[PRML 3.1~3.2] Linear Regression / Bias-Variance Decomposition

© 2016. SNU CSE Biointelligence Lab., http://bi.snu.ac.kr
Bayesian Linear Regression - part 1
1
곽동현
서울대학교 바이오지능 연구실

Linear Regression
• Linear combination of those vectors with
those scalars as coefficients
2
• Linear Regression : x에 w scalars를 계수로
곱해서 y를 regression 한 것

Linear Regression with basis function
• Basis function : preprocessing  feature
extraction
3

Non-linear Regression
• If the basis functions are non-linear, then the
model is non-linear w.r.t input x.
• Also the model is linear w.r.t feature(x).
4

Basis functions
• Polynomial basis function
• RBF(Radial basis function)
(The normalization coefficient is unimportant because these basis
functions will be multiplied by adaptive parameters wj.)
5

Basis functions
• Sigmoidal basis function
6
a general linear combination of logistic sigmoid functions
is equivalent to a general linear combination of ‘tanh’
functions.

Basis functions
7

Probabilistic Approach
8

MLE == Least Square
• Why we use Least Square Loss?
• Because of Maximum Likelihood Solution
 MLE를 위해 먼저 확률적인 접근을 도입
9

Mean is Mean
10

Likelihood
• Vector formulation  Likelihood
(Identically independently distributed)
11

What is Likelihood?
• X = {x1, x2, x3, … , xN}
• T = {t1, t2, t3, … , tN}
• Supervised Learning : X는 항상 conditioning
 p( T | Θ ; X )
• Unsupervised Learning
 p( X | Θ )
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; 뒤에 오는 변수는 R.V가 아니고 deterministic vector 즉, 고정된 상수로 취급하는 것을 의미함

Supervised Learning
• Supervised Learning
 X가 항상 conditioning variable에 위치함
ex) p( t | x )
• Unsupervised Learning
 X의 분포에 대해서도 관심이 있음
ex) p( x | x’ )
13

In Supervised Learning
• 우리는 Supervised learning을 할 것임. 따라서 x에 대한
conditioning은 notation에서 생략하기로 함
14

Log Likelihood
15

Maximum Loglikelihood  LSE
• Maximum Log Likelihood  Gradient = 0
16
Least Square Error
(Gradient = 0으로 놓고 풀 수 있는 이유는 Least Square Error가 quadratic form 이기 때문에
극한을 구하면 그 점이 항상 maximum 이라서 이다.)

• Maximum Log Likelihood  Gradient = 0
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• W에 대해서 정리한 다음, Vector notation사용

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Pseudo Inverse
• 더 이상의 자세한 설명은 생략.
• 다크프로그래머의 4. 특이값 분해(SVD)와
pseudo inverse, 최소자승법(least square
method) 글을 참조하기 바람.
http://darkpgmr.tistory.com/106
19

Stochastic Gradient Descent
• Linear Regression의 Closed-form solution은
데이터의 N이 매우 큰데 컴퓨터의 cpu가 아주
안좋은 경우 느릴 수 있다.
• 이런 경우 Gradient = 0 이 아니라, gradient
descent 방법을 취할 수 있는데, 이 때에도 데
이터가 너무 많으면 stochastic gradient
descent를 사용하면 효율적이다.
20

Geometry of least squares
21

Quadratic Regularization
22

Generalized Regularization
• q =2 corresponds to the quadratic regularization.
23
q=4 이면 w는 sparsity의 반대되는 방향으로, w1과 w2값이 모두 0이 아닌 조건을 갖게 된다.

Sparse Weight
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• Prior  Regularization  Lagrange Multiplier(해석)
실제로는 regularization term의 람
다는 고정된 크기의 boundary를
정하는 게 아니고, 마치 고무줄 처
럼 람다가 크면 더 경계가 줄어들
고, 람다가 0이되면 무한한 공간으
로 고무줄이 팽창하는 것이다. 그
러나 이해를 위해서 우선은 그냥
고정된 크기의 boundary를 갖는
constraint로 해석

Bias-Variance Decomposition
25

Overfitting and Regularization
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• How can we determine the value of λ ?
• Classification에서 model의 overfitting을 분석하
는 방법  VC anlaysis
• Regression에서 model의 overfitting을 분석하는
방법  Bias-Variance decomposition

Bias and Variance
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Out-of-sample Error
• y(x) = y(x; w) : 즉, 우리가 학습시키는 모델
• h(x) : true underlying function
(이세상의 존재하는 모든 데이터에 대한 평균)
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• 이제부터는 다소 추상적인 개념이 등장함.
 Underlying true function / Model
uncertainty

Out-of-sample Error
• 즉 다음 수식의 의미는 true underlying function
과 우리가 학습한 모델의 squared loss임.
 즉 test data에 대한 오차라고 해석 가능
(엄밀하게는 out-of-sample error임)
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Uncertainty of model
• Uncertainty of model은 다음과 같은 방법으로 분석함.
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• 이것의 의미는 유한한 크기 데이터셋 D가 N개 만큼 존재할
때, 각 데이터셋에 대한 out-of-sample error를 평균 낸 것
• 즉 모델과 underlying function은 동일한데, 데이터셋을 샘
플링하면서 발생하는 노이즈를 해석하고자 함.
• 그래서 이제 데이터셋 D에대한 평균 out-of-sample error
로 부터 model의 uncertainty를 유도할 것임

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수식을 전개한 다음 다시 정리
을 뺏다가 더해주고,에서

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여기에 D에 대한 평균을 취하면, 마지막 항(2ab)은 사라지게 된다.
(그 이유는 a에 해당하는 term에서 E_D를 취하면 a=0이 되기 때문)
= 0

• The first term, called the squared bias, represents the extent to
which the average prediction over all data sets differs from the
desired regression function.
• The second term, called the variance, measures the extent to which
the solutions for individual data sets vary around their average,
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• Bias term : 임의의 D데이터로 학습한 모델 y(x;D)의 test error를 D에 대해 평균낸 것  모델이 데이터 포인트
를 모두 맞추면 0이 됨.
• Variance term : 임의의 D데이터로 학습한 모델 y(x;D)과 그 모델들의 D에대한 평균E_D{y(x;D)}과의 편차^2의
평균을 구한 것. 즉 y(x;D)-mean(y(x;D)) 즉 편차가 큰 차이를 보인다면, 그 모델은 데이터셋에 따라서 크게 요
동을 치는 instable한 모델이 된다.(overfitting)

Bias-Variance
• Bias : Specification
 accuracy of learning model
즉 데이터 D에서 발생한 y와 y_target의 차이. 
Training error로 해석 가능
• Variance : Generalization
 instability of learning model
이것은 동일한 분포에서 발생된 데이터셋 D1과 D2
를 학습시켰을 때, 두 모델 y(x,w)의 variance가 얼마
나 큰 가를 의미함.  model의 instability
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Bias-Variance Tradeoff
• as we increase model complexity
 bias decreases (i.e., a better fit to data)
 variance increases (i.e., fit varies more with
data)
• Bias가 크다  model이 데이터를 제대로 예측하
지 못한다  underfitting
• Variance가 크다  model이 데이터에 따라서
심하게 모양이 바뀐다  overfitting
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Bias-Variance Tradeoff
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Monte-Carlo Estimation
• 실제로 여러 개의 데이터셋으로부터 bias와 variance 값을 측정해볼 수 있
다. 이를 통해 model complexity를 조절하거나 regularization 계수를 조정
할 수 있다.
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