traitement du signal

1. 1
Université Ibn Zohr
École Nationale des Sciences Appliquées
3ème Année, Année universitaire 2010/2011
TRAITEMENT DU
SIGNAL
"TDS"
PH Rachid LATIF
Enseignant-chercheur
Resp. Laboratoire
ESSI

2. 2
Chapitres traités dans ce cours
 Chapitre I : Généralités sur les signaux
– Introduction: Signal?, TDS?, Chaîne de traitement de l’information?
– Classification des signaux.
 Chapitre II : Transformation de Fourier
– Transformation des signaux périodiques,
– Transformation des signaux non-périodiques,
– Spectre de puissance de Fourier.
 Chapitre III : Puissance et énergie des signaux
– Énergie dans le domaine Temporel,
– Énergie dans le domaine Fréquentiel,
– Notion de densité spectrale,
– Notion de Convolution,
– Notion de Corrélation.

3. 3
Chapitres traités dans ce cours (suite)
 Chapitre IV : Transformation de Laplace
– Transformée de Laplace des signaux apériodique,
– Propriétés de la TL,
– Transformée de Laplace des signaux périodique,
– Transformée de Laplace inverse,
– Transformées de Laplace des signaux élémentaires.
 Chapitre V : Filtrage Analogique
– Systèmes linéaires,
– Produit de convolution,
– Filtrage analogique,
– Filtres physiquement réalisables.
 Chapitre VI : Echantillonnage
– Théorème d’échantillonnage,
– Echantillonnage physiquement réalisable

4. 4
Travaux Pratiques sous Matlab et LabVIEW
 TP1 : Calcul Élémentaire en TDS
But: Eude de spectre pour certains signaux avec des applications
 TP2 : Transformation de Fourier et Filtrage
But: Mise en évidence des caractéristiques de la TF
 TP3 : Applications sur des signaux usuels
But: Application de la TF sur des signaux usuels
 TP4 : Analyse spectrale par la TFD et Filtrage
But: Étudiez les différents effets de la TFD en terme de précision d’analyse
et de résolution fréquentielle
NB: Vous devez rendre un compte rendu à la fin des séances de TP
(Document + CD)

5. 5
Objectifs du Cours
Enseigner les concepts et méthodes de bases en TDS pour les applications
physiques (Génie Industriel) :
Concepts:
– Distribution Spectrale,
– Convolution,
– Corrélation des Signaux,
– Densité Spectrale,
– Signaux Numériques,
– Signaux Aléatoires,…
Méthodes:
– Analyse Spectrale,
– Filtrage,
– Echantillonnage,
– Modulation,
– Systèmes linéaires, …
C-à-d: Savoir les connaissances théoriques élémentaire pour:
– Décrire et représenter les signaux,
– Comprendre le principe et les limites des méthodes de traitement,
– Mettre en œuvre des méthodes de traitement simples.

6. 6
Ouvrages bibliographiques et Projet à réaliser
 Ouvrages bibliographiques utilisés :
– Ouvrage 1 : Méthode et Techniques de TDS, Jacques Max, DUNOD
– Ouvrage 2 : Théorie et TDS, Messaoud Benidir, DUNOD
– Ouvrage 3 : Exercices et problèmes résolus de TDS analogique, Tahar
Neffate, ELLIPSES
– Ouvrage 4 : Traitement numérique du signal Théorie et Applications,
Kidiyo Kpalma, ELLIPSES
– Ouvrage 5 : Analyse de Fourier et applications, Claude Gasquet, DUNOD
– Ouvrage 6 : Capteurs: principes et utilisations, F. Baudoin, CASTEILLA
– Ouvrage 7 : Instrumentation Industrielle, Michel Grout, DUNOD
– Ouvrage 8 : LabVIEW Programmation et Applications, Francis Cottet,
DUNOD

7. 7
Ouvrages bibliographiques et Projet à réaliser
 Projets à réalisés par groupe de 4 étudiants :
– Projet 1 (3): Filtrage d’un signal cardiaque ECG et détection du complexe QRS
(LabVIEW/C++/Matlab)
– Projet 2 (3): Filtrage d’un signal cardiaque ECG bruité (LabVIEW/C++/Matlab)
– Projet 3 (2): Spectre fréquentielle d’un signal cardiaque ECG normal et bruité
(LabVIEW/Matlab)
– Projet 4 (3): Pilotage sous LabVIEW/C++/VB d’un instrument via le port série
– Projet 5 (3): Pilotage sous LabVIEW/C++/VB d’un instrument via le port parallèle
– Projet 6 (3): Pilotage sous LabVIEW/C++/VB d’un instrument via le port USB
– Projet 7 : Réalisation d’une interface LabVIEW pour la surveillance par caméra
– Projet 8 : Visualisation, en temps réel, sur le Web d’une application sous
LabVIEW
– Projet 9 (3) : Communication entre deux PC sous LabVIEW/C++/VB via le
protocole TCP/IP
– Projet 10 (2): Densité spectrale de puissance d’un signal cardiaque ECG via le
filtre adaptatif AR (LabVIEW/Matlab)

8. 8
Chapitre I
Généralités sur les signaux

9. 9
But : TDS?
• Amélioration du rapport signal sur bruit quand on cherche à :
- Détecter,
- Mesurer,
- Caractériser.
Un signal provenant, en général, d’une mesure physique
• Forme graphique à l’information : Représentation du signal
• D’une manière générale la théorie du signal est concernée à chaque
fois qu’il faut:
- Émettre (Capteurs,…),
- Transmettre (Lignes de transmission,…),
- Détecter de l’information (Capteurs,…).
• En effet, la théorie du signal et de l’information ont une place originale
par rapport aux autres disciplines scientifiques.
Chapitre I : Introduction

10. 10
?Pourquoi traiter les signaux?
• Réduire le bruit,
• Extraire des propriétés caractéristiques:
- Difficiles à obtenir visuellement,
- Caractériser l’information clinique,
- Aider l’observation humaine
• Compresser les données (stockage, transport, gain de temps,…
• Modéliser (Modèles du signal), pour aider le traitement ET mieux
comprendre le système étudié.
Remarque: Méthodes de TDS permettent de contribuer à l’extraction de
l’information appropriées.
Exemples: Signal cardiaque ECG, Signal EEG,…
Chapitre I : Introduction (suite)

11. 11
?Signal?
Toute entité qui véhicule une information
• Représentation physique d’une information à transmettre
• Information issue d’un capteur physique (Pression, Position, Vitesse,
Déplacement, Température,Infrarouge, Acoustique,…)
Exemples:
• Ondes acoustiques: Courant délivré par un microphone (Son, parole,
musique, CND,…)
• Signaux biomédicaux : signal cardiaque ECG, signal EEG,…
• Signaux géophysiques: Vibrations sismiques,
• Tension aux bornes d’un condensateur en charge,
• Finances: cours de la bource,…
• Images 2D,…
Chapitre I : Introduction (suite)

12. 12
?Bruit?
Tout phénomène perturbateur gênant la perception ou l’interprétation
du signal.
Le traitement du signal (TDS):
• Ensemble de techniques permettant de créer, d’analyser et de
transformer les signaux en vue de leur exploitation (synthèse),
• Extraction du maximum d'information utile sur un signal perturbé par
un bruit.
TDS = procédure utilisée pour :
• Mettre en forme le signal (forme adaptée à la transmission ou au stockage)
• Interpréter les signaux: mise en évidence des caractéristiques n’apparaissant
pas à l’œil nu. Par exemple* : la notion de fréquence
Chapitre I : Introduction (suite)*

13. 13
Chaîne de traitement de l’information?
Chapitre I : Introduction (suite)
Contrôle - Régulation

14. 14
Chapitre I : Introduction (suite)
Chaîne de traitement de l’information (Exemple 1)
Contrôle de la qualité d’un produit alimentaire

15. 15
Chapitre I : Introduction (suite)
Chaîne de traitement de l’information (Exemple 2)
Contrôle à distance d’un procède

16. 16
Chapitre I : Introduction (suite)
Chaîne de traitement de l’information (Exemple 3)
Contrôle et surveillance à distance d’une machine/Laboratoire

17. 17
Chapitre I : Introduction (suite)*
TDS analogique : signal analogique est caractérisé par des variations
continues de grandeurs physiques en fonction du temps.
Exemple *: Mesure de l’évolution de la tension de sortie d’un micro en
fonction du temps (Volts/s).
TDS numérique :signal numérique est caractérisé par des variations
discrètes de fonctions échantillonnées par rapport au temps ou à
l’espace.
Exemple *: Variations des niveaux de gris d’une image par rapport aux
coordonnées spatiales.

18. 18
Chapitre I : Introduction (suite)
Représentation d’un signal :
• Représentation temporelle : x(t)
Ex.: Signal audio, signal cardiaque, Signal acoustique, …
• Représentation spatiale : i(x,y)
Ex.: Image 2D fixe (photo)
• Représentation spatiotemporelle : i(x,y,t)
Ex.: Image 2D en mouvement (vidéo)
• Représentation fréquentielle : x(f)
Ex.: Transformée de Fourier de la représentation temporelle x(t).
Rq.: TF est une opération mathématique qui consiste à décomposer une
fonction x(t) selon ses fréquence
Ex.: De même qu’un prisme décompose la lumière en couleurs (fréquences)
• Représentation temps-fréquence : x(t,f)
Ex.: Évolution de la fréquence d’un signal ECG au cours du temps

19. 19
Chapitre I : Introduction (suite)
Interprétation des signaux :
• Filtrage: élimination de certaines composantes,
• Détection: extraction du signal d’un bruit de fond,
• Identification: classement du signal (identification d’un type d’onde,
d’une pathologie sur un signal ECG),
• Analyse: isoler les composantes utiles d’un signal complexe.
Domaines d’applications du TDS :
• Biomédical (signaux ECG, EEG,…),
• Acoustique (CND, identification des objets, dispersion,…),
• Radar, Télécommunications,
• Traitement d’images (reconnaissance des formes,…),
• Automatique,
• l’optique.

20. 20
Chapitre I : Classification des signaux *
 Il existe plusieurs modes de classification des signaux
A. Classification dimensionnelle :(nombre de variables libres)
• Signal monodimensionnel 1D (fonction d’un seul paramètre),
Ex.*: Tension électrique, Spectre fréquentiel
• Signal bidimensionnel 2D (fonction de deux paramètres),
Ex.*: Image statique  f(x,y), Représentation t-f
• Signal tridimensionnel 3D (fonction de trois paramètres),
Ex.: Image en mouvement : Film  f(x,y,t)
• Analyse: isoler les composantes utiles d’un signal complexe.

21. 21
Chapitre I : Classification des signaux (suite)*
B. Classification phénoménologique :
(Évolution déterministe ou aléatoire du signal)
• Signaux déterministes (certains):
Signaux dont l’évolution en fonction du temps t peut être parfaitement
décrite grâce à une description mathématique ou graphique (prédite
par un modèle mathématique)
Ex.*: Signaux périodiques, apériodiques, transitoires (impulse)
• Signaux aléatoires (stochastiques):
- Signaux dont l’évolution temporelle est imprévisible et dont on ne peut
pas prédire la valeur à un temps t.
- La description est basée sur les propriétés statistiques des signaux
(moyenne, variance, loi de probabilité,…)
Ex.: Résultat d’un jet de dé lancé toutes les secondes
(moyenne=3,5, écart type=1,87)
Rq.: tout signal physique comporte une composante aléatoire (Bruit ou
perturbation externe)

22. 22
Chapitre I : Classification des signaux (suite)
• Signaux aléatoires stationnaires :
Les lois statistiques ne changent pas en fonction du temps (La
stationnarité suppose une indépendance des caractéristiques
statistiques par rapport au temps).
• Signaux aléatoires non stationnaires :
Les lois statistiques dépendent du temps.

23. 23
Chapitre I : Classification des signaux (suite)*
C. Classification morphologique :
• Si le signal dépend d’une variable continue, il est appelé signal
analogique
Ex.: Courant électrique.
• Si la variable est discrète, on l’appelle signal échantillonné
Ex.: Signal télégraphiste.
• Si le signal ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs, on dit qu’il
est quantifié
• Et s’il dépend d’une variable discrète, on l’appelle signal numérique
Ex.: Messages codés issus d’un ordinateur.
Ces notions sont illustrées dans le cas d’une variable temporelle sur la
figure ci-contre (voir tableau).

24. 24
Chapitre I : Classification des signaux (suite)*
D. Classification énergétique :
 Classification en fonction de leur caractéristique énergétique
Par analogie avec les signaux électriques (vois cours électricité):
• Énergie d’un signal x(t) : Ex = ?
• Puissance moyenne d’un signal x(t) : Px,m = ?
Rq.: Si x(t) est périodique de période To : Px,m = ?
D’après cette classification on peut distinguer :
• Signaux à énergie finie (on parle généralement à des signaux
transitoires à support borné): 0 ≤ Ex <  ; Px,m = 0
• Signaux à énergie infinie (Px,m; finie): 0 ≤ Px,m <  ; Ex = 
Ex.: signaux périodiques.
Rq.: Dans la réalité physique, les signaux observés sont d’énergie finie.

25. 25
Chapitre I : Classification des signaux (suite)*
E. Classification spectrale des signaux :
 on peut représenter un signal en fonction de la fréquence (spectre du
signal) ainsi il peut être caractérisé selon sa bande passante (BP).
Exemple du spectre d’un signal
On définit une Fmoy = (Fmin + Fmax)/2
Selon la valeur de Fmoy, on peut classer les signaux en deux catégories:
• Si Fmin  Fmax : Signaux à bande passante étroite.
• Si Fmin  Fmax : Signaux à bande passante large.
Rq.: Domaine de variation de Fmoy:

26. 26
Chapitre I : Signaux élémentaires *
A. Signaux à temps continu :
Parmi les signaux à temps continu, on distingue :
Signaux périodiques / Signaux apériodiques
 Signaux périodiques
Les signaux périodiques obéissent à une loi répétition cyclique régulière,
de période To (Eq.1 *):
On distingue dans cette classe : les signaux sinusoïdaux (Eq.2 *)
 Valeurs caractéristiques de signaux à temps continu
• Valeur moyenne : La valeur moyenne (moyenne temporelle) d’un signal
s(t) est donnée par (Eq.3 *) :
• Valeur efficace :Le carré de la valeur efficace Seff ou valeur RMS (Root
Mean Squares) d’un signal s(t) est défini par (Eq.4 *) :

27. 27
Chapitre I : Signaux élémentaires
B. Signal causal :
Un signal causal est un signal qui est nul pour le temps négatif.
• x(t) est causal  x(t)=0  t<0
• x(t) est anti-causal  x(t)=0  t>0

28. 28
Chapitre I : Signaux élémentaires
C. Signaux retardés et avancés :
• Soit le signal s(t) causal : s(t) = 0  t <0
• Le signal s(t) retardé de t° , représenté
ci-contre, est noté par convention s(t-t°)
• Le signal s(t) avancé de t° , représenté
ci-contre, est noté par convention s(t+t°)

29. 29
D. Signaux pairs et impairs :
• x(t) est pair si x(-t) = x(t) et impair si x(-t) = - x(t)
E. Signaux à support borné :
• x(t) = 0  t   T 
Exemple *:
F. Signaux à amplitude borné :
•  t | x(t) | ≤ A
Chapitre I : Signaux élémentaires*

30. 30
A. Fonction échelon (ou de Heaviside) :
L’échelon unité est défini par :
• (t)= 1  t >0
• (t)= 0  t <0 Fig.1*
Rq.:- (0)= 1 ou bien 0,5 (ce choix est arbitraire),
-  x(t), le signal y(t) = x(t)(t) est causal (nul pour t<0).
B. Fonction Rampe unitaire :
• r(t)= t  t  0
• r(t)= 0  t <0 Fig.2*
C. Fonction signe :
La fonction signe est définie par :
• sgn(t)= 1  t >0
• sgn(t)= -1  t <0 Fig.3*
Rq.: sgn(0) est arbitraire (située entre 1 et -1). On supposera que cette
valeur est nulle.
Chapitre I : Signaux à temps continu particuliers
(Signaux usuels)*

31. 31
D. Fonction porte (ou fenêtre rectangulaire) :
L’échelon unité est défini par :
• rectT(t)= 1  |t| ≤ T/2
• rectT(t)= 0  |t| > T/2 Fig.4*
Rq.:- Ce signal est souvent utilisé pour exprimer qu’un signal x(t) est
observé sur un horizon fini de durée T,
- La fenêtre rectangulaire peut être définie à partir de l’échelon
unitaire (Fig.5*).
- Ce signal est très utilisé en TDS (filtrage, fenêtrage, échantillonnage,…
E. Fenêtre triangulaire (ou de Barlett) :
• triT(t)= 1-|t|  |t| ≤ 1
• triT(t)= 0 ailleurs Fig.6*
Rq.: La fenêtre triangulaire peut être définie à partir de la fonction
Rampe (Eq.6*).
Chapitre I : Signaux à temps continu particuliers
(Signaux usuels)*

32. 32
Transformée de Fourier
X f x t j f t dt t R f R
( ) ( )exp( ) , ,
   


 2
x t X f j f t df t R f R
( ) ( )exp( ) , ,
  


 2
 Définition
 Quelques propriétés
– Linéarité
– X(f)  module |X(f)|, phase Arg[X(f)]
– x(t) réel  Re[X(f)] paire, Im[X(f)] impaire, module pair, phase impaire
– x(t) réel pair  X(f) réel pair
– x(t) réel impair  X(f) imaginaire impair
– x(t)*y(t)  X(f).Y(f) et x(t).y(t)  X(f)*Y(f)

33. 33
Transformée de Fourier
 Quelques relations
– x(t)*d(t-t0)= x(t-t0)  X(f) exp(-2j f t0)
– x(t) exp(2 j  t f0)  X(f-f0)
– x*(t)  X*(-f)
– x(at)  |a|-1 X(f/a)
– dnx(t)/dtn  (2 j  f )n X(f)
 Signaux importants
– d(t)  1
– 1(t)  ½ d(f) + 1/(2 j  f )
– cos(2f0t)  [d(f-f0) +d(f+f0)]/2 et sin(2f0t)  [d(f-f0) -d(f+f0)]/2j
– Sd(t+nT)  Fe Sd(f+kFe) avec Fe=1/T
– Rect(t)  2a.Sinc(fa)

34. 34
 Signal discret x[k]
 Transformée de Fourier discrète, périodique
Fréquence définie sur la période principale de 0 à 1 ou de -½ à ½
 Fréquence d’échantillonnage réelle Fe=1/Te
Fréquence définie de 0 à Fe ou de -Fe/2 à Fe/2
 Mêmes propriétés que la transformée de Fourier des signaux
continus
X f x k j f k
k
( ) [ ]exp( )
 


 2 
X f x kT j f k T
e e
k
( ) [ ]exp( )
 


 2
Transformée de Fourier des signaux discrets

35. 35
Système d’information *
 Définition d’un système:
– Un système est un ensemble d’éléments matériels et immatériels en
interaction, transformant, par un processus, les éléments en entrée en
d’autres éléments en sortie.
Exemple 1
 Les systèmes de l’entreprise:
– L’entreprise possède différentes fonctions: produire, vendre, décider,…
– Ces fonctions sont regroupées en systèmes représentant des finalités
communes. Ces systèmes sont:

36. 36
Transformée de Laplace
X f x t j f t rt dt
( ) ( )exp( )exp( )
  


 2
X s x t st dt t R s C
( ) ( )exp( ) , ,
   



en posant : w
j
r
f
j
r
s .
.
2
. 


 
 Définition
Introduite pour palier aux limitations de la transformée de Fourier
C
s
R
t
ds
t
s
s
X
t
x 

 



,
,
)
exp(
)
(
)
(

37. 37
Systèmes différentiels et Laplace
Pour les systèmes continus linéaires invariant de réponse impulsionnelle h(t)
M
M
M
N
N
N
dt
t
y
d
p
dt
t
dy
p
t
u
p
dt
t
y
d
q
dt
t
dy
q
t
y
q
)
(
...
)
(
)
(
)
(
....
)
(
)
( 1
0
1
0 






u
Q
P
y 

)
(
)
(











 N
i
i
M
j
j
p
s
z
s
K
s
Q
s
P
s
H
t
h
TL
s
H
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
))
(
(
)
( avec
Causal : N  M
 Fonction de transfert
zéros
pôles
Système stable  ||h(t)||1<   Re(pi) < 0

38. 38
Relations entre Laplace et Fourier
f
j
r
jw
r
s 
2
.




• Pour s imaginaire pur, et on retombe sur Fourier H(s)=H(f)
f
j
jw
s 
2
.


• H(f) = H(s) évaluée sur l'axe imaginaire du plan de Laplace
• Exemple : h(t)=exp(-at) 1(t)
-a
s=j w
j
r
j
w
r
w
j
r
w





))
(
(
1
)
(
),
exp(
1
)
(
j
H
Arg
j
H
j
j
H
et
H s
s a
( ) 

1
un pôle en s=-a
v le vecteur du plan complexe reliant les point s et -a
)
exp(
. j
r j
a
s
v 



39. 39
Fonction d de Dirac
 Définition
 Propriété
 
0 si 0
si 0
t
t
t
d



 
 


  1
t dt
d




         
d d


    

not
f t t a dt f t t a f a
Produit de convolution