
Funktionen der Wahrheitswerte in die Wahrheitswerte
f1 : Ω → Ω
f2 : Ω × Ω → Ω
• Traditionell und am einfachsten durch Wahrheitstafeln
darstellt
9. Aussagenlogik
• Die klassische Aussagenlogik besitzt 5 klassische
Junktoren Negation, Konjunktion, Disjunktion, materiale
Implikation (Subjunktion, Konditional), Bikonditional
• Junktoren sind einstellige (Negation) oder zweistellige
Funktionen der Wahrheitswerte in die Wahrheitswerte
f1 : Ω → Ω
f2 : Ω × Ω → Ω
• Traditionell und am einfachsten durch Wahrheitstafeln
darstellt
10. Aussagenlogik
• Der Wahrheitswert ω(P) von zusammengesetzten
Aussagen ergibt sich aus den Wahrheitswerten der
Einzelaussagen und den Funktionswerten der beteiligten
Junktoren (Extensionalität)
• Zwei Aussagen P, Q heißen äquivalent (P ⇒ Q, P = Q),
wenn sie bei jeder Interpretation denselben Wahrheitswert
ergeben
11. Aussagenlogik
• Der Wahrheitswert ω(P) von zusammengesetzten
Aussagen ergibt sich aus den Wahrheitswerten der
Einzelaussagen und den Funktionswerten der beteiligten
Junktoren (Extensionalität)
• Zwei Aussagen P, Q heißen äquivalent (P ⇒ Q, P = Q),
wenn sie bei jeder Interpretation denselben Wahrheitswert
ergeben
12. Aussagenlogik
• Negation (¬P): Umkehrung des Wahrheitswertes
¬W = F
¬F = W
• Idempotent: ¬¬P = P
• Beispiel: P = „2147483647 ist eine Primzahl“, ¬P =
„2147483647 ist keine Primzahl“
13. Aussagenlogik
• Negation (¬P): Umkehrung des Wahrheitswertes
¬W = F
¬F = W
• Idempotent: ¬¬P = P
• Beispiel: P = „2147483647 ist eine Primzahl“, ¬P =
„2147483647 ist keine Primzahl“
14. Aussagenlogik
• Negation (¬P): Umkehrung des Wahrheitswertes
¬W = F
¬F = W
• Idempotent: ¬¬P = P
• Beispiel: P = „2147483647 ist eine Primzahl“, ¬P =
„2147483647 ist keine Primzahl“
15. Aussagenlogik
• Konjunktion (P ∧ Q): Umgangsprachlich „und“. Wahr,
wenn beide Aussagen wahr sind
∧ W F
W W F
F F F
• Kommutativ und Assoziativ: P ∧ Q = Q ∧ P,
(P ∧ Q) ∧ R = P ∧ (Q ∧ R)
• Beispiel: P = „4 ist eine gerade Zahl“ (W), Q =“4 ist eine
Primzahl“ (F), P ∧ Q = „4 ist eine gerade Primzahl“ (F)
16. Aussagenlogik
• Konjunktion (P ∧ Q): Umgangsprachlich „und“. Wahr,
wenn beide Aussagen wahr sind
∧ W F
W W F
F F F
• Kommutativ und Assoziativ: P ∧ Q = Q ∧ P,
(P ∧ Q) ∧ R = P ∧ (Q ∧ R)
• Beispiel: P = „4 ist eine gerade Zahl“ (W), Q =“4 ist eine
Primzahl“ (F), P ∧ Q = „4 ist eine gerade Primzahl“ (F)
17. Aussagenlogik
• Konjunktion (P ∧ Q): Umgangsprachlich „und“. Wahr,
wenn beide Aussagen wahr sind
∧ W F
W W F
F F F
• Kommutativ und Assoziativ: P ∧ Q = Q ∧ P,
(P ∧ Q) ∧ R = P ∧ (Q ∧ R)
• Beispiel: P = „4 ist eine gerade Zahl“ (W), Q =“4 ist eine
Primzahl“ (F), P ∧ Q = „4 ist eine gerade Primzahl“ (F)
18. Aussagenlogik
• Disjunktion (P ∨ Q): Umgangsprachlich „oder“. Wahr,
wenn mindesten eine der Aussagen wahr ist (nicht
„entweder- oder“!)
∨ W F
W W W
F W F
• Kommutativ und Assoziativ: P ∨ Q = Q ∨ P,
(P ∨ Q) ∨ R = P ∨ (Q ∨ R)
• Beispiel: P = „4 ist eine gerade Zahl“ (W), Q =“4 ist eine
Primzahl“ (F), P ∨ Q = „4 ist eine Primzahl oder 4 ist
gerade“ (W)
19. Aussagenlogik
• Disjunktion (P ∨ Q): Umgangsprachlich „oder“. Wahr,
wenn mindesten eine der Aussagen wahr ist (nicht
„entweder- oder“!)
∨ W F
W W W
F W F
• Kommutativ und Assoziativ: P ∨ Q = Q ∨ P,
(P ∨ Q) ∨ R = P ∨ (Q ∨ R)
• Beispiel: P = „4 ist eine gerade Zahl“ (W), Q =“4 ist eine
Primzahl“ (F), P ∨ Q = „4 ist eine Primzahl oder 4 ist
gerade“ (W)
20. Aussagenlogik
• Disjunktion (P ∨ Q): Umgangsprachlich „oder“. Wahr,
wenn mindesten eine der Aussagen wahr ist (nicht
„entweder- oder“!)
∨ W F
W W W
F W F
• Kommutativ und Assoziativ: P ∨ Q = Q ∨ P,
(P ∨ Q) ∨ R = P ∨ (Q ∨ R)
• Beispiel: P = „4 ist eine gerade Zahl“ (W), Q =“4 ist eine
Primzahl“ (F), P ∨ Q = „4 ist eine Primzahl oder 4 ist
gerade“ (W)
21. Aussagenlogik
• Konditional, materiale Implikation (P → Q):
Umgangsprachlich „(schon) wenn - dann“. Falsch, wenn
aus einer wahren Aussagen etwas Falsches „folgt“.
P Q P→Q
W W W
W F F
F W W ex falso sequitur quodlibet
F F W ex falso sequitur quodlibet
• Nicht assoziativ, nicht kommutativ.
• Beispiel: P = „Es regnet“, Q =“Die Straße ist nass“, P → Q
= „Wenn es regnet, dann ist die Straße nass“
22. Aussagenlogik
• Konditional, materiale Implikation (P → Q):
Umgangsprachlich „(schon) wenn - dann“. Falsch, wenn
aus einer wahren Aussagen etwas Falsches „folgt“.
P Q P→Q
W W W
W F F
F W W ex falso sequitur quodlibet
F F W ex falso sequitur quodlibet
• Nicht assoziativ, nicht kommutativ.
• Beispiel: P = „Es regnet“, Q =“Die Straße ist nass“, P → Q
= „Wenn es regnet, dann ist die Straße nass“
23. Aussagenlogik
• Konditional, materiale Implikation (P → Q):
Umgangsprachlich „(schon) wenn - dann“. Falsch, wenn
aus einer wahren Aussagen etwas Falsches „folgt“.
P Q P→Q
W W W
W F F
F W W ex falso sequitur quodlibet
F F W ex falso sequitur quodlibet
• Nicht assoziativ, nicht kommutativ.
• Beispiel: P = „Es regnet“, Q =“Die Straße ist nass“, P → Q
= „Wenn es regnet, dann ist die Straße nass“
24. Aussagenlogik
• Bikonditional (P ↔ Q): Umgangsprachlich „genau wenn -
dann“. P ↔ Q ⇔ P → Q ∧ Q → P
P Q P↔Q
W W W
W F F
F W F
F F W
• Kommutativ und assoziativ
• Beispiel: P = „x besitzt nur sich selbst und 1 als Teiler“, Q
=“x ist eine Primzahl“, P ↔ Q = „x ist genau dann eine
Primzahl, wenn es nur sich selbst und 1 als Teiler besitzt“
25. Aussagenlogik
• Bikonditional (P ↔ Q): Umgangsprachlich „genau wenn -
dann“. P ↔ Q ⇔ P → Q ∧ Q → P
P Q P↔Q
W W W
W F F
F W F
F F W
• Kommutativ und assoziativ
• Beispiel: P = „x besitzt nur sich selbst und 1 als Teiler“, Q
=“x ist eine Primzahl“, P ↔ Q = „x ist genau dann eine
Primzahl, wenn es nur sich selbst und 1 als Teiler besitzt“
26. Aussagenlogik
• Bikonditional (P ↔ Q): Umgangsprachlich „genau wenn -
dann“. P ↔ Q ⇔ P → Q ∧ Q → P
P Q P↔Q
W W W
W F F
F W F
F F W
• Kommutativ und assoziativ
• Beispiel: P = „x besitzt nur sich selbst und 1 als Teiler“, Q
=“x ist eine Primzahl“, P ↔ Q = „x ist genau dann eine
Primzahl, wenn es nur sich selbst und 1 als Teiler besitzt“
27. Aussagenlogik
• Tautologie: Logische Form, die immer „Wahr“ ist,
unabhängig vom Wahrheitswert der Aussagen, z. B.
P ∨ ¬P (Satz vom ausgeschlossenen Dritten, tertium non
datur )
P ¬P P ∨¬ P
W F W
F W W
28. Aussagenlogik
• Widerspruch: Logische Form, die immer „Falsch“ ist,
unabhängig vom Wahrheitswert der Aussagen, z. B.
P ∧ ¬P (Verneinung des Satz vom Widerspruch)
P ¬P P ∧¬ P
W F F
F W F
• Paradoxon: Logische Form, der kein (sinnvoller)
Wahrheitswert zugeordnet werden kann (in der einfachen
klassischen Aussagenlogik nicht möglich, da dort jeder
Satz einen Wahrheitswert haben muss. Erscheint bei
Selbstreferentialität, z. B. in der Prädikatenlogik 2. Stufe)
29. Aussagenlogik
• Widerspruch: Logische Form, die immer „Falsch“ ist,
unabhängig vom Wahrheitswert der Aussagen, z. B.
P ∧ ¬P (Verneinung des Satz vom Widerspruch)
P ¬P P ∧¬ P
W F F
F W F
• Paradoxon: Logische Form, der kein (sinnvoller)
Wahrheitswert zugeordnet werden kann (in der einfachen
klassischen Aussagenlogik nicht möglich, da dort jeder
Satz einen Wahrheitswert haben muss. Erscheint bei
Selbstreferentialität, z. B. in der Prädikatenlogik 2. Stufe)
30. Aussagenlogik
• Es gelten die de Morgan’schen Gesetze
(P ∨ Q) = ¬(¬P ∧ ¬Q)
(P ∧ Q) = ¬(¬P ∨ ¬Q)
• Distributivgesetze
(P ∨ Q) ∧ R = (P ∧ R) ∨ (Q ∧ R)
(P ∧ Q) ∨ R = (P ∨ R) ∧ (Q ∨ R)
• Absorptionsgesetze
P ∨ (P ∧ Q) = P
P ∧ (P ∨ Q) = P
31. Aussagenlogik
• Es gelten die de Morgan’schen Gesetze
(P ∨ Q) = ¬(¬P ∧ ¬Q)
(P ∧ Q) = ¬(¬P ∨ ¬Q)
• Distributivgesetze
(P ∨ Q) ∧ R = (P ∧ R) ∨ (Q ∧ R)
(P ∧ Q) ∨ R = (P ∨ R) ∧ (Q ∨ R)
• Absorptionsgesetze
P ∨ (P ∧ Q) = P
P ∧ (P ∨ Q) = P
32. Aussagenlogik
• Es gelten die de Morgan’schen Gesetze
(P ∨ Q) = ¬(¬P ∧ ¬Q)
(P ∧ Q) = ¬(¬P ∨ ¬Q)
• Distributivgesetze
(P ∨ Q) ∧ R = (P ∧ R) ∨ (Q ∧ R)
(P ∧ Q) ∨ R = (P ∨ R) ∧ (Q ∨ R)
• Absorptionsgesetze
P ∨ (P ∧ Q) = P
P ∧ (P ∨ Q) = P
33. Aussagenlogik
• Junktoren lassen sich durch durch andere Junktoren
ausdrücken, z. B. de Morgan’sche Gesetze.
• Für die Aussagenlogik reicht in der Tat ein einziger Junktor,
z. B. Nicht-Oder (NOR, P ↓ Q := ¬(P ∨ Q),
Peirce-Funktion).
¬P = P ↓ P
P ∨ Q = (P ↓ Q) ↓ (P ↓ Q)
P ∧ Q = (P ↓ P) ↓ (Q ↓ Q)
34. Aussagenlogik
• Junktoren lassen sich durch durch andere Junktoren
ausdrücken, z. B. de Morgan’sche Gesetze.
• Für die Aussagenlogik reicht in der Tat ein einziger Junktor,
z. B. Nicht-Oder (NOR, P ↓ Q := ¬(P ∨ Q),
Peirce-Funktion).
¬P = P ↓ P
P ∨ Q = (P ↓ Q) ↓ (P ↓ Q)
P ∧ Q = (P ↓ P) ↓ (Q ↓ Q)
35. Prädikatenlogik
• In der Prädikatenlogik betrachtet man auch die innere
Struktur von Aussagen
• Prädikatenlogik 1. Stufe: Quantorenlogik
• Elemente:
• Variablen: x, y, z (v. a. gebundene Variable)
• Konstanten: a, b, c (v. a.freie Variable)
• Aussagen: P, Q, R
• Aussageformen: Funktionen von Variablen, z. B. „F(x)“
• Junktoren ¬, ∨, ∧, →, ↔
• ∀ (Allquantor, „Für alle “)
• ∃ (Existenzquantor, „Es gibt (mindestens) ein")
36. Prädikatenlogik
• In der Prädikatenlogik betrachtet man auch die innere
Struktur von Aussagen
• Prädikatenlogik 1. Stufe: Quantorenlogik
• Elemente:
• Variablen: x, y, z (v. a. gebundene Variable)
• Konstanten: a, b, c (v. a.freie Variable)
• Aussagen: P, Q, R
• Aussageformen: Funktionen von Variablen, z. B. „F(x)“
• Junktoren ¬, ∨, ∧, →, ↔
• ∀ (Allquantor, „Für alle “)
• ∃ (Existenzquantor, „Es gibt (mindestens) ein")
37. Prädikatenlogik
• In der Prädikatenlogik betrachtet man auch die innere
Struktur von Aussagen
• Prädikatenlogik 1. Stufe: Quantorenlogik
• Elemente:
• Variablen: x, y, z (v. a. gebundene Variable)
• Konstanten: a, b, c (v. a.freie Variable)
• Aussagen: P, Q, R
• Aussageformen: Funktionen von Variablen, z. B. „F(x)“
• Junktoren ¬, ∨, ∧, →, ↔
• ∀ (Allquantor, „Für alle “)
• ∃ (Existenzquantor, „Es gibt (mindestens) ein")
38. Prädikatenlogik
• In der Prädikatenlogik betrachtet man auch die innere
Struktur von Aussagen
• Prädikatenlogik 1. Stufe: Quantorenlogik
• Elemente:
• Variablen: x, y, z (v. a. gebundene Variable)
• Konstanten: a, b, c (v. a.freie Variable)
• Aussagen: P, Q, R
• Aussageformen: Funktionen von Variablen, z. B. „F(x)“
• Junktoren ¬, ∨, ∧, →, ↔
• ∀ (Allquantor, „Für alle “)
• ∃ (Existenzquantor, „Es gibt (mindestens) ein")
39. Prädikatenlogik
• In der Prädikatenlogik betrachtet man auch die innere
Struktur von Aussagen
• Prädikatenlogik 1. Stufe: Quantorenlogik
• Elemente:
• Variablen: x, y, z (v. a. gebundene Variable)
• Konstanten: a, b, c (v. a.freie Variable)
• Aussagen: P, Q, R
• Aussageformen: Funktionen von Variablen, z. B. „F(x)“
• Junktoren ¬, ∨, ∧, →, ↔
• ∀ (Allquantor, „Für alle “)
• ∃ (Existenzquantor, „Es gibt (mindestens) ein")
40. Prädikatenlogik
• In der Prädikatenlogik betrachtet man auch die innere
Struktur von Aussagen
• Prädikatenlogik 1. Stufe: Quantorenlogik
• Elemente:
• Variablen: x, y, z (v. a. gebundene Variable)
• Konstanten: a, b, c (v. a.freie Variable)
• Aussagen: P, Q, R
• Aussageformen: Funktionen von Variablen, z. B. „F(x)“
• Junktoren ¬, ∨, ∧, →, ↔
• ∀ (Allquantor, „Für alle “)
• ∃ (Existenzquantor, „Es gibt (mindestens) ein")
41. Prädikatenlogik
• In der Prädikatenlogik betrachtet man auch die innere
Struktur von Aussagen
• Prädikatenlogik 1. Stufe: Quantorenlogik
• Elemente:
• Variablen: x, y, z (v. a. gebundene Variable)
• Konstanten: a, b, c (v. a.freie Variable)
• Aussagen: P, Q, R
• Aussageformen: Funktionen von Variablen, z. B. „F(x)“
• Junktoren ¬, ∨, ∧, →, ↔
• ∀ (Allquantor, „Für alle “)
• ∃ (Existenzquantor, „Es gibt (mindestens) ein")
42. Prädikatenlogik
• In der Prädikatenlogik betrachtet man auch die innere
Struktur von Aussagen
• Prädikatenlogik 1. Stufe: Quantorenlogik
• Elemente:
• Variablen: x, y, z (v. a. gebundene Variable)
• Konstanten: a, b, c (v. a.freie Variable)
• Aussagen: P, Q, R
• Aussageformen: Funktionen von Variablen, z. B. „F(x)“
• Junktoren ¬, ∨, ∧, →, ↔
• ∀ (Allquantor, „Für alle “)
• ∃ (Existenzquantor, „Es gibt (mindestens) ein")
43. Prädikatenlogik
• In der Prädikatenlogik betrachtet man auch die innere
Struktur von Aussagen
• Prädikatenlogik 1. Stufe: Quantorenlogik
• Elemente:
• Variablen: x, y, z (v. a. gebundene Variable)
• Konstanten: a, b, c (v. a.freie Variable)
• Aussagen: P, Q, R
• Aussageformen: Funktionen von Variablen, z. B. „F(x)“
• Junktoren ¬, ∨, ∧, →, ↔
• ∀ (Allquantor, „Für alle “)
• ∃ (Existenzquantor, „Es gibt (mindestens) ein")
44. Prädikatenlogik
• In der Prädikatenlogik betrachtet man auch die innere
Struktur von Aussagen
• Prädikatenlogik 1. Stufe: Quantorenlogik
• Elemente:
• Variablen: x, y, z (v. a. gebundene Variable)
• Konstanten: a, b, c (v. a.freie Variable)
• Aussagen: P, Q, R
• Aussageformen: Funktionen von Variablen, z. B. „F(x)“
• Junktoren ¬, ∨, ∧, →, ↔
• ∀ (Allquantor, „Für alle “)
• ∃ (Existenzquantor, „Es gibt (mindestens) ein")
45. Prädikatenlogik - Schreib- und Sprechweisen
• ∀x : F (x) bedeutet „Für alle x gilt die Aussage F(x)“
• ∃x : F (x) bedeutet “Es gibt ein x für das die Aussage F(x)
gilt“
• Dies sind wiederum Aussagen, die die Wahrheitswerte
„Wahr“ und „Falsch“ annehmen können. Der Wertebereich
für gebunde Variablen ist ein meist nicht explizit
angegebenes „Universum“.
46. Prädikatenlogik - Schreib- und Sprechweisen
• ∀x : F (x) bedeutet „Für alle x gilt die Aussage F(x)“
• ∃x : F (x) bedeutet “Es gibt ein x für das die Aussage F(x)
gilt“
• Dies sind wiederum Aussagen, die die Wahrheitswerte
„Wahr“ und „Falsch“ annehmen können. Der Wertebereich
für gebunde Variablen ist ein meist nicht explizit
angegebenes „Universum“.
47. Prädikatenlogik - Schreib- und Sprechweisen
• ∀x : F (x) bedeutet „Für alle x gilt die Aussage F(x)“
• ∃x : F (x) bedeutet “Es gibt ein x für das die Aussage F(x)
gilt“
• Dies sind wiederum Aussagen, die die Wahrheitswerte
„Wahr“ und „Falsch“ annehmen können. Der Wertebereich
für gebunde Variablen ist ein meist nicht explizit
angegebenes „Universum“.
48. Prädikatenlogik - Schreib- und Sprechweisen
• Das x in ∀x : F (x) ist eine an die Quantoren gebundene
Variable.
• In ∀x : x ∧ y ist x gebunden, y frei, d. h. der ganze Term ist
eine Aussageform G(y ).
• Jeder Quantor hat eine Reichweite bis zum Ende der
Formel, bzw. einer Klammer. (Achtung: Es gibt auch
andere Konventionen.) Zwei Quantoren in einem Term
können also nicht denselben Variablennamen verwenden.
• Bsp.: In ∃x, y : (F (x) ∧ G(y )) ∨ H(y ) ist das zweite y
gebundene Variable, in (∃x, y : (F (x) ∧ G(y )) ∨ H(y ) ist es
frei.
49. Prädikatenlogik - Schreib- und Sprechweisen
• Das x in ∀x : F (x) ist eine an die Quantoren gebundene
Variable.
• In ∀x : x ∧ y ist x gebunden, y frei, d. h. der ganze Term ist
eine Aussageform G(y ).
• Jeder Quantor hat eine Reichweite bis zum Ende der
Formel, bzw. einer Klammer. (Achtung: Es gibt auch
andere Konventionen.) Zwei Quantoren in einem Term
können also nicht denselben Variablennamen verwenden.
• Bsp.: In ∃x, y : (F (x) ∧ G(y )) ∨ H(y ) ist das zweite y
gebundene Variable, in (∃x, y : (F (x) ∧ G(y )) ∨ H(y ) ist es
frei.
50. Prädikatenlogik - Schreib- und Sprechweisen
• Das x in ∀x : F (x) ist eine an die Quantoren gebundene
Variable.
• In ∀x : x ∧ y ist x gebunden, y frei, d. h. der ganze Term ist
eine Aussageform G(y ).
• Jeder Quantor hat eine Reichweite bis zum Ende der
Formel, bzw. einer Klammer. (Achtung: Es gibt auch
andere Konventionen.) Zwei Quantoren in einem Term
können also nicht denselben Variablennamen verwenden.
• Bsp.: In ∃x, y : (F (x) ∧ G(y )) ∨ H(y ) ist das zweite y
gebundene Variable, in (∃x, y : (F (x) ∧ G(y )) ∨ H(y ) ist es
frei.
51. Prädikatenlogik - Schreib- und Sprechweisen
• Das x in ∀x : F (x) ist eine an die Quantoren gebundene
Variable.
• In ∀x : x ∧ y ist x gebunden, y frei, d. h. der ganze Term ist
eine Aussageform G(y ).
• Jeder Quantor hat eine Reichweite bis zum Ende der
Formel, bzw. einer Klammer. (Achtung: Es gibt auch
andere Konventionen.) Zwei Quantoren in einem Term
können also nicht denselben Variablennamen verwenden.
• Bsp.: In ∃x, y : (F (x) ∧ G(y )) ∨ H(y ) ist das zweite y
gebundene Variable, in (∃x, y : (F (x) ∧ G(y )) ∨ H(y ) ist es
frei.
52. Prädikatenlogik
• Beispiel: Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein
Mensch. Also ist Sokrates ist sterblich
• Definiere F (x) = „x ist ein Mensch“, G(x) = „x ist sterblich“
• ∀x : F (x) → G(x) (Sprich: „Für alle x gilt: F(x) impliziert
G(x)“ oder „Wenn x ein Mensch ist, ist x sterblich“)
• Spezialisierung: a = „Sokrates“,
ω(F (a)) = W ⇒ ω(G(a)) = W
53. Prädikatenlogik
• Beispiel: Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein
Mensch. Also ist Sokrates ist sterblich
• Definiere F (x) = „x ist ein Mensch“, G(x) = „x ist sterblich“
• ∀x : F (x) → G(x) (Sprich: „Für alle x gilt: F(x) impliziert
G(x)“ oder „Wenn x ein Mensch ist, ist x sterblich“)
• Spezialisierung: a = „Sokrates“,
ω(F (a)) = W ⇒ ω(G(a)) = W
54. Prädikatenlogik
• Beispiel: Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein
Mensch. Also ist Sokrates ist sterblich
• Definiere F (x) = „x ist ein Mensch“, G(x) = „x ist sterblich“
• ∀x : F (x) → G(x) (Sprich: „Für alle x gilt: F(x) impliziert
G(x)“ oder „Wenn x ein Mensch ist, ist x sterblich“)
• Spezialisierung: a = „Sokrates“,
ω(F (a)) = W ⇒ ω(G(a)) = W
55. Prädikatenlogik
• Beispiel: Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein
Mensch. Also ist Sokrates ist sterblich
• Definiere F (x) = „x ist ein Mensch“, G(x) = „x ist sterblich“
• ∀x : F (x) → G(x) (Sprich: „Für alle x gilt: F(x) impliziert
G(x)“ oder „Wenn x ein Mensch ist, ist x sterblich“)
• Spezialisierung: a = „Sokrates“,
ω(F (a)) = W ⇒ ω(G(a)) = W
56. Prädikatenlogik - Einige Regeln
• ∀x : F (x) ⇒ ∃x : F (x)
• ∀x∀y : F (x, y ) ⇔ ∀y ∀x : F (x, y )
• ∃x∃y : F (x, y ) ⇔ ∃y ∃x : F (x, y )
• ∃x∀y : F (x, y ) = ∀y ∃x : F (x, y )
• ¬∀x : F (x) ⇔ ∃x : ¬F (x)
• ¬∃x : F (x) ⇔ ∀x : ¬F (x)
• ∀x : (F (x) ∧ G(x)) ⇔ (∀x : F (x)) ∧ (∀x : G(x))
• ∃x : (F (x) ∨ G(x)) ⇔ (∃x : F (x)) ∨ (∃x : G(x))
57. Prädikatenlogik - Einige Regeln
• ∀x : F (x) ⇒ ∃x : F (x)
• ∀x∀y : F (x, y ) ⇔ ∀y ∀x : F (x, y )
• ∃x∃y : F (x, y ) ⇔ ∃y ∃x : F (x, y )
• ∃x∀y : F (x, y ) = ∀y ∃x : F (x, y )
• ¬∀x : F (x) ⇔ ∃x : ¬F (x)
• ¬∃x : F (x) ⇔ ∀x : ¬F (x)
• ∀x : (F (x) ∧ G(x)) ⇔ (∀x : F (x)) ∧ (∀x : G(x))
• ∃x : (F (x) ∨ G(x)) ⇔ (∃x : F (x)) ∨ (∃x : G(x))
58. Prädikatenlogik - Einige Regeln
• ∀x : F (x) ⇒ ∃x : F (x)
• ∀x∀y : F (x, y ) ⇔ ∀y ∀x : F (x, y )
• ∃x∃y : F (x, y ) ⇔ ∃y ∃x : F (x, y )
• ∃x∀y : F (x, y ) = ∀y ∃x : F (x, y )
• ¬∀x : F (x) ⇔ ∃x : ¬F (x)
• ¬∃x : F (x) ⇔ ∀x : ¬F (x)
• ∀x : (F (x) ∧ G(x)) ⇔ (∀x : F (x)) ∧ (∀x : G(x))
• ∃x : (F (x) ∨ G(x)) ⇔ (∃x : F (x)) ∨ (∃x : G(x))
59. Prädikatenlogik - Einige Regeln
• ∀x : F (x) ⇒ ∃x : F (x)
• ∀x∀y : F (x, y ) ⇔ ∀y ∀x : F (x, y )
• ∃x∃y : F (x, y ) ⇔ ∃y ∃x : F (x, y )
• ∃x∀y : F (x, y ) = ∀y ∃x : F (x, y )
• ¬∀x : F (x) ⇔ ∃x : ¬F (x)
• ¬∃x : F (x) ⇔ ∀x : ¬F (x)
• ∀x : (F (x) ∧ G(x)) ⇔ (∀x : F (x)) ∧ (∀x : G(x))
• ∃x : (F (x) ∨ G(x)) ⇔ (∃x : F (x)) ∨ (∃x : G(x))
60. Prädikatenlogik - Einige Regeln
• ∀x : F (x) ⇒ ∃x : F (x)
• ∀x∀y : F (x, y ) ⇔ ∀y ∀x : F (x, y )
• ∃x∃y : F (x, y ) ⇔ ∃y ∃x : F (x, y )
• ∃x∀y : F (x, y ) = ∀y ∃x : F (x, y )
• ¬∀x : F (x) ⇔ ∃x : ¬F (x)
• ¬∃x : F (x) ⇔ ∀x : ¬F (x)
• ∀x : (F (x) ∧ G(x)) ⇔ (∀x : F (x)) ∧ (∀x : G(x))
• ∃x : (F (x) ∨ G(x)) ⇔ (∃x : F (x)) ∨ (∃x : G(x))
61. Prädikatenlogik - Einige Regeln
• ∀x : F (x) ⇒ ∃x : F (x)
• ∀x∀y : F (x, y ) ⇔ ∀y ∀x : F (x, y )
• ∃x∃y : F (x, y ) ⇔ ∃y ∃x : F (x, y )
• ∃x∀y : F (x, y ) = ∀y ∃x : F (x, y )
• ¬∀x : F (x) ⇔ ∃x : ¬F (x)
• ¬∃x : F (x) ⇔ ∀x : ¬F (x)
• ∀x : (F (x) ∧ G(x)) ⇔ (∀x : F (x)) ∧ (∀x : G(x))
• ∃x : (F (x) ∨ G(x)) ⇔ (∃x : F (x)) ∨ (∃x : G(x))
62. Prädikatenlogik - Einige Regeln
• ∀x : F (x) ⇒ ∃x : F (x)
• ∀x∀y : F (x, y ) ⇔ ∀y ∀x : F (x, y )
• ∃x∃y : F (x, y ) ⇔ ∃y ∃x : F (x, y )
• ∃x∀y : F (x, y ) = ∀y ∃x : F (x, y )
• ¬∀x : F (x) ⇔ ∃x : ¬F (x)
• ¬∃x : F (x) ⇔ ∀x : ¬F (x)
• ∀x : (F (x) ∧ G(x)) ⇔ (∀x : F (x)) ∧ (∀x : G(x))
• ∃x : (F (x) ∨ G(x)) ⇔ (∃x : F (x)) ∨ (∃x : G(x))
63. Prädikatenlogik - Einige Regeln
• ∀x : F (x) ⇒ ∃x : F (x)
• ∀x∀y : F (x, y ) ⇔ ∀y ∀x : F (x, y )
• ∃x∃y : F (x, y ) ⇔ ∃y ∃x : F (x, y )
• ∃x∀y : F (x, y ) = ∀y ∃x : F (x, y )
• ¬∀x : F (x) ⇔ ∃x : ¬F (x)
• ¬∃x : F (x) ⇔ ∀x : ¬F (x)
• ∀x : (F (x) ∧ G(x)) ⇔ (∀x : F (x)) ∧ (∀x : G(x))
• ∃x : (F (x) ∨ G(x)) ⇔ (∃x : F (x)) ∨ (∃x : G(x))
64. Prädikatenlogik - Einige Regeln
• ∀x : F (x) ⇒ ∃x : F (x)
• ∀x∀y : F (x, y ) ⇔ ∀y ∀x : F (x, y )
• ∃x∃y : F (x, y ) ⇔ ∃y ∃x : F (x, y )
• ∃x∀y : F (x, y ) = ∀y ∃x : F (x, y )
• ¬∀x : F (x) ⇔ ∃x : ¬F (x)
• ¬∃x : F (x) ⇔ ∀x : ¬F (x)
• ∀x : (F (x) ∧ G(x)) ⇔ (∀x : F (x)) ∧ (∀x : G(x))
• ∃x : (F (x) ∨ G(x)) ⇔ (∃x : F (x)) ∨ (∃x : G(x))
65. Mengenlehre
• Unter einer „Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung
M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m
unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die
„Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen
(Cantor, 1895)
• Doch: „Die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst
enthalten“ (Russel’sche Antinomie)
66. Mengenlehre
• Unter einer „Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung
M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m
unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die
„Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen
(Cantor, 1895)
• Doch: „Die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst
enthalten“ (Russel’sche Antinomie)
67. Mengenlehre
• Grundlegendes Prädikat ist das Elementprädikat ∈, z. B.
1∈N
• Menge werden mit geschweiften Klammern geschrieben.
Elemente können aufgezählt werden, z. B.
M = {1, „Auto“, Hugo“, 10003, . . . }
• Bildung von Mengen durch Prädikate. Sei D eine
Definitionsmenge und P ein Prädikat, dann kann man eine
Menge durch M = {x ∈ D|P(x)} definieren
• Trifft die Aussage P(x) auf kein Element zu, hat man die
leere Menge ∅
68. Mengenlehre
• Grundlegendes Prädikat ist das Elementprädikat ∈, z. B.
1∈N
• Menge werden mit geschweiften Klammern geschrieben.
Elemente können aufgezählt werden, z. B.
M = {1, „Auto“, Hugo“, 10003, . . . }
• Bildung von Mengen durch Prädikate. Sei D eine
Definitionsmenge und P ein Prädikat, dann kann man eine
Menge durch M = {x ∈ D|P(x)} definieren
• Trifft die Aussage P(x) auf kein Element zu, hat man die
leere Menge ∅
69. Mengenlehre
• Grundlegendes Prädikat ist das Elementprädikat ∈, z. B.
1∈N
• Menge werden mit geschweiften Klammern geschrieben.
Elemente können aufgezählt werden, z. B.
M = {1, „Auto“, Hugo“, 10003, . . . }
• Bildung von Mengen durch Prädikate. Sei D eine
Definitionsmenge und P ein Prädikat, dann kann man eine
Menge durch M = {x ∈ D|P(x)} definieren
• Trifft die Aussage P(x) auf kein Element zu, hat man die
leere Menge ∅
70. Mengenlehre
• Grundlegendes Prädikat ist das Elementprädikat ∈, z. B.
1∈N
• Menge werden mit geschweiften Klammern geschrieben.
Elemente können aufgezählt werden, z. B.
M = {1, „Auto“, Hugo“, 10003, . . . }
• Bildung von Mengen durch Prädikate. Sei D eine
Definitionsmenge und P ein Prädikat, dann kann man eine
Menge durch M = {x ∈ D|P(x)} definieren
• Trifft die Aussage P(x) auf kein Element zu, hat man die
leere Menge ∅
71. Mengenlehre
• Zwei Mengen heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente
enthalten
• Die Anzahl der Elemente einer Menge M, ist die
Mächtigkeit der Menge, notiert |M|
• Teilmenge: M ⊂ N ⇔ ∀x : (x ∈ M ⇒ x ∈ N)
• Echte Teilmenge: M N =M ⊂N ∧M =N
72. Mengenlehre
• Zwei Mengen heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente
enthalten
• Die Anzahl der Elemente einer Menge M, ist die
Mächtigkeit der Menge, notiert |M|
• Teilmenge: M ⊂ N ⇔ ∀x : (x ∈ M ⇒ x ∈ N)
• Echte Teilmenge: M N =M ⊂N ∧M =N
73. Mengenlehre
• Zwei Mengen heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente
enthalten
• Die Anzahl der Elemente einer Menge M, ist die
Mächtigkeit der Menge, notiert |M|
• Teilmenge: M ⊂ N ⇔ ∀x : (x ∈ M ⇒ x ∈ N)
• Echte Teilmenge: M N =M ⊂N ∧M =N
74. Mengenlehre
• Zwei Mengen heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente
enthalten
• Die Anzahl der Elemente einer Menge M, ist die
Mächtigkeit der Menge, notiert |M|
• Teilmenge: M ⊂ N ⇔ ∀x : (x ∈ M ⇒ x ∈ N)
• Echte Teilmenge: M N =M ⊂N ∧M =N
75. Mengenlehre
• Mengenoperationen
• Schnittmenge: M ∩ N = {x|x ∈ M ∧ x ∈ N}
• Vereinigungsmenge: M ∪ N = {x|x ∈ M ∨ x ∈ N}
• Differenzmenge: M N = {x|x ∈ M ∧ x ∈ N}
/
• Potenzmenge: ℘(M) = {N|N ⊂ M}
• Kartesisches Produkt: M × N = {(x, y )|x ∈ M ∧ x ∈ N}
76. Mengenlehre
• Mengenoperationen
• Schnittmenge: M ∩ N = {x|x ∈ M ∧ x ∈ N}
• Vereinigungsmenge: M ∪ N = {x|x ∈ M ∨ x ∈ N}
• Differenzmenge: M N = {x|x ∈ M ∧ x ∈ N}
/
• Potenzmenge: ℘(M) = {N|N ⊂ M}
• Kartesisches Produkt: M × N = {(x, y )|x ∈ M ∧ x ∈ N}
77. Mengenlehre
• Mengenoperationen
• Schnittmenge: M ∩ N = {x|x ∈ M ∧ x ∈ N}
• Vereinigungsmenge: M ∪ N = {x|x ∈ M ∨ x ∈ N}
• Differenzmenge: M N = {x|x ∈ M ∧ x ∈ N}
/
• Potenzmenge: ℘(M) = {N|N ⊂ M}
• Kartesisches Produkt: M × N = {(x, y )|x ∈ M ∧ x ∈ N}
78. Mengenlehre
• Mengenoperationen
• Schnittmenge: M ∩ N = {x|x ∈ M ∧ x ∈ N}
• Vereinigungsmenge: M ∪ N = {x|x ∈ M ∨ x ∈ N}
• Differenzmenge: M N = {x|x ∈ M ∧ x ∈ N}
/
• Potenzmenge: ℘(M) = {N|N ⊂ M}
• Kartesisches Produkt: M × N = {(x, y )|x ∈ M ∧ x ∈ N}
79. Mengenlehre
• Mengenoperationen
• Schnittmenge: M ∩ N = {x|x ∈ M ∧ x ∈ N}
• Vereinigungsmenge: M ∪ N = {x|x ∈ M ∨ x ∈ N}
• Differenzmenge: M N = {x|x ∈ M ∧ x ∈ N}
/
• Potenzmenge: ℘(M) = {N|N ⊂ M}
• Kartesisches Produkt: M × N = {(x, y )|x ∈ M ∧ x ∈ N}
80. Mengenlehre
• Mengenoperationen
• Schnittmenge: M ∩ N = {x|x ∈ M ∧ x ∈ N}
• Vereinigungsmenge: M ∪ N = {x|x ∈ M ∨ x ∈ N}
• Differenzmenge: M N = {x|x ∈ M ∧ x ∈ N}
/
• Potenzmenge: ℘(M) = {N|N ⊂ M}
• Kartesisches Produkt: M × N = {(x, y )|x ∈ M ∧ x ∈ N}
81. Mengenlehre
• Vereinung und Schnitt von Mengen sind assoziativ,
kommutativ und distributiv
• A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A (Kommutativgesetz)
• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
(Assoziativgesetz)
• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (Distributivgesetz)
82. Mengenlehre
• Vereinung und Schnitt von Mengen sind assoziativ,
kommutativ und distributiv
• A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A (Kommutativgesetz)
• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
(Assoziativgesetz)
• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (Distributivgesetz)
83. Mengenlehre
• Vereinung und Schnitt von Mengen sind assoziativ,
kommutativ und distributiv
• A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A (Kommutativgesetz)
• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
(Assoziativgesetz)
• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (Distributivgesetz)
84. Mengenlehre
• Vereinung und Schnitt von Mengen sind assoziativ,
kommutativ und distributiv
• A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A (Kommutativgesetz)
• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
(Assoziativgesetz)
• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (Distributivgesetz)
85. Relationen und Funktionen
• Eine Relation R zwischen zwei Mengen ist eine Teilmenge
des Kartesischen Produktes R ⊂ M × N
• Eine Äquivalenzrelation ist eine Relation R ⊂ M × M, für
die gilt
• x ∈ M ⇒ (x, x) ∈ R (Reflexiv)
• (x, y ) ∈ R ⇒ (y , x) ∈ R (Symmetrisch)
• (x, y ) ∈ R ∧ (y , z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R (Transitiv)
86. Relationen und Funktionen
• Eine Relation R zwischen zwei Mengen ist eine Teilmenge
des Kartesischen Produktes R ⊂ M × N
• Eine Äquivalenzrelation ist eine Relation R ⊂ M × M, für
die gilt
• x ∈ M ⇒ (x, x) ∈ R (Reflexiv)
• (x, y ) ∈ R ⇒ (y , x) ∈ R (Symmetrisch)
• (x, y ) ∈ R ∧ (y , z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R (Transitiv)
87. Relationen und Funktionen
• Eine Relation R zwischen zwei Mengen ist eine Teilmenge
des Kartesischen Produktes R ⊂ M × N
• Eine Äquivalenzrelation ist eine Relation R ⊂ M × M, für
die gilt
• x ∈ M ⇒ (x, x) ∈ R (Reflexiv)
• (x, y ) ∈ R ⇒ (y , x) ∈ R (Symmetrisch)
• (x, y ) ∈ R ∧ (y , z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R (Transitiv)
88. Relationen und Funktionen
• Eine Relation R zwischen zwei Mengen ist eine Teilmenge
des Kartesischen Produktes R ⊂ M × N
• Eine Äquivalenzrelation ist eine Relation R ⊂ M × M, für
die gilt
• x ∈ M ⇒ (x, x) ∈ R (Reflexiv)
• (x, y ) ∈ R ⇒ (y , x) ∈ R (Symmetrisch)
• (x, y ) ∈ R ∧ (y , z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R (Transitiv)
89. Relationen und Funktionen
• Eine Relation R zwischen zwei Mengen ist eine Teilmenge
des Kartesischen Produktes R ⊂ M × N
• Eine Äquivalenzrelation ist eine Relation R ⊂ M × M, für
die gilt
• x ∈ M ⇒ (x, x) ∈ R (Reflexiv)
• (x, y ) ∈ R ⇒ (y , x) ∈ R (Symmetrisch)
• (x, y ) ∈ R ∧ (y , z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R (Transitiv)
90. Relationen und Funktionen
• Eine Relation F ⊂ X × Y heißt Funktion, falls jedem
Element aus X genau ein Element aus Y zugeordnet wird:
(x, y ) ∈ F ∧ (x, z) ∈ F ⇒ y = z
• Schreibweise
F :X → Y
x → y
• X heißt Definitionsbereich, Y Wertebereich, F (X ) Bild
von F.
• Funktionsgraph: Γ(F ) = {(x, F (x)) ⊂ M × N}
91. Relationen und Funktionen
• Eine Relation F ⊂ X × Y heißt Funktion, falls jedem
Element aus X genau ein Element aus Y zugeordnet wird:
(x, y ) ∈ F ∧ (x, z) ∈ F ⇒ y = z
• Schreibweise
F :X → Y
x → y
• X heißt Definitionsbereich, Y Wertebereich, F (X ) Bild
von F.
• Funktionsgraph: Γ(F ) = {(x, F (x)) ⊂ M × N}
92. Relationen und Funktionen
• Eine Relation F ⊂ X × Y heißt Funktion, falls jedem
Element aus X genau ein Element aus Y zugeordnet wird:
(x, y ) ∈ F ∧ (x, z) ∈ F ⇒ y = z
• Schreibweise
F :X → Y
x → y
• X heißt Definitionsbereich, Y Wertebereich, F (X ) Bild
von F.
• Funktionsgraph: Γ(F ) = {(x, F (x)) ⊂ M × N}
93. Relationen und Funktionen
• Eine Relation F ⊂ X × Y heißt Funktion, falls jedem
Element aus X genau ein Element aus Y zugeordnet wird:
(x, y ) ∈ F ∧ (x, z) ∈ F ⇒ y = z
• Schreibweise
F :X → Y
x → y
• X heißt Definitionsbereich, Y Wertebereich, F (X ) Bild
von F.
• Funktionsgraph: Γ(F ) = {(x, F (x)) ⊂ M × N}
94. Relationen und Funktionen
• Eine Funktion heißt injektiv, falls jedes Element aus M ein
anderes Element aus N zugeordnet wird.
F (x) = F (y ) ⇒ x = y
• Eine Funktion heißt surjektiv, falls der Wertebereich
ausgeschöpft wird. ∀y ∈ Y ∃x ∈ X : F (x) = y
• Eine Funktion heißt bijektiv, falls sie injektiv und surjektiv
ist. Es existiert eine eineindeutige Beziehung zwischen
den Mengen. Dann gibt es eine Umkehrfunktion
F −1 : Y → X mit F −1 (F (x)) = x
95. Relationen und Funktionen
• Eine Funktion heißt injektiv, falls jedes Element aus M ein
anderes Element aus N zugeordnet wird.
F (x) = F (y ) ⇒ x = y
• Eine Funktion heißt surjektiv, falls der Wertebereich
ausgeschöpft wird. ∀y ∈ Y ∃x ∈ X : F (x) = y
• Eine Funktion heißt bijektiv, falls sie injektiv und surjektiv
ist. Es existiert eine eineindeutige Beziehung zwischen
den Mengen. Dann gibt es eine Umkehrfunktion
F −1 : Y → X mit F −1 (F (x)) = x
96. Relationen und Funktionen
• Eine Funktion heißt injektiv, falls jedes Element aus M ein
anderes Element aus N zugeordnet wird.
F (x) = F (y ) ⇒ x = y
• Eine Funktion heißt surjektiv, falls der Wertebereich
ausgeschöpft wird. ∀y ∈ Y ∃x ∈ X : F (x) = y
• Eine Funktion heißt bijektiv, falls sie injektiv und surjektiv
ist. Es existiert eine eineindeutige Beziehung zwischen
den Mengen. Dann gibt es eine Umkehrfunktion
F −1 : Y → X mit F −1 (F (x)) = x
