Cours et exercices logique mr djeddi kamel

Logique
melDjeddi ak
Université d'Oum Elbouaghi
Département de Mathématiques et Informatique
Décembre 2014
E-mai:djeddi.kamel@gmail.com
https://www.djeddi-kamel.webs.com/apps/documents
https://www.slideshare.net/djeddikamel

1. I
Qu’est ce que la logique ?
Le mot «logique» provient du mot grec λo´γoς (logos). qui signifie «parole, discours», et par
extension «rationalité», la logique est donc la science de la raison. Plus précisément, c’est
la science qui étudie les règles que doivent respecter tout raisonnement valide, qui permet
de distinguer un raisonnement valide d’un raisonnement qui ne l’est pas.
La logique a ceci de particulier que l’on s’y intéresse aussi bien en mathématique pure
qu’en philosophie. La logique au sens général repose sur l’examen critique de la méthodologie
et de l’épistémologie. Pourtant, la logique au sens formel cherche à trouver de
règles générales des raisonnements en s’appuyant sur leur forme plutôt que
sur leur contenu.
2. logique
Logique aristotélicienne
L’étude systématique de la logique formelle fut commencée par Aristote
(283-322 avant notre ère). Sa théorie (logique des termes) fut exposée dans
un traité intitulé Organon (instrument) par Andronicus de Rhodes. Selon
Aristote, la logique était un instrument du savoir, mais pas le savoir lui même. Elle devrait donner des
principes pour déterminer si un raisonnement
est vrai ou faux. Il est évident que l’analyse des raisonnements nécessite
l’emploi de mots, mais Aristote aperçus que la considération des mots (ou des
symboles) n’était importante que au niveau d’application.
Logique médievale
La logique médieval (ou scholastique) est une continuation de la logique Aristotélicienne, développeé
en Europe médievale. Pendant cette période, la logique médieval s’inspira des philosophie islamique.
Gottfried Wihleim Leibniz (1646-1716) propose un projet révolutionnel pour symboliser la logique. Ce
projet consiste a` chercher une “caractérisation universelle et artificielle” des raisonnements en les
symbolisant, et à ´établir des méthodes automatisables de combiner ces symboles. Cependant, la
révolution scientifique pendant cette période demande une profonde réforme de pensée sur le roˆle de la
logique car la logique formelle devenait insuffisant comme un outil
de source de savoir.
Pendant le xviiième siècle apparaˆıt le calcul infinitésimal qui permet d’établir
le calcul différentiel et le calcul intégral. Le calcul infinitésimal demande la notion de la limite qui ne
pouvait être définie que par une approche intuitive à l’époque. Or les résultats obtenus par cette approche
étaient si puissants et importants que les mathématiques ont quitté la logique formelle pour utiliser des
outils intuitifs que la logique refuse.
Logique moderne (mathématique)
C’est le debut du xixième siècle que les mathématiciens commencaient a`
étudier systématiquement la logique. L’apparition des paradoxes demandait
de résoudre les probème de fondation des mathématiques.
De Morgan (1806-1976) et Boole (1815-1864) ont découvert l’existence de structures
algébriques permettant de définir un “calcul de vérité”. Mais cette théorie ne prend pas compte la
notion de variable.
Matière : Logique mathématique
Responsable : Mr Djeddi kamel
2ième année
Maths
2014/2015
ntroduction
H istoire de la
1

Frege publiait en 1879 le livre Begriffsschrift qui “librérait la logique d’une connexion
artificielle avec les mathématiques, tandis qu’en même temps
il préparait une interrelation plus profonde entre ces deux sciences” (J. Van
Heijenoort).
En 1900, David Hilbert a proposé dans sa liste de 23 problèmes non résolus des
mathématiques la cohérence de l’arithmétique comme le deuxième problème. Il a demandé si la non-
contradiction des axiomes de l’arithmétique peut être démontrer par des moyens finitistes.
Motivé par ce programme, nombreux résultats en logique sont obtenus pendant le début du
xxième siècle parmi lequels on voudrais sousligner :
1) les axiomes de Peano pour l’arithmétique,
2) les axiomes de Zermelo complétés par Skolem et Frænkel pour la théorie des ensemble,
3) théorie des modèles, théorème de Lo¨wenheim-Skolem,
4) formalisation des mathématiques proposée par Whitehead et Russell,
5) théorème de complétude du calcul des prédicats démontré par Go¨del.
Malheuresement les deux théorèmes d’incomplétude de Go¨del montrait l’impossibilité de
réaliser le programme de Hilbert.
Pendant les année 30 du xxe siècle, l’approche algorithmique de la logique
a été dévéloppé par Turing, von Neumann, Church... etc. Du coˆté de la théorie
de démonstration, Gentzen a démontré la cohérence de l’arithmétique de
Peano en utilisant une induction jusqu’a` l’ordinal dénombrable.
Concernant la théorie des ensemble, Paul Cohen a démontré l’indépendance
de l’hypothèse du continu en utilisant la méthode de forcing qui l’a permis
de gagner un médaille de Fields (considéré comme le prix de Nobel pour les mathématiciens).
On a aussi découvert le lien entre l’information et la logique par l’in- termédiaire du
lambda-calcul (la correspondance de Curry-Howard).
Aujourd’hui, la logique mathématique est un domain très actif, qui trouve
de plus en plus d’applications en informatique, en ingénierie, en linguistique
et bien sur, en philosophie.
Dans les chapitres suivants, on introduit systématiquement les notions
élémentaires de la logique mathématique, notamment le calcul propostionnel
et le calcul des prédicats.
ÓØØ Ö Ï Ð ÑÄ Ò Þ ½ ½ ½ Ú Ò Ð³ ×ÝÑ ÓÐ × Ø ÓÒ Ø Ñ Ø Ñ Ø ¹
× Ø ÓÒ Ð ÐÓ ÕÙ º
Ù Ù×ØÙ× ÅÓÖ Ò ½ ¼ ½ ½ Ø ÓÖ ÓÓÐ ½ ½ ½ ÓÒØ ÒØÖÓ Ù Ø Ð × ÔÖ ¹
Ñ Ö × Ð Ö × × ÔÖÓÔÓ× Ø ÓÒ×º
ÎÓ ÙÒ Ò Ø ÓÒ ×ØÖ Ø Ð³ Ð Ö ÓÓÐ º
Ò Ø ÓÒ ½º A = (0, 1, ¬, ∧, ∨) ×Ø ÙÒ Ð Ö ÓÓÐ ×
¬0 = 1 0 ∧ x = 0 0 ∨ x = x
¬1 = 0 1 ∧ x = x 1 ∨ x = 1
¬¬x = x ¬(x ∧ y) = ¬x ∨ ¬y ¬(x ∨ y) = ¬x ∧ ¬y
x ∧ x = x x ∧ y = y ∧ x (x ∧ y) ∧ z = x ∧ (y ∧ z)
x ∨ x = x x ∨ y = y ∨ x (x ∨ y) ∨ z = x ∨ (y ∨ z)
(x ∧ y) ∨ z = (x ∨ z) ∧ (y ∨ z) (x ∨ y) ∧ z = (x ∧ z) ∨ (y ∧ z)
x ∧ ¬x = 0 x ∨ ¬x = 1
2

ÀÙ Å ÓÐÐ ½ ¿ Ò Ø Ð ×ÝÒØ Ü Ð ÐÓ ÕÙ ÔÖÓÔÓ× Ø ÓÒÒ ÐÐ Lp
º
ÓØØÐÓ Ö ½ ½ ¾ ×Ø Ð Ö Ø ÙÖ Ð ÐÓ ÕÙ ÓÒØ ÑÔÓÖ Ò º ÁÐ Ø Ø Ð ÔÖ Ñ Ö
ÙØ Ð × Ö Ð × Ø Ð × Ú Ö Ø ÔÓÙÖ Ð ÙÐ Ö Ð × Ú Ð ÙÖ× × ÓÖÑÙÐ × ÔÖÓÔÓ× Ø ÓÒÒ ÐÐ ×º
ÖÐ × Ë Ò Ö× È Ö ½ ¿ ½ ½ Ò Ð × Ñ ÒØ ÕÙ Ð ÐÓ ÕÙ ÔÖÓÔÓ× Ø ÓÒÒ ÐÐ
Ò ÙØ Ð × ÒØ Ð × Ø Ð × Ú Ö Ø º
Ò× ×ÓÒ ÖØ Ð Ö × Ö Ø ½ ¸ ÓØØÐÓ Ö ÒØÖÓ Ù Ø Ð Ð Ò Ù Ð ÐÓ ÕÙ ×
ÔÖ Ø× L Ø ÙØ Ð × Ð × ÕÙ ÒØ Ø ÙÖ× ´ÔÐÙ× Ø Ö Ø Ò Ô Ò ÑÑ ÒØ Ð Ñ Ñ Ø Ø
Ô Ö º È Ö µº Ö Ú Ò Ð³ ³ÙÒ ×Ý×Ø Ñ ÓÖÑ Ð ´ × Ü ÓÑ × Ø × Ö Ð × ÓÖÑ ÐÐ ×
ÔÓÙÖ Ù Ö Ð × ÓÖÑÙÐ × Ú Ð ×µ
½
º ØØ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ø ÔÔÖ × ÙÐ Ñ ÒØ Ù
ÙØ Ù XXe
× Ð º
Ù × ÔÔ È ÒÓ ½ ½ ¿¾ ÒØÖÓ Ù Ø Ð × ×Ý×Ø Ñ × Ü ÓÑ Ø ÕÙ ×º Ä³ ³ÙÒ Ü ÓÑ ×Ø
Ù Ù ÓÑ ØÖ Ö Ù Ð º
Ù Ð ¼ ¿ ¼ Ú ÒØ Â º Ò× ×ÓÒ ÙÚÖ Ä × Ð Ñ ÒØ× Ù Ð ØÖ Ø Ð ÔÓ×ØÙÐ Ø
´ Ü ÓÑ µ ³ÙÒ Ø ³ÙÒ Ô Ö ÐÐ Ð ÓÑÑ ÙÒ ÔÖÓÔÓ× Ø ÓÒ ÓÒØ Ð Ú Ö Ø ×Ø Ú ÒØ Ø ÕÙ
×Ø ÙØ Ð × ÔÓÙÖ ÔÖÓÙÚ Ö × Ø ÓÖ Ñ ×º
Ü ÓÑ Ø × Ø ÓÒ Ò ½ ¾ Ð ÓÑ ØÖ × Ò× ÔÓ×ØÙÐ Ø ³ÙÒ Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ô Ö Æº ÄÓ Ø¹
Ú× ½ ¾ ½ ¸ Ø ÔÐÙ× Ø Ö Ô Ö Âº ÓÐÝ ½ ¼¾ ½ ¼ Ø Ô Ö Ãº Ù×× ½ ½
Ò Ð × Ò× Ù ÓÒ ÔØ ³ Ü ÓÑ ×ÓÖÑ × Ð× ×ÓÒØ ÚÙ× × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÑÑ × ÔÖÓÔÓ¹
× Ø ÓÒ× ÔÖ × × ÔÓÙÖ ÔÖ Ñ ×× × ´× Ò× Ù ÙÒ Ö ÔÔÓÖØ Ú Ð ÙÖ Ú Ð Ø µº
ÈÓÙÖØ ÒØ¸ ÔÓÙÖ ××ÙÖ Ö ÕÙ³ÙÒ Ø ÓÖ Ü ÓÑ Ø ÕÙ Th(A) ×Ø Ó Ö ÒØ Ð ×Ù Ø ³ Ò
ØÖÓÙÚ Ö ÙÒ ÑÓ Ð M |= A Ô Ö ÕÙ ×³ Ð Ü ×Ø Ø ÙÒ ÓÒØÖ Ø ÓÒ φ, ¬φ ∈ Th(A), ÐÓÖ×
ÐÐ Ü ×Ø Ö Ø Ò× Ð ÑÓ Ð M ÐÙ ¹Ñ Ñ M |= φ, ¬φ. ³ ×Ø Ò ØÖÓÙÚ ÒØ ÙÒ ÑÓ Ð ÕÙ
Ò Ñ Ñ ÒØ º ÃÐ Ò ½ ½ ¾ Ø Àº ÈÓ Ò Ö ½ ½ ½¾ ÓÒØ ÔÖÓÙÚ Ð Ó Ö Ò Ð
ÓÑ ØÖ ÄÓ Ø Ú× º
Ò× ×ÓÒ ÙÚÖ ÖÙÒ Ð Ò Ò Ö Ø Ñ Ø ½ ¿ ¸ ÓØØÐÓ Ö ÜÔÓ× ×ÓÒ ÔÖÓ¹
Ö ÑÑ ÓÖÑ Ð × Ø ÓÒ Ð Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ò ÙØ Ð × ÒØ × ÐÓ ÕÙ × ÔÖ Ø× Ø ×ÓÒ
×Ý×Ø Ñ Ù Ø Ö × Ö Øº Å × ÖØÖ Ò ÊÙ×× Ð ½ ¾ ½ ¼ ÓÙÚÖ ÙÒ Ô Ö ÓÜ
Ò× ÔÖÓ Ö ÑÑ º
Ä × Ô Ö ÓÜ × Ò ÓÖÑ Ð× ×ÓÒØ ÓÒÒÙ× ÔÙ × Ð IV e
× Ð Ú ÒØ Âº º
Ô Ñ Ò Ó× ´ÙÒ ÔÓ Ø Ö ØÓ ×µ
ÌÓÙ× Ð × Ö ØÓ × ×ÓÒØ Ñ ÒØ ÙÖ× º
Ø ÒÓÒ Ò Ô ÙØ ØÖ Ò ÚÖ ¸ Ò ÙÜ¸ Ñ Ñ ÕÙ ÐÙ ¹
Ä Ô Ö × ÕÙ Ð × Ø Ò×Ø ÒØ ×Ø Ù×× º
3

Ä ×ÓÙÖ × Ô Ö ÓÜ × Ò ÓÖÑ Ð× ×Ø Ð³ Ñ Ù Ø × Ð Ò Ù × Ò ØÙÖ ÐÐ ×º ÍÒ Ô Ö ÓÜ
Ò× ÙÒ Ø ÓÖ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ð ØÖÙ Øº
Ä Ô Ö ÓÜ ÊÙ×× Ð ×Ø Ù Ù Ø ÕÙ Ò× Ð ÐÓ ÕÙ Ö ×ÓÒØ ÙØÓÖ × × Ð × Ú Ö Ð ×
ÕÙ ÔÓÖØ ÒØ ×ÙÖ Ð × ÔÖ Ø×º ËÓ Ø w(p) Ð ÔÖ Ø p(p) ≡ 0 º Ë w(w) ≡ 1, ÐÓÖ× w(w) ≡ 0.
Ë w(w) ≡ 0, ÐÓÖ× w(w) ≡ 1.
Ò ½ ½¼ ½ ½¿¸ Ò Ù Ò × Ô Ö Ð × ØÖ Ú ÙÜ Ö ¸ Ð Ö ÆÓÖØ Ï Ø ½ ½ ½
Ø ÖØÖ Ò ÊÙ×× Ð ÔÙ Ð ÒØ Ð ÙÖ ÙÚÖ Ô Ø Ð ÈÖ Ò Ô Å Ø Ñ Ø Ó Ð× Ð Ò ÒØ
Ð ÙÖ ÔÖÓ Ö ÑÑ ÓÖÑ Ð × Ø ÓÒ Ð Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ò Ø ÖÑ × ÐÓ ÕÙ × Ø ×Ý×Ø Ñ Ø × ÒØ Ð ×
ÑÓÝ Ò× ÔÖ ÙÚ ÓÖÑ ÐÐ Ñ Ò Ö ÕÙ Ð × Ô Ö ÓÜ × ×Ó ÒØ Ú Ø ×º
Ú À Ð ÖØ ½ ¾ ½ ¿ ¸ ÔÓÙÖ Ð ÔÖ Ñ Ö Ó ×¸ Ú ÐÓÔÔ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ø ÖÑ ×
×ÝÑ ÓÐ ÕÙ × ÐÓ ÕÙ × Ò× Ð Ð ÚÖ º À Ð ÖØ¸ Ïº ÖÑ ÒÒ¸ ÖÙÒ Þ Ö Ø ÓÖ Ø × Ò
ÄÓ ½ ¾ º Ä ÒÓÝ Ù ×ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ ÓÒ× ×Ø Ò Ð³ ÓÒ Ö ØÓÙØ Ø ÓÖ Ñ Ø ¹
Ñ Ø ÕÙ ´ Ø Ð Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ ÒØ Ö µ ÓÑÑ ÙÒ ×Ý×Ø Ñ Ü ÓÑ Ø ÕÙ ÙØ Ð × ÒØ ÙÒ Ò× Ñ Ð
× ÑÔÐ Ö Ð × Ù Ø ÓÒ ´ º¹ ¹ º¸ ÙÒ ×Ý×Ø Ñ ÓÖÑ Ðµº Ð ÚÖ ÓÒÒ Ò ×× Ò Ð
Ø ÓÖ ÑÓÒ×ØÖ Ø ÓÒ×º ÎÓ Ð ×Ý×Ø Ñ H À Ð ÖØ ÓÖÑ Ð × ÒØ Ð ÐÓ ÕÙ × ÔÖ Ø×
Ù 1er
ÓÖ Ö ´ ³ ×Ø¹ ¹ Ö × Ò× Ú Ö Ð × ×ÙÖ Ð × ÔÖ Ø×µº
ÃÙÖØ Ð ½ ¼ ½ ÔÖÓÙÚ Ò ½ ¾ ÕÙ Ð ×Ý×Ø Ñ H ×Ø ÓÑÔÐ Ø Ò× Ð × Ò× Ó
Ð Ö Ú ØÓÙØ Ø ÙØÓÐÓ L1
. Ò× ¸ H ×Ø ÙÒ ÓÖÑ Ð × Ø ÓÒ ÓÑÔÐ Ø L1
.
ÁÐ × Ñ Ð Ö Ø ÕÙ Ö ×ÙÐØ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ À Ð ÖØ ÔÓÙÖ ÓÖÑ Ð × Ö ÙÒ Ø ÓÖ
Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ T , Ð Ö ×Ø ÓÙØ Ö Ù ×Ý×Ø Ñ H Ð × Ü ÓÑ × ÓÖÑ Ð × ÒØ T ÔÓÙÖ Ò Ó Ø Ò Ö
ØÓÙØ × Ð × ÓÒ× ÕÙ Ò × Ð³ H. È Ö Ü ÑÔÐ ¸ ÔÓÙÖ ÓÖÑ Ð × Ö Ð³ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ Ð Ñ Ò¹
Ø Ö ¸ Ð ×Ù Ö Ø Ö ÓÙØ Ö Ð × Ü ÓÑ × ×Ù Ú ÒØ× ´Ð³ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ È ÒÓµ
S
(S1) ¬(0 = x )
(S2) x = y → x = y
(S3) x + 0 = x
(S4) x + y = (x + y)
(S5) x ∗ 0 = 0
(S6) x ∗ y = (x ∗ y + x)
(Si) φ(0) → (∀x (φ(x) → φ(x )) → ∀x φ(x))
´(Si) ×Ø Ð³ Ü ÓÑ ³ Ò Ù Ø ÓÒ¸ φ ×Ø ÙÒ Ñ Ø Ú Ö Ð ÕÙ ÔÓÖØ ×ÙÖ Ð × ÓÖÑÙÐ × Ò× Ð
× Ò ØÙÖ Ð³ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ Ò× ¸ ×Ý×Ø Ñ ×Ø Ò Ò Ø ÒÙÑ Ö Ð Ô Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ
× ÑÔÐ µº
ÍÒ ÓÙÔ ØÓÒÒ ÖÖ Ð Ø Ò ½ ¿¾¸ ÕÙ Ò ÃÙÖØ Ð ÔÖÓÙÚ ÕÙ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ
À Ð ÖØ Ò³ Ø Ø Ô × Ö Ð × Ð º Ä × Ò× ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ×ÓÒ Ö ×ÙÐØ Ø ×Ø ÕÙ Ð ×ÙÔÔÓ× Ø ÓÒ
ÓÑÔÐ ØÙ Ð³ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ S Ñ Ò ÙÜ Ô Ö ÓÜ × Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ ×º
4

ÔÖ Ò Ö Ð × Ö ×ÕÙ × ³ÙØ Ð × Ö ÙÒ Ø ÓÖ ÒÓÒ¹ ÓÒ Ð ÕÙ ÐÐ ÓÒ Ø ÓÒ Ò º È Ö Ü ÑÔÐ ¸
Ö Ö ÒØÞ Ò ½ ¿ Ò Ð Ñ ÒØ ÔÖÓÙÚ Ð Ó Ö Ò Ð³ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ S, Ñ × Ò
ÙØ Ð × ÒØ ÙÒ Ñ Ø ¹Ø ÓÖ ÔÐÙ× ÓÖØ ¸ ÕÙ ÙØ Ð × Ð³ Ò Ù Ø ÓÒ ØÖ Ò× Ò º ØØ ÖÒ Ö Ó Ø
ØÖ ÓÒ ×ÓÒ ØÓÙÖº
ÍÒ ÑÓÝ Ò Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ñ Ø ¹Ø ÓÖ × ØÓÙ ÓÙÖ× ÔÐÙ× ÜÔÖ ×× Ú × ×Ø ³ Ø Ð Ö ÙÒ
Ð ×× Ñ ÒØ × ÓÖÑÙÐ × Ô Ö Ð ÙÖ× ØÝÔ × Ø Ö Ö Ð × ÔÖÓÔÖ Ø × × ÓÖÑÙÐ × ³ÙÒ ØÝÔ
τ Ò ÙØ Ð × ÒØ Ð × ÓÖÑÙÐ × × ØÝÔ × ×ÙÔ Ö ÙÖ τ. ØØ ÔÔÖÓ ¸ ÓÒØ Ð³ Ø ÔÖÓ¹
ÔÓ× Ô Ö º Ï Ø Ø º ÊÙ×× Ð Ò× ÈÖ Ò Ô Å Ø Ñ Ø ¸ Ü ÐÙØ Ð × Ô Ö ÓÜ ×º
Ä ÙÜ Ñ Ð ÓÒ × Ö ×ÙÐØ Ø× Ð ÔÖÓÚ ÒØ × ÑÓÝ Ò× Ø Ò ÕÙ × ÕÙ³ Ð ÙØ Ð ×
Ò× Ð × ÔÖ ÙÚ × × × Ø ÓÖ Ñ ×º Ò Ø¸ Ð ÓÒÒ ÙÒ Ò Ø ÓÒ × ÓÒ Ø ÓÒ× Ö Ø Ñ ¹
Ø ÕÙ × ÓÒØ ÙÒ Ð ÙÐ ×Ø ÜÔÖ Ñ Ò Ö Ø Ñ Ø ÕÙ º ØØ Ñ Ò Ò× Ð × ÒÒ × ¼
ÐÓÒ×Ó ÙÖ ¸ ËØ Ô Ò ÓÐ ÃÐ Ò Ø Ð Ò ÌÙÖ Ò ÙÜ Ò Ø ÓÒ× Ö ÒØ × Ñ ×
ÕÙ Ú Ð ÒØ × × ÓÒ Ø ÓÒ× Ð ÙÐ Ð × ´ Ø × Ö ÙÖ× Ú ×µº
5

Université de Oum El Bouaghi
Matière : Logique mathématique 2ième
année Maths
Responsable : Mr Djeddi kamel 2014/2015
Les paradoxes
Définir le paradoxe
Le paradoxe est une notion ambiguë en partie parce qu’elle repose étymologiquement sur une
définition très large issue du terme grec para-doxos qui signifie « contre l’option » . On peut
entendre par cette définition que le paradoxe fait référence à un énoncé ou à une croyance
contraire à ce que l’on attend ou à l’opinion reçue. Cette définition première recouvre
cependant des significations ayant trait à des situations très différents. Le paradoxe peut, en
effet, naitre d’un raisonnement parfaitement construit mais qui aboutit à des conclusions
erronées ou inadéquates, il peut également tenir d’un raisonnement ou comportement
illogique « contraire à l’opinion commune » mais qui amène cependant à résoudre le
problème ou à fournir la solution
1-Paradoxe de Russell (le problème de la notion de propriété ou d’ensemble)
Première version (Russell)
Appelons ‘prédicable’ la propriété qu’a une propriété de s’appliquer à elle-même. Par
exemple, la propriété abstraite est abstraite, donc prédicable.
Appelons ‘imprédicable’ la propriété de n’être pas prédicable. Ainsi rouge n’est pas rouge et
donc imprédicable. On remarque alors que, paradoxalement, la propriété imprédicable est
imprédicable ssi elle n’est pas imprédicable.
Deuxième version (Russell)
Soit R l’ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas membres d’eux-mêmes.
Alors R est membre de R ssi R n’est pas membre de R. En notation ensembliste
ssi
Troisième version (Gonseth)
Le catalogue de tous les catalogues doit se mentionner lui-même. La plupart des
autres catalogues ne se mentionnent pas eux-mêmes. Qu’en est-il du catalogue des catalogues
qui ne se mentionnent pas eux-mêmes ? Il a la propriété paradoxale de se mentionner lui-
même ssi il ne se mentionne pas lui-même.
Quatrième version (Russell)
Le seul barbier d’un village rase toutes les personnes du village qui ne se rasent
pas elles-mêmes. Qui rase le barbier ?
2-Paradoxe du coiffeur (barbershop paradox)
un paralogisme présenté par Lewis Carroll dans une nouvelle intitulée A Logical Paradox,
parue dans l'édition de juillet 1894 de la revue Mind. Ce paradoxe illustre la difficulté
d'appréhender l'implication logique.
Présentation du paradoxe
Oncle Joe et Oncle Jim vont chez le coiffeur. Trois coiffeurs vivent et travaillent dans la
boutique : Allen, Brown et Carr ; mais ils ne sont pas toujours présents tous les trois dans la
boutique. Carr est un bon barbier, et Oncle Jim tient à être coiffé par celui-ci. Il sait que le
salon de coiffure est ouvert, et que donc un des trois au moins est présent. Il sait aussi
6

qu'Allen est un homme très nerveux qui ne peut quitter la boutique sans être accompagné de
Brown.
Oncle Joe lui explique qu'il n'a pas à s'inquiéter : Carr est nécessairement présent à la
boutique, et ceci peut être prouvé par la logique. Oncle Jim en demande la démonstration et
Oncle Joe la lui donne comme suit, grâce à un pseudo raisonnement par l'absurde.
Supposons que Carr soit sorti. Dans ce cas, si Allen est aussi sorti, Brown est forcément à
l'intérieur de la boutique : il doit y avoir en effet quelqu'un pour que celle-ci soit ouverte.
Cependant, nous avons que quand Allen sort, il prend Brown avec lui. Si donc Carr est
dehors, les deux phrases suivantes « si Allen est sorti alors Brown est à l'intérieur » et « si
Allen est sorti alors Brown est sorti » seraient toutes deux vraies en même temps.
Oncle Joe remarque que cela semble paradoxal : ces deux déductions semblent incompatibles.
C'est donc, selon l'histoire, que notre hypothèse de départ est fausse et Carr doit donc
logiquement être présent.
Fausseté du raisonnement
Bien évidemment ce raisonnement est faux : il est, pour exemple, tout à fait compatible avec
les hypothèses que Allen et Brown soient tous deux dans la boutique et que Carr soit sorti.
Cela se démontre aisément en calcul propositionnel par de simples tables de vérité.
3-Le paradoxe du menteur (le problème de la notion de vérité)
Première version
Épiménide le Crétois dit que les crétois sont des menteurs. Or, Épiménide est
crétois. Donc s’il dit vrai, il ment. S’il ment, alors les crétois ne sont pas des menteurs, et donc
il dit vrai. Cette forme du paradoxe contient une erreur de raisonnement qui disparaît dans les
versions suivantes.
Deuxième version
La seule phrase dite par Paul le 1 janvier 2000 à 1 heure est :
‘Le 1 janvier 2000 à 1 heure, Paul ment.’
Cette phrase est vraie ssi elle ne l’est pas.
Troisième version (Tarski)
La phrase ‘il pleut’ est vraie ssi il pleut. En général, on a :
“ est vraie ssi “.
Lorsqu’on remplace les blancs par un énoncé.
Donc, en particulier, ‘La phrase écrite à la page 17 n’est pas vraie’ est vraie ssi
la phrase écrite à la page 17 n’est pas vraie. Mais ‘La phrase écrite à la page 17 n’est pas
vraie’ est précisément la phrase écrite à la page 17.
On en déduit la conséquence paradoxale que la phrase écrite à la page 17 est
vraie ssi la phrase écrite à la page 17 n’est pas vraie.
Quatrième version
Appelons ‘Sophie’ la phrase ‘Sophie n’est pas vraie’. Alors, Sophie est vraie ssi
Sophie n’est pas vraie.
La phrase écrite à la page 17 n’est pas vraie.
Cinquième version (« Card paradox » de Philip Jourdain)
On lit sur les deux faces d’une feuille de papier les inscriptions suivantes :
–Recto–
La phrase écrite au verso
n’est pas vraie.
–Verso–
La phrase écrite au recto
est vraie.
7

4-Le paradoxe de Richard
Je vais définir un ensemble de nombres, que je nommerai l’ensemble , à l'aide des
considérations suivantes:
Ecrivons tous les arrangements deux à deux des vingt-six lettres de l'alphabet français, en
rangeant ces arrangements par ordre alphabétique, puis à la suite les arrangements trois à
trois, rangés par ordre alphabétique, puis, à la suite, ceux quatre à quatre, etc. Ces
arrangements peuvent contenir la même lettre répétée plusieurs fois, ce sont des arrangements
avec répétition.
Quel que soit l’entier , tout arrangement des vingt-six lettres à se trouvera dans ce
tableau, et, comme tout ce qui peut s'écrire avec un nombre fini de mots est un arrangement
de lettres, tout ce qui peut s'écrire se trouvera dans le tableau dont nous venons d'indiquer le
mode de formation.
La définition d'un nombre se faisant avec des mots, et ceux-ci avec des lettres, certains de ces
arrangements seront des définitions de nombres. Biffons de nos arrangements tous ceux qui
ne sont pas des définitions de nombres.
Soit le premier nombre défini par un arrangement, le second, le troisième, etc.
On a ainsi, rangé dans un ordre déterminé, tous les nombres définis à l'aide d'un nombre fini
de mots.
Donc : Tous les nombres qu'on peut définir à l'aide d'un nombre fini de mots forment un
ensemble dénombrable.
Voici maintenant où est la contradiction. On peut former un nombre n'appartenant pas à cet
ensemble.
((Soit , la è
décimale du è
nombre de l'ensemble ; formons un nombre ayant zéro
pour partie entière et pour è
décimale , si n'est égale ni à 8 ni à 9, et l'unité dans le
cas contraire.))
Ce nombre n'appartient pas à l'ensemble . S'il était le è
nombre de l'ensemble , son
è
chiffre serait le è
chiffre décimal de ce nombre, ce qui n'est pas.
Je nomme le groupe de lettres entre guillemets.
Le nombre est défini par les mots du groupe , c'est-à-dire par un nombre fini de mots ; il
devrait donc appartenir à l'ensemble E. Or, on a vu qu'il n'y appartient pas.
Telle est la contradiction.
Notons, tout d'abord un fait généralement négligé, qui est que J. Richard oublie l'espace pour
construire ses phrases. Les générations de lecteurs auront corrigé par eux-mêmes, ou, plus
certainement, ce problème leur a paru tellement évident, une fois posé, que le texte
proprement dit ne servait que d'étincelle, son détail concret importait peu et seul comptait le
schéma général.
Le procédé de démonstration, découvert par Cantor au siècle dernier, est nommé
« diagonalisation » ou procédé diagonal.
J. Richard poursuit son exposé en disant que cette contradiction n'est qu'apparente : dans la
mesure ou le groupe n'a pas de sens avant que soit défini, il devrait donc, selon lui, être
biffé.
Nous reviendrons sur ce type de solution
8

Soit une propriété s'appliquant à des mots et soit le nom de cette propriété dans le langage
.
Nous définissons alors « hétérologique dans » de la façon suivante:
(1) Définition.: est hétérologique dans si et seulement si n'a pas la propriété dans .
Ainsi le mot français « monosyllabique, » par exemple, a quatre syllabes et donc n'est pas
monosyllabique.
Donc « monosyllabique, » en français, est hétérologique. Par contre, le mot « français » est
lui-même français et donc n'est pas hétérologique en français.
En vertu de cette définition la propriété nominale présumée a reçu le nom « hétérologique »
en français. Cependant, pour éviter toute confusion entre le nom et le concept, je désignerai le
mot « hétérologique » par la lettre . Substituons maintenant à dans la définition (1) ci-
dessus la propriété
d'hétérologie elle-même. Alors nous devons substituer à n et nous obtenons:
(2) est hétérologique en français si et seulement si n'est pas hétérologique en français.
C'est une contradiction manifeste.
Théorème (Théorème de Löwenheim-Skolem)
Si une théorie a un modèle, alors elle a un modèle (dont l’univers est) fini ou dénombrable.
Démonstration
Si une théorie a un modèle, elle est consistante, par le théorème de validité.
Il suffit alors de remarquer que le modèle invoqué dans la démonstration du théorème de
Henkin a pour univers un ensemble de termes et est donc fini ou dénombrable.
7-Le paradoxe de Skolem.
D’après ce théorème, aucune théorie consistante ne peut contraindre ses modèles à être plus
que dénombrables. Cependant il existe des théories consistantes qui disent que l’univers est
infini non dénombrable. Donc, par le théorème de Löwenheim-Skolem, ces théories du non
dénombrable ont un modèle dénombrable.
Ce paradoxe a été extrait de son contexte logico-mathématique par Hilary Putnam (dans
Models and Reality), qui — sous la forme des cerveaux dans une cuve (dans Reason, Truth
and History) — en a fait l’argument majeur en faveur de son réalisme interne.
Théorème (Théorème de compacité)
Si toute partie finie d’une théorie a un modèle, alors elle a également un modèle.
Démonstration
En raison du théorème de Henkin, il suffit de montrer que la théorie est consistante, si toute
partie finie est consistante. Cela est évident, par la définition de consistance
9
5-Le paradoxe de Grelling

Constituants de la logique des propositions
A. Le Langage
Un langage propositionnel est défini par :
Définition : un alphabet : un ensemble de symboles des propositions
Définition : (Négation) Enoncé non Notation : .
0 1
1 0
Définition : (Conjonction) Enoncé et Notation :
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
ours :
------------------------------------------------------------------------------------C
2ième année
Maths
2014/2015
Logique propositionnelle
10

Définition : (Disjonction) Enoncé ou Notation :
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
Définition : (Implication) Enoncé implique , Notation :
est vrai signifie qu’il est exclu que soit vrai
sans que ne le soit.
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
Définition : (Equivalence) Enoncé Equivalant (ou bien si et seulement si) ,
Notation :
est vrai signifie est vrai.
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
11

. ¬0 est équivalente à 1
. ¬1 est équivalente à 0
. Les lois de Morgan :
– ¬(p^q) est équivalente à ¬p˅¬q
– ¬(p˅q) est équivalente à ¬p^¬q
7. 0 et l’élément absorbant de la conjonction : 0^p est équivalente à 0
8. 1 est l’élément absorbant de la disjonction : 1˅p est équivalente à 1
9. idempotence de la disjonction : p˅p est équivalente à p
10. idempotence de la conjonction : p^p est équivalente à p
Notion de modèle:
Terminologie : à partir de ces deux notions on pourra déduire les types des formules:
 Frmule Satisfaisable ou Contingente : formule vraie pour au moins une valuation (c.à.d. Elle au
moins un modèle).
 Formule Insatisfaisable ou Contradiction : formule fausse pour toute valuation (c.à.d. qui n’a pas
de modèle).
 Tautologie : formule vraie pour toute valuation. On note |= ϕ pour dire que ϕ est une tautologie.
Examinez la table suivante :
p q (p q) ¬q (p ^ ¬q) (p→q)^ (p ^ ¬q) (q ˅¬q)
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
12
Modèle On appelle modèle une interprétation pour laquelle une formule
est vraie. Par exemple h= faux= vrai= fauxi est un modèle de
(→ (∧ )).est une formule consistante. prédicats

On remarque que la formule « (q ˅ ¬q) » est vraie dans toutes les situations. De telles formules, qui
vont elles aussi être utilisées pour les démonstrations, sont appelées des tautologies.
De même, il existe des formules fausses dans toute situation, qu’on appellera contradictions (la
formule « (p→q)^ (p ^ ¬q) »).
 Les formules, dont la valeur de vérité dépend de la situation qui ne sont ni des tautologies ni des
contradictions, seront dites contingentes. Selon notre exemple, on peut noter : |= (q ˅ ¬q). Pour
l'abréviation, on nomme la formule (q ˅ ¬q) par et on écrit |= φ .
Manipulation de formules
table de vérité bien que pouvant être syntaxiquement différentes.
Définition : Les formules ϕ et ψ sont équivalentes noté ψ ≡ ϕ ssi Mod(ψ) = Mod(ψ).
ϕ. Informellement, deux propositions logiques A et B sont
équivalentes logiquement ssi elles ont la même valeur de vérité pour toute valuattion.
Exemple : ˅q)
Remarque : Remplacer une sous-formule ψ d’une formule ϕ par une formule équivalente ψ′ donne une
formule notée ϕ[ψ ← ψ′].
Cette substitution préserve les modèles, i.e. Mod(ϕ) = Mod(ϕ[ψ ← ψ′]).
p (p p)
p ￢p ˅ q
13
Les formules équivalentes sont des formules indistinguables par la sémantique, i.e. elles ont la même
￢￢p p
￢(p ˅ ￢p ˄ ￢q
￢(p ˄ ￢p ˅ ￢q
p ˅ (q ˄ p ˅ q) ˄ (p ˅ r)
(p ˅ q) ˄ r ˄ r ) ˅ (q ˄ r )
p → q ≡ ￢p ˅ q
q devient q)^ (q
q devient
q)
q)
r) (
(p
|= ¬(¬p ^ ¬q) (p
La définition équivaut à |= ψ
•
•
•
•
•
•
•
•

érie 1 : Logique propositionnelle
------------------------------------------------------------------------------------S
2ième année
Maths
2014/2015
Questions
2- Démontrer, sans tables de vérité ⇔ (p ⇔ q) ≡ q
Soit V la constante "vrai" et F la constante "faux", vérifier également (sans tables de vérité)
⇒ F ≡ ¬p
• V ⇒ p ≡ p
Exercice 2
Exercice
Exercice
Soit la formule P dénie comme (p⇒(q⇒r))⇒(r ∨ ¬p).
1. Donner la table de vérité de la formule P.
2. Dire si la formule est valide, satisable, insatisable ?
3. La formule P a-t-elle un modèle ? si oui lequel ?
4. Donner la forme normale conjonctive et la forme normale disjonctive de la formule P.
Donné le table de vérité de
Montrer que
1.
est une tautologie
Exercice 1
3.
4.
, que : p
Enigme. Trois collègues, Ahmed, Ali et Mostafa déjeunent ensemble chaque jour ouvrable. Les
affirmations suivantes sont vraies:
1. Si Ahmed commande un dessert, Ali en commande un aussi.
2. Chaque jour, soit Ali, soit Mostafa, mais pas les deux, commandent un dessert.
3. Ahmed ou Mostafa, ou les deux, commandent chaque jour un dessert.
4. Si Mostafa commande un dessert, Ahmed fait de même.
1. Exprimer les données du problème comme des formules propositionnelles
2. Que peut-on en déduire sur qui commande un dessert?
3. Pouvait-on arriver à la même conclusion en supprimant l'une des quatre affirmations?
• p
14

1. Introduction : limite de la logique des propositions
L’une des limites les plus importantes de la logique des propositions est qu’elle ne peut pas analyser
certaines propositions. Dans l'exemple 1 la logique des propositions permet de voir la première
proposition comme formée au moyen de plusieurs propositions.
Par contre dans l'exemple 2, il y a quatre propositions qui sont toutes différentes
Exemple 1 :
Si Mohammed est malade, il ne sort pas P--¬Q
Mohammed est malade P
------------------------ ----------
Mohammed ne sort pas ¬Q
Si un homme est malade, il ne sort pas P--¬Q
Mohammed est malade R
------------------------ ---------
Mohammed ne sort pas ¬Q'
La logique des prédicats vient pour pallier ces limites.
2 Structure
Pour écrire un énoncé en logique du premier ordre, nous allons utiliser
un ensemble de symboles plus riche qu’en logique des propositions. On se
donne :
– un ensemble (dénombrable) de constantes {a, b, c, . . .} ;
– un ensemble (dénombrable) de variables {x, y, z, . . .} ;
– un ensemble (dénombrable) de fonctions {f, g, h, . . .} ;
– un ensemble (dénombrable) de prédicats, ou relations {P, Q, . . .} ;
– des connecteurs logiques, {¬, ∧, ∨, →, . . .}, ainsi que les parenthèses
‘(’ et ‘)’ ;
– les quantiﬁcateurs universel ∀ et existentiel ∃ (voir plus loin).
2ième année
Maths
2014/2015
ours:
C------------------------------------------------------------------------------------
prédicatsLogique d'orde 1 et des
Exemple 2 :
15

2.1.Termes
Un terme est une expression logique qui renvoie à un objet. Les cons-
tantes, comme «Mostafa» ou « sociologie », ainsi que les variables, sont
des termes. Un terme composé est construit à l’aide d’une fonction, par
exemple « père(Mostafa) » ou « cours(IA) ».
2..2 Formules
Une formule en logique des prédicats se construit similairement à une
formule en logique des propositions. En fait un prédicat va jouer un rôle
analogue à une proposition. On doit en plus prendre en compte les quanti-
ﬁcations :
1. P(x1, . . . , xn) est une formule atomique ;
2. t1 = t2 est une formule atomique4 ;
3. si F est une formule, alors ¬F est une formule ;
4. si F et G sont des formules, alors (F ∧G), (F ∨G), (F → G)
, etc. sont des formules ;
5. si F est une formule et x une variable, alors ∀x.F et ∃x.F sont des
formules.
Exemple 3 :
propositionnel pour représenter Mohammed Est Ami De Ahme une relation qui
porte sur deux arguments
· ami s'appelle un prédicat · x et y sont des variables.
quelconques x et y, ce que l’on note ami(x, y).
Prédicats
Considérons tout d’abord des phrases qui ont clairement une structure sujet/prédicat
Omar est un homme Socrate est mortel. H(O) . M(s)
Si on met que H désigne être un homme et O =omar
· ·
Quantificateurs
t s'écrire x E(x), mais aussi rien n’est mortel,Par exemple tout est mortel, qui pourrai
qu’on pourrait écrire x ¬E(x).
Un autre quantificateur qu’on appelle quantificateur existentiel. On le note $,
représenter assez naturellement une phrase comme il a des choses mortels :
$ x E(x) “Il existe x tel que E(x)”.
,(FÛ G)
et il
permet de
16

Liens entre ∀ et ∃ On a les lois de Morgan pour les quantificateurs :
¬∀x.F ≡ ∃x.¬F
¬∃x.F ≡ ∀x.¬F
∀x.F ≡ ¬∃x.¬F
∃x.F ≡ ¬∀x.¬F
Remarque On traduit couramment certaines expressions en logique du
premier ordre :
– « Tous les A sont B. » : ∀x.(A(x) → B(x))
– « Seuls les A sont B. » : ∀x.(B(x) → A(x))
– « Aucun A n’est B. » : ∀x.(A(x) → ¬B(x))
– « Quelques A sont B. » : ∃x.(A(x) ∧ B(x))
Carré d’Aristote (1) L’introduction d’un quantificateur permet d’exprimer diverses
propositions que nous appellerons quantifiées. Par exemple tout est éphémère, qui pourrait
s’écrire ∀xE(x), mais aussi rien n’est éphémère, qu’on pourrait écrire ∀x¬E(x).
La tradition frégéenne introduit un second quantificateur, qui n’est pas à proprement
parler indispensable (il est définissable au moyen de l’universel), qu’on appelle quantifica-
teur existentiel. On le note ∃, et il permet de représenter assez naturellement une phrase
comme il a des choses éphémères : ∃xE(x) “Il existe x tel que E(x)”.
La relation entre les deux quantificateurs est assez facile à voir si on considère, par
exemple, que rien n’est éphémère (∀x¬E(x)) peut aussi se dire il n’existe pas de chose
éphémère (¬∃xE(x)). Cette équivalence est souvent illustrée sous la forme du fameux
carré d’opposition (qui remonte à Aristote), qui permet de faire apparaˆıtre clairement les
interprétations des quantificateurs (cf. figure.1).
Tout est éphémère
∀xE(x) ¬∃x¬E(x)
Rien n’est éphémère
∀x¬E(x) ¬∃xE(x)
Certaines choses
sont éphémères
∃xE(x) ¬∀x¬E(x)
Certaines choses
ne sont pas éphémères
∃x¬E(x) ¬∀xE(x)

d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
dd
E
E
contradictoire
contradictoire
contraire
subcontraire
subalterne
subalterne
Fig.
Ce carré d’opposition, très utile pour représenter de fa¸con synthétique l’interprétation
.1 – Carré d’Aristote, quantification non restreinte
17

Carré d’Aristote (2) On peut proposer maintenant une nouvelle version du carré
d’Aristote, avec des phrases quantificationnelles dans lesquels on distingue une restriction
et une portée : voir figure.2.
Tous les profs sont gentils
∀x(P (x) → G(x))
¬∃x(P (x) ∧ ¬G(x))
Aucun prof n’est gentil
∀x(P (x) → ¬G(x))
¬∃x(P (x) ∧ G(x))
Certains profs sont gentils
∃x(P (x) ∧ G(x))
¬∀x(P (x) ∧ ¬G(x))
Il y a des profs pas gentils
∃x(P (x) ∧ ¬G(x))
¬∀x(P (x) ∧ G(x))

d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
dd
E
E
contradictoire
contradictoire
contraire
subcontraire
subalterne
subalterne
Fig. .2 – Carré d’Aristote, quantification restreinte
Le rapport entre les formules universelles et existentielles quand elles sont quantifiées
peut maintenant être étudié.
Définition 1
(i) Si A est un nom de prédicat du vocabulaire de L, et chacun des t1...tn une
constante ou une variable du vocabulaire de L, alors A(t1, ..., tn) est une formule.
(ii) Si ϕ est une formule dans L, alors ¬ϕ l’est aussi.
(iii) Si ϕ et ψ sont des formules dans L, alors (ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ), (ϕ → ψ), et (ϕ ↔ ψ)
sont des formules de L.
(iv) Si ϕ est une formule et x une variable, alors ∀xϕ et ∃xϕ sont des formules de L.
(v) Rien d’autre n’est une formule
On peut, comme précédemment, (1) laisser tomber les parenthèses externes, (2) décom-
poser une formule de manière unique en un arbre, toutes les sous-formules d’une formule
apparaissant dans l’arbre.
Définition 2
Si ∀xψ est une sous-formule de ϕ, alors ψ est appelé la portée de cette occurrence du
quantificateur ∀x dans ϕ. Même définition pour ∃x.
Exemple : ∃y(∀z(∃wA(z, w) → A(y, z)) ∧ A(x, y)) Il faut distinguer les différentes occur-
rences d’un quantificateur : (∃xA(x) ∧ ∃xB(x)).
Portée d'un quantificateur
Dans les formules (x A) et ($x A), A est appelé la portée du quantificateur.
18

Définition 3
(a) Une occurrence d’une variable x dans la formule φ (qui n’est pas une partie
d’un quantificateur) est dite libre si cette occurrence de x ne tombe pas dans
la portée d’un quantificateur ∀x ou ∃x apparaissant dans φ.
(b) Si ∀xψ (ou ∃xψ) est une sous-formule de φ et x est libre dans ψ, alors cette
occurrence de x est dite liée par le quantificateur ∀x (ou ∃x).
Conséquence : toute variable est soit libre, soit liée par un quantificateur (et un seul).
Noter que dans ∀x(A(x) ∧ ∃xB(x)) les deux occurrences de x
ficateurs différents. Pour éviter les confusions, on renommera les variables (muettes).
Noter aussi que dans ∀xA(y), le quantificateur ne lie aucune variable.
Une phrase est une formule sans variable libre.
∀xA(y) n’est pas une phrase, par exemple.
Une formule avec des variables libres est appelée fonction propositionnelle :
P(x) → G(x) est une fonction de l’ensemble des constantes vers les propositions.
Notation : [j/x](P(x) → G(x)) a les mêmes conditions de vérités que P(j) → G(j)
(N.B. : on ne remplace que les occurrences libres : [c/x](∀xA(x, x)) reste inchangé).
Une occurrence d'une variable est libre si elle n'est dans la portée d'aucun quantificateur.
Sinon elle est liée.
Exemples :
Dans y ((p(x) v $x p(x)) q(y)) la première occurrence de x est libre,
tandis que la deuxième occurrence est liée. L'occurrence de y est liée.
· Formule fermée, formule ouverte
Une formule est fermée (ou close) si elle ne contient pas de variables libres. Sinon elle est
ouverte.
Exemples :
La formule A = y ((p(x) v $x p(x)) q(y)) est ouverte, car il y a une
occurrence de variable libre.
La formule B = x y ((p(x) v $x p(x)) q(y)) est fermée (c'est la
fermeture universelle de A).
La formule $x $y ((p(x) v $x p(x)) q(y)) est également fermée (c'est la
fermeture existentielle de A).
Définition 4
19

La formule sous forme prénexe est équivalente logiquement à la formule initiale. Les formules
suivantes sont en forme prénexe :
Ø (x F) º ($x (ØF)) et Ø ($x F) º (x (ØF))
Pour se faire, on emploie les équivalences suivantes :
· Distributivité de la quantification universelle sur la conjonction et de la quantification
existentielle sur la disjonction :Pour toutes formules F et G et pour toute variable x, on a :
· ((x F) Ù (x G)) º (x(F Ù G))
· (($x F) Ú ($x G)) º ($x (F Ú G))
· considérons x une variable qui n’apparaisse pas dans G, nous avons les équivalence
suivantes:
· ((x F) Ù G) º (x(F Ù G))
· (($x F) Ù G) º ($x (F Ù G))
· ((x F) Ú G) º (x(F Ú G))
· (($x F) Ú G) º ($x (F Ú G))
· ((x F) à G) º($x(F à G))
· (($x F) - G) º (x (F à G))
· (G à (x F)) º (x (G à F))
· (G à ($x F)) º ($x (G à F))
Exemple: ((x($y F(x,y))) ) ®(x($y G(x,y)))) devient successivement:
20

Cours et exercices logique mr djeddi kamel

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Destaque

Destaque (20)

Mais de Kamel Djeddi

Mais de Kamel Djeddi (6)

Último

Último (20)

Cours et exercices logique mr djeddi kamel