Números Complejos

4. C soluciona
el defecto algebraico
de R de que existan
ecuaciones polinómicas
con coeficientes reales
que no tienen soluciones
reales.
Ej. x2 + 1 = 0.
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

5. Girolamo Cardano
(1501-1576)
Ars Magna (1545)
Considerada como la fecha de
nacimiento de los números
complejos.
Resolución de ecuaciones de
tercer y cuarto grado.
“Divide 10 en dos partes,
de modo que una por la otra
dé 40.”
x(10-x)=40 15
5 

Solución “intrigante”.

6. Rafael Bombelli (1526-1572) resolvió la situación operando
como lo hacemos hoy con números complejos.
3
3
2
3
3
2
3
3
2
2
3
2
2
,



































p
q
q
p
q
q
x
q
p
q
px
x
Forma general de la ecuación cúbica y solución:
Funcionaba bien en algunos casos, como:
3
3
3
10
108
10
108
;
20
6 




 x
x
x
Pero en otros ... : 3
3
3
2
121
2
121
;
4
15 






 x
x
x
Cardano sabía que x = 4 es solución de esta ecuación.

7. René Descartes
(1596-1650)
60 años después de Bombelli:
“A pesar de que podemos pensar
que la ecuación
x3 - 6x2 + 13x - 10 = 0 tiene tres
raíces, únicamente una de ellas es
real, la cual es 2, y las otras dos…
son simplemente
imaginarias.”
René Descartes
"La Géométrie" (1637)

8. “Los números imaginarios
son un excelente y
maravilloso refugio del
Espíritu Santo, una especie de
anfibio entre ser y no ser”
Gottfried von Leibnitz
(1.646 – 1.716)
Otros términos que han sido
usados para referirse a los
números complejos incluyen :
“Sofisticados” (Cardano)
“Sin sentido” (Néper)
“Inexplicables” (Girard)
“Incomprensibles” (Huygens)
“Imposibles” (Diversos autores)

9. “Estos números no son nada,
ni menos que nada, lo cual
necesariamente los hace
imaginarios, o imposibles”.
“formulam littera i …”
Leonhard Euler (1777)
1

Leonhard Euler
(1.707 – 1.783)
Con Euler los imaginarios se
incorporan definitivamente en la
Matemática.
i2 = -1; introdujo la notación binómica.
Demostró que el conjunto de los números
“imaginarios” era cerrado para las
cuatro operaciones básicas, así como
para la potenciación y la radicación.

10. Karl Friedrich Gauss
(1777-1855)
“Números íntegros complexos”
K. F. Gauss (1831)
A los números enteros se
han agregado las fracciones;
a las cantidades racionales,
las irracionales;
a las positivas, las negativas;
y a las reales, las imaginarias”.
“¿Qué es un número complejo?” Gauss dio la respuesta
satisfactoria definitiva en 1831 al establecer la
interpretación geométrica: x+iy → (x,y).

11. Miguel de Guzmán
(1936-2004)
“La visualización de los números
reales mediante los puntos de una
recta o de los números complejos
mediante los puntos del plano no
solamente penetró sin gran resistencia
en el análisis, sino que se puede decir
con razón que, en el caso de los
números complejos, esta
visualización (Argand, Gauss) fue
lo que hizo posible vencer la fuerte
oposición de la comunidad
matemática al dar carta de ciudadanía
a los números complejos”.
El rincón de la pizarra: ensayos de
visualización en análisis matemático.

13. Un número complejo z es un par ordenado de
números reales a y b, escrito como:
z = (a,b)
(Notación en componentes o coordenadas cartesianas).
a se llama la parte real de z: Re(z) := a
b se llama la parte imaginaria de z: Im(z) :=b
Dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes reales e
imaginarias son iguales:
(x1,y1) = (x2,y2) sii x1= x2 , y1= y2
 


 ,
:
)
,
(
: b
a
b
a
C
El conjunto de números complejos, se denota por C

14. (0,1) se llama la unidad imaginaria y se denota por:
Si a= 0, se dice que es un imaginario puro.
Si b= 0, z se comporta como un número real.
z = a + bi
Un número complejo z = (a,b) se escribe comúnmente
como :
)
1
0
( ,
i 
(Los ingenieros eléctricos a menudo usan “j” para evitar confusiones con el
símbolo “i”, que asocian a la intensidad eléctrica).
(notación algebraica o binómica, “afijo” en textos de antaño)

15. z = a + bi
z = (a,b)
)
1
0
( ,
i 

17. El plano complejo
(Plano z, de Argand o de Gauss)
z
x
y

r
Eje real
Eje imaginario
z = (x,y)

18. x
y
3

2

Ejemplo:
Dibujar el número complejo z = -3-2i en el plano complejo
i
2
3


20. conjugado
El conjugado de un número complejo z = x + i y
se define como:
z
iy
x
z 

x
z
y
z
y

Gráficamente el conjugado
es una reflexión respecto
al eje real.

21. conjugado
Es sencillo
demostrar
que:
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
/
/ z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z








iy
x
z 

z
z 
2
2
)
)(
( y
x
iy
x
iy
x
z
z 





22. opuesto
El opuesto de un número complejo
z = x + i y se define como:
z

iy
x 

x
z
y
z

Gráficamente el
opuesto
es una reflexión
respecto al punto (0,0)

23. Suma y producto
Suma
)
(
)
( 2
1
2
1
2
1 y
y
i
x
x
z
z 




)
(
)
( 1
2
2
1
2
1
2
1
2
1 y
x
y
x
i
y
y
x
x
z
z 



Producto
Sean:
2
2
2
1
1
1
iy
x
z
iy
x
z




Parte real Parte imaginaria
“En la facultad teníamos un profesor
cojo al que llamábamos el complejo.
Tenía una pierna real y otra imaginaria.”
Memorias de un estudiante
de matemáticas

24. i
i
i
i
i
i
i
i
2
23
)
10
12
(
)
15
8
(
]
2
)
5
(
3
4
[
]
3
)
5
(
2
4
[
)
3
2
)(
5
4
(


















1
)
0
0
(
)
1
0
(
)
0
)(
0
(
2








 i
i
i
i
(1)
(2)
Ejemplos:
De modo que podemos sustituir siempre:
1
2


i
Ejemplo:
  1
1
1
1
2







i
i

25. Potencias de i
1
)
1
(
1
)
( 2
63
4
254





 i
i
i

1
1
1
6
5
4
3
2








i
i
i
i
i
i
i
1
1

i

i
Por ejemplo:

26. Resta
División
(operación inversa a la suma)
(operación inversa al producto)
)
(
)
( 2
1
2
1 y
y
i
x
x
z 



El cociente de dos números
complejos se halla multiplicando el numerador y
denominador por el conjugado del denominador

27. Suma y resta de números complejos
en el plano complejo
x
y
1
z
2
z
2
1 z
z 
1
2 z
z 
En la suma (y la resta)
los números complejos
se comportan como vectores

28. i
i
i
i
i
i








1
1
1
(1)
(2)
Ejemplos:
Sean: z1=18 + 3i z2 = -7 + 2i









)
2
7
)(
2
7
(
)
2
7
)(
3
18
(
z
z
2
1
i
i
i
i
53
57
120
2
7
)
2
7
)(
3
18
(
2
2
i
-
-
i
-
-
i




Hallar el inverso de i:

29. Calcular:
Re(z1) = 18, Re(z2) = -7
Im(z1) = 3, Im(z2) = 2
z1+z2 = 11 + 5i, z1-z2 = 25+i
z1z2 = (18+3i)(-7+2i) = -132 + 15i
Ejemplo:
Sean z1=18 + 3i z2 = -7 + 2i
más ejercicios

30. Ley de clausura:
z1 + z2 y z1 z2 pertenecen a C.
Ley asociativa:
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
(z1 z2) z3 = z1 (z2 z3)
Ley distributiva:
z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3
Propiedades algebraicas
La suma y el producto dotan
a C de estructura de cuerpo.
Ley conmutativa:
z1 + z2 = z2 + z1
z1 z2 = z2 z1

31. 0+z = z+0 = z (Neutro para la suma)
z +(-z) = (-z)+z = 0 (Opuesto para la suma)
z ·1 = 1 · z = z (Identidad para el producto)
z · z-1 = z-1 · z = 1 (Inverso para el producto)
{C,+,·} es un cuerpo.
No es posible ordenar el conjunto de los números complejos.
Carecen de sentido expresiones como z > 0 o z1 < z2
(Para todo z distinto de 0)

33. Falacia
¿1=-1?
1
1
;
1
;
1
1
1
;
1
)
1
)(
1
(
;
1
)
1
)(
1
(
2













i

35. 2
2
: y
x
z
r 










x
y
z arctan
arg
:

El plano complejo
(Plano z, de Argand o de Gauss)
Módulo:
También llamado “valor absoluto”
(el módulo de un real es su valor absoluto)
Argumento:
z
x
y

r
Eje real
Eje imaginario
Para z = 0, el ángulo  no está definido.
El 0 no tiene forma polar
z = (x,y)
Con calculadora: Teclas RP, PolRec, rθ, …

36. z
x
y

r


sin
cos
r
y
r
x



 sin
cos ir
r
iy
x
z





 

 sin
cos i
r
z 


r
z 
Forma polar
Forma trigonométrica

37. x
y
i
z 
1
1
1
1
2

1
r








4
sin
4
cos
2
1


i
z
2
)
1
(
)
1
( 2
2
1
1 


 z
r
argumento:
4
/
1
1
arctan
arg 1 








z
Ejemplo:
Escribir el siguiente número complejo z1=1+i,
en forma polar y trigonométrica:
módulo:
4
/
1 2

z
solución

38. x
y

r
13
)
2
(
)
3
( 2
2





 z
r
}
,
7
.
213
,
7
.
33
,
3
.
146
{
3
2
arctan
3
2
arctan
arg

 




















 z

3

2

rad
73
.
3
Ejemplo:
Dibujar el número complejo z = -3-2i en el plano complejo y
evaluar módulo y argumento
Módulo:
Argumento:
i
2
3

La calculadora
no distingue
El argumento está multivaluado.

40.    
 
 
)]
sin(
)
[cos(
]
sin
cos
cos
sin
sin
sin
cos
cos
[
sin
cos
sin
cos
2
1
2
1
2
1
2
1




























i
r
r
i
r
r
i
r
i
r
z
z
z



 

 ´
´ mm
m
m
Multiplicación
)]
sin(
)
[cos(
2
1
2
1 


 


 i
r
r
z
z

41. x
y
z

1
r 1
z
2
z
2
r

2
1r
r
r 


 

2
1z
z
z 
Producto de números complejos en el plano complejo

42. Multiplicar por i es
equivalente a
girar 90 grados
)]
2
/
sin(
)
2
/
[cos(
)
cos
sin
(
)
sin
(cos

















i
r
i
r
i
ir
iz
x
y
1
z
1
2
z
i 1
3
z
i
1
iz

43. Potencias
  
 n
n
n
m
m 
)]
sin(
)
[cos( 
 n
i
n
r
z n
n



44. Fórmula de Moivre
Potencias enteras de complejos
en forma polar:
 
 
 
 
  ...
,
1
,
0
sin
cos
)
2
sin(
)
2
cos(
)
sin(
)
cos(
2
sin
2
cos
sin
cos
2
2
1
1
2
2




















n
n
i
n
r
z
i
r
z
i
r
z
i
r
z
i
r
z
n
n












  )
sin(
)
cos(
sin
cos 


 n
i
n
i
n



Abraham de Moivre (1667 - 1754)

45. 









3
2
2
3
3
sin
sin
cos
3
sin
cos
3
cos
)
sin
(cos
3
sin
3
cos
i
i
i
i







El teorema de Moivre es una máquina de
generar identidades trigonométricas. Por ejemplo:
Igualando las partes reales e imaginarias:








3
2
2
3
sin
sin
cos
3
3
sin
sin
cos
3
cos
3
cos





46. Potencias iguales
 
 
 
  40
1120
4
280
40
760
4
190
40
400
4
100
40
4
10
16
16
2
16
16
2
16
16
2
16
2







º
190
2
º
280
2
º
100
2
º
10
2
º
40
16
Distintos números complejos pueden llevar al mismo
resultado al realizarles una misma potencia …
Esto nos lleva al cálculo de raíces

47. Potencias repetidas …
Raíces
Un número complejo tiene tantas
raíces como su índice
Sus afijos son los vértices de un
polígono regular

48. n
z
w 
1
,
0,1,
k
º
360











n
k
n
n
r
R n



Raíces
se llama la raíz enésima de z a cualquier número
w que cumple: wn = z, y se escribe como
Módulo de w
Ángulo de w

r
z 
Partimos de un número complejo z

49. Sean w= R(cosα+ i sinα)
z = r(cos + i sin)
Por el teorema de Moivre:
wn = Rn[cos(n α) + i sin(n α)]= r(cos + i sin)
Igualando los módulos y los ángulos obtenemos
Raíces
La fórmula para el cálculo de las raíces se basa en
el teorema de Moivre
1
,
0,1,
k
2







 


k
n
k
r
R n





50. Raíz cuarta …
 
 
 
 







280
190
100
10
4
40
2
2
2
2
16
º
190
2
º
280
2
º
100
2
º
10
2
º
10
4
º
40

º
90
4
º
360

º
40
16
Primer ángulo
Ángulo a añadir

51. Ejemplo: raíces de la unidad
5
8
4
5
6
3
5
4
2
5
2
1
º
0
0
2
0
5
5
º
0
1
1
1
1
1
4
,
1
,
0
1
1
1
1














w
w
w
w
w
k
n
k 
1

n
z

52. División
)]
sin(
)
[cos(
2
1
2
1



 


 i
r
r
z
z






´
´ m
m
m
m

53. 1
z
División de números complejos en el plano complejo
x
y


 

z
2
z
2
r

1
r

2
1
r
r
r 
2
1
z
z
z 

56. Benoit
Mandelbrot
publicó en 1975
su primer ensayo
sobre fractales
Su construcción se basa en la iteración de un número
complejo, es decir se hace una operación y ésta se repite
con el resultado ….
z  z2 + C. (conjunto de Mandelbrot)
Un fractal es un objeto geométrico cuya
estructura básica se repite en diferentes escalas
Su dimensión es
fraccionaria

57. Benoit Mandelbrot (Polonia-1924)
retomó los trabajos de Juliá en 1970
Mandelbrot y esposa
Madrid-ICM 2006
El trabajo pionero en el juego de hacer
iteraciones con números complejos fue
desarrollado por dos matemáticos
franceses, Gaston Julia (a la izquierda)
y Pierre Fatou (a la derecha), a
principios del siglo XX.

58. El físico-matemático Antonio Brú ha modelado
matemáticamente el crecimiento de los tumores, o
al menos, eso es lo que defiende. En 1998 publica
la primera ecuación de crecimiento tumoral en la
mejor revista del mundo de física. “ … Este físico
español ha logrado curar un cáncer de hígado
terminal con una ecuación …” .
http://www.periodistadigital.com/salud/object.php?o=82957
En el cuerpo humano existen estructuras con
geometría fractal, como son la red vascular,
las ramificaciones bronquiales, la red
neuronal, la disposición de las glándulas, etc.

59. Muchas antenas que en apariencia parecen constituir una sola unidad –gran parte de
las antenas de radar, entre ellas- están en realidad compuestas por una formación de
hasta un millar de pequeñas antenas.
Uno de los ingenieros de T&M afirma que el rendimiento de las antenas fractales es un 25 por
ciento mayor que el de las habituales antenas romas, revestidas de goma, con que van equipadas
muchos teléfonos móviles o inalámbricos. Amén de ser más baratas de fabricar, operan en
múltiples bandas, lo que permite incorporar un receptor GPS al teléfono, al tiempo que la antena
puede quedar oculta en el interior del aparato.
http://matap.dmae.upm.es/cursofractales/capitulo1/3_1.html
http://www-tsc.upc.es/eef/research_lines/antennas/fractals/fractal_antennas.htm
(Visita la Web de los Ingenieros de la Universidad politécnica de Cataluña)

60. Los fractales han estado siendo usados
comercialmente en la industria
cinematográfica, en películas como Star Wars
y Star Trek.
http://starwars.ya.com/
http://www.trekminal.com/newvoyages/web/descargas.php

61. Otros programas:
Xaos
IfsAttrActoR
Fractal hecho con
el programa
apophysis.
www.apophysis.org
http://www.arrakis.es/~sysifus/software.html
Visita la web de un
artista:
http://home.wanadoo.nl/
laurens.lapre/
escucha música
fractal

63. "¿La vibración de las alas
de una mariposa en Brasil
pue-de desencadenar un
ciclón en Tejas?".
(Poincaré)

64. Causas pequeñas
producen grandes efectos
A comienzos de la década del 60, Lorenz se puso a elaborar un
modelo matemático para predecir fenómenos atmosféricos, y por
casualidad descubrió que la misma herramienta matemática que
utilizaba estaba fallando:
pequeños cambios en las condiciones iniciales producian diferencias
asombrosas

65. los fractales son la
representación grafica
del caos.
Ejemplos de sistemas
caóticos incluyen la
atmósfera terrestre, el
Sistema Solar, las placas
tectónicas, los fluidos en
régimen turbulento y los
crecimientos de
población.
En la década del 70 se empezaron a investigar comportamientos
caóticos en el ritmo cardíaco, las reacciónes químicas, el
mercado bursátil ….

67. Sir William Rowan
Hamilton (1805 - 1865)
Los cuaterniones son números
complejos en cuatro dimensiones
en lugar de dos (Hamilton 1843).
Así un cuaternión q se expresa
como: q = a+ib+jc+kd donde
a,b,c,d son números reales.
Cuaterniones e
hipercomplejos

68. !La propiedad
conmutativa no se
cumple para el producto
de cuaterniones¡.
Los cuaterniones se emplean para
describir dinámicas en 3
dimensiones, en física y en gráficos
por ordenador (para hacer películas y
juegos).
El software de vuelo del
Space Shuttle usaba
cuaterniones para el
control de navegación y
vuelo

69. Basada en la presentación de Bartolo Luque
http://www.disa.bi.ehu.es/ (nº complejos-archivo ppt)
http://www.arrakis.es/~sysifus/index.html (área fractal-varios)
http://es.webfractales.com/ (imágenes-software)
http://www.divulgamat.net/weborriak/Exposiciones/ArteMate/Perry/artemate.asp (arte fractal)
http://algorithmicbotany.org/vmm-deluxe/TableOfContents.html (laboratorio virtual de plantas)
http://www.quanta.net.py/zfractal/mainmenu.htm
http://www.geocities.com/Paris/Rue/1195/gallery1.html
http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/147/htm/fractus.htm
(fractales y caos)
http://platea.pntic.mec.es/aperez4/antonio-perez.html
http://www.margencero.com/estevez/estevez_intro.html (música)
http://www.dlsi.ua.es/%7Ejaperez/fractal/ (música)
http://matap.dmae.upm.es/cursofractales/capitulo5/5.html (cuaterniones)
http://www.fractalmusiclab.com/default.asp
http://www.culturageneral.net/musica/clasica/
http://sombra.lamatriz.org/terraforming/html/ficcion.html