Este documento presenta información sobre integración. Explica conceptos como la integral de línea, integrales iteradas dobles y triples, y aplicaciones como el cálculo de áreas y volúmenes. También cubre temas como la descomposición y composición de vectores, y el uso de coordenadas polares para calcular integrales dobles.

1. INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR
DE TIERRA BLANCA
INTEGRACIÓN
Calculo Vectorial
Ing. Genaro Ocho Cruz
Guillermo Antonio Osorio Contreras
302-B
Diciembre del 2011
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2. CONTENIDO
Introduccion ........................................................................................................ 1
1.Integración...................................................................................................... 2
1.1. Integral de línea ...................................................................................... 2
1.2. Trabajando integrales de línea. .............................................................. 3
1.3. Integrales iteradas dobles y triples ......................................................... 4
1.4. Definición de integral triple ..................................................................... 6
1.5. Aplicaciones a áreas y solución de problemas ....................................... 7
1.6. Integral doble en coordenadas polares ................................................ 10
1.7. Ejercicio #1 ........................................................................................... 11
1.8. Ejercicio #2. .......................................................................................... 12
1.9. Ejercicio #3 ........................................................................................... 13
Bibliografia........................................................................................................ 14
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3. INTRODUCCIÓN
La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas,
especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente,
una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
el cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las
matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la
ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo
de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René descartes,
Isaac newton, GottfriedLeibniz e IsaacBarrow. Los trabajos de este último y los
aportes de newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que
propone que la derivación y la integración son procesos inversos.
Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la
integral
Es igual al área de la región del plano (x,y) limitada entre la gráfica de f, el eje x, y
las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje
x.
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4. INTEGRAL DE LÍNEA
Unaintegral de línea es una integral donde la función a integrar es evaluada a lo
largo de una curva. Se utilizan varias integrales curvilíneas diferentes. en el caso
de una curva cerrada también se la denomina integral de contorno.
La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de
la integral curvilínea es la suma de los valores del campo en los puntos de la línea,
ponderados por alguna función escalar de la curva (habitualmente la longitud del
arco o, en el caso de un campo vectorial, el producto escalar del campo vectorial
por un vector diferencial de la curva).
Esta ponderación distingue las integrales curvilíneas de las integrales más
sencillas definidas sobre intervalos.
muchas fórmulas sencillas de la física tienen de forma natural análogas continuas
en términos de integrales de línea; por ejemplo, el hecho de que el trabajo sea
igual a la fuerza multiplicada por la distancia se puede expresar (en términos de
cantidades vectoriales) como:
Que tiene su paralelismo en la integral de línea
Que acumula los componentes vectoriales a lo largo de un camino continuo, y así
calcula el trabajo realizado por un objeto al moverse a través de un campo, como
por ejemplo un campo eléctrico o un campo gravitatorio.
La integral de línea tiene varias aplicaciones en el área de ingeniería, y una de las
interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la
integral de línea de un campo escalar.
En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función
es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos
dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno.
Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:
el cálculo de la longitud de una curva en el espacio;
el cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que
se posee una función (campo escalar) que describe su volumen a lo largo
de la curva;
ó también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto
a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas
(descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.
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5. TRABAJANDO INTEGRALES DE LÍNEA
A la hora de trabajar integrales de línea debemos, considerar los siguientes pasos,
para realizar con éxito nuestro cálculo:
Primero debemos parame trizar la curva sobre la cual estamos trabajando:
Luego trabajamos la función a evaluar, sustituyendo el resultado de la
parametrizacion en dicha función. He integramos:
Luego sustituimos ds por:
Teniendo así lo siguiente:
EJERCICIO 1
evaluar la integral de línea del campo vectorial
sobre la trayectoria de una hélice
Solución: se resuelve la integral de acuerdo a la definición
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6. INTEGRALES ITERADAS DOBLES Y TRIPLES
Integrales dobles como volúmenes.
Cuando f(x ,y) es positiva podemos interpretar la integral doble de f sobre una
región rectangular r como el volumen del prisma sólido limitado abajo por r y arriba
por la superficie z = f(x, y). Cada termino f (xk, yk) "ak en la suma sn =
"ak es el volumen de un prisma rectangular vertical que aproxima el volumen de la
porción del sólido que está directamente arriba de la base "ak. la suma sn
aproxima entonces a lo que llamamos volumen total del sólido. Definido este
volumen como:
Teorema de fubini para calcular integrales dobles.
Suponga que queremos calcular el volumen bajo el plano z=4-x-y sobre la región
rectangular
en el plano xy. Entonces el volumen es
Donde a(x) es el área de la sección transversal en x. para cada valor de x
podemos calcular a(x) como la integral
que es el área bajo la curva z=4-x-y en el plano de la sección transversal en x. al
calcular a(x), x se mantiene fija y la integración se efectúa respecto a y. al
combinar (4) y (5), vemos que el volumen de todo es sólido es:
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7. Si quisiéramos escribir sólo las instrucciones para calcular el volumen, sin llevar a
cabo ninguno de las integraciones, podríamos escribir
La llamada integral repetida o iterada, dice que el volumen se obtiene integrando
4-x-y respecto a y de y=0 a y=1, manteniendo fija a x y luego integrando la
expresión resultante en x respecto a x=0 a x=2.
¿Qué pasa si calculamos el volumen formando rebanadas con planos
perpendiculares al eje?
¿Cómo función de y, el área transversal típica es?
Por tanto el volumen de todo el sólido es
Ejemplo. Calcule
Solución. Por el teorema de fubini,
Si invertimos el orden de integración se obtiene la misma respuesta:
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8. DEFINICIÓN DE INTEGRAL TRIPLE
Una integral triple es una generalización de una integral doble en el mismo sentido que
una doble es una generalización de una integral sencilla.
Esto es, una integral triple extiende el concepto de una integral al caso en que f es una
función de tres variables independientes cuyo dominio es una región cerrada acotada en
el espacio de 3 dimensiones.
Supongamos que:
Es una función de tres variables independientes cuyo dominio es una región cerrada
acotada r3. Sea 3 una red de r3, sea:
Si existe un número i con la propiedad de qué dado un número >0 existe un número >0
tal que:
Para todas las redes 3y aumentos 3 con forma 3< , entonces este único número es
la triple integral (riemann) de f sobre la región r3, y la representamos
La existencia de una integral triple sobre una región r3 depende no sólo de la naturaleza
de f sino también de la naturaleza de r3.
Teorema. Si f es continua sobre una región cerrada acotada r3 cuya frontera consiste de la
unión de un número finito de superficies uniformes entonces
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9. APLICACIONES A ÁREAS Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Suma y resta de vectores: método gráfico y analítico.
Cuando necesitamos sumar 2 o más magnitudes escalares de la misma especie lo hacemos
aritméticamente.
Por ejemplo, 2kg + 5kg = 7kg; 20m2 + 10 m2 = 35m2;3h + 4h = 7h; 200k + 100k = 300k. sin
embargo, para sumar magnitudes vectoriales, que como ya mencionamos aparte de magnitudes
tienen dirección y sentido, debemos utilizar métodos diferentes a una simple suma aritmética.
Estos métodos pueden ser gráficos o analíticos, pero ambos casos se consideran además de la
magnitud del vector, su dirección y su sentido.
Resolución de problemas de suma de vectores
Un jinete y su caballo cabalgan 3km al norte y después 4km al oeste.
Calcular:
¿Cuál es la diferencia total que recorren?
¿Cuál es su desplazamiento?
Solución:
Como la distancia es una magnitud escalar, encontramos la distancia total recorrida al sumar
aritméticamente las dos distancias:
dt = d1+ d2= 3km + 4km = 7km
Para encontrar su desplazamiento, que es una magnitud vectorial toda vez que corresponde a
una distancia medida en una dirección particular entre dos puntos(el de partida y el de llegada),
debemos hacer un diagrama vectorial.
Para ello, dibujamos a escala el primer desplazamiento de 3km realizado al norte, representado
por d1, después el segundo desplazamiento de 4 km.
Al oeste representado por d2. Posteriormente, unimos el origen del vector d1, con el extremo
del vector d2, al fin de encontrar el vector r equivalente a la suma vectorial de los dos
desplazamientos.
El origen del vector resultante r es el mismo que tiene el origen del vector d1 y su extremo
coincide con el vector d2.
Para calcular la magnitud de r medimos su longitud de acuerdo con la escala utilizada y su
dirección se determina por el ángulo que forma.
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10. Así, encontramos que r =5 km. con un ángulo de 37º en dirección noroeste.
Descomposición y composición rectangular de vectores por métodos gráficos y
analíticos.
Un sistema de vectores puede sustituirse por otro equivalente, el cual puede contener un
número mayor o menor de vectores que el sistema considerado.
Si el sistema equivalente tiene un número mayor de vectores, el procedimiento se llama
descomposición. si el sistema equivalente tiene un número menor de vectores, el procedimiento
se denomina composición.
En la siguiente, se muestra un vector a cuyo punto de aplicación se ha colocado en el origen de
un sistema de coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares.
Si a partir del extremo del vector a trazamos una línea perpendicular hacia el eje de las x y otra
hacia el eje de las y, los vectores a x y a y así formados, reciben el nombre de las componentes
rectangulares del vector a.se les llama rectangulares por que las componentes forman entre si
un ángulo (90º).
Se llama componentes de un vector aquellas que los sustituyen en la composición. un ejemplo:
encontrar gráfica y analíticamente las componentes rectangulares del siguiente vector.
Solución por método grafico
Para encontrar de manera gráfica las componentes rectangulares o perpendiculares del vector,
primero tenemos que establecer una escala. para este caso puede ser: 1cm = 10n
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11. Trazamos nuestro vector al medir el ángulo de 30º con el transportador.
Después a partir del extremo del vector, trazamos una línea perpendicular hacia el eje delas x y
otra hacia el eje de las y.
En el punto de intersección del eje x quedara el extremo del vector componente fx.
En el punto de intersección del eje y quedara el extremo del vector componente fy.
En ambas componentes su origen será el mismo que tiene el vector f = 40n, el cual estamos
descomponiendo:
Par encontrar el valor de la componente en x del vector f o sea fx, basta medir con regla la
longitud, y de acuerdo con la escala encontrar su valor. en este caso mide aproximadamente
3.4cm que representan 34n.
Para hallar el valor de la componente de y del vector f o sea fy, es suficiente medir con la regla la
longitud, y según la escala encontrar su valor que en este caso es de casi 2.0 cm., es decir, de
20n.
Solución por método analítico
Calculo de fy:
sen 30º = cateto opuesto = fy
Hipotenusa f
Despejemosfy: fy = f sen 30º = 40n x 0.5 = 20n
Calculo de fx: cos 30º = cateto adyacente = fx hipotenusa f
Despejemosfx: fx = f cos 30º = 40n x 0.8660 = 34.64n
Si comparamos los dos resultados obtenidos para calcular el valor de fy y fx de manera gráfica y
analítica, encontraremos una pequeña diferencia.
Esto se explica si consideramos que al hallar las componentes gráficamente estamos
expuestos a cometer errores al trazar el vector y al medir el valor de las componentes.
En cambio, de manera analítica se eliminan estos errores y el valor de las componentes es
obtenido con mayor precisión
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12. INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES
Si deseamos integrar función definida dentro de una región , generalmente lo
Haríamos evaluando la integral doble sobre la región de integración
que definiríamos utilizando los métodos que hemos visto antes en coordenadas
rectangulares.
Un problema que puede presentarse seria si se deseara trabajar con ciertas
figuras circulares (p.ej. círculos, paraboloides, elipsoides, etc.), la definición de su
región de integración se vuelve algo complicada.
Una forma en la que nos facilitamos el trabajo es el trabajar para coordenadas
polares, dado que estas se adecuan de mejor manera a las formas circulares.
Recordemos las ecuaciones que relacionan coordenadas polares con
rectangulares.
Entonces, haciendo esta transformación, tendríamos que ahora la región está
definida como
El diferencial de área se definiría como
y la integral quedaría como
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13. TEOREMA
Si es continúa en un rectángulo dado por , donde
entonces,
Algunas integrales dobles son mucho más fáciles de calcular en forma polar que
en forma rectangular.
Esto es especialmente cierto para regiones circulares, en forma de cardiode o de
pétalo de curva rosa, e integrando donde aparezca
EJERCICIO #1
Recordatorio evaluar:
Donde r es la región del semi-plano superior limitado por los círculos
y .
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14. EJERCICIO #2
determinar el volumen del sólido acotado por el plano y el paraboloide
Resolviendo:
Después de integrar:
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15. Ejemplo # 3
Calcular el volumen de un sólido que está debajo del paraboloide ,
encima del plano y dentro del cilindro .
Complementando al cuadrado:
Ahora procedemos a integrar:
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16. Bibliografía
Integrales múltiples
http://cursos.aiu.edu/matematicas%20superiores/pdf/tema%205.pdf
Integrales múltiples
http://html.rincondelvago.com/integrales-multiples.html
Integrales triples
http://www.ehu.es/~mtpalezp/libros/05_4.pdf
Integrales múltiples
http://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/7287/5/5-
integraci%c3%b3n%20m%c3%baltiple.pdf
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